IB015 – Neimperativní programování
FunkckoSbírka příkladů ke cvičením
Fakulta informatiky
Masarykovy univerzity Změněno: 10. 10. 2022 22.54
Obsah
Cvičení 0: Technické okénko 3
0.1 Základní potřebné programy a nastavení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.2 Používání GHCi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.3 Vzdálené připojení na fakultní počítače . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.4 Práce s dokumentací . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Cvičení 1: Základní konstrukce 12
1.1 Jednoduché funkce, if, where/let ... in ... . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Priority operátorů a volání funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Definice s více definičními rovnostmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Základní typy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Cvičení 2: Rekurze a seznamy 19
2.1 Rekurze na číslech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Rekurze na seznamech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Cvičení 3: Funkce vyšších řádů, λ-funkce, částečná aplikace, skládání 26
3.1 Užitečné seznamové funkce & lambda funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Částečná aplikace a operátorové sekce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Skládání funkcí, η-redukce, odstraňování argumentů . . . . . . . . . . . . . . 32
Interludium: Psaní hezkého kódu 37
Cvičení 4: Vlastní a rekurzivní datové typy, Maybe 44
4.1 Vlastní datové typy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Konstruktor Maybe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Rekurzivní datové typy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 Další příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Cvičení 5: Intensionální seznamy, lenost, foldy 54
5.1 Intensionální seznamy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2 Lenost, nekonečné datové struktury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 Akumulační funkce na seznamech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4 Akumulační funkce na vlastních datových typech . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Cvičení 6: Manipulace s funkcemi, typy, opakování 69
6.1 Typy a typové třídy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2 Opakování základních funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.3 Vlastní datové typy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.4 Typové třídy podrobněji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Cvičení 7: Vstup a výstup (bonus) 77
7.1 Skládání akcí operátorem >>= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2 IO pomocí do-notace, převody mezi notacemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.3 Vstupně-výstupní programy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1
IB015 – Sbírka úloh OBSAH
Řešení 82
Cvičení 0: Technické okénko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Cvičení 1: Základní konstrukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Cvičení 2: Rekurze a seznamy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Cvičení 3: Funkce vyšších řádů, λ-funkce, částečná aplikace, skládání . . . . . . . 99
Cvičení 4: Vlastní a rekurzivní datové typy, Maybe . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Cvičení 5: Intensionální seznamy, lenost, foldy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Cvičení 6: Manipulace s funkcemi, typy, opakování . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Cvičení 7: Vstup a výstup (bonus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Přiložený kód 149
Soubor 04_data.hs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Soubor 05_data.hs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Soubor 05_treeFold.hs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Soubor 06_data.hs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Soubor 07_guess.hs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Tato sbírka vzniká přispěním mnoha autorů již několik let a stále se vyvíjí. Narazíte-li na nějakou chybu či
nejasnost, nahlaste nám ji, prosíme, do diskusního fóra předmětu.
Podoba úvodní strany je s úctou obšlehnuta od O’Reillyho nakladatelství. Ilustraci psacího stroje poskytlo
Florida Center for Instructional Technology: https://etc.usf.edu/clipart.
2
Cvičení 0: Technické okénko
Fialové rámečky na začátku každého cvičení obsahují věci, které je bezpodmínečně
nutné umět ještě před začátkem cvičení. Neslouží jako opakování přednášky, avšak
jsou vám ku pomoci při přípravě na cvičení.
Před nultým, technickým cvičením je zapotřebí:
► znát svoje učo (universitní číslo osoby, správnost si ověříte přihlášením do ISu);
► znát svoje fakultní přihlašovací jméno (tzv. fakultní login či xlogin) a fakultní
heslo (to je jiné než do ISu); tyto přihlašovací údaje si můžete ověřit na
https://fadmin.fi.muni.cz/auth; svůj xlogin zjistíte a heslo můžete změnit
na https://is.muni.cz/auth/system/heslo_fi;
► projít si tuto kapitolu až po etudy (včetně) – dozvíte se jak funguje sbírka a co
si připravit po technické stránce.
Oranžové rámečky obsahují upozornění a varování.
Jindřiška varuje: Na cvičení je normální se připravovat. Nebudete-li s pojmy ve
fialových rámečcích srozuměni a neprojdete-li si etudy, pravděpodobně si ze cvičení
kromě pocitu neúspěchu příliš neodnesete a hrozí vám vyloučení ze cvičení.
Věnujte prosím pozornost jak fungování fakultních systémů (počítačů v učebnách,
studentského serveru Aisa), tak nastavení svých strojů. Mít vše rozjeté na vašich
strojích se vám bude hodit při řešení domácích úkolů, pokud byste například skončili
doma nemocní, nebo pokud by přinejhorším došlo na distanční výuku. Být schopný
programovat ve vlaku či jinde bez internetu je též velmi užitečné.
Nulté cvičení je velmi nestandardní. Probíhá pro všechny studenty v prvním týdnu (nejde
tedy o 14denní blok) a slouží především k nastavení programů nutných pro fungování
v tomto předmětu. Cvičení trvá necelou hodinu a nezabývá se náplní předmětu, ale má za
úkol vás seznámit s počítačovou učebnou B130 a jejím programovým vybavením, aby se na
prvním cvičení nemusely řešit problémy technického rázu. Čas na něm můžete také využít
ke konzultaci problémů s instalací na vašich strojích – později na to již na cvičeních čas
nebude, takže se budete muset spokojit s konzultacemi na diskusním fóru.
Vysvětlivky I nultá kapitola sbírky je trochu zvláštní – slouží totiž zároveň jako seznámení se sbírkou
samotnou. Jednou z věcí zasluhujících vysvětlení je význam piktogramů objevujících se
u některých příkladů:
Symbolem jsou označeny ty příklady, které by se měly stihnout na cvičení. Příklady
bez tohoto symbolu tak slouží spíše pro domácí studium a přípravu. Mimochodem, přesný
význam tohoto symbolu se dozvíte případně na navazujícím předmětu IB016 Seminář
z funkcionálního programování. Pokud mu chcete nějak říkat, můžete používat termín bind.
Ještě více mimochodem, podobnost s logem Haskellu není náhodná.
Tužkou ( ) jsou označeny příklady, které byste měli být schopni vyřešit správně
s použitím pouze tužky a papíru, stejně jako se to po vás bude chtít u zkoušky.1
Interpret
doporučujeme použít až ke kontrole.
1
Nepodlehněte však iluzi, že před zkouškou stačí projít tužkou označené příklady a zelenou známku máte
v kapse. Piktogram totiž nijak nesouvisí s typem příkladů objevujících se u zkoušky.
3
IB015 – Sbírka úloh Etudy
Démantem ( ) označujeme příklady, které sice nejsou v plánu cvičení, ale přesto
je velmi doporučujeme vyřešit, neboť je považujeme za zajímavé či zvláště přínosné.
Očekáváme, že tyto příklady budete řešit pravidelně v průběhu semestru a mohou vám
pomoci při řešení odpovídajících domácích úkolů.
Mírně obtížnější, ale o to poutavější příklady pak nesou hvězdičku ( ) či několik
hvězdiček podle obtížnosti či pracnosti. Trojhvězdičkové příklady mohou sahat i za rámec
tohoto předmětu.
K vybraným příkladům existují videa demonstrující postup řešení příkladu. Tato
videa v distanční výuce nahrazují „živé“ předvádění úlohy cvičícím, v prezenční jsou pak
alternativou či slouží k připomenutí.
Etudy
Každá kapitola na začátku obsahuje několik základních příkladů, tzv. etud. Očekává se,
že tyto příklady si vyřešíte ještě před samotným cvičením. Slouží především k ozkoušení
syntaxe jazyka Haskell, případně připomenutí jeho standardních funkcí – tedy přibližně to,
co po vás chce fialový rámeček na začátku.
Etudy doporučujeme vyřešit před otevřením příslušného předcvikového odpovědníku
(který existuje ke všem kapitolám kromě této). V případě problémů či dotazů se zeptejte
na diskusním fóru.
Zelené rámečky obsahují rady, doporučení a tipy na další zdroje ke studiu.
Pan Fešák doporučuje: K většině příkladů se na konci sbírky (případně kapitoly,
čtete-li tyto samostatně) nachází řešení. Podporuje-li váš prohlížeč dokumentů odkazy,
můžete klepnutím na číslo příkladu na jeho řešení skočit.
Etuda 0.η.0 Zkuste si to!
Etuda 0.η.1 Seznamte se s nultou kapitolou sbírky a s organizačními pokyny k předmětu v interaktivní
osnově.
Etuda 0.η.2 Nainstalujte si GHC na svůj počítač. Standardem pro tento semestr je překladač
Glasgow Haskell Compiler (GHC) verze 8.4 nebo vyšší. Doporučujeme instalovat nejnovější
dostupný pro váš systém, ideálně tedy verzi 9.2.
Linux Pokud je GHC verze nejméně 8.4 k dispozici v repozitářích vaší distribuce, instalujte
přímo z repozitáře. Níže uvádíme návody pro některé běžné distribuce, ve všech případech
ukazujeme jak nainstalovat GHC z příkazové řádky pod uživatelem root.
• Ubuntu/Debian Pokud máte dostatečně novou verzi operačního systému (Debian
alespoň 10 = buster = oldstable, Ubuntu alespoň 20.04), stačí vám nainstalovat balík
ghc:
apt install ghc
Pro starší verse, či pokud chcete novější versi GHC najdete návod v řešení tohoto
příkladu.
• Fedora: Ve všech podporovaných verzích Fedory je již dostatečně nové GHC, stačí
nainstalovat balík ghc:
dnf install ghc
4
IB015 – Sbírka úloh Etudy
Windows Na Windows je možné instalovat GHC ze stránek GHC, nebo alternativně
do Windows Subsystem for Linux (WSL; konkrétně ideálně verzi Ubuntu 20.04 LTS).
Zde popíšeme pouze první možnost, pro tu druhou je třeba aktivovat WSL a následně
postupovat podle návodu pro Ubuntu výše.
• Stáhněte GHC ze stránek GHC („Windows 64-bit (x86_64) (GMP)“).
• rozbalte stažený archiv (například pomocí 7-Zip)
• přesuňte složku ghc-X.Y.Z z rozbaleného archivu do C:\ (X.Y.Z zde odpovídá
verzi staženého GHC, např. ghc-9.2.3 – chcete-li si práci usnadnit, můžete si
složku přejmenovat na ghc a příponu -X.Y.Z v rámci návodu směle ignorovat)
• Dále potřebujeme nastavit proměnné prostředí, abychom mohli GHC/GHCi spouštět
kdekoliv v rámci systému.
• Jděte do „Upravit proměnné prostředí systému“ (najdete přes vyhledávání nebo
„Počítač“ → „vlastnosti“ → „upřesnit nastavení systému“ → „upravit proměnné
prostředí“);
• klikněte na „proměnné prostředí“
• v části „systémové proměnné“ vyberte proměnnou path a zvolte upravit
• klikněte na „nový“ a přidejte cestu C:\ghc-X.Y.Z\bin (nebo jinou cestu kam
jste GHC přesunuli)
• uložte
Pro ověření spusťte příkazový řádek (stiskněte win + R a zadejte příkaz cmd) a do
příkazového řádku napište ghci. Mělo by se spustit GHCi ve verzi odpovídající staženému
archivu.
macOS Na macOS jsou dvě možnosti instalace – přes Homebrew (doporučené, vyžaduje
nainstalovat Homebrew, které se vám však bude hodit pro instalaci mnoha dalších nástrojů
při studiu na FI) a nebo pomocí nástroje ghcup. V obou případech instalace probíhá
z příkazové řádky.
Homebrew instalace
• otevřete Terminal pod /Applications/Utilities/
• nainstalujte si Homebrew z příkazové řádky příkazem z https://brew.sh/
• nainstalujte GHC příkazem brew install ghc (opět z příkazové řádky)
• spusťte ghci – macOS jej prvním spuštění pravděpodobně zablokuje, povolte jej tedy
v nastavení (viz též apple support)
• dále by již mělo být možné GHCi spouštět normálně
Instalace pomocí ghcup GHC se v tomto případě instaluje pouze pro toho uživatele,
který provede níže zmíněný postup.
• jděte na https://www.haskell.org/ghcup/ a zkopírujte příkaz uvedený na této
stránce
• otevřete Terminal pod /Applications/Utilities/ a vložte do něj příkaz z webu
ghcup
• postupujte podle instrukcí instalátoru, nezapomeňte si nechat automaticky upravit
PATH (to zajistí, že GHC budete moci spustit bez zadání celé cesty k binárce v
/.ghcup)
• restartujte terminál, pak by již mělo být možné GHCi spustit
5
IB015 – Sbírka úloh Etudy
Etuda 0.η.3 Nainstalujte si vhodný editor čistého textu na svůj počítač. Pro psaní kódu v jazyce
Haskell, který v tomto předmětu používáme, budete potřebovat editor schopný pracovat
se zdrojovým kódem. Jde o editor, který ukládá čistý, neformátovaný text a případně
má funkce, která pomáhají programátorům v pochopení kódu – především zvýrazňování
syntaxe (tedy rozlišení různých konstruktů v kódu barvami).
Jindřiška varuje: Word ani LibreOffice Writer nejsou editory čistého textu.
Na různých systémech jsou obvyklé různé editory zdrojového kódu, zde uvedeme 2
příklady, které mohou fungovat na všech platformách, můžete však používat i jiné. Ve všech
editorech doporučujeme pro Haskell nastavit odsazování pomocí mezer (nikoli tabulátorů),
což je v Haskellu standardní konvence. Navíc kombinování odsazování mezerami a tabulátory
vede v Haskellu ke špatně pochopitelným chybám. Pokud již máte svůj oblíbený editor
zdrojových kódů (který umí pracovat s Haskellem), můžete zbytek této sekce ignorovat.
Visual Studio Code Visual Studio Code (také VS Code, nebo jen code) je zdarma
dostupný multiplatformní editor zdrojového kódu od firmy Microsoft. Informace k jeho
instalaci na vaši platformu naleznete na webu výrobce, na některých Linuxových distribucích
je VS Code k dispozici rovněž v repozitářích (např. jako code na Arch Linuxu).
Základní nastavení
• Pod „View“ → „Extensions“ si vyhledejte Haskell a nainstalujte „Haskell Syntax
Highlighting“
• Následně již bude fungovat zvýrazňování syntaxe pro soubory s příponou .hs (v pravém
dolním rohu byste měli vidět „Haskell“)
• V pravé dolní části si zkontrolujte, že máte nastaveno odsazování mezerami: „Spaces:
N“ (nikoli „Tab Size: N“), kde N označuje délku odsazení (pro Haskell je vhodné 4).
• VS Code má i integrovaný terminál, který vám může zjednodušit práci tím, že budete
mít editor i terminál v jednom okně.
– Terminál aktivujete ve „View“ → „Terminal“
– Nezapomeňte se před spuštěním ghci přepnout do adresáře, v němž máte uložen
editovaný soubor (pomocí cd CESTA).
– Nezapomínejte, že pro to, aby se změny v kódu projevili, je třeba soubor uložit
a v ghci provést reload (:r).
• Pozor, neinstalujte si žádná „pokročilejší“ Haskell rozšíření (například
to jménem „Haskell“) – tato rozšíření vyžadují komplexnější nastavení a často
předpokládají, že budete tvořit tzv. balíčky. Pro naše použití tak prakticky způsobují
jen komplikace a chyby editoru.
Tip: Pokud si ve VS Code otevřete pracovní složku, kde chcete programovat v Haskellu
pomocí „File“ → „Open Folder“, integrovaný terminál se vám pak také otevře v této složce.
Gedit Gedit je výchozí textový editor v několika variantách Linuxové distribuce Ubuntu
a na všech Linuxových distribucích by měl být dostupný (obvykle v balíku gedit) a je
rovněž dostupný pro Windows a macOS. Gedit doporučujeme používat především pokud
chcete co možná nejjednodušší editor.
6
IB015 – Sbírka úloh 0.1 Základní potřebné programy a nastavení
Základní nastavení
• Zvýrazňování syntaxe funguje v Geditu automaticky pro soubor s příponou .hs, není
tedy třeba nic nastavovat.
• Doporučujeme zapnout si zobrazování čísel řádků (přes druhou položku zprava na
spodní liště).
• Doporučujeme zapnout odsazování mezerami (v Haskellu se nedoporučuje používat
tabulátory a už vůbec ne je kombinovat s mezerami). Na spodní liště vpravo klikněte
na „Tab Width: N“ a zaškrtněte „Use Spaces“. Může být rovněž dobrý nápad snížit
výchozí odsazení na 4 mezery.
Etuda 0.η.4
intro
Shlédněte záznam úvodního democvičení. Můžete k tomu použít odkaz pod číslem tohoto
příkladu; vede do studijních materiálů předmětu v ISu.
*
*
*
Po etudách následují příklady určené k řešení na cvičení nebo samostatně po cvičení,
například jako příprava na pocvikový odpovědník. Nic vám ale samozřejmě nebrání se
s příklady seznámit ještě před cvičením.
0.1 Základní potřebné programy a nastavení
Je v podstatě jedno, zda budete na cvičeních používat svůj počítač nebo školní. Je
však silně doporučené abyste měli vše potřebné nainstalované u sebe (kvůli přípravám
a domácím úkolům), ale zároveň je i vhodné, abyste uměli používat školní počítače.
Př. 0.1.1 Základní využívání školních počítačů. Přihlaste se na školní počítač (pomocí svého
xloginu a fakultního hesla). Po přihlášení spusťte terminál (buď jej vyhledejte, nebo
pomocí klávesové zkratky Ctrl + Alt + T ). Po spuštění by měl terminál pracovat ve vašem
domovském adresáři (/home/xLOGIN). Příkazem pwd si vypište aktuální adresář.
Základní příkazy příkazové řádky
Tyto příkazy by měly fungovat v podstatě na všech platformách, včetně Windows
(jejich přesný výstup v případě, že něco vypisují, se však může lišit). Na Windows
však může být nutné použít PowerShell místo příkazové řádky (neboli cmd).
ls vypíše obsah aktuálního adresáře. Případně ls -A vypíše adresář včetně souborů
a složek, jejichž jméno začíná tečkou.
mkdir slouží k vytvoření adresáře. Argumentem je cesta k adresáři, který chcete
vytvořit: mkdir ib015. Pokud je potřeba vyrobit mezilehlé adresáře, lze použít
mkdir -p longer/path/to/ib015.
cd přepíná adresáře. Jediný argument je cesta k adresáři, kam přepnout. Např.
cd ib015 pro přepnutí do adresáře ib015, cd .. pro přechod nahoru v adresářové
struktuře nebo cd ~ (vlnovka) pro skok do domovského adresáře (mimo
Windows i jen cd).
7
IB015 – Sbírka úloh 0.2 Používání GHCi
ssh slouží pro vzdálený terminálový přístup na počítač (typicky se systémem
Linux/Unix). Argumentem je adresa počítače a případně login:
ssh xLOGIN@aisa.fi.muni.cz (s vaším loginem). Při prvním přihlášení je
třeba potvrdit klíč stroje. Heslo se při zadávání nezobrazuje. Pokud je váš
lokální login stejný, jako ten, do kterého se chcete přihlásit, nemusíte jej uvádět:
ssh aisa.fi.muni.cz (také po vyřešení 0.3.3 níže).
scp slouží ke kopírování souborů mezi počítači. První argument je vždy zdroj, druhý
cíl. Jedna z cest je lokální, jedna může být ve tvaru login@stroj:cesta
a pak představuje cestu na daném stroji. Cílem může být i složka; cesta
by pak měla končit lomítkem a složka musí na daném stroji existovat.
Např. scp Foo.hs xLOGIN@aisa.fi.muni.cz: pro kopírování souboru Foo.hs
do domovského adresáře na Aise (relativní cesty jsou vzhledem k domovskému
adresáři). Aktuální adresář je označen „.“ (tečka), má-li být cílem ten.
exit ukončení příkazové řádky nebo sezení SSH. Můžete použít i Ctrl + D .
cp jako scp, ale jen lokálně.
mv přesun/přejmenování souboru, argumenty jako u cp.
rm/rmdir maže soubory, respektive prázdné složky zadané jako argumenty.
nano jednoduchý editor textu v terminálu (z Aisy nemůžete spustit grafický editor).
Příkazy pro ovládání se zobrazují dole, ̂ znamená Ctrl . Na vašem počítači možná
nebude.
Př. 0.1.2 Vytvořte si ve svém domovském adresáři adresář ib015. Můžete využít terminál nebo
grafický správce souborů.
Př. 0.1.3 Většinu úkolů budete vypracovávat v textovém editoru podle svého výběru. Proto si
jej nastavte podle instrukcí v etudě 0.η.3, jen s tím rozdílem, že oba editory jsou již
nainstalované a stačí je nastavit.
Př. 0.1.4 V adresáři ib015 vytvořete nový soubor Sem0.hs s následujícím obsahem:
hello = "Hello, world"
0.2 Používání GHCi
Pokud si kapitolu procházíte samostatně, tak v této a následující sekci již přijde vhod
democvičení ( intro), je proto dobrý nápad jej nyní zhlédnout. Může být přínosné si
nahrávku zastavovat a postupovat podle ní, případně se k nejasným částem vracet.
Př. 0.2.1 V terminálu v adresáři ib015 si příkazem ghci spusťte interpret Haskellu.
Komu zrovna zadáváte text, poznáte podle tzv. výzvy, neboli promptu. Prompt GHCi
má obvykle tvar Prelude>, Main*> nebo ghci> – sem zadáváte výrazy jazyka Haskell
a příkazy interpretu (ty, co začínají dvojtečkou). Prompt terminálu nabývá rozličných
podob, ale obvykle končí znakem dolaru (např. login@počítač:~/ib015 $). Sem
zadáváte např. příkazy pro práci se soubory a pohyb po adresářích.
8
IB015 – Sbírka úloh 0.3 Vzdálené připojení na fakultní počítače
Př. 0.2.2 V interpretu si zkuste vyhodnotit jednoduché aritmetické výrazy, tedy využít ho jako
kalkulačku.
Př. 0.2.3 Do GHCi načtěte soubor Sem0.hs a nechte si vypsat konstantu hello. Následně si od
interpretu vyžádejte její typ.
Př. 0.2.4 Do souboru Sem0.hs přidejte konstantu myNumber typu Integer a nastavte ji na svou
oblíbenou hodnotu. Po uložení souboru jej znovu načtěte do GHCi a konstantu vypište.
Interpret následně ukončete.
Pan Fešák doporučuje: Pokud se někdy program nechová tak, jak očekáváte, ačkoli
jste si jisti, že tentokrát už jste ho určitě opravili, zkontrolujte, že jste soubor uložili
a znovu načetli do interpretu. Je to jedna z nejčastějších chyb.
0.3 Vzdálené připojení na fakultní počítače
Používání vzdáleného připojení přes SSH není v tomto předmětu nezbytně nutné, ale
může se vám hodit a určitě jej budete potřebovat jinde. Pan Fešák proto doporučuje
se ho naučit již nyní. Vzdálené připojení vám umožní používat GHCi a další nástroje
na počítačích na FI a dostat se k vašim kódům ze cvičení odkudkoli.
Na školní stroje se systémem Linux se lze připojit pomocí SSH. Na Linuxu či macOS se
obvykle jako klient SSH používá příkaz ssh. Pokud klient nemáte, mělo by být možné
jej nainstalovat z balíčků (bude se nejspíš jmenovat openssh-client nebo openssh). Na
Windows 10 je příkaz ssh k dispozici v PowerShellu. Záložní možností je pak klient Putty.
K přihlašování z vnějšku fakulty slouží server aisa.fi.muni.cz (ze sítě FI dostupný
i jako aisa). Přes tento počítač se pak případně dá dostat i k jiným, ale to nebývá potřeba,
protože váš domovský adresář je sdílen přes všechny fakultní linuxové stroje.
Co se kde děje? Při práci se vzdáleným počítačem může být trochu nepořádek v tom,
co se děje u vás a co na vzdáleném stroji. Měli byste to být schopni poznat podle
promptu, tedy textu, který příkazová řádka vypisuje před místem, kam píšete příkaz.
Na Aise byste měli (pokud jste si to nezměnili) vidět něco jako aisa:/home/xLOGIN>$.
V promptu je tedy vidět i cesta k adresáři, v němž se aktuálně nacházíte.
Aby v tom nebyl nepořádek v našich příkladech, používáme konvenci, že příkazy
spouštěné na Aise začínají (aisa)$, zatímco ty spouštěné u vás, začínají (local)$
(pokud je to jedno, bude tam jen $). Ani jeden z těchto řetězců však nepatří na
příkazovou řádku – slouží jen k označení příkazů, které můžete spustit.
Nápovědu k příkazům a jejich volbám si vyžádejte příkazem man nebo volbou --help:
$ man rm
$ cd --help
Jindřiška upozorňuje: V případě, že používáte GHC na studentském serveru
aisa.fi.muni.cz, standardně se spouští stará verze 7.6.3. Novou verzi zavedete
příkazem module add ghc. Modul je nutné přidávat při každém přihlášení, příp.
9
IB015 – Sbírka úloh 0.4 Práce s dokumentací
příkaz zanést do vašeho .bashrc. Na Linuxových pracovních stanicích je GHC
dostatečně nové, modul tam ale funguje též a je novější než systémové GHC.
Př. 0.3.1 Přihlaste se ze svého nebo školního počítače k serveru aisa.fi.muni.cz. Tam přidejte
modul s novým GHC pomocí příkazu module add ghc2
. Ověřte, že máte dostatečně novou
verzi GHCi (alespoň 9.0.1).
Př. 0.3.2 Pomocí příkazu scp si na svůj počítač zkopírujte z Aisy zdrojový kód ze cvičení. U sebe jej
upravte a pošlete zpět na Aisu. Pokud jste pracovali na svém počítači, udělejte to obráceně
– kód zkopírujte na Aisu, tam ho upravte (třeba pomocí nano) a zkopírujte zpět.
Alternativně můžete vyzkoušet některý z klikacích nástrojů: na Windows WinSCP,
v Linuxových grafických správcích souborů hledejte volbu „Připojit k serveru“ nebo
podobnou.
Př. 0.3.3 Nastavte si klient SSH tak, aby pro připojení k Aise stačilo zadat ssh aisa. Stejnou zkratku
je pak možné využívat při kopírování souborů mezi počítači: scp Sem0.hs aisa:ib015/.
Pan Fešák doporučuje: Než navštívíte svůj oblíbený vyhledávač, vzpomeňte si na
příkaz man. Zde se bude hodit man ssh_config.
Př. 0.3.4 Tento krok je určen pokročilejším uživatelům a sahá daleko nad rámec předmětu.
Pokud nedisponujete dvojicí klíčů SSH pro asymetrické šifrování, vytvořte si ji. Přidejte na
Aise svůj veřejný klíč mezi autorizované, abyste při přihlašování ze svého počítače nemuseli
psát heslo.
0.4 Práce s dokumentací
Tak jako u ostatních programovacích jazyků je většina funkcí a typů zdokumentovaná.
Primárním zdrojem dokumentace pro jazyk Haskell v rozsahu našeho kurzu je webová
dokumentace základního modulu Prelude. Dále můžete využít lokální mirror vyhledávače
Hoogle, kde můžete vyhledávat funkce podle názvu nebo typu.3
Jindřiška varuje: Naučit se pracovat s dokumentací je nevyhnutelné pro libovolný
programovací jazyk, nejenom pro Haskell. Čím dříve se naučíte číst dokumentaci,
tím budete mít lehčí život nejen tu, ale i v dalších předmětech.
Př. 0.4.1 Pomocí vyhledávače funkcí v jazyce Haskell najděte všechny funkce, které mají typ
Bool -> Bool -> Bool a jsou v balíčku base.
*
*
*
2
Na Aise je nainstalované příliš staré GHC, které se od toho námi používaného liší typy některých
seznamových funkcí.
3
Obě tyto služby pro vás hostujeme lokálně, protože ty oficiálně se ukázaly být pro naše účely neoptimální
– originální dokumentaci najdete na Hackage a vyhledávání i v nestandardních balíčcích na hoogle.haskell.org.
10
IB015 – Sbírka úloh 0.4 Práce s dokumentací
Jindřiška varuje: Ať už budete používat vlastní či školní počítač, je naprosto
nezbytné, abyste před prvním cvičením zvládli jeho obsluhu alespoň v rozsahu
fialového rámečku na začátku následující kapitoly.
Fialové rámečky na konci cvičení shrnují probrané koncepty. Můžete si s jejich
využitím ověřit, jestli všemu ze cvičení rozumíte, nebo je potřeba se k některému
tématu vrátit.
Na konci cvičení byste měli zvládnout:
► vytvořit textový soubor s Haskellovým kódem;
► spustit v terminálu GHCi a načíst do něj vytvořený soubor;
► pracovat v terminálu vzdáleně na školním počítači Aisa;
► pracovat s webovou dokumentací.
11
Cvičení 1: Základní konstrukce
Před cvičením je nezbytné umět:
► otevřít terminál (příkazovou řádku) a vytvořit textový soubor;
► spustit interpret GHCi a načíst do něj soubor;
► používat GHCi jako kalkulačku;
► znát na intuitivní úrovni pojmy funkce a typ;
► vědět, jakým způsobem se volají funkce v Haskellu;
► vědět, jaké základní typy v Haskellu jsou;
► vědět, jak fungují základní konstrukce if ... then ... else ...,
let ... in ... a where;
► umět napsat jednoduchou funkci včetně využití více definičních rovností a
vzorů.
Příkazy interpretu GHCi:
:t[ype] výraz – typ výrazu
:i[nfo] jméno – informace o operátorech, funkcích a typech
:doc jméno – dokumentace operátorů, funkcí a typů (až od GHC 8.6)
:l[oad] soubor.hs – načtení souboru s Haskellovým kódem
:r[eload] – znovunačtení posledního souboru
:q[uit] – ukončení práce s interpretem
:m[odule] Modul – načtení modulu (bude používáno později)
:h[elp] – nápověda
Pan Fešák připomíná: Všechny funkce v Haskellu jsou čisté funkce, tj. nemají
žádný vnitřní stav a pro stejné argumenty vždy vrací stejnou hodnotu (na rozdíl od
funkcí v Pythonu).
Etudy
Etuda 1.η.1 S pomocí dokumentace zjistěte, jaký je rozdíl mezi typy Int a Integer.
Etuda 1.η.2 Definujte funkci isSucc :: Integer -> Integer -> Bool, která pro dvě celá čísla x, y
rozhodne, jestli je y bezprostředním následníkem x.
12
IB015 – Sbírka úloh Etudy
isSucc 1 4 ∗
False
isSucc 4 5 ∗
True
Etuda 1.η.3 S pomocí konstrukce if ... then ... else ... definujte funkci firstNonZero ::
Integer -> Integer -> Integer, která vezme dvě celá čísla; pokud je první z nich
nenulové, tak je vrátí, v opačném případě vrátí to druhé.
firstNonZero 1 4 ∗
1
firstNonZero 0 4 ∗
4
firstNonZero 0 0 ∗
0
*
*
*
Pan Fešák doporučuje: Priorita operátorů je jednou z věcí, které jsou nutné pro
správné pochopení vyhodnocování výrazů. Je vhodné naučit se používat dotaz :i,
který mimo jiné obsahuje i prioritu zadaného operátoru.
Příklad dotazu v interpretu (řádek začínající > je zadán uživatelem):
> :i *
class Num a where
...
(*) :: a -> a -> a
...
-- Defined in ‘GHC.Num’
infixl 7 *
Pro nás je nyní podstatný poslední řádek, který říká, že se jedná o infixový operátor,
a popisuje jeho prioritu a asociativitu. V tomto případě infixl 7 * znamená, že se
jedná o operátor priority 7, který se závorkuje (asociuje) zleva (infixl; zprava by
bylo infixr), tedy například 2 * 3 * 7 se vyhodnocuje jako by bylo uzávorkované
(2 * 3) * 7. Například pro == dostaneme infix 4 ==, což znamená, že == nelze
řetězit s dalšími operátory na stejné úrovni priority a jeho priorita je 4.
Pokud nemá operátor (funkce) explicitně definovanou prioritu, jeho priorita je 9
a je asociativní zleva. I některé binární funkce zapsané písmeny mají určenou prioritu
a asociativitu, kterou využijí, pokud jsou zapsány infixově. Příkladem takové funkce
je div.
Konečně prefixová aplikace má vždy přednost před aplikací infixovou, například
ve výrazu div 3 2 ^ 4 se provede nejprve dělení a až pak umocňování, jako by byl
výraz uzávorkovaný (div 3 2) ^ 4.
Etuda 1.η.4 S použitím interpretu jazyka Haskell porovnejte vyhodnocení následujících dvojic výrazů
a rozdíl vysvětlete.
a) 5 + 9 * 3 versus (5 + 9) * 3
b) 2 ^ 2 ^ 2 == (2 ^ 2) ^ 2 versus 3 ^ 3 ^ 3 == (3 ^ 3) ^ 3
c) 3 + 3 + 3 versus 3 == 3 == 3
d) ("Haskell" == "je") == "super" versus ('a' == 'a') == ('a' == 'a')
Pan Fešák doporučuje: Operátory a funkce se můžou vyskytovat v prefixové
i infixové verzi. Proto si dohledejte, jaký je rozdíl mezi * vs. (*) a mod vs. `mod`.
Etuda 1.η.5 Definujte s využitím více definičních rovností funkci isWeekendDay :: String -> Bool,
která rozhodne, jestli je daný řetězec jméno víkendového dne.
13
IB015 – Sbírka úloh 1.1 Jednoduché funkce, if, where/let ... in ...
isWeekendDay "Saturday" ∗
True
isWeekendDay "Monday" ∗
False
isWeekendDay "apple" ∗
False
Etuda 1.η.6 Určete typy následujících výrazů a najděte další výrazy stejného typu. Své řešení si ověřte
s pomocí interpretu.
a) 'a'
b) "Don't Panic."
c) not
d) (&&)
e) True
1.1 Jednoduché funkce, if, where/let ... in ...
Pan Fešák doporučuje: Pokud jste si ještě nevytvořili soubor pro toto cvičení, teď
je dobrý čas jej vytvořit. Funkce z dalších příkladů pište do souboru a pak je testujte
v GHCi.
Př. 1.1.1 S využitím interního příkazu :info interpretu GHCi zjistěte prioritu a asociativitu následujících
operací:
^, *, /, +, -, ==, /=, >, <, >=, <=, &&, ||
Př. 1.1.2 Vytvořte funkci circleArea :: Double -> Double, která pro zadaný poloměr spočítá
obsah kruhu o tomto poloměru. Přibližná hodnota konstanty 𝜋 se dá v Haskellu získat
pomocí konstanty pi.
Př. 1.1.3
1.1.3
Pro zadané tři celočíselné délky stran trojúhelníka rozhodněte, zda se jedná o pravoúhlý
trojúhelník. Pravoúhlý trojúhelník je možné poznat tak, že pro délky jeho stran
platí Pythagorova věta (tedy součet druhých mocnin dvou kratších stran je roven druhé
mocnině nejdelší strany). V řešení zkuste vhodně využít lokální definici (where nebo
let ... in ...).
isRightTriangle 3 4 5 ∗
True
isRightTriangle 42 42 42 ∗
False
isRightTriangle 70 42 56 ∗
True
isRightTriangle 25 24 7 ∗
True
Jindřiška varuje: V Haskellu odsazujeme vždy mezerami, nikoli tabulátory. Používání
tabulátorů rychle vede ke kombinaci obou variant a velmi podivným chybovým
hláškám.
Př. 1.1.4 Definujte funkci max3 :: Integer -> Integer -> Integer -> Integer, která pro tři
celá čísla x, y a z vrátí to největší z nich. Naprogramujte dvě verze, jednu pomocí funkce
max a jednu pomocí if ... then ... else ....
Př. 1.1.5 Naprogramujte funkci mid :: Integer -> Integer -> Integer -> Integer, která pro
tři celá čísla x, y a z vrátí to prostřední z nich (tj. to druhé v jejich uspořádané trojici
podle ≤).
mid 1 2 3 ∗
2
mid 42 16 69 ∗
42
mid 15 113 111 ∗
111
mid 42 42 42 ∗
42
Př. 1.1.6 Pomocí if a funkce mod definujte funkci tell :: Integer -> String, která bere jako
argument jedno kladné celé číslo n a vrací:
• "one" pro n = 1,
14
IB015 – Sbírka úloh 1.2 Priority operátorů a volání funkcí
• "two" pro n = 2,
• "(even)" pro sudé n > 2 a
• "(odd)" pro liché n > 2
Jindřiška varuje: V porovnání s jinými (převážně imperativními) jazyky má Haskell
striktnější pravidla pro konstrukci if ... then ... else ... a je nutné je všechna
znát.
V imperativních jazycích totiž Haskellovému výrazu if p then t else f neodpovídá
řídicí příkaz if p then t else f, ale ternární operátor: p ? t : f (nejen)
v jazyce C nebo t if p else f v Pythonu.
Př. 1.1.7 U následujících výrazů rozhodněte, zda jsou správně, a pokud jsou špatně, zdůvodněte
proč a vhodným způsobem je upravte.
a) if 5 - 4 then False else True
b) if 0 < 3 && odd 6 then 0 else "FAIL"
c) (if even 8 then (&&)) (0 > 7) True
d) if 42 < 42 then (&&) else (||)
Pan Fešák doporučuje: Pokud v konstrukci if ... then ... else ... mají
větve then a else typ Bool, pak je vhodné se zamyslet nad tím, zda celá konstrukce
není zbytečná a problém nelze vyřešit použitím vhodných logických operátorů.
Příkladem je výraz if podmínka then True else False, který se dá zjednodušit
na výraz podmínka.
1.2 Priority operátorů a volání funkcí
Př. 1.2.1 Doplňte všechny implicitní závorky do následujících výrazů:
a) recip 2 * 5
b) sin pi + 2 / 5
c) f g 3 * g 5 `mod` 7
d) 42 < 69 || 5 == 6
e) 2 + div m 18 == m ^ 2 ^ n && m * n < 20
Pan Fešák doporučuje: Pokud nevíte, co daná funkce nebo operátor dělá, je
vhodné si ji najít v dokumentaci. Příkladem může být operátor (||).
Př. 1.2.2 Přepište infixové zápisy výrazů do syntakticky správných prefixově zapsaných výrazů
a naopak:
a) 4 ^ (7 `mod` 5)
b) max 3 ((+) 2 3)
Př. 1.2.3
1.2.3
Doplňte všechny implicitní závorky do následujících výrazů:
a) f . g x
b) 2 ^ mod 9 5
c) f . (.) g h . id
d) 2 + div m 18 * m `mod` 7 == m ^ 2 ^ n - m + 11 && m * n < 20
e) f 1 2 g + (+) 3 `const` g f 10
f) replicate 8 x ++ filter even (enumFromTo 1 (3 + 9 `mod` x))
g) id id . flip const const
15
IB015 – Sbírka úloh 1.3 Definice s více definičními rovnostmi
Př. 1.2.4 Zjistěte (bez použití interpretu), na co se vyhodnotí následující výraz. Poté všech sedm
funkcí přepište do prefixového tvaru a pomocí interpretu ověřte, že se hodnota výrazu
nezměnila.
5 + 7 * 5 `mod` 3 `div` 2 == 3 * 2 - 1
Př. 1.2.5 Do následujícího výrazu doplňte implicitní závorky a pak převeďte všechny operátory v něm
do prefixového tvaru.
2 + 2 * 3 == 2 * 4 && 8 `div` 2 * 2 == 2 || 0 > 7
1.3 Definice s více definičními rovnostmi
Také nazývána definice podle vzoru podle toho, že smysluplná definice s více definičními
rovnostmi musí využívat různé vzory v různých definičních rovnostech.
Př. 1.3.1 Definujte funkci logicalAnd :: Bool -> Bool -> Bool, která se chová stejně jako funkce
logické konjunkce tak, abyste v definici
a) využili podmíněný výraz,
b) nepoužili podmíněný výraz.
Nesmíte využít žádné logické funkce definované v Haskellu.
Př. 1.3.2 Definujte funkci isSmallVowel :: Char -> Bool, která rozhodne, jestli je dané písmeno
malou samohláskou anglické abecedy. Znakové literály se v Haskellu píší do apostrofů,
například literál znaku 𝑎 se v Haskellu zapíše jako 'a'.
Jindřiška varuje: V Haskellu, na rozdíl od například Pythonu (a mnoha dalších
skriptovacích jazyků), je rozdíl mezi věcmi uzavřenými mezi apostrofy '...' a uvozovkami
"...". Mezi apostrofy je uzavřen vždy jeden znak (typu Char), zatímco
mezi uvozovkami se jedná o řetězec (typ String; řetězec se skládá ze znaků).
Př. 1.3.3 Naprogramujte funkci solveQuad :: Double -> Double -> Double -> (Double,
Double), která vezme na vstupu koeficienty a, b, c a vyřeší kvadratickou rovnici
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 s reálným řešením. Připomeňme, jak se počítá kvadratická rovnice:
• Pokud 𝑎 ≠ 0, je třeba spočítat diskriminant 𝑑 = 𝑏2
−4𝑎𝑐 a řešení jsou −𝑏−
√
𝑑
2𝑎 a −𝑏+
√
𝑑
2𝑎 .
Tato řešení vraťte ve dvojici (může se stát, že řešení budou stejná, vždy však musíme
vrátit dvojici).
• Pokud 𝑎 = 0, pak jde o lineární rovnici a výsledek je 𝑥 = − 𝑐
𝑏 , vraťte dvě identické
hodnoty ve dvojici.
• Situaci, kdy diskriminant vychází záporný či 𝑎 = 𝑏 = 0 neřešte (vůbec tento případ
nezohledňujte).
V řešení vhodně využijte více definičních rovností a lokální definice.
solveQuad 1 0 (-1) ∗
(-1.0, 1.0)
solveQuad 0 2 2 ∗
(-1.0, -1.0)
solveQuad 1 (-6) 5 ∗
(1.0, 5.0)
Př. 1.3.4 Naprogramujte funkci parallelToAxis, která o úsečce zadané souřadnicemi bodů v rovině
rozhodne, jestli je rovnoběžná s jednou ze souřadnicových os roviny. Můžete předpokládat,
že vstup skutečně představuje úsečku, tedy že vstupní body jsou různé.
16
IB015 – Sbírka úloh 1.4 Základní typy
Poznámka: Vyhněte se funkcím fst a snd a použijte výhradně vzory.
parallelToAxis :: (Integer, Integer) -> (Integer, Integer) -> Bool
parallelToAxis (0, 0) (1, 1) ∗
False
parallelToAxis (1, 1) (1, 4) ∗
True
parallelToAxis (16, 42) (12, 19) ∗
False
parallelToAxis (4, 2) (9, 2) ∗
True
Př. 1.3.5 Vzpomeňte si na příklad 1.1.6 a zkuste jej napsat pomocí více definičních rovností.
1.4 Základní typy
Pan Fešák doporučuje: Příkaz GHCi :t je dobrý pro kontrolu, ale je vždy lepší
být si schopen určit typy sám. A stejně tak je dobré u funkcí typy vždy psát. Tím si
procvičujete přemýšlení v typech a budete moci plně využít toho, že vám je Haskell
umí kontrolovat, a může tak poznat rozdíl mezi vaší představou o tom, co má funkce
dělat (reflektovanou v typu, který jste napsali), a co skutečně dělá (což je reflektované
v typu, který si GHC odvodí).
Př. 1.4.1 Nalezněte příklady hodnot následujících typů:
a) Bool
b) Integer
c) Double
d) False
e) (Int, Integer)
f) (Integer, Double, Bool)
g) ()
h) ((), (), ())
Př. 1.4.2 Určete typy následujících výrazů, zkontrolujte si řešení pomocí interpretu.
a) True
b) "True"
c) not True
d) True || False
e) True && ""
f) f 1, kde funkce f je definovaná jako
f :: Integer -> Integer
f x = x * x + 2
g) f 3.14, kde f je definovaná stejně jako v části f)
h) g 3 8, kde g je definovaná jako
g :: Int -> Int -> Int
g x y = x * y - 6
Př. 1.4.3
1.4.3
Určete typ následujících funkcí, které jsou definovány předpisem:
a) implication a b = not a || b
b) foo _ "42" = True
foo 'a' _ = True
foo _ _ = False
c) ft True x y = False
ft x y z = y
17
IB015 – Sbírka úloh 1.4 Základní typy
Př. 1.4.4 Naprogramujte funkci isDivisibleBy :: Integral a => a -> a -> Bool, která pro
dvě celá čísla x a y rozhodne, zda je x dělitelné y.
Integral a => je omezení na typy, které lze dosadit za typovou proměnnou a.
V tomto případě za a lze dosadit celočíselné typy, například Int, Integer. Obdobně
například omezení Num a => znamená, že za typovou proměnnou a lze dosadit číselný
typ (třeba Integer nebo Double).
Jindřiška varuje: U operací dělení (a zbytek po dělení ) je nutné rozlišovat operace
pracující s celými čísly (div a mod) a dělení desetinných čísel (/).
Př. 1.4.5 Vysvětlete, jak je možné, že výrazy (3 / 2) a (15 / 3) vyprodukují desetinné číslo i přes
to, že jejich argumenty jsou celá čísla, zatímco výraz (3 + 2) vyprodukuje celé číslo.
Poznámka: Může se vám hodit podívat se na typy různých aritmetických operací.
*
*
*
Na konci cvičení byste měli zvládnout:
► ovládat základní příkazy interpretu GHCi a prakticky je využívat;
► otypovat jednoduché výrazy a funkce;
► vytvářet jednoduché funkce pracující s čísly a pravdivostními hodnotami;
► vytvářet funkce s více definičními rovnostmi;
► prakticky umět využít podmíněný výraz if a lokální definice pomocí
let ... in ... nebo where.
18
Cvičení 2: Rekurze a seznamy
Před druhým cvičením je nezbytné umět:
► porozumět zápisu typu funkce, včetně polymorfních funkcí a základních typových
tříd;
► vytvářet funkce s více definičními rovnostmi;
► zapisovat seznamy pomocí výčtu prvků, tj. například [1, 2, 10];
► používat základní funkce pro práci se seznamy, tj. například
(:) :: a -> [a] -> [a]
(++) :: [a] -> [a] -> [a]
head :: [a] -> a
tail :: [a] -> [a]
► používat základní vzory pro seznamy, tj. například [], (x:xs), [x], [x, y].
Etudy
Etuda 2.η.1 Určete typy následujících seznamů. Nejprve intuitivně, následně je ověřte v interpretu.
a) ["a", "b", "c"]
b) ['a', 'b', 'c']
c) "abc"
d) 'a' : 'b' : 'c' : []
e) [(True, ()), (False, ())]
f) [(++) "a" "b", "X" ++ "Y"]
g) [(&&), (||)]
h) []
i) [[]]
j) [[], [True]]
Etuda 2.η.2 Bez použití jakýchkoli knihovních funkcí definujte funkci isEmpty typu [a] -> Bool, která
pro prázdný vstupní seznam vrátí True a pro neprázdný vrátí False.
Etuda 2.η.3 Bez použití knihovních funkcí napište funkci myHead typu [a] -> a, která vrátí první
prvek zadaného neprázdného seznamu, a funkci myTail typu [a] -> [a], která pro zadaný
neprázdný seznam vrátí tentýž seznam bez prvního prvku.
Etuda 2.η.4 Napište funkci neck :: a -> [a] -> a, která vrátí druhý prvek zadaného seznamu, případně
„náhradní“ prvek, je-li zadaný seznam prázdný nebo jednoprvkový. Nevyužívejte
knihovní funkce, pouze vlastní funkce s vhodným použitím vzorů.
Etuda 2.η.5 Pro následující vzory a seznamy určete, které vzory mohou reprezentovat které seznamy.
Stanovte, jak se navážou proměnné ze vzoru.
• Vzory: [], x, [x], [x, y], (x : s), (x : y : s), [x : s], ((x : y) : s)
• Seznamy: [1], [1, 2], [1, 2, 3], [[]], [[1]], [[1], [2, 3]]
Etuda 2.η.6 Bez použití funkcí mod, div, even a odd naprogramujte rekurzivní funkci isEven, která pro
dané nezáporné celé číslo rozhodne, jestli je sudé. Určete i její typ. Záporná čísla neřešte.
Nejprve se zamyslete: jak se dá určit sudost čísla na základě sudosti menšího čísla?
19
IB015 – Sbírka úloh 2.1 Rekurze na číslech
Protože zadání omezuje vstupy na nezáporná čísla, nemusíte se chováním funkce
na záporných vstupech trápit. Pro zajímavost si ale zkuste funkci se záporným
argumentem vyhodnotit a chování vysvětlit. Pro násilné zastavení nekončícího výpočtu
použijte klávesovou zkratku Ctrl + C (mnemotechnická pomůcka: cancel).
Vyzkoušejte si i rozdíl mezi isEven -1 a isEven (-1) a vysvětlete jej.
2.1 Rekurze na číslech
Př. 2.1.1 Bez použití knihovní funkce mod naprogramujte rekurzivně funkci mod3, která pro dané
nezáporné celé číslo vypočítá jeho zbytek po dělení 3. Nezapomeňte uvést i její typ.
Například:
mod3 0 ∗
0
mod3 5 ∗
2
mod3 7 ∗
1
mod3 9 ∗
0
*
*
*
Typové třídy. Minule jsme viděli, že v typových signaturách funkcí pracujících
s čísly se nemusíme omezovat jen konkrétní typy (jako Integer), ale můžeme využívat
typové třídy, které nám dovolí do funkcí předávat hodnoty různých, ale v něčem
podobných typů. Vzpomeňte si na typovou třídu Num pro libovolná čísla a Integral
pro celočíselné typy. Například předchozí funkce by mohla mít obecnější typ
mod3 :: Integral i => i -> i
nebo dokonce
mod3 :: (Integral i1, Integral i2) => i1 -> i2
V následujících příkladech již na vhodných místech místo konkrétních (tzv. monomorfních)
číselných typů používejte polymorfní typy omezené typovými třídami.
Jeden z obvyklých případů, kde se přesto používá monomorfní Int, jsou různé indexy,
počty a délky.
Pan Fešák doporučuje: Informace o typových třídách a v nich definovaných
funkcích můžeme zjistit pomocí příkazu :i v GHCi. Např.
> :i Fractional
class Num a => Fractional a where
(/) :: a -> a -> a
recip :: a -> a
fromRational :: Rational -> a
{-# MINIMAL fromRational, (recip | (/)) #-}
-- Defined in ‘GHC.Real’
instance Fractional Float -- Defined in ‘GHC.Float’
instance Fractional Double -- Defined in ‘GHC.Float’
To nám říká, že typová třída Fractional obsahuje funkce (/), recip
a fromRational, že do ní patří typy Float a Double a že je-li něco ve třídě
Fractional, pak je to nutně také ve třídě Num. Krom toho nám tento výpis také
dává informace o tom, které funkce bychom minimálně museli implementovat,
pokud bychom chtěli do této třídy nějaký nový typ přidat.
20
IB015 – Sbírka úloh 2.1 Rekurze na číslech
Chceme-li zjistit, zda jde nějaký kontext, například (Num a, Floating a) zjednodušit,
potřebujeme zjistit, zda některá z těchto typových tříd vyžaduje některou
další. V tomto případě bude potřeba navíc jít přes mezikrok:
class Fractional a => Floating a where {- ... -}
class Num a => Fractional a where {- ... -}
Tedy pokud je nějaký typ ve Floating, musí být nutně ve Fractional a tedy i v Num.
Kontext tedy zjednodušíme na Floating a.
Př. 2.1.2
2.1.div
Bez použití knihovní funkce div naprogramujte rekurzivně funkci div3, která dané nezáporné
celé číslo celočíselně vydělí třemi. Nezapomeňte uvést typ s vhodnou typovou třídou.
Například:
div3 0 ∗
0
div3 5 ∗
1
div3 7 ∗
2
div3 9 ∗
3
Př. 2.1.3 Implementujte rekurzivní funkci pro výpočet faktoriálu a určete její typ.
Př. 2.1.4 Definujte funkci power takovou, že power x n se pro nezáporné celé číslo n vyhodnotí na
x na n-tou. Všimněte si, že x nemusí být celé číslo. Začněte napsáním typové signatury
s vhodnými typovými třídami. Příklad vyhodnocení:
power 3 1 ∗
3
power 3 2 ∗
9
power 3 3 ∗
27
power 3 0 ∗
1
power 0 3 ∗
0
power 0.5 3 ∗
0.125
*
*
*
Predikát je funkce vracející Bool podle vlastností svých argumentů.
Př. 2.1.5 Napište predikát isPower2, který o zadaném přirozeném čísle rozhodne, jestli je mocninou
dvojky. Nezapomeňte funkci otypovat s využitím vhodné typové třídy. Mohou se vám hodit
funkce even a odd. Například:
isPower2 0 ∗
False
isPower2 1 ∗
True
isPower2 2 ∗
True
isPower2 6 ∗
False
isPower2 8 ∗
True
isPower2 9 ∗
False
Nápověda: Mocnina dvojky je dvojnásobkem jiné mocniny dvojky.
Př. 2.1.6 Definujte funkci digitsSum, která po aplikaci na kladné celé číslo vrátí jeho ciferný součet.
Nezapomeňte na typ. Můžete použít funkce div a mod. Například:
digitsSum 123 ∗
6
digitsSum 103 ∗
4
Př. 2.1.7 Napište funkci mygcd, která po aplikaci na dvě kladná celá čísla vrátí jejich největšího
společného dělitele. Nepoužívejte funkci gcd. Pokuste se o co nejefektivnější implementaci.
mygcd 18 10 ∗
2
mygcd 9 27 ∗
9
mygcd 4 16 ∗
4
mygcd 15 8 ∗
1
Př. 2.1.8 Naprogramujte funkci primeDivisors, která rozhodne, součinem kolika prvočísel je zadané
kladné číslo. Můžete použít funkce div a mod. Například:
21
IB015 – Sbírka úloh 2.2 Rekurze na seznamech
primeDivisors 3 ∗
1
primeDivisors 4 ∗
2
primeDivisors 5 ∗
1
primeDivisors 6 ∗
2
primeDivisors 8 ∗
3
primeDivisors 12 ∗
3
primeDivisors 15 ∗
2
primeDivisors 1 ∗
0
Př. 2.1.9 Definujte funkce plus a times, které budou ekvivalentní operátorům (+) a (*) na přirozených
číslech. Nepoužívejte vestavěné (+) ani (*). Můžete však používat libovolné
jiné funkce, doporučujeme podívat se zejména na funkce pred a succ (jejich typ je ve
skutečnosti o něco obecnější, ale můžete uvažovat, že to je Integral i => i -> i).
Bonus: implementujte funkce plus' a times', které budou fungovat na všech celých
číslech.
Př. 2.1.10 Co počítá následující funkce? Jak se chová na argumentech, kterými jsou nezáporná čísla?
Jak se chová na záporných argumentech?
fun 0 = 0
fun n = fun (n - 1) + 2 * n - 1
2.2 Rekurze na seznamech
Př. 2.2.1 Napište nerekurzivní funkci, která na začátek zadaného seznamu čísel vloží hodnotu 42.
Jaký má vaše funkce typ? Nezapomeňte na existenci typových tříd!
Př. 2.2.2 Bez použití knihovní funkce last definujte funkci getLast :: [a] -> a, která vrátí
poslední prvek neprázdného seznamu.
Př. 2.2.3 Bez použití funkce init definujte funkci stripLast typu [a] -> [a], která pro neprázdný
seznam vrátí tentýž seznam bez posledního prvku.
Př. 2.2.4 Bez použití knihovní funkce length definujte funkci len :: [a] -> Integer, která spočítá
délku zadaného seznamu.
Př. 2.2.5
2.2.nth
Napište funkci nth :: Int -> [a] -> a, která ze zadaného seznamu vrátí prvek na pozici
určené prvním argumentem funkce. Počítá se od nuly. Můžete předpokládat, že vstupní
seznam má dostatečnou délku. Nepoužívejte knihovní funkce. Například:
nth 0 [4, 3, 5] ∗
4
nth 1 [4, 3, 5] ∗
3
nth 2 [4, 3, 5] ∗
5
nth 2 "Get Schwifty" ∗
't'
*
*
*
Typová třída Eq sdružuje typy, jejichž hodnoty můžeme porovnávat operátory (==) a
(/=). Tuto typovou třídu potřebujeme i pro využití vzorů s konkrétními hodnotami
čísel (typová třída Num negarantuje Eq, Integral však již ano).
Př. 2.2.6 Napište funkci contains :: Eq a => [a] -> a -> Bool, která vrací True, pokud seznam
v prvním argumentu obsahuje prvek zadaný druhým argumentem, jinak vrací False.
Nepoužívejte funkci elem a jí podobné. Například:
contains [1, 2, 3, 4] 42 ∗
False
[1, 2, 3] `contains` 2 ∗
True
[] `contains` () ∗
False
22
IB015 – Sbírka úloh 2.2 Rekurze na seznamech
"TEAM" `contains` 'I' ∗
False
Př. 2.2.7 Napište funkci containsNtimes typu Eq a => Integer -> a -> [a] -> Bool takovou,
že containsNtimes n x xs bude True právě tehdy, když seznam xs obsahuje alespoň n
výskytů hodnoty x. Například:
containsNtimes 2 42 [1, 2, 42] ∗
False
containsNtimes 2 42 [1, 42, 2, 42] ∗
True
containsNtimes 3 42 [1, 42, 2, 42] ∗
False
containsNtimes 0 42 [1, 2] ∗
True
containsNtimes 2 'l' "Haskell" ∗
True
Př. 2.2.8 Mějme neprázdný seznam typu [(String, Integer)], který reprezentuje seznam jmen
studentů s jejich počty bodů z předmětu IB015. Naprogramujte
a) funkci getPoints :: String -> [(String, Integer)] -> Integer, která vrátí
počet bodů studenta se jménem zadaným v prvním argumentu (nebo 0, pokud takový
student v seznamu není),
b) funkci getBest :: [(String, Integer)] -> String, která vrátí jméno studenta
s nejvíce body.
Například tedy:
getPoints "Stan" [("Kyle", 30), ("Eric", 42), ("Stan", 20)] ∗
20
getPoints "Tomas" [("Kyle", 30), ("Eric", 42), ("Stan", 20)] ∗
0
getBest [("Kyle", 30), ("Eric", 42), ("Stan", 20)] ∗
"Eric"
Př. 2.2.9
2.2.app
Napište funkci append :: [a] -> [a] -> [a], jejíž výsledek pro dva seznamy bude
seznam, který vznikne zřetězením těchto dvou seznamů. Nepoužívejte knihovní operátor
(++). Například:
append [1, 2] [3, 4, 8] ∗
[1, 2, 3, 4, 8]
append [] [3, 4] ∗
[3, 4]
append [3, 4] [] ∗
[3, 4]
append "Legen" "dary" ∗
"Legendary"
Nápověda: [1,2] ++ [3,4] = [1,2,3,4] = 1:2:3:4:[] = 1:2:[3,4]
Př. 2.2.10 Napište funkci pairs :: [a] -> [(a, a)], která bere prvky ze vstupního seznamu po
dvou prvcích a vytváří seznam dvojic těchto prvků. Pokud má seznam lichý počet prvků,
poslední prvek se zahodí. Například:
pairs [4, 8, 15, 16, 23] ∗
[(4, 8), (15, 16)]
pairs [4, 8, 15, 16, 23, 42] ∗
[(4, 8), (15, 16), (23, 42)]
pairs "Humphrey" ∗
[('H', 'u'), ('m', 'p'), ('h', 'r'), ('e', 'y')]
Př. 2.2.11 Napište následující funkce pracující se seznamy čísel pomocí rekurze a vzorů:
a) listSum :: Num n => [n] -> n, která dostane seznam čísel a vrátí součet všech
jeho prvků.
b) oddLength :: [a] -> Bool, která vrátí True, pokud je seznam liché délky, jinak
False (bez použití funkce length).
c) add1 :: Num n => [n] -> [n], která každé číslo ve vstupním seznamu zvýší o 1,
d) multiplyN :: Num n => n -> [n] -> [n], která každé číslo ve vstupním seznamu
vynásobí prvním argumentem funkce,
e) deleteEven :: Integral i => [i] -> [i], která ze seznamu čísel odstraní všechna
sudá čísla,
23
IB015 – Sbírka úloh 2.2 Rekurze na seznamech
f) deleteElem :: Eq a => a -> [a] -> [a], která ze seznamu odstraní všechny
výskyty hodnoty zadaného prvním argumentem,
g) largestNumber :: [Integer] -> Integer, vrátí největší číslo ze zadaného neprázdného
seznamu čísel,
h) listsEqual :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool, která dostane na vstup dva seznamy
a vrátí True právě tehdy, když se rovnají (bez použití funkce (==) na seznamy),
i) multiplyEven :: [Integer] -> [Integer], která vezme seznam čísel a vrátí seznam,
který bude obsahovat všechna sudá čísla původního seznamu vynásobená 2
(lichá čísla vynechá),
j) sqroots :: [Double] -> [Double], která ze zadaného seznamu vybere kladná čísla
a ta odmocní (může se vám hodit funkce sqrt).
Př. 2.2.12
2.2.every
Napište funkci everyNth :: Integer -> [a] -> [a] takovou, že seznam everyNth n xs
bude obsahovat každý 𝑛-tý prvek ze seznamu xs. Například:
everyNth 2 [6, 8, 1, 3, 2, 5, 7] ∗
[6, 1, 2, 7]
everyNth 3 [6, 8, 1, 3, 2, 5, 7] ∗
[6, 3, 7]
everyNth 4 [6, 8, 1, 3, 2, 5, 7] ∗
[6, 2]
everyNth 1 [6, 8, 1, 3, 2, 5, 7] ∗
[6, 8, 1, 3, 2, 5, 7]
everyNth 2 "BoJack Horseman" ∗
"BJc osmn"
Př. 2.2.13 Napište funkci brackets :: String -> Bool, která dostane řetězec složený ze znaků '('
a ')' a rozhodne, jestli se jedná o korektní uzávorkování. Například:
brackets "(()())" ∗
True
brackets "(()()" ∗
False
brackets "())()" ∗
False
brackets "())(" ∗
False
brackets "" ∗
True
Př. 2.2.14 Zadefinujte predikát palindrome, který o řetězci na vstupu rozhodne, jestli je palindrom.
Napište také funkci palindromize, která ze zadaného řetězce udělá palindrom tak, že na
jeho konec doplní co nejméně znaků. Tedy například:
palindrome "lol" ∗
True
palindrome "ABBA" ∗
True
palindrome "brienne" ∗
False
palindromize "brienne" ∗
"brienneirb"
Př. 2.2.15 Napište funkci getMiddle :: [a] -> a, která pro zadaný neprázdný seznam vrátí jeho
prostřední prvek bez zjišťování jeho délky. Pokud má seznam sudý počet prvků, vraťte
levý z prostředních dvou. Například:
getMiddle [1] ∗
1
getMiddle [2, 1] ∗
2
getMiddle [2, 1, 5] ∗
1
getMiddle [2, 1, 5, 6] ∗
1
getMiddle [2, 1, 5, 6, 3] ∗
5
getMiddle "Don't blink!" ∗
' '
Nápověda: Pokud zajíc běží dvakrát rychleji než želva, pak v okamžiku, kdy zajíc vyhrál
závod, je želva v polovině trati.
*
*
*
Na konci druhého cvičení byste měli umět:
► definovat vlastní rekurzivní funkce pracující s celými čísly;
24
IB015 – Sbírka úloh 2.2 Rekurze na seznamech
► pracovat se seznamy a definovat na nich funkce s více definičními rovnostmi a
použitím vzorů;
► definovat rekurzivní funkce na seznamech;
► použít v typech svých funkcí základní typové třídy jako Num a Eq.
25
Cvičení 3: Funkce vyšších řádů,
λ-funkce, částečná aplikace,
skládání
Před třetím cvičením je zapotřebí znát:
► lokální definice pomocných funkcí pomocí klauzule where
power :: Int -> Int
power x = result
where result = x * x
► chování funkcí
map :: (a -> b) -> [a] -> [b]
filter :: (a -> Bool) -> [a] -> [a]
zip :: [a] -> [b] -> [(a, b)]
zipWith :: (a -> b -> c) -> [a] -> [b] -> [c]
► zápis anonymních funkcí pomocí λ-abstrakce, tj. například \x y -> x + y
► co je částečná aplikace;
► použití operátoru (.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> (a -> c) pro skládání
unárních funkcí;
Etudy
Etuda 3.η.1 Slovně vysvětlete, co dělají knihovní funkce map a filter. Pro jaký účel byste použili kterou
z nich? Jaký je rozdíl mezi výsledkem vyhodnocení map even [1, 3, 2, 5, 4, 8, 11]
a filter even [1, 3, 2, 5, 4, 8, 11]?
Pan Fešák připomíná: Lambda je řecké písmeno (λ; velká lambda je Λ). V teorii
programování se používá pro uvození anonymní funkce a proto se těmto funkcím říká
lambda funkce. Protože písmeno λ není na běžných klávesnicích, používá se místo
něj v Haskellu \.
Etuda 3.η.2 Naprogramujte funkci oddify :: Integral a => [a] -> [a], která projde vstupní seznam
čísel a čísla, která nejsou lichá, přemění na lichá. Použijte funkci map, nebo filter.
Může se vám také hodit lambda funkce.
Například:
oddify [1, 2, 3, 4] ∗
[1, 3, 3, 5]
Etuda 3.η.3 S využitím funkce oddify z předchozího příkladu 3.η.2 naprogramujte funkci
inputWithOddified :: Integral a => [a] -> [(a, a)], která pro vstupní seznam čísel
vrátí seznam dvojic, kde první složka odpovídá prvku ze vstupního seznamu a druhá
složka výstupu funkce oddify. Například:
26
IB015 – Sbírka úloh Etudy
inputWithOddified [1, 2, 3, 4] ∗
[(1, 1), (2, 3), (3, 3), (4, 5)]
Etuda 3.η.4 Bez použití interpretu určete hodnoty následujících výrazů:
a) (head . head) [[1,2,3], [4, 5, 6]]
b) ((\(x:xs) -> xs) . head) "ahoj"
c) let g x = x : [x] in g 10
d) (last . last) [[1, 2], [3, 4], []]
e) let f g x = (g . g) x in f (+ 21) 0
Pokud výraz nelze vyhodnotit, určete přesně, která část výpočtu selhává a proč.
Etuda 3.η.5 Vysvětlete rozdíl mezi následujícími dvojicemi výrazů:
a) (f . g) x versus g (f x)
b) (f . g) x versus f (g x)
c) (* 2) . (+ 2) versus \x -> (x + 2) * 2
d) head . head [[1], [2], [3]] versus (head . head) [[1], [2], [3]]
Doposud jsme se se bavili o 𝑛-árních funkcích, tedy o funkcích, které braly na vstupu
𝑛 argumentů a vracely nějakou hodnotu. Ve skutečnosti ale v Haskellu nemáme
funkce, které by braly více než jeden argument – jinak řečeno, funkce v Haskellu jsou
nejvýše unární. Jak je to možné?
Kouzlo tkví v jiném pohledu na funkce jako takové. Místo toho, abychom se na
funkci dívali jako na něco, co bere 𝑛 argumentů a vrátí hodnotu, se na ni můžeme
dívat jako na unární funkci, která vrátí jinou (𝑛−1)-ární funkci. Aritu potom můžeme
brát jako počet unárních funkcí, které dostaneme postupnou aplikací na argumenty.
Vezměme si například funkci
add :: Int -> Int -> Int
add x y = x + y
Doposud bychom řekli, že funkce add bere dva argumenty a ty sečte.
Pokud se na ni ale podíváme druhým způsobem, zjistíme, že typ funkce add
lze ekvivalentně zapsat jako add :: Int -> (Int -> Int), a tedy že bere jeden
argument – x – a vrací funkci, která ke svému vstupu přičte dané x.
A přesně tuto myšlenku využíváme u částečné aplikace. Díky tomu, že funkci
dáme jeden argument, zafixujeme jeho hodnotu a dostaneme funkci, která nasytí
zbytek. Potom pro nás není problém zavést si třeba funkci addTo42 jako
addTo42 :: Int -> Int
addTo42 = add 42
Tato funkce svůj vstupní argument přičte k hodnotě 42. Na tento zápis se můžeme
dívat i tak, že do addTo42 uložíme funkci, kterou nám vrátí výraz add 42.
Protože druhý pohled na funkce je Haskellu vlastní a operátory nejsou nic jiného
než funkce, mohli jsme například úlohu 2.2.1 vyřešit jako prepend42 = (:) 42.
Etuda 3.η.6 Vysvětlete, co dělají následující funkce, a najděte argumenty, na něž je lze aplikovat.
Následně si chování ověřte v GHCi.
a) take 4
b) (++) "Hello, "
c) zip3 [1, 2, 3] ["a", "b"]
d) (^ 2)
Etuda 3.η.7 Do následujících výrazů doplňte všechny implicitní závorky vycházející z částečné aplikace
funkcí. Jinak řečeno, explicitně závorkami ukažte pořadí postupného vyhodnocování čás-
27
IB015 – Sbírka úloh 3.1 Užitečné seznamové funkce & lambda funkce
tečné aplikace.
a) (==) 42 16
b) map ((==) 42) [1, 2, 3]
c) (g 4, f g 5)
d) zipWith3 f (g 4 a) xs
e) typ: Bool -> Bool -> Bool
f) typ: (a -> b -> c -> d) -> [a] -> [b] -> [c] -> [d]
g) typ: (b -> c) -> (a -> b) -> a -> c
3.1 Užitečné seznamové funkce & lambda funkce
Pan Fešák připomíná Pokud si nejste chováním některé funkce jistí, můžete ji
najít v dokumentaci. Teď se například může hodit najít si seznamové funkce jako
map a filter.
Př. 3.1.1 Naprogramujte funkci filterOutShorter :: [String] -> Int -> [String], která pro
vstupní seznam řetězců a zadané číslo n, vrátí seznam řetězců obsahující pouze ty, které
mají délku alespoň n. Využijte knihovní funkci filter a vhodnou lambda funkci.
Př. 3.1.2 Mějme seznam typu [(String, Integer)], který obsahuje jména studentů a jejich počty
bodů z předmětu IB015. Pomocí vhodných seznamových funkcí naprogramujte
a) funkci getNames :: [(String, Integer)] -> [String], která vrátí seznam jmen
studentů,
b) funkci successfulRecords :: [(String, Integer)] -> [(String, Integer)],
která ze zadaného seznamu vybere záznamy těch studentů, kteří mají alespoň 8
bodů,
c) funkci successfulNames :: [(String, Integer)] -> [String], která ze zadaného
seznamu vybere jména studentů, kteří mají alespoň 8 bodů,
d) funkci successfulStrings :: [(String, Integer)] -> [String], která ze zadaného
seznamu vybere studenty, kteří mají alespoň 8 bodů, a vrátí seznam řetězců ve
tvaru "jmeno: xxx b" (nápověda: pro převod čísla na řetězec můžete použít funkci
show).
Tedy například pro databázi
st :: [(String, Integer)]
st = [("Finn", 5), ("Jake", 9), ("Bubblegum", 12),
("Ice King", 2), ("BMO", 15), ("Marceline", 9)]
budou požadované funkce vracet následující hodnoty:
getNames st ∗
["Finn", "Jake", "Bubblegum", "Ice King", "BMO",
"Marceline"]
successfulRecords st ∗
[("Jake", 9), ("Bubblegum", 12), ("BMO", 15),
("Marceline", 9)]
successfulNames st ∗
["Jake", "Bubblegum", "BMO", "Marceline"]
successfulStrings st ∗
["Jake: 9 b", "Bubblegum: 12 b", "BMO: 15 b",
"Marceline: 9 b"]
28
IB015 – Sbírka úloh 3.1 Užitečné seznamové funkce & lambda funkce
Pan Fešák doporučuje: Pro práci s dvojicemi se můžou hodit funkce fst a snd,
které vrací první, respektive druhou položku dvojice.
Pokud chceme s dvojicemi pracovat v lambda funkcích (nebo i pojmenovaných
funkcích), tak dává často smysl používat vzory pro dvojice.
Př. 3.1.3
3.1.mf
Které z funkcí z příkladu 2.2.11 lze elegantně naprogramovat pomocí funkce map? Které
lze elegantně naprogramovat pomocí funkce filter? Všechny tyto funkce pomocí map
a filter naprogramujte.
Př. 3.1.4 S využitím funkce map a knihovní funkce toUpper :: Char -> Char z modulu Data.Char
(tj. je třeba použít import Data.Char, na začátku souboru, nebo :m +Data.Char v interpretu)
definujte novou funkci toUpperStr, která převádí řetězec písmen na řetězec velkých
písmen. Například:
toUpperStr "i am the one who knocks!" ∗
"I AM THE ONE WHO KNOCKS!"
Př. 3.1.5 Napište funkci vowels, která dostane seznam řetězců a vrátí seznam řetězců takových, že
v každém řetězci ponechá jenom samohlásky (ale zachová jejich pořadí). Například:
vowels ["Michael", "Dwight", "Jim", "Pam"] ∗
["iae", "i", "i", "a"]
vowels ["MICHAEL", "DWIGHT", "JIM", "PAM"] ∗
["IAE", "I", "I", "A"]
Př. 3.1.6 Slovně vysvětlete, co dělají funkce zip a zipWith. Pro jaký účel byste použili kterou z nich?
Pomocí interpretu zjistěte, jak se tyto funkce chovají, pokud mají vstupní seznamy různou
délku.
Př. 3.1.7 Mějme výsledky běžeckého závodu reprezentované pomocí seznamu typu [String], který
obsahuje jména běžců seřazených od nejlepšího po nejhoršího, a seznam peněžních výher
typu [Integer] (rovněž seřazených). Naprogramujte
a) funkci assignPrizes typu [String] -> [Integer] -> [(String, Integer)],
která každému běžci, který něco vyhrál, přiřadí jeho výhru, a
b) funkci prizeTexts typu [String] -> [Integer] -> [String], která vrátí seznam
řetězců ve tvaru "jmeno: xxx Kc" pro každého běžce, který něco vyhrál.
Například:
assignPrizes ["Mike", "Dustin", "Lucas", "Will"] [100, 50] ∗
[("Mike", 100), ("Dustin", 50)]
prizeTexts ["Mike", "Dustin", "Lucas", "Will"] [100, 50] ∗
["Mike: 100 Kc", "Dustin: 50 Kc"]
Př. 3.1.8 Nahraďte v následujících výrazech _lf1/_lf2 vhodnými lambda funkcemi tak, aby výsledek
obou výrazů odpovídal uvedenému vyhodnocení. Jaká je arita vašich funkcí a jaké argumenty
berou?
Poznámka: zip3 a zipWith3 jsou obdoby funkcí zip a zipWith které ale pracují se
třemi seznamy místo dvou.
map _lf1 (zip3 [True, False, False, True, False]
[1, 2, 3, 4] [16, 42, 7, 1, 666])
∗
[1, 42, 7, 4]
zipWith3 _lf2 [7, 4, 11, 2] [5, 7, 1] [16, 5, 0, 1]
∗
[16, 7, 11]
29
IB015 – Sbírka úloh 3.1 Užitečné seznamové funkce & lambda funkce
Př. 3.1.9 Pomocí funkce zip napište funkci neighbors :: [a] -> [(a, a)], která pro zadaný
seznam vrátí seznam dvojic sousedních prvků. Například:
neighbors [3, 8, 2, 5] ∗
[(3, 8), (8, 2), (2, 5)]
neighbors [3, 8] ∗
[(3, 8)]
neighbors [3] ∗
[]
neighbors "Kree!" ∗
[('K', 'r'), ('r', 'e'), ('e', 'e'), ('e', '!')]
Př. 3.1.10 Napište funkci, která zjistí, jestli jsou v seznamu čísel některé dva sousední prvky stejné.
Úlohu zkuste vyřešit pomocí funkce zipWith.
Př. 3.1.11 Implementujte funkce myMap, myFilter a myZipWith, které se budou chovat jako knihovní
funkce map, filter a zipWith.
Př. 3.1.12 Uvažte funkci anyEven :: [Integer] -> Bool, která rozhodne, jestli je v seznamu čísel
nějaké sudé číslo, a funkci allEven :: [Integer] -> Bool, která rozhodne, jestli jsou
všechna čísla v seznamu sudá. Najděte ve standardní knihovně funkci nebo funkce, pomocí
kterých lze funkce anyEven a allEven implementovat jednoduše bez explicitního použití
rekurze.
Př. 3.1.13 Zjistěte, co dělají funkce takeWhile a dropWhile.
Př. 3.1.14 Slovně popište, co dělají následující funkce, určete jejich arity a typy:
a) \x -> 4 * x + 2
b) \x y -> x + 2 * y
c) \(x, y) -> x + y
d) \x y -> x
e) \(x, y) -> x
f) \(x:xs) -> x
Př. 3.1.15 Mějme seznam barev ve formátu RGB reprezentovaném trojicí (Int, Int, Int), kde
první složka odpovídá červené, druhá zelené a třetí modré. Dále předpokládejme, že hodnoty
v trojicích náleží do intervalu [0, 255]. Naprogramujte s využitím λ-funkcí
a) funkci blueless :: [(Int, Int, Int)] -> [(Int, Int, Int)], která vrátí seznam
barev obsahující pouze ty barvy, které neobsahují žádnou modrou složku,
b) funkci greyscale :: [(Int, Int, Int)] -> [(Int, Int, Int)], která vrátí seznam
těch barev, které jsou odstínem šedi (tj. všechny složky mají stejnou hodnotu),
c) funkci polychromatic :: [(Int, Int, Int)] -> [(Int, Int, Int)], která vrátí
seznam barev, které obsahují více než jednu nenulovou složku,
d) funkci colorsToString :: [(Int, Int, Int)] -> [String], která převede barvy
na řetězce ve formátu "r: <Int> g: <Int> b: <Int>".
Př. 3.1.16 Pomocí rekurze a funkce filter napište funkci quickSort :: [Integer] -> [Integer],
která seřadí vstupní seznam vzestupně pomocí algoritmu quick sort. Například:
quickSort [5, 3, 8, 12, 1] ∗
[1, 3, 5, 8, 12]
quickSort [5, 4, 3, 2] ∗
[2, 3, 4, 5]
quickSort [2, 2, 2] ∗
[2, 2, 2]
quickSort [2] ∗
[2]
quickSort [] ∗
[]
Pokud algoritmus quick sort neznáte, zkuste ho nastudovat například na Wikipedii.
30
IB015 – Sbírka úloh 3.2 Částečná aplikace a operátorové sekce
3.2 Částečná aplikace a operátorové sekce
Př. 3.2.1 Vysvětlete, co dělají následující funkce, a najděte argumenty, na něž je lze aplikovat.
Následně si chování ověřte v GHCi.
a) (^) 3
b) (^ 3)
c) (3 ^)
d) (- 2)
e) (2 -)
f) zipWith (+) [1, 2, 3]
g) map (++ "!")
h) / 2
Př. 3.2.2
3.3.part
Přepište v následujících definicích seznamových funkcí lambda funkce na částečnou aplikaci
tak, aby funkčnost zůstala stejná.
a) sumLists :: Num a => [a] -> [a] -> [a]
sumLists xs ys = zipWith (\x y -> x + y) xs ys
b) import Data.Char
upper :: String -> String
upper xs = map (\x -> toUpper x) xs
c) embrace :: [String] -> [String]
embrace xs = map (\x -> '[' : x) (map (\x -> x ++ "]") xs)
d) sql :: (Ord a, Num a) => [a] -> a -> [a]
sql xs lt = map (\x -> x ^ 2) (filter (\x -> x < lt) xs)
Př. 3.2.3 Které z následujících výrazů jsou ekvivalentní?
a) f 1 g 2
?
≡ f 1 (g 2)
b) (f 1 g) 2
?
≡ (f 1) g 2
c) (* 2) 3
?
≡ 2 * 3
d) (*) 2 3
?
≡ (* 3) 2
Př. 3.2.4 Rozhodněte, které z následujících výrazů jsou vzájemně ekvivalentní. Určete minimální
arity všech identifikátorů v každém výrazu (tedy určete, jakou minimálně aritu daná entita
musí mít, aby mohl být výraz korektní).
a) a f g b
b) (a f) (g b)
c) ((a f) g) b
d) a (f (g b))
e) (a f) g b
f) a f (g b)
g) a (f g b)
Pan Fešák doporučuje: Všimněte si, že na to, abychom určili ekvivalenci výrazů,
nemusíme vůbec vědět, co funkce dělají ani jaké jsou jejich typy. Podstatné je jen to,
jak funguje volání funkcí v Haskellu. Z výrazu samotného můžeme vždy určit co jsou
funkce a co jejich argumenty, přičemž argument samozřejmě může být funkčního
typu, ale to nijak neovlivňuje volání funkce, do které ho předáváme (ovlivňuje to ale
její typ).
31
IB015 – Sbírka úloh 3.3 Skládání funkcí, η-redukce, odstraňování argumentů
Př. 3.2.5 Určete, které z následujících typů jsou vzájemně ekvivalentní. Určete aritu funkcí, které
nesou tento typ a určete, zda jde o funkce vyšších řádů (tj. funkce, které berou jako
argumenty funkce). Předpokládejme, že typy A až E jsou libovolné konkrétní typy.
a) A -> B -> C -> D -> E
b) (A -> B) -> C -> D -> E
c) A -> (B -> C -> D -> E)
d) A -> B -> C -> (D -> E)
e) A -> ((B -> C) -> D -> E))
f) A -> (B -> (C -> (D -> E)))
g) (((A -> B) -> C) -> D) -> E
h) A -> (B -> C) -> D -> E
3.3 Skládání funkcí, η-redukce, odstraňování argumentů
Pan Fešák vysvětluje: Řecké písmeno η je éta (a jeho ocásek se píše pod linku, stejně
jako například u našeho j). Pojem η-redukce pochází z lambda kalkulu a představuje
odstraňování formálních argumentů. Někdy se můžete setkat také s pojmem η-konverze,
který představuje jak odebírání argumentů, tak i jejich přidávání (tam,
kde to typ dovoluje). Písmeno η bylo vybráno kvůli souvislosti s extensionalitou, tedy
s tvrzením 𝑓 = 𝑔 ⟺ ∀𝑥.(𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)).
Pan Fešák vysvětluje: Odstraněním argumentů z funkce ji převedeme na pointfree
tvar, naopak pokud funkce má v definici všechny argumenty, o nichž hovoří její typ,
je v pointwise tvaru. Onen point v těchto názvech představuje argument funkce (bod),
nikoli tečku (skládání funkcí), více naleznete na Haskell Wiki. Mezi těmito tvary lze
vždy převádět, někdy to však není vhodné či snadné, jednak kvůli čitelnosti, jednak
je obtížné odstranit argument, který je v definici funkce použit vícekrát.
Jindřiška varuje: Nic se nesmí přehánět, funkce jako (.(,)) . (.) . (,) nebo
(.) . (.) nejsou ani hezké, ani čitelné.
Př. 3.3.1 Otypujte následující výrazy:
a) map even
b) map head . snd
c) filter ((4 >) . last)
d) const const
Př. 3.3.2 Implementujte následující funkce s použitím map/filter a bez použití lambda funkcí
a vlastních pomocných funkcí – tedy použijte vhodně částečnou aplikaci a skládání funkcí.
Pracovat budeme opět se záznamy o studentech z příkladu 3.1.2, tedy s typem
[(String, Integer)].
a) countStudentsByPoints :: Integer -> [(String, Integer)] -> Int, která
spočte, kolik studentů dostalo právě počet bodů daný druhým argumentem.
b) studentNamesByPoints :: Integer -> [(String, Integer)] -> [String],
která vrátí seznam jmen studentů, kteří dostali daný počet bodů.
c) studentsStartingWith :: Char -> [(String, Integer)] -> [(String,
32
IB015 – Sbírka úloh 3.3 Skládání funkcí, η-redukce, odstraňování argumentů
Integer)], která vrátí seznam záznamů studentů, jejichž jméno začíná písmenem
daným druhým argumentem.
countStudentsByPoints 5 st ∗
1
countStudentsByPoints 9 st ∗
2
countStudentsByPoints 0 st ∗
0
studentNamesByPoints 5 st ∗
["Finn"]
studentNamesByPoints 9 st ∗
["Jake", "Marceline"]
studentsStartingWith 'J' st ∗
[("Jake", 9)]
studentsStartingWith 'B' st ∗
[("Bubblegum", 12), ("BMO", 15)]
studentsStartingWith 'X' st ∗
[]
Př. 3.3.3
3.4.comp
Přepište v následujících definicích seznamových funkcí lambda funkce pomocí skládání
funkcí, částečné aplikace nebo operátorové sekce tak, aby funkčnost zůstala stejná. Odstraňte
také formální argumenty funkcí, pokud to je smysluplné.
a) failing :: [(Int, Char)] -> [Int]
failing sts = map fst (filter (\t -> snd t == 'F') sts)
b) embraceWith :: Char -> Char -> [String] -> [String]
embraceWith l r xs = map (\x -> l : x ++ [r]) xs
(l a r neodstraňujte)
c) divisibleBy7 :: [Integer] -> [Integer]
divisibleBy7 xs = filter (\x -> x `mod` 7 == 0) xs
d) import Data.Char
letterCaesar :: String -> String
letterCaesar xs = map (\x -> chr (3 + ord x)) (filter isLetter xs)
e) zp :: (Integral a, Num b) => [a] -> [b] -> [b]
zp xs ys = zipWith (\x y -> y ^ x) xs ys
Př. 3.3.4 Mezi následujícími výrazy najděte všechny korektní a mezi nimi rozhodněte, které jsou
vzájemně ekvivalentní (vzhledem k chování na libovolných vstupech povolených typem
výrazu). Zdůvodněte neekvivalenci.
33
IB015 – Sbírka úloh 3.3 Skládání funkcí, η-redukce, odstraňování argumentů
\x -> (x * 2) > 42
(> 42) . (* 2)
flip (>) 42 . flip (*) 2
(\x -> x > 42) . (* 2)
\x -> ((> 42) . (* 2)) x
(* 2) . (> 42)
(>) 42 . (*) 2
flip (> 42) . flip (* 2)flip > 42 . flip * 2
(<) 42 . (*) 2
* 2 . > 42 (> 42) (* 2)
Př. 3.3.5 Uvažme funkci negp :: (a -> Bool) -> a -> Bool, která neguje výsledek unárních
predikátů (funkcí typu a -> Bool). Tj. funkce negp pred vrátí opačnou logickou hodnotu,
než by vrátil predikát pred na zadané hodnotě. Tedy například negp even by mělo být
ekvivalentní s odd.
a) Definujte funkci negp (můžete využít třeba funkci not).
b) Definujte funkci negp jako unární funkci (s použitím pouze jednoho formálního
parametru).
c) Definujte funkci negp bez použití formálních parametrů.
Př. 3.3.6 Pokud to je možné, přepište lambda funkce v následujících definicích pomocí skládání funkcí,
částečné aplikace nebo operátorové sekce tak, aby funkčnost zůstala stejná. Odstraňte také
formální argumenty funkcí.
import Data.Char
-- | Convert lowercase letters to numbers 0..25
l2c :: Char -> Int
l2c c = ord c - ord 'a'
-- | Convert 0..25 character codes to uppercase letters
c2l :: Int -> Char
c2l c = chr (c + ord 'A')
-- | Keep only lowercase English letters
lowAlphaOnly :: String -> String
lowAlphaOnly xs = filter (\x -> isLower x && isAscii x) xs
-- | Encrypt messages using Vigenere (one-time-pad) cipher
letterVigenere :: String -> String -> String
letterVigenere xs ks = zipWith
(\x y -> c2l ((l2c x + l2c y) `mod` 26))
(lowAlphaOnly xs)
(lowAlphaOnly ks)
Nápověda: formální argument nelze odstranit (s tím, co jsme se učili), pokud je v definici
použit vícekrát.
34
IB015 – Sbírka úloh 3.3 Skládání funkcí, η-redukce, odstraňování argumentů
K odstranění formálního argumentu v použitého vícekrát v těle funkce lze použít funkci
(<*>). Její typ je sice velice obecný (a komplikovaný), ale pro tyto účely ji můžeme
otypovat jako (<*>) :: (a -> b -> c) -> (a -> b) -> a -> c. Rovněž ji pro tyto
účely můžeme nahradit následující funkcí:
dist :: (a -> b -> c) -> (a -> b) -> a -> c
dist f g x = f x (g x)
Př. 3.3.7 Převeďte následující funkce do pointfree tvaru, neboli odstraňte formální argumenty lambda
abstrakcí:
a) \x -> (f . g) x
b) \x -> f . g x
c) \x -> f x . g
Př. 3.3.8 Převeďte následující výrazy do pointwise tvaru, neboli přidejte všechny argumenty, které
plynou z typu výrazu:
a) (^ 2) . mod 4 . (+ 1)
b) (+) . sum . take 10
c) map f . flip zip [1, 2, 3] (funkce f je definována externě)
d) (.)
Př. 3.3.9 Určete typ následujících funkcí. Přepište tyto definice funkcí tak, abyste v jejich definici
nepoužili λ-abstrakci a formální parametry (tj. chce se pointfree definice).
Pan Fešák vysvětluje: Pokud potřebuji odstranit formální parametr, jenž se
nevyskytuje v těle výrazu, pomůžu si funkcí const: pro libovolný výraz w, který
nepřidává žádná nová typová omezení, je výraz v ekvivalentní s výrazem const v w.
Tento výraz už obsahuje v těle navíc parametr w, který se dá použít pro η-redukci.
a) f x y = y
b) f x y = 3 + x
Př. 3.3.10 Převeďte následující funkce do pointfree tvaru:
a) \_ -> x
b) \x -> f x 1
c) \x -> f 1 x True
d) const x
e) \x -> 0
f) \x -> if x == 1 then 2 else 0
g) \f -> flip f x
Př. 3.3.11 Převeďte všechny níže uvedené funkce do pointfree tvaru. Při převodu třetí si pomozte
převodem druhé.
a) f1 x y z = x
b) f2 x y z = y
c) f3 x y z = z
Př. 3.3.12 Zapište v pointfree tvaru funkci g x = f x c1 c2 c3 ... cn (f je nějaká pevně daná
funkce a c1, c2, …, cn jsou konstanty).
*
*
*
35
IB015 – Sbírka úloh 3.3 Skládání funkcí, η-redukce, odstraňování argumentů
Na konci třetího cvičení byste měli umět:
► poznat, kdy je na práci se seznamy vhodné použít knihovní funkce map, filter,
zip a zipWith, a umět tyto funkce použít;
► poznat, kdy je vhodné použít lambda funkce, a umět je použít;
► použít a otypovat částečně aplikovanou funkci;
► použít a otypovat operátorové sekce;
► skládat unární funkce pomocí operátoru (.).
36
Interludium: Psaní hezkého kódu
Zanedlouho budou pocvikové odpovědníky vystřídány velkými úlohami. Ty budou kromě
automatického testování hodnoceny ještě cvičícími na kvalitu kódu. Co činí kód kvalitním,
není snadné vyjádřit, a ani to není ambicí této vsuvky. Ta vám ale může pomoci vyhnout
se nedostatkům, s nimiž se při opravování úloh setkáváme nejčastěji.
Takřka ke každému z pravidel níže by se daly najít výjimky. Jako základní přehled
tzv. antipatternů by vám tento seznam měl ale posloužit dobře a určitě je vhodné, abyste
si před odevzdáním svoje řešení ještě jednou prošli a ujistili se, že se žádných ze zde
uvedených poklesků nedopouštíte. Naopak, pokud některý z těchto vzorů ve svém kódu
máte, je celkem vysoká šance, že vám jej opravující vyčte a nezískáte tolik bodů za kvalitu.
Hodnotu typu Bool a výrazy if
Podmíněný výraz je jistě užitečný, v případě že je však jeho výsledkem pravdivostní hodnota
je často nadužíván a je vhodnější použít logické spojky. To platí obvzlášť tehdy, je-li alespoň
jednou z větví ifu konstanta True nebo False.
Nechť p a r jsou výrazy typu Bool. Následující konstrukce jsou považovány za nečitelné
a je žádoucí je nahradit, neboť jen komplikovaným způsobem popisují samotné p (nebo
not p):
• Výraz tvaru p == True je možné nahradit výrazem p.
• Podobně p == False → not p.
• if p then True else False → p.
• if p then False else True → not p.
Také v případech následujícího tvaru bude použití logické spojky čitelnější:
• if p then r else False → p && r.
• if p then True else r → p || r.
• if p then False else r → not p && r.
• if p then r else True → not p || r.
Jiným zneužitím ifu je jeho použití jako v imperativních jazycích, kde je to podmíněný
příkaz. V Haskellu se ale jedná o výraz (a odpovídá třeba operátoru ?: z jazyka C nebo
výrazu t if p else e v jazyce Python), který nemusí být nejvnějšnějším výrazem funkce.
Umožňuje nám to použít ho třeba jako parametr jiné funkce. Pokud jsou obě větve
ifu hodně podobné, zkuste společný kód „vytknout“ mimo něj:
• if p then f x z else f y z → f (if p then x else y) z
Je-li takto přepsaný kód dlouhý a nepřehledný (což dost možná bude), můžete čitelnosti
výrazně pomoci přesunutím podmíněného výrazu do lokální definice:
let w = if p then x else y
in f w z -- samozřejmě s lepším jménem než ilustračním ‚w‘
Takovéto případy se naštěstí v kódu snadno detekují a snadno přepisují.
37
IB015 – Sbírka úloh Interludium: Psaní hezkého kódu
Používání if a pomocných funkcí místo vzorů
V rekurzi je vhodné oddělit bázový případ do samostatných definičních řádků
(pokud to jde). Je to výrazně přehlednější než používat if. Uvažme následující funkci:
digitsSum :: Integral i => i -> i
digitsSum x = if x == 0 then 0 else x `mod` 10 + digitsSum (x `div` 10)
Zde je jediný bázový případ, bylo by tedy lepší funkci přepsat takto:
digitsSum' :: Integral i => i -> i
digitsSum' 0 = 0
digitsSum' x = x `mod` 10 + digitsSum' (x `div` 10)
Výhodou tohoto zápisu je, že je na první pohled vidět, co je báze a co je rekurzívní
část funkce. Obecně je většinou přehlednější používat vzory než podmínky.
Obdobně při práci se seznamy je vhodné je dekomponovat pomocí vzorů. Tedy
například místo
listSum :: Num n => [n] -> n
listSum [] = 0
listSum x = head x + listSum (tail x)
je lepší použít vzor pro neprázdný seznam:
listSum' :: Num n => [n] -> n
listSum' [] = 0
listSum' (x:xs) = x + listSum xs
O to více je tento přístup důležitý, když například zkombinujeme seznamy a ntice.
Uvažme:
larger :: Ord a => [(a, a)] -> [a]
larger [] = []
larger xs = max (fst (head xs)) (snd (head xs)) : larger (tail xs)
Tato funkce je již poměrně nepřehledná, lze ji přitom napsat i velmi krátce:
larger' :: Ord a => [(a, a)] -> [a]
larger' [] = []
larger' ((a, b) : xs) = max a b : larger' xs
To je lepší a (po troše tréningu na vzory) přehlednější. Poznámka: tuto konkrétní funkci
by bylo ještě lepší vyřešit pomocí map:
larger'' :: Ord a => [(a, a)] -> [a]
larger'' xs = map (\(x, y) -> max x y) xs
Vymýšlení kola
Nedostatky z této kategorie jsou obtížnější na detekci, neboť již vyžadují nějaký přehled
o tom, jaké funkce balík base nabízí. Rozhodně se vám tak vyplatí se alespoň přibližně
seznámit s poskytovanými funkcemi v dokumentaci. Často se může hodit zeptat se: „není
tohle natolik základní funkcionalita, že by mohla být v Prelude nebo Data.List?“. Pokud
jste se s ním doposud nesetkali, Data.List je modul, který, jak název napovídá, obsahuje
užitečné funkce pro práci se seznamy. Máte-li již zkušenost s jinými programovacími jazyky,
může být dobrým vodítkem i to, co nabízí v základu ony.
38
IB015 – Sbírka úloh Interludium: Psaní hezkého kódu
• Používání explicitní rekurze místo použití funkcí map, filter, zipWith, all,
and apod. – výrazně zhoršuje čitelnost, protože na první pohled je jasné jen to, že
funkce pracuje se seznamem. Naproti tomu použití těchto standardních funkcí spolu
s dobře pojmenovanou pomocnou funkcí nebo krátkou a čitelnou lambdou umožňuje
zápis přečíst téměř přirozeně.
– Pokud potřebujete nějaký seznam zároveň protřídit i transformovat, můžete
použít skládání map a filter, ale ještě čitelnější může být třeba použití intensionálního
zápisu seznamu, pokud už jste se s nimi seznámili.
• Definování vlastních verzí funkcí jako fst, snd, last, replicate, elem, take
apod. – zhoršuje čitelnost ostatními (tj. v tomto případě cvičícími), přidává vám
práci a zvyšuje riziko zanesení chyby.
• Konkrétní výrazy, kterých se dá elegantně zbavit:
– s == [] nebo length s == 0 → null s – tyto tři způsoby dokonce ani
nejsou ekvivalentní: první zavádí omezení, že rovnítko musí dávat smysl i pro
prvky seznamu (tedy musí být v typové třídě Eq), druhý bude na dlouhých
seznamech pomalý (a na nekonečných bude cyklit). Jedině null nebo použití
vzoru je ta správná volba.
– (n `mod` 2) == 0 → even n, obdobně pro odd n
– all (== True) → and, obdobně pro any (== True) → or.
Duplikace kódu
Jeden z nejzásadnějších prohřešků – jakmile kopírujete kód, nebo píšete velmi podobný kód
znovu, je to chyba. Místo kopírování či opakovaného programování podobných funkcionalit
byste se měli vždy zamyslet nad tím, jak vše potřebné vypočítat pomocí jedné funkce, které
můžete přidat vhodné parametry navíc (občas může být výhodné, aby tím parametrem byla
funkce). Tuto funkci je také třeba vhodně pojmenovat. Pozor, jen slepit dve funkce do jedné,
kde půlka vzorů řeší jednu funkčnost a druhá, velmi podobná, řeší druhou není odstranění
duplicity. Obdobně kód může být duplicitní, i když nevypadá stejně – pokud dvě funkce
dělají velmi blízké věci (či jednu lze nahradit druhou), jde o duplicitu i pokud pracují
vnitřně různě. Hlavním problémem duplicitního kódu je, že případné opravy v duplikované
části musíte dělat na více místech a že čtenář musí dekódovat více kódu.
Tento bod je součástí širšího a složitějšímu problému, kterým je vhodná dekompozice
problému na podproblémy – to je velmi rozsáhlá záležitost, kterou se naučíte postupně
především praxí a zpětnou vazbou na váš kód.
Pojmenování
Vhodné pojmenování funkcí a proměnných dramaticky přispívá k čitelnosti kódu. Pojemnování
je závislé na kontextu, ve kterém se jméno používá – pro globální entity (funkce,
proměnné, …) musíme volit velmi jasná projmenování, zatímco u lokálních funkcí si můžeme
dovolit využít toho, že už jsou v kontextu vnější funkce a volit kratší název.
U argumentů je vhodné zamyslet se nad tím, zda mají nějaký inherentní význam („student“,
„číslo účtu“…) – pak je třeba volit vypovídající názvy, či zda se jedná o nespecifické
entity (typicky u argumentů polymorfních funkcí jako je map) – pak stačí jednopísmenná
zkratky, např. x pro hodnotu, xs pro seznam či f pro funkci.
39
IB015 – Sbírka úloh Interludium: Psaní hezkého kódu
Nadbytečná výřečnost
Programy v Haskellu je často možné napsat velice úsporně a zároveň čitelně. Je pochopitelné,
že než se s funkcionálním programováním spřátelíte, napíšete sem tam něco delším způsobem,
než by bylo možné. Najít rovnováhu mezi přílišnou stručností a extrémní explicitností
není vůbec jednoduchý úkol, ale některých konkrétních chyb si můžete poměrně snadno
všimnout:
• Závorky navíc – obzvláště snaha o volání funkcí jako v Pythonu ((last(ys))
== (head(xs))) vede k nečitelnému kódu. U funkcí s více parametry to navíc volání
funkcí v Pythonu přestane připomínat: max(a)(0). Přípustné varianty jsou
last ys == head xs, max a 0 nebo a `max` 0.
– Neznamená to však, že se musíte zbavovat úplně všech syntakticky nadbytečných
závorek. Ve výrazech s velkým množstvím infixových operátorů naopak psaní
i některých závorek neměnících pořadí vyhodnocení přináší zlepšení čitelnosti
– v začátcích je naprosto v pořádku si nepamatovat, zda má vyšší prioritu &&,
nebo ==.
– Závorek může být příliš mnoho, i když žádné nejsou, syntakticky řečeno, navíc.
Příliš velká úroveň zanoření se zkrátka špatně čte, takže pokud máte vnořeny
třeba čtvery závorky, možná by bylo vhodnější nějakou část vytáhnout do lokální
definice nebo pomocné funkce.
• Redundantní vzory – není potřeba navazovat seznam na (x:xs), pokud ho vzápětí
celý předhodíme funkci map. Navíc je pak potřeba vzor pro prázdný seznam.
• Redundantní ošetřování krajních případů – typicky zbytečné „zdvojení“ dna
rekurze (pro mocnění stačí případy 0 a n, je zbytečné ošetřovat 1 zvlášť) nebo vzor
navíc pro prázdný seznam, s nímž by si filter poradil stejně dobře.
• Nepoužití vzorů – pokud ve funkci bereme x a následně všude píšeme fst x
a snd x, nejspíš by bylo vhodnější použít rovnou vzor (x, y).
– Pokud ale zároveň potřebujeme pracovat s celou dvojicí zároveň, není to tak
jasné. Můžeme si vypomoci zvláštní syntaxí pro tyto účely: t@(x, y) naváže
na x a y prvky dvojice a na t celou dvojici. Jen pozor, že na místě t může být
jen proměnná, ne komplikovanější vzor.
• Lambda-funkce místo (jednoduché) částečné aplikace/složení – používání
lambda-funkcí je hezké, ale v opravdu jednoduchých případech to bez nich může vypadat
lépe. Například (\x -> x ^ 2 - 3) je pro většinu lidí čitelnější než (subtract
3) . (^2), ale použít (\x y -> x + y) místo (+) smysl nemá.
• Opakování podvýrazů – pro zkrácení a zpřehlednění slouží lokální definice (where,
let … in) nebo, pokud se výraz opakuje ve více funkcích, pomocné funkce.
• Zbytečné komentáře – krátké a jasné funkce, jako třeba getPid (i, _, _) = i,
nepotřebují vůbec žádný komentář. Rozhodně není potřeba doslova popisovat funkci
(„Vrací první prvek trojice ProcessInfo“). U zadaných funkcí taky není žádoucí
parafrázovat zadání. Naopak se může hodit popsat argumenty a výsledek (není-li to
zřejmé třeba z jejich názvu) nebo hlavní myšlenku složitější funkce.
A pak jsou tu drobnosti, které nutně nevadí, ale vždycky potěší, když v kódu nejsou:
40
IB015 – Sbírka úloh Interludium: Psaní hezkého kódu
• Pojmenování argumentu, ačkoli není použit – obvykle se na místě nepoužívaných
argumentů píše podtržítko.
• Nepoužití η-redukce na vhodných místech. Například pokud funkce jen třídí
vstupní seznam funkcí filter. Naopak převádět všechno násilně do point-free tvaru,
jen aby bylo možné η-redukovat, čitelnosti velmi škodí.
K odhalení některých chyb se dají použít varování překladače/interpretu. Buď při
spouštění můžete použít přepínač -Wall, nebo v interpretu příkaz :set -Wall. Místo
all se dá použít konkrétní varování. Doporučujeme třeba:
unused-matches (nepoužité nepodtržítkové formální argumenty)
unused-binds (nepoužité funkce a lokální definice)
incomplete-patterns (nedostatečné pokrytí vzory)
overlapping-patterns (řádek definice se nikdy nepoužije; zapnutý implicitně)
Bílá místa a formátování
Čím byste naopak šetřit neměli, jsou mezery a zalomení řádků. Považuje se za samozřejmost
psát mezery kolem operátorů, protože se to mnohem snáze čte.
Haskell vám dovoluje mezerami okrášlit kde co. Třeba v kostrách úloh si můžete
povšimnout, že testovací data jsou úhledně zapsána na několik řádků. Vašemu oku může
(a nemusí) lahodit třeba i zarovnávání vzorů pod sebe:
zip [] _ = []
zip _ [] = []
zip (x:xs) (y:ys) = (x, y) : zip xs ys
(Můžete si všimnout, že ve vzorech kolem dvojtečky mezery nepíšeme, ale v definici
ano. Přísně vzato je to nekonzistentní, ale je to obecně přijímaná konvence, pokud jsou
proměnné ve vzorech krátké.)
Dlouhé řádky rozhodně rozdělujte na více kratších; pokud možno tak, aby to dávalo
smysl a například oddělovalo argumenty funkce. Jakýkoli řádek delší než 120 znaků si téměř
jistě zaslouží zalomit, ale například podmíněné výrazy se leckomu lépe čtou zalomené bez
ohledu na délku větví. Nezapomínejte taky na rozumné odsazování. Například
sgn x = if x < 0
then -1
else if x > 0
then 1
else 0
Potřebujete-li popsat argumenty funkce, využijte toho, že i typová signatura může
zabírat víc řádků (primárně je však vhodné volit hezké názvy argumentů):
formatDouble :: Bool -- always print sign
-> Bool -- scientific mode
-> Int -- max. decimal digits
-> Double
-> String
41
IB015 – Sbírka úloh Interludium: Psaní hezkého kódu
Zkrátka a dobře – nebojte se využívat mezer a řádkových zlomů k tomu, aby byl váš
kód pěkný nejen myšlenkou, ale i čistě vizuálně.
Odsazujte vždy jedině mezerami. Interpret vás na použití tabulátorů i sám upozorní.
Je tomu tak proto, že místy je Haskell velmi vybíravý, co se velikosti odsazení týče.
Například všechny lokální definice v jednom bloku let nebo where musí začínat ve
stejném sloupci, a „sloupec“ je s tabulátory ošemetný pojem.
Neefektivní kód
Při psaní kódu je záhodno se zamýšlet i nad efektivitou jeho vyhodnocování. Při práci se
seznamy nezapomeňte, že se nejedná o pole jako v jazycích C nebo Python, ale o jednosměrně
zřetězený seznam, takže téměř všechny operace mají lineární složitost (vzhledem k délce
vstupu) – vždy (nebo v nejhorším případě) se musí projít celý seznam. Výjimkami jsou
v podstatě pouze operace přidávání a odebírání ze začátku seznamu, které mají konstantní
složitost. Pokud například v rekurzívní funkci zjišťujeme v každém kroku délku vstupního
seznamu, dostaneme funkci s nejméně kvadratickou složitostí.4
Jako příklad si představme funkci piz, která se chová jako zip, ovšem zarovnává seznam
od konce: z delšího seznamu se zahodí prvky ze začátku, ne z konce. Tedy
piz [1,2] [3,4,5] ∗
[(1,4), (2,5)]
Mohlo by nás napadnout něco takového (bázové případy vynechány):
piz xs ys = piz (init xs) (init ys) ++ [(last xs, last ys)]
Takové řešení je vcelku pěkně čitelné a je z něj jasné, co funkce dělá, nicméně má
kvadratickou složitost5
. To má hned několik příčin: init má lineární složitost a vlastně
kopíruje celý seznam. last má lineární složitost. (++) má složitost lineární vzhledem
k délce prvního seznamu a opět jej kopíruje. Dá se přitom dosáhnout lineární složitosti.
Možným řešením je převést pomocí funkce reverse problém tak, abychom mohli použít
funkci zip:
piz xs ys = reverse $ zip (reverse xs) (reverse ys)
Funkce reverse má také lineární složitost, ale stačí ji použít třikrát. To je u delších
seznamů řádově lepší, nežli používat lineární funkci pro každý jeden prvek seznamu.
Ještě mnohem horší situace nastává, pokud v rekurzi opakujeme rekurzívní aplikaci
vícekrát. Pokud voláme funkci rekurzivně dvakrát na stejný podproblém, pak i obě
rekurzívní volání volají na své podproblémy tutéž funkci dvakrát a tak dále, z čehož vznikne
složitost exponenciální.
Krásně je to vidět na následující funkci na deduplikaci prvků v seznamu:
unique :: Eq a => [a] -> [a]
unique [] = []
unique (x:xs) = if x `elem` unique xs then unique xs else x : unique xs
Vidíme, že podvýraz unique xs se opakuje. Překladač to ovšem nevidí a vyhodnocení
rekurzívní aplikace proběhne dvakrát. Nápravu zjednáme lokální definicí:
unique (x:xs) = if x `elem` uxs then uxs else x : uxs
where uxs = unique xs
4
Seznam délky 𝑛 se projde 𝑛-krát, provede se tedy 𝑛2
operací.
5
Možná si říkáte, že seznamy se přece zmenšují; a skutečně to není přesně 𝑛2
, ale něco kolem 𝑛2
2
. To je
však stále kvadratická funkce délky vstupních seznamů.
42
IB015 – Sbírka úloh Interludium: Psaní hezkého kódu
To vyřeší i problém s opakovaným výpočtem – díky líné strategii se uxs (a tedy ani
rekurzívní aplikace) zaručeně nebude vyhodnocovat vícekrát.
Podobně se zbytečné výpočty mohou opakovat i bez rekurze:
piz xs ys = zip (fst (sameSize xs ys)) (snd (sameSize xs ys))
Zde se opět stačí pomocí lokální definice zbavit opakovaného podvýrazu:
piz xs ys = zip xs' ys'
where (xs', ys') = sameSize xs ys
To je nejen efektivnější, ale také se to lépe čte. Na rozdíl od příkladu s deduplikací
se však složitost dramaticky nezměnila – obě implementace piz jsou lineární6
. Přesto má
smysl se opakovaným výpočtům vyhnout.
6
za předpokladu lineárního sameSize
43
Cvičení 4: Vlastní a rekurzivní
datové typy, Maybe
Před čtvrtým cvičením je zapotřebí:
► znát koncept datových typů:
▻ hodnotový a typový konstruktor;
▻ klíčová slova data a type a rozdíl mezi nimi;
▻ definice funkcí pomocí vzorů pro vlastní datové typy;
► znát datový typ Maybe;
► mít základní znalosti o stromech – pojmy kořen, cesta, hloubka vrcholu.
Etudy
Etuda 4.η.1 Mějme datový typ Day představující dny v týdnu definovaný níže. Definujte funkci
weekend :: Day -> Bool, která o zadaném dni určí, jestli je to víkendový den. Datový
typ Day je definován takto:
data Day = Mon | Tue | Wed | Thu | Fri | Sat | Sun
deriving (Show, Eq, Ord)
Etuda 4.η.2 Mějme následující definici:
data Object = Cube Double Double Double -- a, b, c
| Cylinder Double Double -- r, v
a) Uveďte příklady hodnot, které mají typ Object.
b) Kolik je v definici použito hodnotových konstruktorů a které to jsou?
c) Kolik je v definici použito typových konstruktorů a které to jsou?
d) Definujte funkce volume a surface, které pro hodnoty uvedeného typu počítají
objem, respektive povrch.
Příklady vyhodnocení korektně definovaných funkcí jsou:
volume (Cube 1 2 3) ∗
6.0
surface (Cylinder 1 3) ∗
25.132741228718345
V řešení můžete použít konstantu pi.
Etuda 4.η.3 Uvažte následující kód:
data Contained a = NoValue | Single a | Pair a a
data Compare a = SameContainer
| SameValue (Contained a)
| DifferentContainer
cmpContained :: Eq a => (Contained a)
-> (Maybe (Contained a))
-> (Compare a)
44
IB015 – Sbírka úloh 4.1 Vlastní datové typy
cmpContained (NoValue) (Just (NoValue)) =
(SameValue (NoValue))
cmpContained (Single x1) (Just (Single x2)) =
if (x1 == x2)
then (SameValue (Single x1))
else (SameContainer)
cmpContained (Pair x1 y1) (Just (Pair x2 y2)) =
if (x1 == x2) && (y1 == y2)
then (SameValue (Pair x1 y1))
else (SameContainer)
cmpContained _ _ = DifferentContainer
Vaším úkolem je odstranit čtrnáct párů závorek tak, aby kód stále šel zkompilovat a
zároveň si zachoval funkcionalitu.
U každého odstraňovaného páru si zkuste zdůvodnit, proč na daném místě nemusí být
explicitně uvedený, a u každého páru, který necháváte, zdůvodnit, proč na daném místě
musí zůstat.
Etuda 4.η.4 Které ze zadaných výrazů jsou korektní? U korektních výrazů rozhodněte, jestli se jedná
o hodnotu nebo o typ. U hodnot určete jejich typ a u typů uveďte příklady hodnot daného
typu. Korektnost uvažujte pouze v kontextu standardně definovaných datových typů a
funkcí (tj. těch z module Prelude), bez dalších hypotetických definic.
a) Maybe Char
b) Maybe 42
c) Just "Dance!"
d) Just Integer
e) Just Nothing
f) [Nothing, Just 4]
g) \b matters -> if b then Nothing else matters
Etuda 4.η.5 Definujte funkci safeDiv :: Integral a => a -> a -> Maybe a, která celočíselně podělí
dvě čísla a ošetří případy dělení nulou, tedy například:
safeDiv 6 3 ∗
Just 2
safeDiv 12 0 ∗
Nothing
safeDiv (-4) (-4) ∗
Just 1
Etuda 4.η.6 Naprogramujte funkci valOrDef :: Maybe a -> a -> a, která vezme Maybe-hodnotu
a výchozí hodnotu a vrátí buď hodnotu obsaženou v Maybe pokud taková existuje, nebo
výchozí hodnotu pokud je v Maybe hodnota Nothing.
Etuda 4.η.7
4.errors
Podívejte se na video shrnující některé na první pohled nejasné chybové hlášky interpretru
jazyka Haskell. Můžete k tomu použít odkaz pod číslem tohoto příkladu; vede do studijních
materiálů předmětu v ISu.
Pan Fešák doporučuje: Vlastní datové typy definované v příkladech této kapitoly
najdete připravené k použití v souboru v příloze sbírky nebo ve
studijních materiálech v ISu.
4.1 Vlastní datové typy
45
04_data.hs
IB015 – Sbírka úloh 4.1 Vlastní datové typy
Př. 4.1.1 Definujeme následující datové typy:
type WeaponsPoints = Integer
type HealthPoints = Integer
data Armor = Leather | Steel -- kožené nebo ocelové brnění
deriving (Eq, Show)
data Warrior = Warrior HealthPoints Armor WeaponsPoints
deriving (Eq, Show)
a) Uveďte příklady hodnot, které mají typ Armor a Warrior.
b) Kolik je v definici použito hodnotových konstruktorů a které to jsou?
c) Kolik je v definici použito typových konstruktorů a které to jsou?
d) Definujte funkci attack :: Warrior -> Warrior -> Warrior. Prvním parametrem
této funkce je útočník, druhým je obránce. Funkce vrací stav obránce po útoku.
Každý bod útoku útočníka způsobí snížení zdraví obránce o jedna (ne ale níž než
na nulu). Pokud používá obránce ocelové brnění, dělí se útočná síla zbraně dvěma.
Předpokládejte, že hodnoty HealthPoints a WeaponsPoints jsou nezáporné.
Příklady vyhodnocení korektně definované funkce jsou:
warrior1 = Warrior 30 Leather 30
warrior2 = Warrior 20 Steel 25
attack warrior1 warrior2 ∗
Warrior 5 Steel 25
attack warrior2 warrior1 ∗
Warrior 5 Leather 30
Př. 4.1.2
4.1.jar
Vytvořte nový datový typ Jar představující sklenici ve spíži. Každá sklenice je v jednom
z následujících stavů:
• je prázdná (EmptyJar);
• je v ní ovocná marmeláda (Jam), pamatujeme si typ ovoce, ze kterého byla vyrobena
(String);
• jsou v ní okurky (Cucumbers), o nich si nemusíme nic pamatovat, stejně se hned
snědí;
• je v ní kompot (Compote), pamatujeme si rok výroby (Int).
Vaší úlohou je pak nadefinovat funkci stale :: Jar -> Bool, která určí, jestli je
obsah dané sklenice již zkažený. Prázdné sklenice, okurky ani marmelády se nekazí (možná
je to tím, že se příliš rychle snědí), kompoty se pokazí za 10 let od zavaření (zadefinujte si
celočíselnou konstantu today, ve které budete mít aktuální rok).
Pan Fešák doporučuje: Pro úplné pochopení principů vlastních datových typů a
rozdílů mezi hodnotovými a typovými konstruktory je doporučené projít a rozumět
následujícím příkladům.
Př. 4.1.3 Identifikujte nově vytvořené typové a hodnotové konstruktory a určete jejich aritu.
a) data X = Value Int
b) data M = A | B | N M
data N = C | D | M N
c) data Ha = Hah Int Float [Hah]
46
IB015 – Sbírka úloh 4.1 Vlastní datové typy
d) data FMN = T (Int, Int) (Int -> Int) [Int]
e) type Fat = Float -> Float -> Float
f) data E = E (E, E)
Př. 4.1.4 Které deklarace datových typů jsou správné?
a) data N x = NVal (x -> x)
b) type Makro = a -> a
c) data M = N (x, x) | N Bool | O M
d) type Fun a = a -> (a, Bool) -> c
e) type Fun (a, c) (a, b) = (b, c)
f) data F = X Int | Y Float | Z X
g) data F = intfun Int
h) data F = Makro Int -> Int
i) type Val = Int | Bool
j) data X = X X X
Př. 4.1.5 Uvažte datový typ type Frac = (Int, Int), kde hodnota (a, b) představuje zlomek 𝑎
𝑏
(můžete předpokládat, že 𝑏 ≠ 0). Napište funkci nad datovým typem Frac, která
a) zjistí, jestli zadané dva zlomky představují stejné racionální číslo;
b) vrátí True, jestli zlomek představuje nezáporné číslo;
c) vypočítá součet dvou zlomků;
d) vypočítá rozdíl dvou zlomků;
e) vypočítá součin dvou zlomků;
f) vypočítá podíl dvou zlomků (ověřte, že druhý zlomek je nenulový);
g) převede zlomek do základního tvaru; Doporučujeme: zkuste si najít v dokumentaci
něco o funkci gcd.
Když budete mít všechno implementované, tak upravte funkce tak, aby byl výsledek
v základním tvaru.
Př. 4.1.6 V řetězci kaváren StarBugs prodávají jediný druh šálků kávy. Obyčejní zákazníci platí 13 𝜆
za šálek kávy a každý desátý šálek mají zdarma. Pokud si kávu kupuje zaměstnanec, má
navíc 15% slevu ze základní ceny. V případě, že si kávu kupuje student ve zkouškovém
období, platí za každý šálek 1 𝜆. Napište funkci, která spočítá výslednou cenu v závislosti
na typu zákazníka. Ale pozor! Slevový systém se často mění, aby zaujal lidi. Proto je
potřeba navrhnout funkci dostatečně obecně, aby se nemusela vždy celá přepisovat.
• Napište funkci commonPricing :: Int -> Float, která na základě počtu vypitých
šálků spočítá cenu pro běžného zákazníka.
• Napište funkci employeeDiscount :: Float -> Float, která aplikuje zaměstnaneckou
slevu na cenu pro obyčejné zákazníky.
• Napište funkci studentPricing :: Int -> Float, která na základě počtu vypitých
šálků spočítá cenu pro studenta.
• Definujte datový typ PricingType, který bude značit, zdali je nakupující obyčejný
zákazník (Common), zaměstnanec řetězce (Employee) nebo student (Student).
• Implementujte funkci
computePrice :: PricingType -> Int -> (Int -> Float)
-> (Float -> Float) -> (Int -> Float) -> Float
47
IB015 – Sbírka úloh 4.2 Konstruktor Maybe
Ta podle typu zákazníka, počtu šálků a tří funkci cp, ed a sp (common pricing,
employee discount a student pricing) spočítá výslednou cenu za nakoupené
šálky.
Při řešení se vám může hodit funkce fromIntegral. Více se o ní můžete dočíst v doku-
mentaci.
Příklady vstupů a odpovídajících výsledků:
computePrice Common 28 commonPricing employeeDiscount studentPricing
∗
338
computePrice Employee 28 commonPricing employeeDiscount studentPricing
∗
287.30002
computePrice Student 28 commonPricing employeeDiscount studentPricing
∗
28
Následující příklad je rozšířením předchozí úlohy. Doporučujeme vrátit se k němu,
pokud máte na konci cvičení čas.
Př. 4.1.7 Řetězec StarBugs z úlohy 4.1.6 se rozhodl rozšířit svůj systém slev. Ještě neví jak přesně, ale
každá cena bude buď závislá na počtu koupených šálků, nebo na běžné ceně pro obyčejné
zákazníky za daný počet šálků.
Upravte datový typ PricingType tak, aby nabízel možnosti Common (běžný zákazník),
Special (Int -> Float) (speciální druh nacenění závislý na počtu káv)
a Discount (Float -> Float) (slevový druh nacenění závislý na běžné ceně). Každá
instance tohoto typu (krom Common) tak v sobě bude nést funkci pro výpočet správné ceny.
Dále je nezbytné změnit i funkci computePrice, a to tak, že její typ bude
PricingType -> Int -> (Int -> Float) -> Float. Akceptuje druh zákazníka, počet
šálků a funkci pro výpočet běžné ceny a vrací správnou cenu za příslušný počet šálků.
Jako poslední definujte konstanty common, employee, student :: PricingType, které
reprezentují typy zákazníků ze cvičení 4.1.6.
Příklady volání a správných vyhodnocení:
computePrice common 28 commonPricing ∗
338
computePrice employee 28 commonPricing ∗
287.30002
computePrice student 28 commonPricing ∗
28
4.2 Konstruktor Maybe
Př. 4.2.1 Které ze zadaných výrazů jsou korektní? U korektních výrazů rozhodněte, jestli se jedná
o hodnotu nebo o typ. U hodnot určete jejich typ a u typů uveďte příklady hodnot daného
typu. Korektnost uvažujte pouze v kontextu standardně definovaných datových typů a
funkcí (tj. těch z module Prelude), bez dalších hypotetických definic.
a) Maybe (Just 2)
b) Just Just 2
c) Just (Just 2)
d) Maybe Nothing
e) Nothing 3
f) Just [Just 3]
48
IB015 – Sbírka úloh 4.2 Konstruktor Maybe
g) Just
Př. 4.2.2 Které ze zadaných výrazů jsou korektní? U korektních výrazů rozhodněte, jestli se jedná
o hodnotu nebo o typ. U hodnot určete jejich typ a u typů uveďte příklady hodnot daného
typu. S výrazem a pracujte jako s externě definovaným typem.
a) Maybe a
b) Just a
c) Just (\x -> x ^ 2)
d) Just Just
e) Just Just Just
Př. 4.2.3 Definujte funkci divlist :: Integral a => [a] -> [a] -> [Maybe a], s využitím typového
konstruktoru Maybe, která celočíselně podělí dva celočíselné seznamy „po složkách“
a ošetří případy dělení nulou. Tedy například
divlist [12, 5, 7] [3, 0, 2] ∗
[Just 4, Nothing, Just 3]
divlist [12, 5, 7] [3, 1, 2, 5] ∗
[Just 4, Just 5, Just 3]
divlist [42, 42] [0] ∗
[Nothing]
Př. 4.2.4 Napište funkci addVars :: String -> String -> [(String, Integer)] -> Maybe
Integer, která dostane dva názvy proměnných a seznam přiřazující hodnoty proměnným
a sečte hodnoty daných proměnných. Pokud se některá z proměnných v seznamu
nenachází, pak vraťte Nothing (v opačném případě vraťte vhodně zabalený součet).
Pro vyhledání hodnoty proměnné použijte knihovní funkci lookup :: Eq a => a ->
[(a, b)] -> Maybe b, která vyhledává podle svého prvního argumentu.
Nápověda: Zkuste nejprve vyhledat obě proměnné v seznamu proměnných a na výsledky
těchto vyhledávání aplikovat vhodnou pomocnou funkci.
addVars "x" "y" [] ∗
Nothing
addVars "x" "y" [("x", 42)] ∗
Nothing
addVars "x" "y" [("a", 0), ("y", 42)] ∗
Nothing
addVars "a" "a" [("a", 0), ("y", 42)] ∗
Just 0
addVars "x" "y" [("a", 0), ("x", 12), ("y", 30)] ∗
Just 42
Pan Fešák doporučuje: Pokud si nejste jistí, co funkce zip přesně dělá, tak se
podívejte do dokumentace.
Př. 4.2.5 Napište funkci mayZip :: [a] -> [b] -> [(Maybe a, Maybe b)], která je analogií funkce
zip. Rozdílem je, že výsledný seznam má délku rovnou delšímu ze vstupních seznamů.
Chybějící hodnoty jsou nahrazeny hodnotami Nothing.
Př. 4.2.6
4.2.summar
Uvažme, že máme následující definice typů:
data Mark = A | B | C | D | E | F | X | S deriving (Eq, Show)
type StudentName = String
type CourseName = String
data StudentResult = StudentResult StudentName CourseName (Maybe Mark)
deriving (Eq, Show)
Definujte funkci summarize :: StudentResult -> String, která pro studentský výsledek
vrátí řetězec následujícího tvaru:
• pro záznam se známkou bude tvaru "NAME has MARK from COURSE";
• v opačném případě to bude "NAME has no result from COURSE".
49
IB015 – Sbírka úloh 4.3 Rekurzivní datové typy
map summarize [StudentResult "Adam" "IA014" (Just A),
StudentResult "Jan" "IV115" Nothing,
StudentResult "Martin" "IA038" (Just X)]
∗
["Adam has A from IA014",
"Jan has no result from IV115",
"Martin has X from IA038"]
Poznámka: Připomínáme existenci funkce show :: Show a => a -> String.
4.3 Rekurzivní datové typy
Př. 4.3.1 Uvažme následující rekurzivní datový typ:
data Nat = Zero | Succ Nat deriving Show
a) Jaké hodnoty má typ Nat?
b) Jaký význam má dovětek deriving Show?
c) Nadefinujte funkci natToInt :: Nat -> Int, která převede výraz typu Nat na číslo,
které vyjadřuje počet použití hodnotového konstruktoru Succ v daném výrazu.
d) Jak byste pomocí datového typu Nat zapsali nekonečno?
Př. 4.3.2
4.3.expr
Uvažme následující definici typu Expr:
data Expr = Con Double
| Add Expr Expr | Sub Expr Expr
| Mul Expr Expr | Div Expr Expr
a) Uveďte výraz typu Expr, který představuje hodnotu 3.14.
b) Definujte funkci eval :: Expr -> Double, která vrátí hodnotu daného výrazu.
c) Ošetřete korektně dělení nulou pomocí funkce evalMay :: Expr -> Maybe Double.
Př. 4.3.3 Rozšiřte definici z předchozího příkladu o nulární hodnotový konstruktor Var, který bude
zastupovat proměnnou. Funkci eval upravte tak, aby jako první argument vzala hodnotu
proměnné a vyhodnotila výraz z druhého argumentu pro dané ohodnocení proměnné.
*
*
*
Paní Bílá vysvětluje: Binární strom (BinTree a) je struktura, která v každém
svém uzlu Node udržuje hodnotu typu a a ukazatele na své dva potomky. Hodnotový
konstruktor Empty reprezentuje prázdný strom. Používáme ho například na označení,
že v daném směru uzel nemá potomka – Node 1 Empty (Node 2 Empty Empty)
– uzel s hodnotou 1 nemá levého potomka, uzel s hodnotou 2 nemá ani jednoho
potomka.
V následujících příkladech se využívá datová struktura
data BinTree a = Empty
| Node a (BinTree a) (BinTree a)
deriving Show
Následují příklady několika stromů: jejich zápis v Haskellu a jejich struktura.
tree00 = Node 42 (Node 28 Empty Empty) Empty
50
IB015 – Sbírka úloh 4.3 Rekurzivní datové typy
42
Empty28
EmptyEmpty
tree01 = Node 4 (Node 2 (Node 1 Empty Empty) (Node 3 Empty Empty))
(Node 6 (Node 5 Empty Empty) (Node 7 Empty Empty))
4
6
7
EmptyEmpty
5
EmptyEmpty
2
3
EmptyEmpty
1
EmptyEmpty
tree02 = Node 9 Empty (Node 11 (Node 10 Empty Empty)
(Node 12 Empty Empty))
9
11
12
EmptyEmpty
10
EmptyEmpty
Empty
Prázdný strom (strom, který neuchovává žádnou hodnotu; podobně jako prázdný
seznam) vypadá následovně:
emptyTree = Empty
Empty
Př. 4.3.4 a) Nakreslete všechny tříuzlové stromy typu BinTree () a zapište je pomocí hodnotových
konstruktorů Node a Empty.
b) Kolik existuje stromů typu BinTree () s 0, 1, 2, 3, 4 nebo 5 uzly?
c) Kolik existuje stromů typu BinTree Bool s 0, 1, 2, 3, 4 nebo 5 uzly?
Pan Fešák doporučuje: V přiloženém souboru najdete taky předdefinované
stromy, které můžete použít pro testování funkcí pracujících se strukturou
BinTree.
Př. 4.3.5
4.3.tree
Pro datový typ BinTree a označíme výškou stromu počet uzlů na cestě z kořene do nejvzdálenějšího
listu. Definujte následující funkce nad binárními stromy:
a) treeSize :: BinTree a -> Int, která spočítá počet uzlů ve stromě.
51
04_data.hs
IB015 – Sbírka úloh 4.4 Další příklady
b) listTree :: BinTree a -> [a], která vrátí seznam hodnot, které jsou uložené
v uzlech vstupního stromu (na pořadí nezáleží).
c) height :: BinTree a -> Int, která určí výšku stromu.
d) longestPath :: BinTree a -> [a], která najde nejdelší cestu ve stromě začínající
v kořeni a vrátí ohodnocení na ní.
Pár příkladů vyhodnocení funkcí v této úloze:
treeSize Empty ∗
0
treeSize tree01 ∗
7
listTree tree01 ∗
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] -- Jedno z možných řešení.
listTree tree02 ∗
[9, 10, 11, 12]
height tree02 ∗
3
longestPath tree05 ∗
[100, 101, 102, 103, 104]
Př. 4.3.6 Pro datový typ BinTree a označíme výškou stromu počet uzlů na cestě z kořene do
nejvzdálenějšího listu.
a) Definujte funkci fullTree :: Int -> a -> BinTree a, která pro volání
fullTree n v vytvoří binární strom výšky n, ve kterém jsou všechny větve
stejně dlouhé a všechny uzly jsou ohodnocené hodnotou v.
b) Definujte funkci treeZip :: BinTree a -> BinTree b -> BinTree (a, b) jako
analogii seznamové funkce zip. Výsledný strom tedy obsahuje pouze ty uzly, které
jsou v obou vstupních stromech.
Př. 4.3.7 Napište treeMayZip :: BinTree a -> BinTree b -> BinTree (Maybe a, Maybe b)
jako analogii seznamové funkce mayZip z příkladu 4.2.5. Vrchol v novém stromu bude
existovat právě tehdy, pokud existuje aspoň v jednom ze vstupních stromů.
Př. 4.3.8 Uvažme datový typ BinTree a.
a) Definujte funkci isTreeBST :: (Ord a) => BinTree a -> Bool, která se vyhodnotí
na True, jestli bude její první argument validní binární vyhledávací strom (BST).
b) Definujte funkci searchBST :: (Ord a) => a -> BinTree a -> Bool, která projde
BST z druhého argumentu v smyslu binárního vyhledávání a vyhodnotí se na
True v případě, že její první argument najde v uzlech při vyhledávání.
Můžete předpokládat, že vstupní datový typ a je uspořádaný lineárně.
4.4 Další příklady
Př. 4.4.1 Uvažte typ stromů s vrcholy libovolné arity definovaný následovně:
data RoseTree a = RoseNode a [RoseTree a]
deriving (Show, Read)
Definujte následující:
a) funkci roseTreeSize :: RoseTree a -> Int, která spočítá počet uzlů ve stromě,
b) funkci roseTreeSum :: Num a => RoseTree a -> a, která sečte ohodnocení všech
uzlů stromu,
c) funkci roseTreeMap :: (a -> b) -> RoseTree a -> RoseTree b, která bere
52
IB015 – Sbírka úloh 4.4 Další příklady
funkci a strom a aplikuje danou funkci na hodnotu v každém uzlu:
roseTreeMap (+1) (RoseNode 0 [RoseNode 1 [], RoseNode 41 []])
∗
RoseNode 1 [RoseNode 2 [], RoseNode 42 []]
Př. 4.4.2 Uvažme následující definici typu LogicExpr:
data LogicExpr = Pos | Neg
| And LogicExpr LogicExpr
| Or LogicExpr LogicExpr
| Implies LogicExpr LogicExpr
| Equiv LogicExpr LogicExpr
Definujte funkci evalExpr :: LogicExpr -> Bool, která vrátí hodnotu, na kterou se
daný výraz vyhodnotí.
Př. 4.4.3 Uvažujme rekurzivní datový typ IntSet definovaný takto:
data IntSet = SetNode Bool IntSet IntSet -- Node isEnd zero one
| SetLeaf
deriving Show
Ve stromě typu IntSet každá cesta z vrcholu jednoznačně určuje binární kód složený z čísel
přechodů mezi otcem a synem (podle označení syna one respektive zero). Toho můžeme
využít pro ukládání přirozených čísel do takového stromu. Strom typu IntSet obsahuje
číslo 𝑛 právě tehdy, pokud obsahuje cestu odpovídající binárnímu zápisu čísla 𝑛, a navíc
poslední vrchol této cesty má nastavenou hodnotu isEnd na True.
Implementujte tyto funkce pro práci se strukturou IntSet:
a) insert :: IntSet -> Int -> IntSet – obdrží strom typu IntSet a přirozené číslo
𝑛 a navrátí strom obsahující číslo 𝑛.
b) find :: IntSet -> Int -> Bool – obdrží strom typu IntSet a přirozené číslo 𝑛
a vrátí True právě tehdy, pokud strom obsahuje 𝑛.
c) listSet :: IntSet -> [Int] – obdrží strom typu IntSet a navrátí seznam čísel
uložených v tomto stromě.
Př. 4.4.4 Podobná stromová struktura jako v příkladu 4.4.3 by mohla být použita i pro udržování
množiny řetězců nad libovolnou abecedou (například slova složená z písmen anglické
abecedy nebo konečné posloupnosti celých čísel). Definujte datový typ SeqSet a sloužící
pro uchovávání posloupností prvků typu a. Dále definujte obdoby funkcí ze cvičení 4.4.3:
a) insertSeq :: Eq a => SeqSet a -> [a] -> SeqSet a
b) findSeq :: Eq a => SeqSet a -> [a] -> Bool
*
*
*
Na konci cvičení byste měli zvládnout:
► tvorbu vlastních datových typů;
► využívat datový typ Maybe;
► implementovat funkce na rekurzivních datových typech, a to především na
strukturách typu strom.
53
Cvičení 5: Intensionální seznamy,
lenost, foldy
Před pátým cvičením je zapotřebí znát:
► zápisy hromadným výčtem jako [1..5], [1,3..100], [0,-2..10];
► co jsou intensionální seznamy a jak se v Haskellu zapisují (kvalifikátory, generátory,
predikáty, lokální definice), tj. například umět přečíst zápis
[ 2 * y | x <- [1,2,3,4,5], even x, let y = 2 + x ];
► co je to vyhodnocovací strategie;
► jak probíhá striktní a líné vyhodnocování;
► jak fungují akumulační funkce na seznamech, tj. funkce:
foldr :: (a -> b -> b) -> b -> [a] -> b
foldr1 :: (a -> a -> a) -> [a] -> a
foldl :: (b -> a -> b) -> b -> [a] -> b
foldl1 :: (a -> a -> a) -> [a] -> a
Etudy
Etuda 5.η.1 Pomocí intensionálního seznamu definujte funkci divisors :: Integer -> [Integer],
která k zadanému kladnému celému číslu vrátí seznam jeho kladných dělitelů (bez dupliká-
tů).
divisors 1 ∗
[1]
divisors 4 ∗
[1, 2, 4]
divisors 12 ∗
[1, 2, 3, 4, 6, 12]
Etuda 5.η.2 Uvažme bilance kreditních karet osob reprezentované seznamem dvojic (jméno vlastníka,
množství peněz). Pomocí intensionálního seznamu definujte funkci negativeCredit ::
[(String, Integer)] -> [String], která pro takový seznam karet vrátí právě ta jména,
na jejichž kartě je záporná částka.
negativeCredit [("James", 0), ("Mikael", -28), ("Eric", 18),
("Heather", 10), ("Irene", 7), ("Magnus", -4),
("Devon", -14), ("Devin", -30)]
∗
["Mikael", "Magnus", "Devon", "Devin"]
Poznámka: V řešení skutečně smysluplně použijte intensionální seznam, nepoužívejte
explicitní rekurzi ani funkce jako map a filter.
Etuda 5.η.3 Pomocí intensionálního seznamu definujte funkci allDivisibleSums, která ze zadaných
dvou seznamů celých čísel xs a ys a kladného čísla d vytvoří seznam všech možných trojic
(číslo z xs, číslo z ys, součet prvních dvou složek) splňujících, že součet je dělitelný číslem
d. Pro každou dvojici čísel počítejte součet právě jednou.
54
IB015 – Sbírka úloh Etudy
allDivisibleSums [0, 1, 2] [3, 4, 5] 3 ∗
[(0, 3, 3), (1, 5, 6), (2, 4, 6)]
allDivisibleSums [0, 1] [2, 3] 1 ∗
[(0, 2, 2), (0, 3, 3), (1, 2, 3), (1, 3, 4)]
allDivisibleSums [0, 1] [2, 3] 7 ∗
[]
Etuda 5.η.4 Definujme si typový alias UCO ekvivalentní typu Int:
type UCO = Int
Reprezentujme seznam studentů a jimi absolvovaných předmětů pomocí typu
[(UCO, [String])], kde první složka dvojice reprezentuje učo studenta a druhá složka
kódy předmětů, které daný student absolvoval.
Pomocí intensionálních seznamů (bez explicitní rekurze a funkcí jako map a filter)
napište funkce:
a) countPassed :: [(UCO, [String])] -> [(UCO, Int)], která vrátí učo každého
studenta spolu s počtem předmětů, které daný student absolvoval,
b) atLeastTwo :: [(UCO, [String])] -> [UCO], která vrátí uča studentů, kteří absolvovali
alespoň dva předměty,
c) passedIB015 :: [(UCO, [String])] -> [UCO], která vrátí uča studentů, kteří
absolvovali předmět "IB015" (může se vám hodit funkce elem),
d) passedBySomeone :: [(UCO, [String])] -> [String], která vrátí kódy předmětů,
které absolvoval alespoň jeden student (kódy se v seznamu můžou opakovat).
Pan Fešák doporučuje: Nezapomeňte, že v intensionálních seznamech lze využívat
vzory.
students :: [(UCO, [String])]
students = [(415409, []), (448093, ["IB111", "IB015", "IB000"]),
(405541, ["IB111", "IB000", "IB005", "MB151", "MB152"])]
countPassed students ∗
[(415409, 0), (448093, 3), (405541, 5)]
atLeastTwo students ∗
[448093, 405541]
passedIB015 students ∗
[448093]
passedBySomeone students ∗
["IB111", "IB015", "IB000", "IB111", "IB000",
"IB005", "MB151", "MB152"]
Etuda 5.η.5 Naprogramujte unární funkci naturalsFrom :: Integer -> [Integer], která pro vstup
n vrátí nekonečný seznam [n, n + 1, n + 2,...].
Pomocí funkce naturalsFrom definujte nekonečný seznam naturals :: [Integer]
všech přirozených čísel včetně nuly.
Pan Fešák doporučuje: Vyhodnocovat nekonečné seznamy celé není úplně praktické.
Může se vám hodit klávesová zkratka Ctrl + C , která zabije aktuální výpočet a
hlavně funkce take :: Int -> [a] -> [a], například si můžete vyhodnotit take
3 (naturalsFrom 100) ∗
[100, 101, 102].
Etuda 5.η.6 S pomocí rekurze naprogramujte funkci maxmin :: Ord a => [a] -> (a, a), která pro
zadaný seznam v jednom průchodu zjistí jeho maximum a minimum. Předpokládejte, že
vstupní seznam je neprázdný.
Nápověda: může se vám hodit pomocná funkce s tzv. akumulátorem – dodatečným
argumentem sloužícím pro postupné vytváření výsledku (v tomto případě maxima a minima
již zpracovaných hodnot).
55
IB015 – Sbírka úloh 5.1 Intensionální seznamy
maxmin [1, 2, 4, 3] ∗
(4, 1)
maxmin [42] ∗
(42, 42)
Pan Fešák doporučuje: Kostru úloh k této kapitole najdete připravené k použití
v souboru v příloze sbírky nebo ve studijních materiálech v ISu.
5.1 Intensionální seznamy
Př. 5.1.1 Reprezentujme seznam účastníků plesu pomocí typu [(String, Sex)], kde první složka
dvojice reprezentuje jméno účastníka a druhá složka pohlaví definované následujícím typem:
data Sex = Female | Male
Pomocí intensionálních seznamů napište funkci
allPairs :: [(String, Sex)] -> [(String, String)]
která pro daný seznam účastníků vrátí seznam všech možných dvojic účastníků ve tvaru
(muž, žena). Vyzkoušejte si, jak funkci definovat bez jakýchkoli instancí pro datový typ
Sex. Potom si vyzkoušejte, jaké další možnosti byste měli, pokud bychom přidali instanci
Eq Sex.
Jak ovlivňuje pořadí generátorů a kvalifikátorů ve vaší definici výsledný seznam a počet
kroků potřebných k jeho vygenerování?
allPairs [("Jeff", Male), ("Britta", Female),
("Annie", Female), ("Troy", Male)] ∗
[("Jeff", "Britta"), ("Jeff", "Annie"),
("Troy", "Britta"), ("Troy", "Annie")]
Př. 5.1.2 Intensionálním způsobem zapište následující seznamy nebo funkce:
a) [1, 4, 9, ..., k ^ 2] (pro pevně dané externě definované k)
b) funkci f, která ze seznamu seznamů vybere jenom ty delší než 3 prvky
c) "*****"
d) ["", "*", "**", "***", ...]
e) seznam seznamů [[1], [1, 2], [1, 2, 3], ...]
Př. 5.1.3
5-seznamy
Intensionálním způsobem zapište výrazy, které se chovají stejně jako následující (předpokládejte
externě definované funkce/hodnoty f, p, s, x):
a) map f s
b) filter p s
c) map f (filter p s)
d) repeat x
e) replicate n x
f) filter p (map f s)
Př. 5.1.4 Napište funkci, která ze seznamu prvků vygeneruje všechny
a) permutace,
b) variace s opakováním,
c) kombinace.
Prvky ve výsledném seznamu můžou být v libovolném pořadí. Můžete předpokládat, že
prvky vstupního seznamu jsou různé. Také se můžete v případě potřeby omezit na seznamy
s porovnatelnými prvky (tj. typu Eq a => a).
56
05_data.hs
IB015 – Sbírka úloh 5.2 Lenost, nekonečné datové struktury
Př. 5.1.5 Která z níže uvedených funkcí je časově efektivnější? Proč? Jak se uvedené funkce chovají
pro nekonečné seznamy?
• f1 :: [a] -> [a]
f1 s = [ s !! n | n <- [0, 2 .. length s] ]
• f2 :: [a] -> [a]
f2 (x : _ : s) = x : f2 s
f2 _ = []
5.2 Lenost, nekonečné datové struktury
Př. 5.2.1 Uvažte nekonečný seznam přirozených čísel naturals, který jste definovali v úvodním
příkladu 5.η.5. Mějme dále standardní funkci (!!) :: [a] -> Int -> a definovanou
následovně:
(x:xs) !! 0 = x
(x:xs) !! n = xs !! (n - 1)
Jakou hodnotu má výraz naturals !! 2? Ukažte celý výpočet, který k této hodnotě vede.
Kde se v tomto výpočtu projeví líná vyhodnocovací strategie?
Vysvětlete, jak by výpočet výrazu naturals !! 2 probíhal, kdyby Haskell používal
striktní vyhodnocovací strategii.
Př. 5.2.2 Uvažte opět seznam naturals z příkladu 5.η.5. Mějme dále funkci filter' :: (a ->
Bool) -> [a] -> [a] definovanou následovně:
filter' _ [] = []
filter' p (x : xs) = if p x then x : filter' p xs else filter' p xs
Jak se bude chovat interpret jazyka Haskell pro vstup filter' (< 3) naturals? Ověřte
svou hypotézu v interpretu a jeho chování vysvětlete.
Dále uvažte funkci takeWhile' :: (a -> Bool) -> [a] -> [a] definovanou násle-
dovně:
takeWhile' _ [] = []
takeWhile' p (x : xs) = if p x then x : takeWhile' p xs else []
Jak se bude chovat interpret jazyka Haskell pro vstup takeWhile' (< 3) naturals?
Ověřte svou hypotézu v interpretu a jeho chování vysvětlete.
Poznámka: výše uvedené funkce se chovají stejně jako standardní filter a takeWhile.
Př. 5.2.3 Jaký je význam líného vyhodnocování v následujících výrazech:
a) let f = f in fst (2, f)
b) let f [] = 3 in const True (f [1])
c) 0 * div 2 0
d) snd ("a" * 10, id)
Př. 5.2.4 Zjistěte, jak se chovají funkce zip a zipWith, pokud jeden z jejich argumentů je nekonečný
seznam.
Uvažte seznam studentů Fakulty informatiky reprezentovaný pomocí seznamu jmen
studentů [String] tak, že studenti jsou v něm seřazeni podle počtu bodů, které získali
z předmětu IB015. Napište funkci addNumbers :: [String] -> [String], která ke každému
studentovi přidá jeho pořadí ve vstupním seznamu. Například:
addNumbers ["Pablo", "Steve", "Javier", "Gustavo"] ∗
57
IB015 – Sbírka úloh 5.2 Lenost, nekonečné datové struktury
["1. Pablo", "2. Steve", "3. Javier", "4. Gustavo"]
Zkuste funkci addNumbers naprogramovat tak, aby vstupní seznam prošla právě jednou
(tedy zejména nepoužívejte funkci length).
Pan Fešák doporučuje: Vzpomeňte si na funkci show :: Show a => a ->
String.
Př. 5.2.5 S pomocí intensionálního seznamu definujte nekonečný seznam integers :: [Integer],
který obsahuje právě všechna celá čísla. Seznam integers musí splňovat, že každé celé
číslo v něm jde vygenerovat po konečném počtu kroků. Jinými slovy, pro každé celé číslo z
musí existovat i takové, že (integers !! i) == z.
Př. 5.2.6 Definujte nekonečný seznam threeSum :: [(Integer, Integer, Integer)], který obsahuje
právě ty trojice kladných čísel (x, y, z), pro které platí x + y == z. Seznam
threeSum musí splňovat, že každá taková trojice v něm jde vygenerovat po konečném
počtu kroků. Jinými slovy, pro každou trojici (x, y, z), kde x + y == z, musí existovat
i takové, že (threeSum !! i) ∗
(x, y, z).
Př. 5.2.7 Uvažte libovolný výraz a počet kroků vyhodnocení tohoto výrazu při použití líné vyhodnocovací
strategie a počet kroků při použití striktní vyhodnocovací strategie. Jaký je obecně
vztah (=, <, ≤, >, ≥, ani jedno) mezi těmito počty kroků? Jaký je obecně vztah mezi
počty kroků normální vyhodnocovací strategie a striktní vyhodnocovací strategie?
Př. 5.2.8 Jaké jsou výhody líné vyhodnocovací strategie? Jaké jsou výhody striktní vyhodnocovací
strategie?
Př. 5.2.9 Pomocí některé z funkcí iterate, repeat, replicate, cycle vyjádřete nekonečné seznamy:
a) Seznam nekonečně mnoha hodnot True.
b) Rostoucí seznam všech mocnin čísla 2.
c) Rostoucí seznam všech mocnin čísla 3 na sudý exponent.
d) Rostoucí seznam všech mocnin čísla 3 na lichý exponent.
e) Alternující seznam -1 a 1: [1, -1, 1, -1, ...].
f) Seznam řetězců ["", "*", "**", "***", "****", ...].
g) Seznam zbytků po dělení 4 pro seznam [1 ..]: [1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, ...].
Př. 5.2.10 Naprogramujte funkci differences :: [Integer] -> [Integer], která pro nekonečný
seznam [x1, x2, x3,...] vypočítá seznam rozdílů po sobě jdoucích dvojic prvků, tedy
seznam [(x2 - x1), (x3 - x2), (x4 - x3), ...].
Zkuste funkci differences naprogramovat bez explicitního použití rekurze, pomocí
funkcí zipWith a tail.
Př. 5.2.11 Naprogramujte funkci values :: (Integer -> a) -> [a], která pro zadanou funkci
f :: Integer -> a vypočítá nekonečný seznam jejích hodnot [f 0, f 1, f 2, ...].
Uvažte funkci differences z předchozí úlohy.
a) Čemu odpovídá seznam differences (values f)?
b) Čemu odpovídá seznam differences (differences (values f))?
Pomocí funkcí values, differences, zip3 a dalších vhodných funkcí na seznamech napište
funkci localMinima :: (Integer -> Integer) -> [Integer], která pro zadanou funkci
f :: Integer -> Integer vypočítá seznam hodnot, ve kterých funkce f nabývá na kladných
vstupech lokálního minima (tedy hodnot f n takových, že n > 0, f (n - 1) > f n
58
IB015 – Sbírka úloh 5.2 Lenost, nekonečné datové struktury
a zároveň f (n + 1) > f n).
Př. 5.2.12 Definujte Fibonacciho posloupnost, tj. seznam kladných celých čísel
[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...]. Můžete ji definovat jako seznam
hodnot (typ [Integer]) nebo jako funkci, která vrátí konkrétní Fibonacciho číslo
(Integer -> Integer). Jaká je ve Vaší implementaci složitost výpočtu 𝑛-tého čísla
Fibonacciho posloupnosti?
Př. 5.2.13 Pomocí rekurzivní definice a funkce zipWith vyjádřete Fibonacciho posloupnost tak, že
výpočet každého dalšího prvku proběhl v konstantním čase (tj. počet výpočetních kroků
nutný k získání dalšího čísla posloupnosti není nijak závislý na tom, kolikáté číslo to je).
Př. 5.2.14 Protože možnost definovat nekonečné seznamy není žádná magie, ale vyplývá z vlastností
vyhodnocovací strategie jazyka Haskell, není překvapivé, že lze definovat nekonečné hodnoty
i pro jiné vlastní datové typy. Vzpomeňte si na definici datového typu binárních stromů:
data BinTree a = Node a (BinTree a) (BinTree a) | Empty
deriving (Show, Eq)
Na rozdíl od nekonečných seznamů bohužel není zaručené, že při výpisu nekonečného
stromu v interpretu uvidíte dříve nebo později každý jeho prvek. Výpis totiž probíhá
do hloubky, a tudíž se nejprve vypisuje celá nejlevější větev stromu. Ta však nemusí být
konečná, takže se výpis nemusí dostat k ostatním větvím stromu.
Pro další práci s nekonečnými binárními stromy se tedy bude hodit nejprve definovat
funkci, která pro zadaný potenciálně nekonečný strom vrátí jeho konečnou část, kterou lze
vypsat celou. Definujte tedy funkci treeTrim :: BinTree a -> Integer -> BinTree a
takovou, že pro zadaný strom t a hloubku h bude výsledkem treeTrim t h konečný strom,
který obsahuje ty uzly stromu t, které jsou nejvýše v hloubce h. Vzpomeňte si, že kořen
stromu má hloubku 0. Poté definujte:
a) funkci treeRepeat :: a -> BinTree a jako analogii seznamové funkce repeat. Funkce
tedy vytvoří nekonečný strom, který má v každém uzlu zadanou hodnotu. Tedy
například
treeTrim (treeRepeat 42) 1 ∗
Node 42 (Node 42 Empty Empty) (Node 42 Empty Empty)
b) funkci treeIterate :: (a -> a) -> (a -> a) -> a -> BinTree a jako analogii
seznamové funkce iterate. Levý potomek každého uzlu bude mít hodnotu vzniklou
aplikací první zadané funkce a pravý aplikací druhé zadané funkce. Tedy například
treeTrim (treeIterate (+1) (*4) 2) 1 ∗
Node 2 (Node 3 Empty Empty) (Node 8 Empty Empty)
c) pomocí funkce treeIterate vyjádřete nekonečný binární strom depthTree typu
BinTree Integer, jehož každý uzel v sobě obsahuje svou hloubku. Tedy například
treeTrim depthTree 1 ∗
Node 0 (Node 1 Empty Empty) (Node 1 Empty Empty)
Př. 5.2.15 Definujte nějaký binární strom, který obsahuje alespoň jednu nekonečnou větev a alespoň
jednu konečnou větev.
59
IB015 – Sbírka úloh 5.3 Akumulační funkce na seznamech
Př. 5.2.16 Definujte nekonečný seznam nonNegativePairs :: [(Integer, Integer)], který obsahuje
právě všechny dvojice kladných čísel (x, y). Seznam nonNegativePairs musí
splňovat, že každá dvojice kladných čísel v něm jde vygenerovat po konečném počtu kroků.
Př. 5.2.17 Definujte nekonečný seznam positiveLists :: [[Integer]], který obsahuje právě všechny
konečné seznamy kladných čísel. Seznam positiveLists musí splňovat, že každý konečný
seznam kladných čísel v něm jde vygenerovat po konečném počtu kroků.
5.3 Akumulační funkce na seznamech
Jindřiška upozorňuje: S akumulačními funkcemi na seznamech se můžeme setkat
i ve většině imperativních programovacích jazyků. Například v Pythonu je to funkce
functools.reduce, v C++ std::accumulate a v C# metoda Aggregate. V drtivé
většině případů tyto funkce zpracovávají data ve stejném pořadí jako funkce foldl.
Pan Fešák doplňuje: Pokud si necháme v interpretru otypovat například foldr,
dozvíme se obecnější typ, než nám relativně čitelný foldr :: (a -> b -> b) ->
b -> [a] -> b. Je to dáno tím, že foldy jde v Haskellu používat i na jiné datové
struktury, než je seznam. Většina těchto datových struktur (nebo jejich fungování
s foldy) je však mimo rozsah tohoto kurzu, nám tedy bude stačit si mentálně v typech
nahradit Foldable za seznamy, například u foldl :: Foldable t => (b -> a ->
b) -> b -> t a -> b vidíme, že t je Foldable a tedy t a můžeme pro naše účely
zjednodušit na [a].
Připomeňme si, jak můžeme akumulační funkce definovat (definice v knihovně se
na seznamech chovají stejně, a to včetně chování k lenosti, mají ale obecnější typ a
mohou být trochu optimalizované):
foldr :: (a -> b -> b) -> b -> [a] -> b
foldr _ base [] = base
foldr f base (x:xs) = f x (foldr f base xs)
foldl :: (b -> a -> b) -> b -> [a] -> b
foldl _ acc [] = acc
foldl f acc (x:xs) = foldl f (f acc x) xs
foldr1 :: (a -> a -> a) -> [a] -> a
foldr1 _ [] = error "foldr1: empty list"
foldr1 _ [x] = x
foldr1 f (x:xs) = f x (foldr1 f xs)
foldl1 :: (a -> a -> a) -> [a] -> a
foldl1 _ [] = error "foldl1: empty list"
foldl1 f (x:xs) = foldl f x xs
Př. 5.3.1 Definujte následující funkce rekurzivně:
a) product' – součin prvků seznamu
b) length' – počet prvků seznamu
60
IB015 – Sbírka úloh 5.3 Akumulační funkce na seznamech
c) map' – funkci map
Co mají tyto definice společného? Jak by vypadalo jejich zobecnění (tj. funkce, pomocí
které se použitím vhodných argumentů dají všechny tyto tři funkce implementovat)?
Př. 5.3.2
5-fold
Pomocí vhodné akumulační funkce foldr, foldl, foldr1 nebo foldl1 implementujte
následující funkce. Jinými slovy, definice musí být jediný řádek tvaru funkce
argumenty = fold* ..., tedy speciálně nesmíte samostatně ošetřovat prázdný seznam.
Jindřiška varuje: Varianty foldr1 a foldl1 jsou použitelné jen pokud nepotřebujete,
aby funkce fungovala na prázdném seznamu. Tento případ však chceme pokrýt
kdykoli to rozumně lze.
a) Funkci sumFold, která vrátí součet čísel v zadaném seznamu.
sumFold :: Num a => [a] -> a
sumFold [1, 2, 4, 5, 7, 6, 2] ∗
27
b) Funkci productFold, která vrátí součin čísel v zadaném seznamu.
productFold :: Num a => [a] -> a
productFold [1, 2, 4, 0, 7, 6, 2] ∗
0
c) Funkci orFold, která vrátí True, pokud se v zadaném seznamu nachází aspoň jednou
hodnota True, jinak vrátí False.
orFold :: [Bool] -> Bool
orFold [False, True, False] ∗
True
d) Funkci lengthFold, která vrátí délku zadaného seznamu.
lengthFold :: [a] -> Int
lengthFold ["Holographic Rick", "Shrimp Rick", "Wasp Rick"] ∗
3
e) Funkci maximumFold, která vrátí maximální prvek ze zadaného neprázdného seznamu.
maximumFold :: Ord a => [a] -> a
maximumFold "patrick star" ∗
't'
Př. 5.3.3 Všechny funkce z předchozího příkladu již jsou ve standardní knihovně jazyka Haskell
implementované. Pomocí dokumentace zjistěte, jak se ve standardní knihovně jmenují.
Př. 5.3.4 Bez použití interpretru určete, jak se vyhodnotí akumulační funkce s následujícími hodnotami
a zda vyhodnocování skončí. Následně si chování určete v interpretru, dávejte ale
pozor, abyste případné nekončící výpočty včas zabili ( ctrl + c ) aby vám nedošla paměť.
a) foldr (-) 0 [1, 2, 3]
b) foldl (-) 0 [1, 2, 3]
c) foldr (&&) True (True : False : repeat True)
d) foldl (&&) True (True : False : repeat True)
Pan Fešák připomíná: Funkce foldr je takzvaný katamorfismus na seznamech.
Př. 5.3.5 Definujte funkci subtractlist, která odečte druhý a všechny další prvky neprázdného
seznamu od jeho prvního prvku, tj. subtractlist [x1, x2, ..., xn] se vyhodnotí na
x1 - x2 - ... - xn.
61
IB015 – Sbírka úloh 5.3 Akumulační funkce na seznamech
Př. 5.3.6 Uvažme funkci: foldr (.) id
a) Jaký je význam této funkce?
b) Jaký je její typ?
c) Uveďte příklad částečné aplikace této funkce na jeden argument.
d) Uveďte příklad úplné aplikace této funkce na kompletní seznam argumentů.
Př. 5.3.7 S použitím vhodné akumulační funkce definujte funkci append' :: [a] -> [a] -> [a],
která vypočítá zřetězení vstupních seznamů. Tedy funkce append' se bude chovat stejně
jako knihovní funkce (++).
Zkuste všechny výrazy použité při definici funkce append' co nejvíce 𝜂-redukovat.
Př. 5.3.8 S použitím vhodné akumulační funkce definujte funkci reverse' :: [a] -> [a], která
s lineární časovou složitostí otočí vstupní seznam (dejte si pozor na to, že operátor ++ má
lineární časovou složitost vzhledem k délce prvního argumentu).
Př. 5.3.9
5-fold
Vaší úlohou je implementovat funkci dle specifikace v zadání za použití standardních
funkcí foldr, foldl, foldr1, foldl1. Pokud není řečeno jinak, řešení by nemělo obsahovat
formální parametry – má tedy být v následujícím tvaru:
functionName = foldr (function) (term)
Jestliže je možné příklad řešit více než jednou z nabízených akumulačních funkcí, vyberte
tu, která je nejefektivnější. K většině zadání je dostupný i ukázkový výsledek na jednom
seznamu sloužící jako ilustrace.
Jindřiška varuje: Každé řešení zapisujte i s typem funkce, v některých příkladech
by bez něj nemuselo jít zkompilovat (důvod je poněkud složitější).
a) Funkce concatFold vrátí zřetězení prvků zadaného seznamu seznamů.
concatFold :: [[a]] -> [a]
concatFold ["pineapple", "apple", "pen"] ∗
"pineappleapplepen"
b) Funkce listifyFold nahradí každý prvek jednoprvkovým seznamem s původním
prvkem.
listifyFold :: [a] -> [[a]]
listifyFold [1, 3, 4, 5] ∗
[[1], [3], [4], [5]]
c) Funkce nullFold vrátí True, pokud je zadaný seznam prázdný, jinak vrátí False.
nullFold :: [a] -> Bool
nullFold ["Aang", "Appa", "Momo", "Zuko"] ∗
False
d) Funkce composeFold vezme seznam funkcí a hodnotu, a vrátí hodnotu, která vznikne
postupným aplikováním funkcí v seznamu na danou hodnotu (poslední funkce se
aplikuje jako první, první jako poslední).
composeFold :: [a -> a] -> a -> a
composeFold [(* 4),(+ 2)] 3 ∗
20
e) Funkce idFold vrátí zadaný seznam beze změny.
idFold :: [a] -> [a]
idFold ["Lorelai", "Rory", "Luke"] ∗
["Lorelai", "Rory", "Luke"]
f) Funkce mapFold vezme funkci a seznam, a vrátí seznam, který vznikne aplikací zadané
funkce na každý prvek zadaného seznamu. Pro funkci použijte formální argument.
62
IB015 – Sbírka úloh 5.3 Akumulační funkce na seznamech
mapFold :: (a -> b) -> [a] -> [b]
mapFold (+ 5) [1, 2, 3] ∗
[6, 7, 8]
g) Funkce headFold vrátí první prvek zadaného neprázdného seznamu.
headFold :: [a] -> a
headFold ["Light", "L", "Ryuk", "Misa"] ∗
"Light"
h) Funkce lastFold vrátí poslední prvek zadaného neprázdného seznamu.
lastFold :: [a] -> a
lastFold ["Edward", "Alphonse", "Winry", "Mustang"] ∗
"Mustang"
i) Funkce maxminFold vrátí maximální a minimální prvek ze zadaného neprázdného
seznamu ve formě uspořádané dvojice. V definici použijte i formální argument funkce
maxminFold, bude se Vám hodit. Funkce by měla projít zadaný seznam pouze jednou!
Vzpomeňte též na příklad 5.η.6, může vám dát nápovědu, jak problém vyřešit.
maxminFold :: Ord a => [a] -> (a, a)
maxminFold ["Lana", "Sterling", "Cyril"] ∗
("Sterling", "Cyril")
j) Funkce suffixFold vrátí seznam všech přípon zadaného seznamu (jako první bude
samotný seznam, poslední bude prázdný seznam).
suffixFold :: [a] -> [[a]]
suffixFold "abcd" ∗
["abcd", "bcd", "cd", "d", ""]
k) Funkce filterFold vezme predikát a seznam a vrátí seznam, který vznikne ze
zadaného seznamu vyloučením všech prvků, na kterých predikát vrátí False. Pro
predikát použijte formální argument.
filterFold :: (a -> Bool) -> [a] -> [a]
filterFold odd [1, 2, 4, 8, 6, 2, 5, 1, 3] ∗
[1, 5, 1, 3]
l) Funkce oddEvenFold vrátí v uspořádané dvojici seznamy prvků z lichých a sudých
pozic původního seznamu.
oddEvenFold :: [a] -> ([a], [a])
oddEvenFold [1, 2, 7, 5, 4] ∗
([1, 7, 4], [2, 5])
m) Funkce takeWhileFold vezme predikát a seznam, a vrátí nejdelší prefix seznamu,
pro jehož každý prvek vrátí predikát hodnotu True. Pro predikát použijte formální
argument.
takeWhileFold :: (a -> Bool) -> [a] -> [a]
takeWhileFold even [2, 4, 1, 2, 4, 5, 8, 6, 8] ∗
[2, 4]
n) Funkce dropWhileFold vezme predikát a seznam, a vrátí zadaný seznam bez nejdelšího
prefixu, pro jehož každý prvek vrátí predikát hodnotu True. Pro predikát použijte
formální argument.
dropWhileFold :: (a -> Bool) -> [a] -> [a]
dropWhileFold odd [1, 2, 5, 9, 1, 7, 4, 6] ∗
[2, 5, 9, 1, 7, 4, 6]
Př. 5.3.10 Definujte funkci foldl pomocí funkce foldr.
63
IB015 – Sbírka úloh 5.4 Akumulační funkce na vlastních datových typech
Př. 5.3.11 Naprogramujte funkci insert :: Ord a => a -> [a] -> [a] takovou, že výsledkem
vyhodnocení insert x xs pro uspořádaný seznam xs bude uspořádaný seznam, který
vznikne vložením prvku x na vhodné místo v seznamu xs. Například tedy:
insert 5 [1, 3, 18, 19, 30] ∗
[1, 3, 5, 18, 19, 30]
Funkci insert nemusíte implementovat pomocí akumulačních funkcí, avšak chcete-li si je
procvičit, můžete.
Pomocí funkce insert a vhodné akumulační funkce naprogramujte funkci
insertSort :: Ord a => [a] -> [a], která seřadí vstupní seznam pomocí algoritmu
řazení vkládáním (insert sort).
Př. 5.3.12 Proč je implementace funkce or (logická disjunkce všech hodnot v seznamu) pomocí funkce
foldr lepší než pomocí foldl?
Př. 5.3.13 Pomocí dokumentace a internetu zjistěte, co dělají funkce foldl' a foldl1' z modulu
Data.List. Jak se liší od funkcí foldl a foldl1? Kdy byste použili funkci foldl' místo
funkce foldl? Zamyslete se, proč knihovna neobsahuje funkci foldr'.
Př. 5.3.14 Je možné definovat funkci f tak, aby se foldl f [] s vyhodnotilo na seznam obsahující
jenom prvky ze sudých míst v seznamu s?
Je možné definovat takovou funkci ve tvaru foldEveryOther s = snd (foldl f v s)
pro vhodné hodnoty f a v?
Př. 5.3.15 Mějme funkci foldr2 definovanou následovně:
foldr2 :: (a -> a -> b -> b) -> (a -> b) -> b -> [a] -> b
foldr2 f2 f1 f0 [] = f0
foldr2 f2 f1 f0 [x] = f1 x
foldr2 f2 f1 f0 (x : y : s) = f2 x y (foldr2 f2 f1 f0 s)
Zkuste definovat funkci foldr pomocí foldr2 a funkci foldr2 pomocí foldr, nebo zdůvodněte,
proč to není možné.
5.4 Akumulační funkce na vlastních datových typech
Pan Fešák doplňuje: V tomto případě myslíme takzvané katamorfismy, tedy funkce,
které nahrazují výskyty příslušných hodnotových konstruktorů za funkce dané arity.
Katamorfismy jsou něco jiného než instance typové třídy Foldable pro daný datový
typ (těmi se tu v podstatě zabývat nebudeme, najít je můžete jedině v příkladu 5.4.7,
který je výrazně nad rámec předmětu).
Př. 5.4.1 Mějme klasický datový typ BinTree a reprezentující binární stromy, které mají v uzlech
hodnoty typu a:
data BinTree a = Node a (BinTree a) (BinTree a) | Empty
deriving (Show, Eq)
Definujte funkci treeFold, která bude analogií seznamové funkce foldr, tedy tzv.
katamorfismem na typu BinTree. Tedy volání treeFold n e t nahradí ve stromě t všechny
hodnotové konstruktory Node funkcí n a všechny hodnotové konstruktory Empty hodnotou
e. Například chceme, aby
• funkce treeFold (\v resultL resultR -> v + resultL + resultR) 0 sečetla
všechna čísla v zadaném stromě,
64
IB015 – Sbírka úloh 5.4 Akumulační funkce na vlastních datových typech
• funkce treeFold (\v resultL resultR -> v * resultL * resultR) 1 vynásobila
všechna čísla v zadaném stromě a
• funkce treeFold (\v resultL resultR -> v || resultL || resultR) False
rozhodla, jestli v zadaném stromě je alespoň jedna hodnota True.
Zkuste si před vlastní implementací rozmyslet, jaký má funkce treeFold mít typ.
Př. 5.4.2
5-treeFold
Vaší úlohou je implementovat pomocí funkce treeFold z předchozí úlohy několik funkcí,
které pracují se stromy typu BinTree a. Jestli úloha neříká jinak, řešení by mělo být bez
formálních parametrů, tedy v následujícím tvaru:
functionName = treeFold (function) (term)
Definici datového typu BinTree a, několika testovacích stromů a funkce treeFold
naleznete v souboru (dá se stáhnout i z ISu).
Ke většině úloh je dostupný i ukázkový výsledek na předem zvoleném stromě (slouží
jako ilustrace, co zadání vlastně požaduje). Kvůli přehlednosti jsou ukázkové stromy
pojmenované a jejich definice najdete až za poslední podúlohou.
a) Funkce treeSize vrátí počet uzlů v zadaném stromě.
treeSize :: BinTree a -> Int
treeSize tree01 ∗
6
treeSize tree06 ∗
5
b) Funkce treeHeight vrátí výšku zadaného stromu (poznámka: prázdný strom má
výšku 0, jednouzlový strom má výšku 1).
treeHeight :: BinTree a -> Int
treeHeight tree03 ∗
2
treeHeight tree01 ∗
3
c) Funkce treeList vrátí seznam hodnot ze všech uzlů. Nejdříve uveďte hodnoty
z levého podstromu, pak hodnotu v uzlu a následně hodnoty z pravého podstromu
(tzv. inorder procházení stromu).
treeList :: BinTree a -> [a]
treeList tree01 ∗
[5, 3, 2, 1, 4, 1]
treeList tree02 ∗
["A", "B", "C", "D", "E"]
d) Funkce treeConcat vrátí zřetězení hodnot ze všech uzlů.
treeConcat :: BinTree [a] -> [a]
treeConcat tree02 ∗
"ABCDE"
e) Funkce treeMax vrátí maximální hodnotu ze všech hodnot v uzlech. Hodnoty musí
být z typové třídy Ord a Bounded (poznámka: zkuste hodnoty minBound a maxBound).
Upozornění: Stromy, které budete používat na vyhodnocování mějte explicitně otypovány,
jinak můžete narazit na problém při kompilaci (důvod je poněkud složitější).
treeMax :: (Ord a, Bounded a) => BinTree a -> a
treeMax tree01 ∗
5
treeMax tree03 ∗
(3, 3)
f) Funkce treeFlip vrátí zadaný strom, avšak každá jeho pravá větev bude vyměněna
s příslušnou levou větví.
treeFlip :: BinTree a -> BinTree a
treeFlip tree01 ∗
Node 2 (Node 4 (Node 1 Empty Empty)
65
05_treeFold.hs
IB015 – Sbírka úloh 5.4 Akumulační funkce na vlastních datových typech
(Node 1 Empty Empty)) (Node 3 Empty (Node 5 Empty Empty))
treeConcat (treeFlip tree02) ∗
"EDCBA"
g) Funkce treeId vrátí zadaný strom v nezměněné podobě (Pozor! Stále vyžadujeme
použití funkce treeFold!).
treeId :: BinTree a -> BinTree a
treeId tree05 ∗
tree05
h) Funkce rightMostBranch vrátí seznam hodnot nejpravější větve zadaného stromu
(v nejpravější větvi nikdy „nezatáčíme doleva“).
rightMostBranch :: BinTree a -> [a]
rightMostBranch tree01 ∗
[2, 4, 1]
rightMostBranch tree02 ∗
["C", "E"]
i) Funkce treeRoot vrátí kořenový prvek zadaného stromu. Jestli je strom prázdný,
program havaruje (poznámka: můžete použít hodnotu undefined).
treeRoot :: BinTree a -> a
treeRoot tree01 ∗
2
j) Funkce treeNull zjistí, jestli je zadaný strom prázdný (podobá se funkci null pro
seznamy).
treeNull :: BinTree a -> Bool
treeNull tree01 ∗
False
treeNull tree04 ∗
True
k) Funkce leavesCount vrátí počet listů v zadaném stromě (list je každý uzel, který
nemá potomky).
leavesCount :: BinTree a -> Int
leavesCount tree01 ∗
3
leavesCount tree04 ∗
0
l) Funkce leavesList vrátí seznam hodnot z listů zadaného stromu. Preferované pořadí
listů v seznamu je zleva doprava.
leavesList :: BinTree a -> [a]
leavesList tree01 ∗
[5, 1, 1]
leavesList tree02 ∗
["B", "D"]
m) Funkce treeMap aplikuje zadanou funkci na hodnotu v každém uzlu zadaného stromu
(poznámka: funkce pracuje podobně jako map na seznamech). Výsledná funkce může
mít jeden formální parametr.
treeMap :: (a -> b) -> BinTree a -> BinTree b
treeMax (treeMap negate tree01) ∗
-1
n) Funkce treeAny zjistí, jestli alespoň jedna hodnota v zadaném stromě splňuje zadaný
predikát (tedy se na něm vyhodnotí na True). Výsledná funkce může mít jeden
formální parametr.
treeAny :: (a -> Bool) -> BinTree a -> Bool
treeAny (==10) tree01 ∗
False
treeAny even tree01 ∗
True
treeAny null tree02 ∗
False
o) Funkce treePair zjistí, jestli je v každém uzlu stromu první složka uspořádané
dvojice rovná druhé složce této dvojice.
treePair :: Eq a => BinTree (a,a) -> Bool
treePair tree03 ∗
False
66
IB015 – Sbírka úloh 5.4 Akumulační funkce na vlastních datových typech
p) Funkce subtreeSums vloží do každého uzlu zadaného stromu součet všech uzlů
podstromu určeného tímto uzlem.
subtreeSums :: Num a => BinTree a -> BinTree a
subtreeSums tree01 ∗
Node 16 (Node 8 (Node 5 Empty Empty) Empty)
(Node 6 (Node 1 Empty Empty) (Node 1 Empty Empty))
Př. 5.4.3 Mějme klasický datový typ RoseTree a reprezentující stromy libovolné arity, které mají
v uzlech hodnoty typu a:
data RoseTree a = RoseNode a [RoseTree a]
deriving Show
Definujte funkci roseTreeFold, která bude analogií seznamové funkce foldr, tedy tzv.
katamorfismem na typu RoseTree. Tedy volání roseTreeFold n e t nahradí ve stromě t
všechny hodnotové konstruktory RoseNode funkcí n. Například chceme, aby
• funkce roseTreeFold (\v sums -> v + sum sums) sečetla všechna čísla v zadaném
stromě,
• funkce roseTreeFold (\v products -> v * product products) vynásobila veškerá
čísla v zadaném stromě a
• funkce roseTreeFold (\v ors -> v || or ors) rozhodla, jestli v zadaném stromě
je alespoň jedna hodnota True.
Zkuste si před vlastní implementací rozmyslet, jaký má funkce roseTreeFold mít typ.
Př. 5.4.4 Uvažte datový typ RoseTree a a akumulační funkci roseTreeFold z předchozí úlohy.
Pomocí funkce roseTreeFold implementujte analogie všech funkcí z úlohy 5.4.2, které
ale budou tentokrát pracovat se stromy libovolné arity.
Př. 5.4.5 Mějme datový typ Nat reprezentující přirozená čísla:
data Nat = Succ Nat | Zero deriving (Eq, Show)
Definujte funkci natFold typu (a -> a) -> a -> Nat -> a, která je tzv. katamorfismem
na typu Nat. Jinými slovy funkce natFold nahrazuje všechny hodnotové konstruktory
datového typu, podobně jako funkce foldr, treeFold a roseTreeFold.
Příklady zamýšleného použití funkce nfold:
a) Funkce natFold (Succ . Succ) Zero :: Nat -> Nat zdvojnásobuje hodnotu přirozeného
čísla typu Nat.
b) Funkce natFold (1 +) 0 :: Nat -> Int převádí hodnotu typu Nat do celých čísel
typu Int.
Př. 5.4.6 Pomocí funkce natFold z minulého příkladu naprogramujte
a) funkci, která sečte dvě přirozená čísla typu Nat,
b) funkci, která rozhodne, jestli je zadané přirozené číslo typu Nat sudé a
c) funkci, která vynásobí dvě přirozená čísla typu Nat (tady se Vám možná bude hodit
některá z již naprogramovaných funkcí).
Všechny předchozí funkce zkuste naprogramovat bez převodu přirozeného čísla typu Nat
na celé číslo typu Int nebo Integer.
Př. 5.4.7 Nastudujte si, co je minimální implementace Foldable a implementujte instance
Foldable BinTree pro náš typ binárních stromů (jedná se o instanci pro typový konstruktor,
nikoli pro konkrétní či polymorfní typ, za BinTree tedy v tomto případě nemá být
parametr). Následně si ověřte, že standardní funkce sum, product, any, all, apod. fungují
nyní pro BinTree a (s vhodným a).
67
IB015 – Sbírka úloh 5.4 Akumulační funkce na vlastních datových typech
tree123 :: Num a => BinTree a
tree123 = Node 1 (Node 2 Empty Empty) (Node 3 Empty Empty)
sum tree123 ∗
6
any odd tree123 ∗
True
all odd tree123 ∗
False
foldr (:) [] tree123 ∗
[1, 2, 3]
data BinTree a = Node a (BinTree a) (BinTree a)
| Empty
deriving (Show, Eq)
*
*
*
Na konci pátého cvičení byste měli umět:
► umět použít intensionální seznamy pro generování nových seznamů ze zadaných
seznamů;
► poznat, kdy se dá zadaný problém vyřešit pomocí intensionálních seznamů;
► umět pomocí intensionálních seznamů definovat nekonečné seznamy;
► použít líné vyhodnocování k práci s nekonečnými seznamy;
► umět použít nekonečné seznamy v praxi;
► použít akumulační funkce na jednoduché operace na seznamech jako součet
všech prvků, maximum seznamu a podobně;
► poznat, kdy je možné problém jednoduše vyřešit pomocí akumulačních funkcí
a také vybrat akumulační funkci, která pro tento účel bude vhodná.
68
Cvičení 6: Manipulace s funkcemi,
typy, opakování
Před šestým cvičením je zapotřebí znát:
► typy základních entit v Haskellu (čísel, řetězců, seznamu, n-tic);
► základní typové třídy (pro čísla, desetinná čísla, porovnatelné a seřaditelné
typy, zobrazitelné typy);
► použití operátoru (.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> (a -> c) pro skládání
(unárních) funkcí;
► co je částečná aplikace;
► základní funkce pro manipulace s čísly a seznamy, včetně základních funkcí
vyšších řádů nad seznamy;
► definice a používání vlastních datových typů, včetně rekurzivních;
► znalost pojmů hodnotový a typový konstruktor.
Na cvičení si prosím přineste papír a tužku, budou se hodit.
Pan Fešák doporučuje: Na tomto cvičení se vám bude hodit tužka a papír ještě
více než obvykle. Cílem cvičení na papír je procvičit si přemýšlení nad jednotlivými
koncepty, bez spoléhání se na interpret.
Pro tohle cvičení si potřebujeme zavést následující dva pojmy.
Definice 6.1: totální funkce. Funkce v Haskellu je totální právě tehdy, když pro
libovolný platný vstup vyprodukuje v konečném čase výstup typu požadovaného její
typovou signaturou. Platným vstupem se rozumí takový, který lze vyhodnotit bez
pádu či zacyklení.
Například:
• funkce (||) :: Bool -> Bool -> Bool je totální, protože pro libovolné vstupy
vrátí platnou hodnotu typu Bool;
• funkce head :: [a] -> a není totální, protože existuje hodnota [], pro niž
tato funkce vyhodí chybu, a tedy nevrátí hodnotu;
• níže uvedená funkce isEven není totální, protože pro záporná čísla neskončí.
isEven :: Integral a => a -> Bool
isEven 0 = True
isEven 1 = False
isEven x = isEven (x - 2)
69
IB015 – Sbírka úloh Etudy
Funkce v Haskellu obecně totální nejsou. To je jeden z rozdílů mezi funkcemi
v Haskellu a funkcemi v matematice (a v předmětu Matematické základy informatiky),
kde je funkce bez přídomku totální a pokud potřebujeme, můžeme odlišit parciální
funkce. Z hlediska matematických základů je tedy například výše uvedená isEven
parciální (pro definiční obor celých čísel, který odpovídá typu Integer).
Poznámka: Všimněte si, že pro funkce pracující s nekonečnými strukturami se
nám situace komplikuje, protože často nechceme vyžadovat konečný běh (například
protože vytváříme nekonečnou strukturu). Při úvahách o totálnosti v tomto předmětu
si však vystačíme bez uvažování nekonečných struktur.
Definice 6.2: chováním různé funkce. Funkce f a g označíme za chováním
různé, pokud existuje alespoň jeden vstup na němž se jejich výstup liší. Pokud nejsou
funkce chováním různé, pak jsou chováním stejné (také sémanticky ekvivalentní ).
Například:
• funkce and a foldr (&&) True jsou chováním stejné;
• funkce (||) a (&&) jsou chováním různé, protože existuje vstup (například
True False), pro který se jejich výstupy liší.
Etudy
Etuda 6.η.1 Určete nejobecnější typy výrazů. Neuvádějte typové třídy, které jsou již implikovány jinými
typovými třídami. Můžete použít interpret k zjištění typů knihovních funkcí a závislostí
mezi typovými třídami.
a) not True
b) []
c) ["", []]
d) [True, []]
e) [1, 2, 3.14]
f) [1, 2, True]
g) filter (\x -> x > 5) [1, 2, 4, 8]
h) \x -> show (x ^ x)
i) \x -> read x + 2
j) \x -> (fromIntegral x :: Double)
Etuda 6.η.2 Určete typy následujících funkcí:
a) swap (x, y) = (y, x)
b) swapIf True (x, y) = (y, x)
swapIf _ (x, y) = (x, y)
c) sayLength [] = "empty"
sayLength x = "nonempty"
d) aOrX 'a' _ = True
aOrX _ x = x
70
IB015 – Sbírka úloh Etudy
Pan Fešák připomíná: V případě, že chci otypovat funkci definovanou s více
definičními rovnicemi, otypuji každou definiční rovnost zvlášť a pak unifikuji typy
argumentů na odpovídajících pozicích a typy návratových hodnot. Tedy hledám
dosazení za proměnné tak, aby oba typy byly stejné, bez toho, abych zbytečně
konkretizoval typové proměnné, u kterých to není nutné.
Unifikace typů v Haskellu funguje v podstatě stejně jako unifikace termů v Prologu.
Rozdíl je v tom, že Haskell dělá kontrolu sebevýskytu, protože bez ní by mohly
vznikat nekonečné typy.
Etuda 6.η.3 Napište všechny chováním různé (definice 6.2) totální funkce (definice 6.1) typu
Bool -> Bool.
Etuda 6.η.4 S použitím standardních funkcí z modulů Prelude, Data.List a Data.Char naprogramujte
následující funkce bez použití vlastních pomocných funkcí, explicitní rekurze a případných
zakázaných funkcí nebo konstrukcí.
a) nth :: [a] -> Int -> a, která vrátí n-tý prvek seznamu (pokud existuje, jinak
může libovolně selhat). Bez použití funkce (!!) :: [a] -> Int -> a.
[1, 4, 16] `nth` 2 ∗
16
[1..] `nth` 10 ∗
11
b) firstUppercase :: String -> Char, která vrátí první velké písmeno ze svého
vstupu, nebo '-', pokud tam žádné není.
firstUppercase "ahoj Světe!" ∗
'S'
firstUppercase "ahoj" ∗
'-'
c) everyNth :: [a] -> Int -> [a], která pro daný (potenciálně nekonečný) seznam
vrátí seznam obsahující jeho prvky na pozicích dělitelných druhým argumentem.
everyNth [1, 2, 3, 4, 5] 2 ∗
[1, 3, 5]
everyNth "ahoj" 10 ∗
"a"
everyNth [0..] 10 ≈ [0, 10..]
Poznámka: poslední příklad není vyhodnocení, ale ekvivalence ve smyslu, že oba
výrazy se vyhodnotí na stejný seznam (v tomto případě nekonečný).
d) Pokud jste to tak už neudělali, naprogramujte everyNth i bez použití lambda funkcí.
Místo nich použijte skládání funkcí (formální argumenty samotné funkce everyNth
neodstraňujte, bylo by to velmi náročné).
Etuda 6.η.5 Definujte funkci binmap :: (a -> a -> b) -> [a] -> [b], která je obdobou map, ale
aplikuje danou funkci vždy na dva po sobě následující prvky tak, že prvek na pozici 𝑖 ve
výsledném seznamu vznikne z prvků 𝑖 a 𝑖 + 1 vstupního seznamu. Výstupní seznam je tedy
o jeden prvek kratší (nebo prázdný, pokud byl vstupní seznam prázdný).
binmap (,) [1, 2, 3, 4] ∗
[(1, 2), (2, 3), (3, 4)]
binmap (-) [14, 12, 8, 3, 1] ∗
[2, 4, 5, 2]
binmap (+) [1] ∗
[]
binmap (+) [] ∗
[]
71
IB015 – Sbírka úloh 6.1 Typy a typové třídy
Pan Fešák doporučuje: Kostru úloh k této kapitole najdete připravenou k použití
v souboru v příloze sbírky nebo ve studijních materiálech v ISu.
6.1 Typy a typové třídy
Př. 6.1.1 Určete, jakou aritu mají funkce podle jejich typu. Aritou rozumíme počet argumentů, které
musíme funkci dát, aby typ výsledku nebyl funkční typ.
a) Eq a => a -> a -> a -> Bool
b) (a -> Bool) -> ([a] -> Int)
c) [Int -> Int -> Int]
d) Int -> Integer -> String -> String
e) (Int -> Integer) -> String -> String
f) Int -> Integer -> (String -> String)
g) Int -> Integer -> [String -> String]
h) (a -> b -> c) -> b -> a -> c
Př. 6.1.2 Určete typy následujících funkcí a popište slovně, co funkce dělají.
a) cm _ [] = []
cm x (y : z) = x y ++ cm x z
b) mm [] = (maxBound, minBound)
mm (x:xs) = let (a, b) = mm xs in (min a x, max b x)
c) c x y = \z -> x (y z)
Př. 6.1.3
6-typy
Bez použití interpretu určete nejobecnější typy následujících výrazů. Neuvádějte typové
třídy, které jsou implikovány jinými typovými třídami. Pokud potřebujete, můžete typy
základních funkcí zjistit pomocí interpretu či dokumentace.
a) \x y -> map y x
b) \x -> flip replicate
c) \x y -> take y [fst x, snd x]
d) \x y -> map x . filter y
e) \x y -> fromIntegral x `div` y
Př. 6.1.4 Bez použití interpretu určete aritu následujících funkcí. Aritou rozumíme počet argumentů,
které musíme funkci dát, aby typ výsledku nebyl funkční typ.
a) flip map
b) (not . null)
c) (\f p -> filter p . map f)
d) (\x -> x 1 || x 2)
e) flip (not .)
f) zipWith id
Př. 6.1.5 Napište všechny chováním různé totální funkce typu (a -> b) -> a -> b (viz definice
6.2).
72
06_data.hs
IB015 – Sbírka úloh 6.2 Opakování základních funkcí
Př. 6.1.6 Napište všechny chováním různé totální funkce typu [a] -> a (viz definice 6.2).
Př. 6.1.7 Napište všechny chováním různé totální funkce typu (a -> Maybe b) -> Maybe a ->
Maybe b (viz definice 6.2).
Př. 6.1.8 Určete typ funkce f. Jak se funkce chová na různých vstupech?
f x y True = if x > 42 then y else []
f _ (_ : s) False = s
f _ _ _ = "IB015"
Př. 6.1.9 Vysvětlete význam a najděte příklady použití následujících funkcí:
a) show :: Show a => a -> String
b) read :: Read a => String -> a
c) fromIntegral :: (Integral a, Num b) => a -> b
d) round :: (RealFrac a, Integral b) => a -> b
6.2 Opakování základních funkcí
Př. 6.2.1 Bez použití interpretu určete, jak se vyhodnotí následující výrazy, a určete rovněž jejich
nejobecnější typ (bez typových tříd, které jsou implikovány jinými typovými třídami).
a) last [42, 3.14, 16]
b) zipWith mod [3, 5, 7, 4] [4, 2, 3]
c) (concat . map (replicate 4)) ['a', 'b', 'c']
d) head (filter ((> 3) . length) ["hi!", "ahoj", "hello"])
e) cycle [3, 2, 4] !! 10
f) (head . drop 3 . iterate (^ 2)) 2
Př. 6.2.2 Uvažte následující datový typ definující zarovnání textu:
data PadMode = PadLeft
| PadRight
| PadCenter
deriving Show
Definujte funkci pad :: Int -> Char -> PadMode -> String -> String, která na
základě zadané specifikace zarovná řetězec zleva, zprava, nebo na střed (v případě, že
text nelze vycentrovat přesně, udělejte levé doplnění delší). První argument značí počet
znaků, na které se má zarovnat, druhý pak znak, kterým se doplňují kratší řetězce, a třetí
směr zarovnávání. Pokud je řetězec delší, než zadaná délka zarovnání, vrátí jej funkce
celý. V maximální míře používejte standardní funkce. Existuje řešení bez použití explicitní
rekurze.
pad 7 '-' PadLeft "ahoj" ∗
"---ahoj"
pad 7 '-' PadRight "ahoj" ∗
"ahoj---"
pad 7 '-' PadCenter "ahoj" ∗
"--ahoj-"
pad 3 '-' PadLeft "ahoj" ∗
"ahoj"
Př. 6.2.3 Redefinujte standardní funkci take za pomoci rekurze a bez použití jiných funkcí. Funkci
si nejprve celou napište bez použití interpretu, následně si ji v interpretu otestuje a
porovnejte chování vaší funkce s tou standardní. Poznámka: aby nedocházelo ke konfliktu
73
IB015 – Sbírka úloh 6.3 Vlastní datové typy
jmen, pojmenujte si svou implementaci například take'.
Př. 6.2.4
6-breaks
Naprogramujte funkci breaks :: (a -> Bool) -> [a] -> [[a]], která rozdělí seznam
podle zadaného predikátu a prvky odpovídající tomuto predikátu z výsledku vynechá. Při
řešení využijte knihovní funkci break (dokumentace).
breaks (== ' ') "ahoj svete" ∗
["ahoj", "svete"]
breaks (== ',') "a,b,,,cde,fg" ∗
["a", "b", "", "", "cde", "fg"]
breaks even [1..10] ∗
[[1], [3], [5], [7], [9]]
breaks even [1, 3, 5, 2, 7] ∗
[[1, 3, 5], [7]]
breaks even [1, 2, 2, 5] ∗
[[1], [], [5]]
6.3 Vlastní datové typy
Př. 6.3.1 Uvažte následující (parametrizovaný) datový typ stromů s ohodnocenými listy:
data BinLeafTree a = LLeaf a
| LNode (BinLeafTree a) (BinLeafTree a)
deriving (Show, Eq)
a) Uveďte alespoň dva různé příklady hodnot tohoto typu a jejich konkrétní typy.
b) Napište všechny typové a všechny hodnotové konstruktory definované touto definicí
a určete jejich arity.
c) Naprogramujte funkci ltSumEven, která sečte všechna sudá čísla ze všech listů
celočíselných stromů. Určete i její typ tak, aby byl nejobecnější možný.
Př. 6.3.2 data RoseLeafTree a = RLNode [RoseLeafTree a]
| RLLeaf a
deriving (Show, Eq)
a) Napište všechny typové a všechny hodnotové konstruktory definované touto definicí
a určete jejich arity.
b) Naprogramujte funkci countValueLeaves, která spočítá počet listů obsahujících
hodnotu (RLLeaf). Určete i její nejobecnější možný typ.
c) Naprogramujte funkci rlFilter, která je obdobou funkce filter pro tyto stromy
s tím, že pokud nějaký vrchol nemá po filtraci pod sebou žádné hodnoty, bude rovněž
vynechán (pokud se nejedná o kořen). Určete i její nejobecnější možný typ.
countValueLeaves (RLLeaf 3) ∗
1
countValueLeaves (RLNode [RLLeaf 4, RLLeaf 3, RLLeaf 2]) ∗
3
countValueLeaves (RLNode [RLNode [RLNode []], RLLeaf 42]) ∗
1
rlFilter even (RLLeaf 3) ∗
RLNode []
rlFilter even (RLNode [RLLeaf 4, RLLeaf 3, RLLeaf 2])
∗
RLNode [RLLeaf 4, RLLeaf 2]
rlFilter even (RLNode [RLLeaf 3, RLLeaf 5, RLLeaf 7])
∗
RLNode []
rlFilter even (RLNode [RLLeaf 3, RLNode [RLLeaf 5, RLLeaf 7], RLLeaf 1])
∗
RLNode []
rlFilter even (RLNode [RLLeaf 3, RLNode [RLLeaf 5, RLLeaf 7], RLLeaf 2])
74
IB015 – Sbírka úloh 6.4 Typové třídy podrobněji
∗
RLNode [RLLeaf 2]
rlFilter (< 4) (RLNode [RLLeaf 3, RLNode [RLLeaf 5, RLLeaf 7], RLLeaf 2])
∗
RLNode [RLLeaf 3, RLLeaf 2]
rlFilter (const True) (RLNode [RLNode [RLNode []], RLLeaf 42])
∗
RLNode [RLLeaf 42]
6.4 Typové třídy podrobněji
Př. 6.4.1 S pomocí příkazu :i interpretu GHCi nebo dokumentace určete vztahy mezi typovými
třídami Num, Integral, Eq, Ord, Show.
Př. 6.4.2 Uvažte datový typ představující slovníkovou položku zadefinovaný níže.
data Entry = Word String
Umožněte zobrazování hodnot tohoto typu a jejich porovnávání na rovnost. Dvě hodnoty
jsou si rovny, pokud jsou jejich řetězce identické bez ohledu na velikost písmen. Formát
výpisu zvolte sami.
Jinými slovy, napište instanci Entry pro typové třídy Show a Eq.
Nebojte se využít funkci toLower (nebo toUpper) z modulu Data.Char.
Pan Fešák doporučuje: Abyste zjistili, které funkce je potřeba implementovat,
aby se typ stal instancí typové třídy, použijte :i pro danou typovou třídu.
Například na základě dotazu :i Eq výpis začíná:
class Eq a where
(==) :: a -> a -> Bool
(/=) :: a -> a -> Bool
{-# MINIMAL (==) | (/=) #-}
Instanciací typu do typové třídy Eq tedy získáte funkce (==) a (/=). Zároveň
pro instanci je potřeba definovat buď funkci (==), nebo (/=).
Př. 6.4.3 Mějme datový typ Shape definovaný následovně:
data Shape = Circle Double
| Rectangle Double Double
| Point
deriving Show
Naprogramujte následující funkce:
• isEqual :: Shape -> Shape -> Bool, která vrátí True, právě tehdy, když jsou si
oba argumenty rovny.
• isGreater :: Shape -> Shape -> Bool, která vrátí True, pokud je první argument
větší než druhý (Shape je větší než druhý, když má větší obsah);
Př. 6.4.4 Uvažte datový typ představující semafor zadefinovaný níže.
data TrafficLight = Red | Orange | Green
Umožněte zobrazování hodnot tohoto typu, jejich vzájemné porovnávání a řazení (zelená
< oranžová < červená). Řečeno jinak, napište instanci TrafficLight pro typové třídy
75
IB015 – Sbírka úloh 6.4 Typové třídy podrobněji
Show, Eq a Ord.
Jindřiška varuje: Nezapomeňte, že funkce, které máte implementovat při psaní
instance typu pro danou typovou třídu, si můžete zobrazit pomocí :i typová třída.
Př. 6.4.5 Zadefinujme vlastní typ uspořádaných dvojic s názvem PairT. Tento typ bude mít pouze
jeden binární hodnotový konstruktor PairD (viz definice níže).
data PairT a b = PairD a b
Vytvořte instanci PairT pro typové třídy Show, Eq a Ord. Ať jsou si dvě dvojice
rovny právě tehdy, pokud jsou si rovny po složkách. Uspořádání použijte lexikografické.
Zobrazování hodnot tohoto typu nechť je slovní (tedy namísto obligátního (1, 2) vypište
třeba "pair of 1 and 2").
Př. 6.4.6 Deklarujte typ data BinTree a = Empty | Node a (BinTree a) (BinTree a) jako instanci
typové třídy Eq. Instanci si napište sami (tj. nepoužívejte klauzuli deriving).
*
*
*
Na konci cvičení byste měli zvládnout:
► otypovat výrazy a funkce, a to včetně polymorfních funkcí využívajících typové
třídy a včetně funkcí s více definičními rovnostmi a s vzory;
► z typu poznat, kolik argumentů funkce má;
► z typu poznat, co může funkce dělat;
► umět psát rekurzivní funkce na seznamech a vlastních datových typech, včetně
jednodušších funkcí vyšších řádů;
► umět ověřit vztahy mezi typovými třídami;
► a vše ostatní, co bylo v předchozích cvičeních.
76
Cvičení 7: Vstup a výstup (bonus)
Pan Sazeč dává na vědomí: Na vstup a výstup historicky bylo cvičení, ale rozhodli
jsme se zaměřit se více na věci, které ukazují typické funkcionální principy. Proto
je tohle cvičení označené jako bonusové – nebude k němu žádné reálné cvičení ani
konzultace, jen tyto materiály. Pokud máte k těmto příkladům dotazy, zeptejte se
například na diskusním fóru. Stejně tak na cvičení nenavazuje žádný domácí úkol.
Cvičení bylo víceméně ponecháno v původním stavu, včetně označení které
příklady byly určeny k práci na cvičení.
Před bonusovým vstupně-výstupním cvičením je zapotřebí:
► znát význam pojmů vstupně-výstupní akce a vnitřní výsledek;
► rozumět, co znamenají typy jako IO Integer a IO (), a chápat jejich odlišnost
od Integer a ();
► vědět, k čemu slouží funkce:
pure :: a -> IO a
getLine :: IO String
putStrLn :: String -> IO ()
readFile :: FilePath -> IO String
writeFile :: FilePath -> String -> IO ()
► být seznámeni s operátory pro skládání vstupně-výstupních akcí:
(>>=) :: IO a -> (a -> IO b) -> IO b
(>>) :: IO a -> IO b -> IO b
► být seznámeni se syntaxí a významem konstrukce do:
main = do input <- getLine
let hello = "Hello there, "
putStrLn (hello ++ input)
► umět přeložit zdrojový kód na spustitelný program pomocí ghc zdroják.
Vstup a výstup v Haskellu je na první pohled zvláštní z prostého důvodu – vyhodnocení
výrazu nemůže mít vedlejší efekty, jako je výpis na obrazovku. Je ale možné výraz vyhodnotit
na „scénář“ obsahující popis vstupně-výstupních operací: kdy se má načítat vstup, co se
má vkládat do kterých souborů apod. Při samotném vyhodnocení se sice nic nestane, ale
podle výsledného scénáře pak může vstup a výstup provádět třeba interpret.
Těmto scénářům říkáme vstupně-výstupní akce. Hodnota typu IO a je pak scénář pro
získání a. Zde a je typ vnitřního výsledku akce, který je naplněn po vykonání akce. Vnitřní
výsledek (například načtený řetězec) nemůže vstupovat do vyhodnocování výrazů, ale jiné
akce jej používat mohou (například ho vypsat na obrazovku).
K takovému řetězení scénářů do větších akcí slouží operátor >>=. Povšimněte si jeho
typu: levý argument je „scénář pro získání a“, pravý zjednodušeně dává „scénář, podle
kterého se z a vyrobí b7
“.
7
Ve skutečnosti spíše „jak z a vyrobit scénář pro b“. Pro zkrácení ale můžeme např. funkci typu
77
IB015 – Sbírka úloh 7.2 IO pomocí do-notace, převody mezi notacemi
Akce jako hodnoty jsou pro nás zcela neprůhledné – nemáme možnost zjistit, jaké efekty
bude akce mít, aniž ji spustíme (a tedy všechny efekty provedeme). Spouštění je kromě
spojování přes >>= v podstatě jediná zajímavá věc, kterou s akcemi můžeme dělat. Spouští
se každá akce, kterou si necháme vyhodnotit v interpretu, a v samostatných spustitelných
souborech akce main :: IO ().
Jindřiška varuje: Vstup a výstup je matoucí, pokud důsledně nerozlišujeme mezi
pojmy hodnota, (vstupně-výstupní) akce a vnitřní výsledek akce. Plést si nesmíme ani
vyhodnocení a spuštění.
7.1 Skládání akcí operátorem >>=
Př. 7.1.1 Pomocí známých funkcí a operátoru >>= definujte vstupně-výstupní akci, která po spuštění
přečte řádek ze standardního vstupu a:
a) vypíše jej beze změny na standardní výstup;
b) vypíše jej pozpátku;
c) vypíše jej, není-li prázdný, jinak vypíše „<empty>“;
d) vypíše jej a také jej uloží jako vnitřní výsledek akce (bude se hodit i operátor >>).
Př. 7.1.2 Bez použití do-notace definujte akci getInteger :: IO Integer, která ze standardního
vstupu načte celé číslo. Využijte knihovní funkci read :: (Read a) => String -> a.
Př. 7.1.3 Bez použití do-notace definujte vstupně-výstupní akci loopecho :: IO (), která při
spuštění načítá a vypisuje řádky do té doby, než načte prázdný řádek.
Př. 7.1.4 Napište akci getSanitized :: IO String, která načte jeden řádek textu od uživatele
a z něj odstraní všechny znaky, které nejsou znaky abecedy. V úkolu použijte funkci
isAlpha z modulu Data.Char.
Př. 7.1.5 Bez použití do-notace definujte akci, která ze standardního vstupu přečte cestu k souboru
a následně uživateli oznámí, zda zadaný soubor existuje. Úkol řešte s využitím
doesFileExist z modulu System.Directory.
Př. 7.1.6 Definujte funkci (>>) pomocí funkce (>>=).
Př. 7.1.7 Napište funkce runLeft :: [IO a] -> IO () a runRight :: [IO a] -> IO (), které
spustí všechny akce v zadaném seznamu postupně zleva (respektive zprava).
7.2 IO pomocí do-notace, převody mezi notacemi
String -> IO Integer označovat jako „akci, která bere řetězec a vrací číslo“, byť formálně správně se
jedná o „funkci, která bere řetězec a vrací vstupně-výstupní akci s vnitřním výsledkem typu číslo“.
78
IB015 – Sbírka úloh 7.2 IO pomocí do-notace, převody mezi notacemi
do-notace bind-notace
do f
g
f >> g
do x <- f
g
f >>= \x -> g
do let x = y
f
let x = y in f
Př. 7.2.1 Vraťte se k některému ze svých řešení příkladů z předchozí sekce a přepište je na do-notaci.
Pro ilustraci zkuste přepsat jedno snadné a jedno mírně složitější řešení a srovnejte je
s řešením pomocí >>=.
Př. 7.2.2 Naprogramujte funkci leftPadTwo :: IO (), která od uživatele načte dva řetězce a pak
je vypíše na obrazovku zarovnány doprava tak, že před kratší z nich vypíše ještě vhodný
počet mezer. Použijte notaci do.
Př. 7.2.3 Převeďte následující program v do-notaci na notaci s použitím >>=.
main = do
f <- getLine
s <- getLine
appendFile f (s ++ "\n")
Př. 7.2.4 Následující funkci přepište do tvaru, ve kterém nepoužijete konstrukci do. Určete také typ
funkce.
query question = do putStrLn question
answer <- getLine
pure (answer == "ano")
Př. 7.2.5 Funkci query z předchozího příkladu dále vylepšete tak, aby:
a) Rozlišovala kladné i záporné odpovědi a při nekorektní nebo nerozpoznané odpovědi
otázku opakovala.
b) Akceptovala odpovědi s malými i velkými písmeny, interpunkcí, případně ve více
jazycích.
Př. 7.2.6 U každého z následujících výrazů určete typ a význam, případně vysvětlete, proč není
korektní:
a) getLine
b) x = getLine
c) let x = getLine in x
d) let x <- getLine in x
e) getLine >>= \x -> pure x
f) getLine >>= \x -> x
g) do let x = getLine
pure x
h) do let x = getLine
x
i) do x <- getLine
pure x
j) do x <- getLine
x
79
IB015 – Sbírka úloh 7.3 Vstupně-výstupní programy
7.3 Vstupně-výstupní programy
Př. 7.3.1 Vyrobte a spusťte program, který se při chová jako akce leftPadTwo z příkladu 7.2.2.
Připomínáme, že zdrojový kód se na spustitelný soubor překládá programem ghc a musí
mít zadefinovanou akci main :: IO (). Výsledný program se jmenuje jako zdrojový soubor
bez přípony .hs a je nutné ho spouštět pomocí ./program.
Př. 7.3.2 Upravte a doplňte následující zdrojový kód tak, aby program vyžadoval a načetl postupně
tři celá čísla a o nich určil, zda mohou být délkami hran trojúhelníku. Akce getInteger
pochází z příkladu 7.1.2. Nezdráhejte se kód refaktorovat a vytvořit si další pomocné funkce
či akce.
main :: IO ()
main = do putStrLn "Enter one number:"
x <- getInteger
putStrLn (show (1 + x))
Př. 7.3.3 Napište program, který vyzve uživatele, aby zadal jméno souboru, a poté ověří, že zadaný
soubor existuje. Pokud existuje, vypíše jeho obsah na obrazovku, pokud ne, informuje
o tom uživatele. Úkol řešte s využitím doesFileExist z modulu System.Directory.
Př. 7.3.4 Vysvětlete význam a rizika rekurzivního použití akce main v následujícím programu.
main :: IO ()
main = do putStr "Enter string: "
s <- getLine
if null s then putStrLn "You shall not pass!"
else do putStrLn (reverse s)
main
Př. 7.3.5 V dokumentaci nalezněte vhodnou funkci typu Read a => String -> Maybe a a s jejím
využitím napište funkci requestInteger :: String -> IO (Maybe Integer) použitelnou
na chytřejší načítání čísel. Akce requestInteger delim od uživatele čte řádky tak
dlouho, než dostane řetězec delim (potom vrátí Nothing), nebo celé číslo (které vrátí zabalené
v Just). Po každém neúspěšném pokusu by měl uživatel dostat výzvu k opětovnému
zadání čísla.
Př. 7.3.6 S využitím akce z předchozího příkladu napište program, který která ze standardního
vstupu čte řádky s čísly, dokud nenarazí na prázdný řádek, potom vypíše jejich aritmetický
průměr. Vyřešte úlohu:
a) s ukládáním čísel do seznamu;
b) bez použití seznamu.
Př. 7.3.7 Napište program leftPad, který je obecnější variantou akce z příkladu 7.2.2 a zarovnává
libovolný počet řádků na vstupu, dokud nenalezne řádek obsahující jen tečku.8
Řádky jsou
opět zarovnány doprava na délku nejdelšího.
Následně proveďte drobnou optimalizaci: prázdné řádky nechte prázdnými, tj. bez
zbytečných výplňových mezer.
Př. 7.3.8 Upravte program tak, aby parametry funkce guess četl z příkazové řádky.
Vhod může přijít modul System.Environment.
8
Proč zrovna tečku, ptáte se? Bylo nebylo… https://en.wikipedia.org/wiki/ed_(text_editor),
https://en.wikipedia.org/wiki/Simple_Mail_Transfer_Protocol#SMTP_transport_example
80
07_guess.hs
IB015 – Sbírka úloh 7.3 Vstupně-výstupní programy
Př. 7.3.9 Vymyslete a naprogramujte několik triviálních prográmků manipulujících s textovými
soubory:
• počítání řádků
• výpis konkrétního řádku podle zadaného indexu
• vypsání obsahu pozpátku
• seřazení řádků, ...
Definice alternativně přepište s a bez pomoci syntaktické konstrukce do.
Př. 7.3.10 Představme si bohy zatracený svět, v němž neexistuje konstruktor IO ani vstupně-výstupní
akce, které je nutné spouštět. Místo toho k vedlejším efektům dochází rovnou při vyhodnocování
výrazů. Např. getLine' :: String se vyhodnotí na řádek vstupu. Vyhodnocovací
strategie ale funguje stejně, jak ji v Haskellu známe. Co bude výsledkem úplného vyhodnocení
výrazu (getLine', getLine')?
*
*
*
Na konci cvičení byste měli zvládnout:
► napsat v Haskellu jednoduchý program pracující se vstupem od uživatele
a vypisující informace na výstup;
► za pomoci dokumentace napsat jednoduchý program pracující se soubory;
► převádět mezi konstrukcí do a operátory >>= a >>.
Zdá se, že vstup a výstup vyžaduje velmi odlišný přístup, speciální operátory a syntaxi
a celé to může působit velmi nehaskellovsky. Ve skutečnosti jsou ale podobné
konstrukce Haskellu vlastní a běžně se používají i mimo IO! Napovídat tomu může
typ operátoru >>=, který zmiňuje jakousi Monad. Monáda je velmi abstraktní, avšak
fascinující koncept, o němž se můžete více dozvědět v jarním semestru v navazujících
předmětech IB016 Seminář z funkcionálního programování a IA014 Advanced Functional
Programming.
81
Řešení
Cvičení 0: Technické okénko
Řeš. 0.η.0 Gratulki.
Nenechávejte si ale řešení prozradit příliš brzy. Má-li mít práce se sbírkou smysl, je
potřeba se nad každým příkladem nejprve zamyslet a následně ho samostatně vypracovat.
Dokonce ani když se vám implementace nedaří, nenakukujte hned do řešení – nejvíce se
naučíte, pokud se nad příkladem sami trochu potrápíte. Samozřejmě klidně konzultujte
přednášku nebo již hotové příklady.
Teprve až příklad zdárně vyřešíte, můžete nahlédnout do vzorového řešení. Občas se
můžete dozvědět jiný (a v něčem třeba elegantnější) postup nebo nějaké tipy a triky.
Klepnutím na číslo řešení přeskočíte zpátky na příklad.
Řeš. 0.η.2 Návod pro starší Debian a Ubuntu
1. podle distribuce:
(a) Pokud máte Debian, postupujte podle návodu na https://downloads.haskell.
org/debian/ („Debian Instructions“).
(b) Pro Ubuntu si přidejte PPA repozitář https://launchpad.net/~hvr/
+archive/ubuntu/ghc – čtěte sekci „Adding this PPA to your system“).
2. Nainstalujte si ghc-9.0.1 (nebo novější):
apt install ghc-9.0.1
3. Výsledné GHCi/GHC pak naleznete v cestě /opt/ghc/bin/ghci, resp.
/opt/ghc/bin/ghc.
4. Tuto cestu je vhodné přidat do proměnné prostředí PATH abyste mohli interpret
spouštět jen jako ghci: otevřte v libovolném textovém editoru (třeba VS code, gedit,
či nano) soubor .bashrc ve svém domovském adresáři (nenechte se zmást tím, že
není vidět ve výpisu ls, soubory začínající tečkou ls samo o sobě nevypisuje) a na
jeho konec následující řádek:
export PATH="$PATH:/opt/ghc/bin"
Nyní již můžete interpret spouštět přímo, bez zadání celé cesty.
Řeš. 0.1.2 Vytvořit jej můžete buď v terminálu (příkazem mkdir jméno a následně do něj přepnout
pomocí cd jméno), nebo v grafickém správci souborů, který by se měl otevřít v domovském
adresáři a nový adresář by mělo být lze vytvořit pravým myšítkem nebo přes panel nabídek.
Řeš. 0.1.4 Spusťte textový editor (například Gedit nebo VS Code – code na fakultních PC) a napište
či překopírujte do něj text. Nezapomeňte soubor uložit do správného adresáře.
Alternativně můžete soubor vytvořit i v terminálu, například editorem nano, který vám
v dolní části zobrazuje klávesové zkratky, kterými se ovládá (̂ znamená Ctrl ).
Jiným oblíbeným terminálovým editorem je vim. Jeho obsluha vypadá zpočátku krkolomně,
ale dá se rychle naučit: zkuste příkaz vimtutor, nebo vimtutor cs, případně
vimtutor sk. (Ukončit je lze zadáním ‘:q‘ a odentrováním.)
82
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 0: Technické okénko (řešení)
Řeš. 0.2.2 Zadejte výraz a stiskněte Enter . Např. 40 + 2 se vyhodnotí na 42. Vyhodnocení výrazů
zapisujeme ve studijních materiálech pomocí lomené šipky s hvězdičkou: 40 + 2 ∗
42.
Další příklady:
• 4 * 10 + 2 ∗
42
• 2 ^ 8 ∗
256
• (3 + 4) * 6 ∗
42
Řeš. 0.2.3 Načíst soubor lze buď pomocí :load Sem0.hs nebo jen :l Sem0.hs (pokud se nachází
ve stejném adresáři, kde jsme spustili GHCi), nebo tak, že spustíme GHCi přímo s tímto
názvem souboru (ghci Sem0.hs). Konstantu vypíšeme prostě tak, že ji napíšeme do GHCi
a stiskneme enter: hello ∗
"Hello, world". Její typ pak zjistíme příkazem interpretu
:t, který jako parametr bere libovolný výraz: :t hello ∗
hello :: [Char].
Řeš. 0.2.4 myNumber :: Integer
myNumber = 42
Znovunačtení lze provést příkazem :r, ukončení :q.
V případě, že vytvoříte proměnnou jenom v interpretu, pak ta přestane po ukončení
interpretu existovat.
Řeš. 0.3.1 Na Linuxu, macOS a Windows s dostatečně novým PowerShellem by mělo stačit zadat
do příkazové řádky (či PowerShellu) ssh xLOGIN@aisa.fi.muni.cz (samozřejmě s vaším
loginem) a následně zadat své fakultní heslo. Nenechte se překvapit tím, že při zadávání
hesla nevidíte žádné hvězdičky; v terminálu se hesla běžně zadávají „naslepo“. Ocitnete na
Aise a můžete tam používat příkazovou řádku jako na cvičení. Na Windows s Putty musíte
nastavit sezení (session), kde jako hostitele uvedete xLOGIN@aisa.fi.muni.cz.
Pro trvalé přidání modulu můžete příkaz vložit do svého souboru .bashrc:
(aisa)$ echo "module add ghc" >> ~/.bashrc # Nebo textovým editorem
Verze GHCi se vypíše po spuštění interpretu, nebo po zadání příkazu ghci --version.
Řeš. 0.3.2 Aby první následující příkaz fungoval, je potřeba být lokálně v adresáři, kde je soubor
Sem0.hs a na Aise musí existovat adresář ib015.
(local)$ scp Sem0.hs xLOGIN@aisa.fi.muni.cz:ib015/
(aisa)$ nano Sem0.hs # Nebo jiný způsob editace
(local)$ scp xLOGIN@aisa.fi.muni.cz:ib015/Sem0.hs Sem0_edited.hs
Řeš. 0.3.3 Do souboru ~/.ssh/config na svém počítači vložte (a nastavte svůj login):
Host aisa
HostName %h.fi.muni.cz
User xLOGIN
Řetězec %h v nastavení nechte, ten představuje specielní sekvenci, za kterou se doplní
jméno napsané za Host – takových jmen může být více (oddělených mezerou). Pokud daný
soubor neexistuje, vytvořte jej (i na Windows může být jednodušší vytvořit minimálně
složku ~/.ssh pomocí příkazové řádky, ta by však existovat měla). Soubor config nesmí
mít žádnou příponu. Část ~ v cestě značí domovský adresář. Složka .ssh nebude ve výpisu
přes ls vidět, pokud nepoužijete ls -A, což způsobí zobrazení skrytých souborů – těch co
začínají . (tečkou).
Řeš. 0.4.1 Jděte na https://hoogle.haskell.org/. V rozbalovací nabídce u vyhledávacího políčka
zvolte package:base a do vyhledávacího políčka zadejte hledaný typ. Po chvíli by vám
83
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 1: Základní konstrukce (řešení)
vyhledávač měl najít funkce (&&), (||), (==) a (/=). Poslední dvě mají obecnější typ,
ale fungují i pro argumenty typu Bool – Hoogle vyhledává i obecnější funkce, do kterých
lze za typové proměnné dosadit požadované typy.9
U každé funkce také vidíte, ve kterém
balíčku (base) a modulu (Prelude10
) se nachází, a také dokumentační text, pokud je
uveden. Kliknutím na funkci se dostanete do její dokumentace v prvním modulu, kde byla
nalezena.
Cvičení 1: Základní konstrukce
Řeš. 1.η.2 Potřebujeme zjistit, jestli se y rovná číslu o jedna většímu než x.
isSucc :: Integer -> Integer -> Bool
isSucc x y = y == x + 1
Řeš. 1.η.4 a) V důsledku priorit operátorů je implicitní závorkování kolem násobení, tj. 5 + (9 * 3).
b) Operace umocňování asociuje zprava, tedy v případě více výskytů (^) za sebou
se implicitně závorkuje zprava. Obecně tedy
n ^ n ^ n = n ^ (n ^ n) ≠ (n ^ n)^ n = n ^ (n ^ 2)
𝑛 𝑛 𝑛
= 𝑛(𝑛 𝑛
)
≠ (𝑛 𝑛
) 𝑛
= 𝑛(𝑛2
)
c) Tady se setkáváme s případem, kdy je operátor neasociativní, tedy není definováno, jak
se výraz zpracovává v případě výskytu více operátorů stejné priority vedle sebe, a výraz
je tedy nekorektní. Důvod neasociativity je jednoduchý: u (==) totiž nemá smysl
definovat asociativitu, protože jeho výsledek je typu Bool, ale argumenty mohou být
jiného typu – to nakonec vidíme i na našem příkladě 3 == 3 == 3, ať jej uzávorkujeme
libovolně, nebudou nám sedět typy (budeme porovnávat číslo a Bool).
d) V případě, že explicitně uvedeme závorkování pro relační operátory, dostaneme se do
obdobné situace jako v předchozím podpříkladu, tedy porovnání logické hodnoty a řetězce,
což v Haskellu nelze. Naproti tomu výsledkem porovnání 'a' == 'a' dostaneme
v obou případech logickou hodnotu, a ty mezi sebou porovnávat můžeme, protože jsou
stejného typu. Všimněte si, že v tomto výrazu se vyskytuje == jednou ve verzi pro
znaky ('a' == 'a') a jednou pro Bool (prostřední výskyt).
Řeš. 1.η.5 Je potřeba se zamyslet nad tím, které případy má smysl vytáhnout pomocí vzorů jako
ty „speciální“. V našem případě to budou právě víkendové dny a pro vše ostatní vrátíme
False.
isWeekendDay "Saturday" = True
isWeekendDay "Sunday" = True
isWeekendDay _ = False
Řeš. 1.η.6 Typ snadno ověříte pomocí příkazu :t k otypování výrazu v GHCi (typ [Char] je ekvivalentní
typu String).
a) 'a' :: Char; libovolný Unicode znak je stejného typu: 'ľ', 'ř' nebo speciální znak
nového řádku '\n'.
9
V tomto případě je navíc typ omezený typovým kontextem Eq =>, což znamená, že za a lze dosadit pouze
porovnatelné typy, což Bool splňuje.
10
Prelude je základní Haskellový modul, který je vždy k dispozici.
84
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 1: Základní konstrukce (řešení)
b) "Don't Panic." :: String (nebo ekvivalentně [Char]); "", "a" nebo
"nejvnějšnější".
c) not :: Bool -> Bool; např. funkce
boolId :: Bool -> Bool
boolId x = x
d) (&&) :: Bool -> Bool -> Bool; např. (||)
e) True :: Bool; např. 42 == 6 * 7
Řeš. 1.1.1 Celkově zjistíme, že operátory jsou uvedeny v zadání v pořadí od nejvyšší priority (9) až
k nejnižší (1).
Poznámka: Ve skutečnosti existují i operátory s prioritou 0, například $, ke kterému se
časem dostaneme.
Řeš. 1.1.2 Obsah kruhu o poloměru 𝑟 se vypočítá vzorečkem 𝜋𝑟2
. Do Haskellu to snadno přepíšeme
jako:
circleArea :: Double -> Double
circleArea r = pi * r ^ 2
Řeš. 1.1.3 Nejprve zjistíme, která strana je nejdelší, a pak strany pošleme ve správném pořadí do
rovnice pro Pythagorovu větu, kterou si zadefinujeme pomocí lokální definice.
isRightTriangle :: Integer -> Integer -> Integer -> Bool
isRightTriangle x y z = if x >= y && x >= z
then pyt y z x -- x is the maximum
else if y >= z -- x is not the maximum, one of y or z must be
then pyt x z y -- y is the maximum
else pyt x y z -- z is the maximum
where
pyt a b c = a ^ 2 + b ^ 2 == c ^ 2
Alternativou je vyzkoušet všechny tři možné volby pro nejdelší stranu (víme jistě, že pokud
vybereme některou z kratších stran místo té nejdelší, rovnost v Pythagorově větě nevyjde).
I zde můžeme s výhodou využít lokální definice.
isRightTriangle' :: Integer -> Integer -> Integer -> Bool
isRightTriangle' x y z = pyt x y z || pyt y z x || pyt x z y
where
pyt a b c = a ^ 2 + b ^ 2 == c ^ 2
Řeš. 1.1.4 max3 :: Integer -> Integer -> Integer -> Integer
max3 x y z = max x (max y z)
max3' :: Integer -> Integer -> Integer -> Integer
max3' x y z = if x > y
then if z > x then z else x
else if z > y then z else y
Alternativní řešení pomocí konstrukce if ... then ... else ...:
max3'' :: Integer -> Integer -> Integer -> Integer
max3'' x y z = if x > y && x > z
then x
85
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 1: Základní konstrukce (řešení)
else if z > y then z else y
Řeš. 1.1.5 Přímočaré je řešení pomocí if a min/max, stačí si uvědomit, že prostřední číslo je menší
nebo rovno maximu a větší nebo rovno minimu:
mid :: Integer -> Integer -> Integer -> Integer
mid x y z = if min y z <= x && x <= max y z
then x
else if min x z <= y && y <= max x z
then y
else z
Alternativou je vypočítat prostřední číslo za pomoci součtu, minima a maxima:
mid' :: Integer -> Integer -> Integer -> Integer
mid' x y z = x + y + z - max z (max x y) - min z (min x y)
Další alternativou je využít sílu funkce max3, kterou jsme již definovali (předpokládejme
tedy, že je definována). Ta nám umožňuje vybírat to největší z libovolných tří celých čísel.
Pokud tedy vybereme čísla z původní trojice tak, že máme zaručeno, že vybereme všechna
kromě toho největšího (některé se může zopakovat), maximem z těchto čísel bude právě
prostřední prvek v uspořádání podle ≤:
mid'' :: Integer -> Integer -> Integer -> Integer
mid'' x y z = max3 (min x y) (min y z) (min x z)
Řeš. 1.1.6 Řešení je zdlouhavé, ale celkem přímočaré. Pokud víme, že číslo 𝑛 je sudé, právě když
𝑛 mod 2 = 0, stačí jenom zbylé podmínky vypsat do zanořených ifů a dát pozor na to, že
if v Haskellu má vždy i neúspěšnou větev po else. Zároveň obě větve musí být stejného
typu (co intuitivně znamená, že obě musí vracet číslo nebo znak nebo řetězec…):
tell :: Integer -> String
tell n = if n > 2
then if mod n 2 == 0 then "(even)" else "(odd)"
else if n == 1 then "one" else "two"
Vnořené ify lze i uzávorkovat, ale je to zbytečné.
Toto řešení je poněkud špatně čitelné a použití if v Haskellu není vždy žádoucí. Časem
si ukážeme něco lepšího.
Řeš. 1.1.7 a) Podmínka musí být logický výraz typu Bool, což výraz 5 - 4 není – jde o výraz
celočíselného typu. Haskell nikdy sám nekonvertuje výrazy jednoho typu na druhý.
Vhodná úprava celého výrazu je pak třeba 5 - 4 == 0.
b) Výrazy v then a else větvi musí být stejného typu, protože celý podmínkový výraz
musí mít vždy stejný typ bez ohledu na hodnotu podmínky. Výraz lze opravit na
if 0 < 3 && odd 6 then "OK" else "FAIL"
což už je typově správně.
c) Na první pohled podivně vypadající konstrukce, kde výsledkem podmínkového výrazu
je operátor (&&), je správná. V Haskellu jsou funkce/operátory rovnocenné s číselnými
či jinými konstantami. Problémem je chybějící větev else. Podmíněný výraz má
syntaktické omezení, že vždy musí obsahovat jak then, tak else větev, i když by
podmínka zaručovala použití jen jedné z nich. Kdyby podmínka mohla být vyhodnocena
na nepravdu a chybělo by else, pak by výraz neměl žádnou hodnotu, kterou by vrátil.
Ale výraz v Haskellu vždy musí mít nějakou hodnotu a je tedy třeba přidat else větev:
86
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 1: Základní konstrukce (řešení)
if even 8 then (&&) else (||)
d) Tento výraz je v pořádku. A to i přes to, že v interpretu dostaneme podivnou hlášku:
> if 42 < 42 then (&&) else (||)
<interactive>:1:1: error:
• No instance for (Show (Bool -> Bool -> Bool))
arising from a use of ‘print’
(maybe you haven't applied a function to enough arguments?)
• In a stmt of an interactive GHCi command: print it
Tato hláška však jen říká, že výslednou hodnotu výrazu nelze vypsat (kritická je tu
ta část „In a stmt of an interactive GHCi command: print it“, která říká, že
se jedná o chybu při vypisování výsledku výrazu). Konkrétně zde se interpret snaží
vypsat hodnotu typu Bool -> Bool -> Bool, tedy binární funkci, která bere dvě
pravdivostní hodnoty a jednu vrací. Funkce ale nelze v GHCi za normálních okolností
vypisovat. Pokud nebudete chtít výsledek výrazu vypsat, ale jen ho otypujete pomocí
příkazu :t if 42 < 42 then (&&) else (||), k žádné chybě nedojde.
Řeš. 1.2.1 Při doplňování implicitních závorek je potřeba se řídit prioritou/asociativitou infixově zapsaných
operátorů a závorkováním aplikace funkcí na argumenty. Postupujeme následovně:
1. Obsahuje-li výraz infixově zapsané operátory, najdeme ty s nejnižší prioritou, které
nejsou v závorkách, a jejich operandy uzávorkujeme. Pokud je těchto operátorů více
než jeden, jednotlivé operandy závorkujeme dle asociativity daných operátorů (pokud
se vedle sebe vyskytují dva operátory se stejnou prioritou, ale různou asociativitou
nebo bez asociativity, výraz je nesprávně utvořený).
2. Pokud již ve výrazu nejsou infixové operátory, tj. výraz je jednoduchý (konstanta,
proměnná nebo název funkce), prefixová aplikace funkce nebo aplikace infixově
zapsaného binárního operátoru na dva jednoduché argumenty, skončili jsme.
3. V opačném případě aplikujeme stejný postup na všechny podvýrazy vzniklé buď
doplněnými závorkami, nebo dosud nezpracovanými závorkami v původním výrazu.
Řešení jednotlivých příkladů budou následující:
a) (recip 2) * 5
b) (sin pi) + (2 / 5)
c) ((f g 3) * (g 5)) `mod` 7 (funkce f je aplikována na 2 argumenty; asociativita)
d) (42 < 69) || (5 == 6)
e) ((2 + (div m 18)) == (m ^ (2 ^ n))) && ((m * n) < 20)
Řeš. 1.2.2 Je důležité zachovávat pořadí operandů! I když jde o komutativní operátor, nelze obecně
při změně mezi prefixovým a infixovým zápisem měnit jejich pořadí, protože vzniklý výraz
nebude totožný. Navíc Haskell nijak negarantuje, že např. + je komutativní.
a) (^) 4 (mod 7 5)
b) 3 `max` (2 + 3)
Řeš. 1.2.3 a) f . (g x)
b) 2 ^ (mod 9 5)
c) f . (((.) g h) . id)
d) ((2 + (((div m 18) * m) `mod` 7)) == (((m ^ (2 ^ n)) - m) + 11))
87
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 1: Základní konstrukce (řešení)
&& ((m * n) < 20)
e) (f 1 2 g) + (((+) 3) `const` (g f 10))
f) (replicate 8 x) ++ ((filter even) (enumFromTo 1 (3 + (9 `mod` x))))
g) (id id) . (flip const const)
Řeš. 1.2.4 Nejdříve podle priority operátorů do výrazu zapíšeme implicitní závorky (kvůli různým
prioritám operátorů):
(5 + (((7 * 5) `mod` 3) `div` 2)) == ((3 * 2) - 1)
Pak už lehce zjistíme, že výraz se vyhodnotí na False.
Při vyhodnocování výrazu v zadání se jako poslední vyhodnotí funkce s nejnižší prioritou,
v našem případě (==). Přepíšeme tedy do prefixu nejdříve tuto funkci:
(==) (5 + 7 * 5 `mod` 3 `div` 2) (3 * 2 - 1)
Následně v každém z argumentů opět najdeme funkci s nejnižší prioritou – v prvním je
to funkce (+), ve druhém pak (-). Přepisem těchto funkcí do prefixu dostaneme:
(==) ((+) 5 (7 * 5 `mod` 3 `div` 2)) ((-) (3 * 2) 1)
Stejným způsobem pokračujeme i nadále. Jestliže narazíme na skupinu operátorů se
stejnou prioritou (například (*), mod, div), ověříme si jejich směr sdružování (závorkování).
V našem případě se sdružuje (závorkuje) zleva. To v praxi znamená, že jako poslední
se vyhodnotí funkce div. Výraz tedy přepíšeme následovně:
div (7 * 5 `mod` 3) 2
Stejným způsobem pokračujeme, dokud nám nezůstanou žádné infixově zapsané operátory:
(==) ((+) 5 (div (mod ((*) 7 5) 3) 2)) ((-) ((*) 3 2) 1)
Řeš. 1.2.5 Se závorkami:
(((2 + (2 * 3)) == (2 * 4)) && (((8 `div` 2) * 2) == 2)) || (0 > 7)
A po přepisu do prefixu:
(||) ((&&) ((==) ((+) 2 ((*) 2 3)) ((*) 2 4))
((==) ((*) (div 8 2) 2) 2))
((>) 0 7)
Řeš. 1.3.1 a) logicalAnd :: Bool -> Bool -> Bool
logicalAnd x y = if x then y else False
b) logicalAnd' :: Bool -> Bool -> Bool
logicalAnd' True True = True
logicalAnd' _ _ = False
Řeš. 1.3.2 Opět se zamyslíme nad tím, které případy vytáhnout do vzorů. V tomto případě to budou
samohlásky, protože samohlásek je v anglické abecedě oproti souhláskám značně méně. Pro
všechno ostatní jenom jednoduše vrátíme False:
isSmallVowel 'a' = True
isSmallVowel 'e' = True
isSmallVowel 'i' = True
isSmallVowel 'o' = True
isSmallVowel 'u' = True
isSmallVowel _ = False
88
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 1: Základní konstrukce (řešení)
Řeš. 1.3.3 Případ 𝑎 = 0 je vhodné oddělit do samostatné definiční rovnosti. Pro diskriminant a pro
řešení lineárního případu je vhodné použít lokální definici.
solveQuad :: Double -> Double -> Double -> (Double, Double)
solveQuad 0 b c = let x = -c / b in (x, x)
solveQuad a b c = let sd = sqrt (b * b - 4 * a * c)
in ((- b - sd) / (2 * a), (- b + sd) / (2 * a))
Všimněte si, že v 2. řádku definice ukládáme do lokální proměnné odmocninu z diskriminantu
a nikoli diskriminant jako takový. To proto, abychom nemuseli odmocninu počítat
dvakrát. Rovněž si můžete všimnout, že složky dvojice v témže řádku jsou velmi podobné.
To můžeme napravit například tak, že si definujeme pomocnou funkci:
solveQuad' :: Double -> Double -> Double -> (Double, Double)
solveQuad' 0 b c = let x = -c / b in (x, x)
solveQuad' a b c = let sd = sqrt (b * b - 4 * a * c)
res y = (- b + y) / (2 * a)
in (res (- sd), res sd)
Řeš. 1.3.4 Spojnice bodů bude rovnoběžná s osou, jestliže buď 𝑥ová souřadnice obou bodů bude stejná
(pak bude spojnice rovnoběžná s osou 𝑥), nebo 𝑦ová souřadnice bude stejná.
parallelToAxis :: (Integer, Integer) -> (Integer, Integer) -> Bool
parallelToAxis (x1, y1) (x2, y2) = x1 == x2 || y1 == y2
Řeš. 1.3.5 Řešení pomocí více definičních rovností bývá obvykle více čitelné, zde se zbavíme zanořených
podmínek.
tell' :: Integer -> String
tell' 1 = "one"
tell' 2 = "two"
tell' n = if mod n 2 == 0 then "(even)" else "(odd)"
Řeš. 1.4.1 a) True, False, not False, 3 > 3, "A" == "c", …
Obecně libovolný správně utvořený výraz z logických hodnot a logických spojek a mnohé
další.
b) -1, 0, 42, …
Libovolné celé číslo.
c) 3.14, 2.0e-21, 2 ** (-4), ale také 1, 42, …
Libovolné desetinné číslo, libovolný výraz vracející desetinné číslo, ale také zápis celého
čísla může být interpretován jako typu Double, pokud to odpovídá kontextu, v němž
je vyhodnocen. V interpretu si můžete ověřit, že je výraz otypovatelný na typ Double
pomocí :t výraz :: Double.
d) False není typ! Jedná se o hodnotu typu Bool.
e) (1, 1), (42, 16), (10 - 5, 10 ^ 10000), …
Libovolná dvojice celých čísel. Pokud jako Int zvolíte dostatečně velké číslo pak vám
může „přetéct“. Toto rozmezí můžete otestovat zadáním
> (minBound, maxBound) :: (Int, Int)
do svého interpretu. Integer je omezen pouze pamětí počítače.
89
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 1: Základní konstrukce (řešení)
f) (0, 3.14, True), …
Trojice, složky musí odpovídat typům.
g) ()
Takzvaná nultice je typem s jedinou hodnotou. Typ () někdy také označujeme jako
jednotkový typ nebo v angličtině unit. Ačkoli význam takového typu nemusí zatím
dávat v Haskellu smysl, časem se s ním setkáme. Nultice je jediným základním typem
v Haskellu, kde je typ i hodnota zapisována stejným řetězcem znaků v kódu.
h) ((), (), ())
Jediná možná hodnota je trojice, jejímž každým prvkem je nultice.
Řeš. 1.4.2 a) Bool, výraz je hodnotovým konstruktorem tohoto typu.
b) String (ekvivalentně [Char]), libovolný výraz v dvojitých uvozovkách je v Haskellu
typu String.
c) Bool, při typování musíme nejprve znát typ funkce not :: Bool -> Bool a hodnoty
True :: Bool. Aplikací funkce se signaturou Bool -> Bool na jeden parametr typu
Bool dostaneme výraz typu Bool. Typ prvního parametru v signatuře funkce musí
souhlasit s typem reálného prvního parametru při aplikaci, což zde platí.
d) Bool, jednotlivé podvýrazy: (||) :: Bool -> Bool -> Bool, True :: Bool,
False :: Bool. Typy reálných parametrů odpovídají parametrům v signatuře operátoru
(||).
e) Nesprávně utvořený výraz. Jednotlivé podvýrazy: True :: Bool, "" :: String,
(&&) :: Bool -> Bool -> Bool. Typ druhého reálného parametru String neodpovídá
typu druhého parametru signatury, Bool. Haskell neprovádí žádné implicitní typové
konverze, proto výraz nelze otypovat.
f) Integer, výraz 1 může být typu Integer, a tedy je možné jej dosadit jako parametr
funkce f.
g) Nesprávně utvořený výraz. Výraz 3.14 nemůže být typu Integer, protože se nejedná
o celé číslo, tedy jej nelze dosadit do funkce f.
h) Int, protože funkce bere dva parametry typu Int a Int vrací. Výrazy 3 i 8 mohou být
Int, a tedy je lze dosadit jako parametry.
Řeš. 1.4.3 a) Výraz not a || b se uzávorkuje (not a) || b, přičemž operátor (||) má typ
Bool -> Bool -> Bool, tedy výraz not a má být typu Bool a i výraz b je
typu Bool. Nyní stačí jenom určit typ výrazu a, který známe z toho, že
výraz not je typu Bool -> Bool, tedy výraz a je typu Bool. Platí tedy
implication :: Bool -> Bool -> Bool.
b) Funkce foo bere dva argumenty a jejím výsledkem je výraz typu Bool. Z prvního řádku
předpisu víme, že druhý argument je typu String, a ze druhého řádku předpisu víme,
že první argument je typu Char. Funkce foo má tedy typ Char -> String -> Bool.
c) Z prvního řádku definice vidíme, že první argument musí být typu Bool a funkce taktéž
vrací Bool. Z druhého řádku pak vidíme, že typ druhého argumentu musí být stejný
jako typ návratové hodnoty. O typu třetího argumentu nevíme vůbec nic – může to
být cokoli. Celkově tedy dostáváme ft :: Bool -> Bool -> a -> Bool.
90
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 2: Rekurze a seznamy (řešení)
Řeš. 1.4.5 Důležitý je zde typ operátoru (/) :: Fractional a => a -> a -> a. Pro srovnání
uveďme další příklady aritmetických operací: (+) :: Num a => a -> a -> a,
div :: Integral a => a -> a -> a. Všimněte si, že zatímco u sčítání máme typové
omezení, že argumenty jsou čísla, u dělení pomocí (/) jsou to desetinná čísla11
. U celočíselného
dělení pak můžeme používat jen celá čísla. Právě tato omezení způsobí, že ve
výrazech jako (3 / 2) se odvodí, že argumenty dělení musí být typy schopné reprezentovat
desetinná čísla.
Ve skutečnosti celočíselný literál (tedy zápis čísla v kódu) může být libovolného číselného
typu podle potřeby kódu, v němž je použit. Desetinný literál (např. 3.14) pak může
být libovolného desetinného typu. Odvozování typů z operací funguje samozřejmě i při
zanořování operací – u výrazu ((7 + 8) / 5) bude výsledkem desetinné číslo a i sčítání
se bude provádět nad desetinnými čísly.
Poznámka: Na to, aby se operace mohla provést musí nakonec interpret odvodit
konkrétní typ, v němž se výraz vyhodnotí, nestačí mu tedy jen vědět, že se jedná například
o nějaký desetinný typ. Zde platí jednoduché pravidlo, celá čísla se bez dalších omezení
vyhodnocují v typu Integer a desetinná v typu Double. Tento postup však nijak neovlivňuje
typ výrazu a přichází na řadu až při vyhodnocování v interpretu.
Cvičení 2: Rekurze a seznamy
Řeš. 2.η.1 Použijte příkaz :t k otypování výrazu v ghci (typ [Char] je ekvivalentní typu String).
a) [[Char]] (což je stejné jako [String])
b) [Char] (což je stejné jako String)
c) [Char] (což je stejné jako String)
d) [Char] (což je stejné jako String)
e) [(Bool, ())]
f) [String], při otypování takovýchto výrazů je třeba si dát pozor. Výraz sice obsahuje
funkci ++, která má v tomto kontextu typ String -> String -> String, avšak
String -> String -> String není výsledný typ, protože funkci už byly dodány
argumenty, a tedy typ prvků v seznamu je String.
g) [Bool -> Bool -> Bool]
h) [a], z výrazu nevyplývá žádné omezení na typ prvků, který může obsahovat, proto
je typ prvků úplně obecný, tedy a.
i) [[a]], podobně jako v předešlém případě, žádné omezení na typ prvků vnitřního
seznamu.
j) [[Bool]] typové omezení vzniká kvůli konkrétní hodnotě ve druhém prvku.
Řeš. 2.η.2 Stačí použít dvě definiční rovnosti a vzory pro seznamy. Prázdný seznam je prázdný, žádný
jiný seznam není prázdný (duh).
isEmpty :: [a] -> Bool
isEmpty [] = True
isEmpty _ = False
Řeš. 2.η.3 Opět stačí použít vzory pro seznamy. Případy, kdy vstupem funkce je prázdný seznam,
buď není potřeba vůbec definovat, nebo lze použít funkci error nebo hodnotu undefined.
myHead :: [a] -> a
myHead (x : _) = x
11
Přesněji jde o typy, pomocí niž lze reprezentovat zlomky. Tyto typy jsou definovány právě tím, že umožňují
dělení.
91
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 2: Rekurze a seznamy (řešení)
myHead [] = error "myHead: Empty list."
myTail :: [a] -> [a]
myTail (_ : xs) = xs
myTail [] = error "myTail: Empty list."
Řeš. 2.η.5 • []
Tento vzor představuje prázdný seznam. Nemůže reprezentovat žádný z uvedených
seznamů.
• x
Na tento vzor se může navázat libovolná hodnota, a tedy zejména libovolný ze zadaných
seznamů.
• [x]
Představuje libovolný jednoprvkový seznam. Z uvedených může reprezentovat seznamy
[1], [[]], [[1]].
• [x, y]
Představuje libovolný dvouprvkový seznam. Z uvedených může reprezentovat seznamy
[1, 2], [[1], [2, 3]].
• (x : s)
Libovolný neprázdný seznam. Proměnná x reprezentuje první prvek, proměnná s seznam
ostatních prvků. Tento vzor může reprezentovat všechny uvedené seznamy (ano, i [[]]).
• (x : y : s)
Představuje libovolný seznam, který má alespoň 2 prvky. Proměnná x reprezentuje první
prvek, y druhý prvek a s seznam ostatních prvků. Z uvedených může reprezentovat
seznamy [1, 2], [1, 2, 3], [[1], [2, 3]].
• [x : s]
Jednoprvkový seznam, jehož jediným prvkem je neprázdný seznam. Proměnná x reprezentuje
první prvek vnitřního seznamu, proměnná s seznam ostatních prvků vnitřního
seznamu. Z uvedených může reprezentovat pouze seznam [[1]].
• ((x : y) : s)
Představuje neprázdný seznam, jehož prvním prvkem je neprázdný seznam. Proměnné
x a y reprezentují první prvek prvního prvku a seznam ostatních prvků prvního prvku,
proměnná s reprezentuje ostatní prvky vnějšího seznamu. Z uvedených může reprezentovat
seznamy [[1]], [[1], [2, 3]].
Řeš. 2.η.6 Myšlenka řešení může být následující: 0 je sudá, 1 není sudá, a každé jiné kladné číslo je
sudé právě tehdy, když číslo o 2 menší je sudé.
isEven :: Integer -> Bool
isEven 0 = True
isEven 1 = False
isEven x = isEven (x - 2)
Vymyslet se dá i řešení snižující parametr o jedna a používající funkci not.
Výraz isEven -1 skončí s typovou chybou, neboť minus se přednostně chápe jako
binární operátor a jedná se tak o odečtení jedničky od funkce. V případě isEven (-1)
se již jedná skutečně o zápornou jedničku a při definici výše dojde k zacyklení, neboť se
funkce bude vždy rekurzivně volat s menším argumentem (podle posledního řádku) a nikdy
se nezastaví na některém z prvních dvou vzorů.
Řeš. 2.1.1 Myšlenka řešení může být následující: zbytek 0 po dělení třemi je 0, zbytek 1 po dělení
třemi je 1, zbytek 2 po dělení třemi je 2 a zbytek dělení třemi pro každé jiné kladné číslo
92
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 2: Rekurze a seznamy (řešení)
je stejný, jako zbytek po dělení třemi pro číslo o 3 menší.
mod3 :: Integer -> Integer
mod3 0 = 0
mod3 1 = 1
mod3 2 = 2
mod3 x = mod3 (x - 3)
Řeš. 2.1.2 Myšlenka je podobná jako v předešlém příkladu. Jen se zde počítá, kolikrát je potřeba
odečíst 3, aby se argument dostal do intervalu ⟨0, 3⟩.
div3 :: Integral i => i -> i
div3 0 = 0
div3 1 = 0
div3 2 = 0
div3 x = 1 + div3 (x - 3)
Řeš. 2.1.3 fact :: Integer -> Integer
fact 0 = 1
fact n = n * fact (n - 1)
Funkce je opět definována po částech. Předpokládáme, že dostane jako argument jenom
nezáporné celé číslo. Pokud je argument 0, výsledek je zřejmě 1. Pokud je naopak argument
kladné číslo, víme, že 𝑛! = 𝑛 × (𝑛 − 1)!, kde druhý výsledek získáme pomocí rekurzivního
volání. Poznamenejme, že závorky kolem n - 1 je nutno použít, protože jinak by se výraz
implicitně uzávorkoval jako (fact n) - 1, protože aplikace prefixově zapsané funkce má
vyšší prioritu než infixové operátory.
Řeš. 2.1.4 Bázový případ 𝑧0
= 1. Pro každé kladné 𝑛 naopak platí 𝑧 𝑛
= 𝑧 ⋅ 𝑧 𝑛−1
, přičemž hodnota
𝑧 𝑛−1
jde vypočítat rekurzivně.
power :: (Num n, Integral i) => n -> i -> n
power _ 0 = 1
power x n = x * power x (n - 1)
Všimněte si, že definovaná funkce vždy použije 𝑛 rekurzivních volání. Tento počet se ale
dá zmenšit, když si uvědomíme, že při každém rekurzivním volání není potřeba 𝑛 snižovat
jen o 1, ale je možné ho zmenšit přibližně na polovinu. Platí totiž
• 𝑧0
= 1
• 𝑧2𝑛
= (𝑧 𝑛
)2
• 𝑧2𝑛+1
= (𝑧 𝑛
)2
⋅ 𝑧
Následující implementace, která tuto myšlenku využívá, tedy potřebuje jen přibližně log(𝑛)
rekurzivních volání.
power' _ 0 = 1
power' z n = if even n then half * half else half * half * z
where half = power' z (n `div` 2)
Řeš. 2.1.5 Stačí si uvědomit, že číslo je mocninou 2 právě tehdy, když je 1 nebo je sudé a jeho polovina
je mocninou 2.
isPower2 :: Integral i => i -> Bool
isPower2 0 = False
93
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 2: Rekurze a seznamy (řešení)
isPower2 1 = True
isPower2 x = even x && isPower2 (div x 2)
Řeš. 2.1.6 digitsSum :: Integral i => i -> i
digitsSum 0 = 0
digitsSum x = x `mod` 10 + digitsSum (x `div` 10)
Řeš. 2.1.7 K řešení můžeme použít známý Euklidův algoritmus. Konkrétně použijeme jeho rekurzivní
verzi, která využívá zbytky po dělení.
mygcd :: Integral i => i -> i -> i
mygcd x 0 = x
mygcd x y = mygcd (min x y) ((max x y) `mod` (min x y))
Řeš. 2.1.8 Příklad lze vyřešit i bez generování všech prvočísel. Stačí zadané číslo dělit 2 tolikrát,
kolikrát je to možné, a zároveň přičítat za každé vydělení k výsledku jedničku. Poté číslo
budeme dělit 3, 4, 5, 6, atd., dokud po dělení nezbyde výsledek 1. Ačkoliv například čísla 4
a 6 nejsou prvočísla, ale přesto jimi dělíme, není to problém, protože pokud jsme číslo už
vydělili 2 a 3, kolikrát to bylo možné, nemůže už být dělitelné ani 4 ani 6.
primeDivisors :: Integral i => i -> Integer
primeDivisors n = divisorsFrom n 2
where
divisorsFrom 1 _ = 0
divisorsFrom n d = if mod n d == 0
then 1 + divisorsFrom (n `div` d) d
else divisorsFrom n (d + 1)
Řeš. 2.1.9 plus :: Integral i => i -> i -> i
plus 0 y = y
plus x y = plus (pred x) (succ y)
times :: Integral i => i -> i -> i
times 0 y = 0
times x 0 = 0
times 1 y = y
times x y = plus y (times (pred x) y)
plus' :: Integral i => i -> i -> i
plus' x y = if x >= 0
then plus x y
else negate (plus (negate x) (negate y))
times' :: Integral i => i -> i -> i
times' x y = if (x < 0 && y < 0) || (x >= 0 && y >= 0)
then times (abs x) (abs y)
else negate (times (abs x) (abs y))
Řeš. 2.1.10 Pro zadané číslo 𝑛 funkce přičte 2𝑛 − 1 k výsledku rekurzivního volání pro vstup o jedna
menší. Ten vrátí 2(𝑛 − 1) − 1 a součet rekurzivního volání o 1 menší. To se bude dít tak
dlouho, než vstup bude 0, pro nějž funkce vrátí 0. Tedy výsledkem bude součet
(2𝑛 − 1) + (2(𝑛 − 1) − 1) + (2(𝑛 − 2) − 1) + … + (2 − 1) + 0.
94
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 2: Rekurze a seznamy (řešení)
To lze zapsat přesněji též jako
𝑛
∑
𝑖=1
(2𝑖 − 1).
Předchozí výraz je perfektně správné řešení úlohy. Nicméně s použitím trochy matematiky
lze řešení zapsat i elegantněji, aby bylo opravdu vidět, co zadaná funkce počítá.
Odečtení 𝑛 jedniček lze vytknout za celý součet, a tedy výsledek lze zapsat i jako
(
𝑛
∑
𝑖=1
2𝑖) − 𝑛.
Násobení dvojkou lze též vytknout před součet, a tedy výsledek lze zapsat i jako
2 (
𝑛
∑
𝑖=1
𝑖) − 𝑛.
Ze střední školy možná víte, že součet aritmetické řady ∑
𝑛
𝑖=1
𝑖 je 𝑛⋅(𝑛+1)
2 . Takže výsledek
lze zapsat též jako
2
𝑛 ⋅ (𝑛 + 1)
2
− 𝑛 = 𝑛 ⋅ (𝑛 + 1) − 𝑛 = 𝑛 ⋅ 𝑛 = 𝑛2
.
Pokud si chcete procvičit látku z Matematických základů informatiky, můžete si zkusit
právě odvozenou rovnost
𝑛
∑
𝑖=1
(2𝑖 − 1) = 𝑛2
dokázat matematickou indukcí.
Řeš. 2.2.1 Stačí použít funkci (:). Při otypování funkce musíme uvážit, že všechny prvky seznamu
musí mít stejný typ, a to i nově vložená dvaačtyřicítka. Chtělo by se říci, že 42 je typu
Integer, ale z předchozích příkladů již víme, že neotypovaný číselný literál (tj. číslo
objevující se ve zdrojovém kódu) se může chovat jako libovolné číslo z typové třídy Num.
Proto:
add42 :: Num n => [n] -> [n]
add42 xs = 42 : xs
Řeš. 2.2.2 Případ prázdného seznamu nemusíme řešit. Pro jednoprvkový seznam vrátíme rovnou jeho
poslední prvek:
getLast [x] = x
Všechny zbývající případy seznamů mají alespoň dva prvky. Jednoduchá úvaha vede k tomu,
že poslední prvek seznamu, který má alespoň dva prvky, je stejný jako poslední prvek téhož
seznamu, ale bez prvního prvku. Tedy ze vstupního seznamu odstraníme první prvek a na
zbytek aplikujeme rekurzivně funkci getLast:
getLast (x : xs) = getLast xs
Řeš. 2.2.3 Funkci definujeme obdobně jako funkci getLast. Začneme jednoprvkovým seznamem, kdy
výsledkem je prázdný seznam:
stripLast [x] = []
Všechny zbývající případy seznamů mají dva nebo více prvků. V takovém případě bude první
prvek zadaného seznamu určitě ve výsledném seznamu a zbytek lze vypočítat rekurzivně:
95
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 2: Rekurze a seznamy (řešení)
stripLast (x : xs) = x : stripLast xs
Srovnejte s definicí funkce getLast.
Řeš. 2.2.4 Délka prázdného seznamu je 0. Délka alespoň jednoprvkového seznamu je o 1 větší, než
délka vstupního seznamu bez prvního prvku.
len :: [a] -> Integer
len [] = 0
len (_ : xs) = 1 + len xs
Výpočet této funkce probíhá například takto:
len (1 : (2 : [])) 1 + len (2 : []) 1 + (1 + len [])
1 + (1 + 0) ∗
2
Řeš. 2.2.5 nth :: Int -> [a] -> a
nth 0 (x : _) = x
nth n (_ : xs) = nth (n - 1) xs
Řeš. 2.2.6 Prázdný seznam neobsahuje nic. Neprázdný seznam obsahuje zadaný prvek právě tehdy,
když je onen prvek prvním prvkem zadaného seznamu, nebo ho obsahuje zbytek zadaného
seznamu.
contains :: Eq a => [a] -> a -> Bool
contains [] _ = False
contains (x : xs) e = e == x || xs `contains` e
Řeš. 2.2.7 Myšlenka je podobná jako u funkce contains, jen je potřeba si počítat, kolikrát zadaný
prvek ještě chceme vidět. Pokud se dostaneme na 0, číslo už jsme viděli dostatečněkrát,
a vrátíme tedy True.
containsNtimes :: Eq a => Integer -> a -> [a] -> Bool
containsNtimes 0 _ _ = True
containsNtimes _ _ [] = False
containsNtimes n x (y : ys) = if x == y
then containsNtimes (n - 1) x ys
else containsNtimes n x ys
Řeš. 2.2.8 Funkce getPoints je podobná funkci contains, ale místo logické hodnoty budeme vracet
příslušnou hodnotu.
getPoints :: String -> [(String, Integer)] -> Integer
getPoints _ [] = 0
getPoints wanted ((name, points) : xs) = if wanted == name
then points
else getPoints wanted xs
U funkce getBest se hodí definovat si pomocnou funkci, která jako další argument
dostane i jméno a počet bodů aktuálně nejlepšího studenta. Tohoto aktuálně nejlepšího
studenta bude v průběhu vypočtu měnit a na konci seznamu ho vrátí.
getBest :: [(String, Integer)] -> String
getBest (x : xs) = fst (getBestWithDefault x xs)
where
getBestWithDefault current [] = current
getBestWithDefault (curN, curP) ((newN, newP) : xs) =
96
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 2: Rekurze a seznamy (řešení)
if newP > curP
then getBestWithDefault (newN, newP) xs
else getBestWithDefault (curN, curP) xs
Řeš. 2.2.9 Nejjednodušší je funkci definovat podle vzoru na prvním argumentu. Pokud je první seznam
prázdný, výsledkem je přímo druhý seznam. Pokud je první seznam neprázdný, výsledný
seznam obsahuje první prvek prvního seznamu a pak zřetězení zbytku prvního seznamu
s druhým seznamem.
append :: [a] -> [a] -> [a]
append [] ys = ys
append (x : xs) ys = x : append xs ys
Řeš. 2.2.10 Zde se hodí vzor pro seznamy délky alespoň dva, protože potřebujeme pojmenovat první
dva prvky vstupního seznamu. Poté stačí udělat z nich dvojici a zbytek seznamu vyřešit
rekurzivně.
pairs :: [a] -> [(a, a)]
pairs (x : y : s) = (x, y) : pairs s
pairs _ = []
Řeš. 2.2.11 a) Součet prázdného seznamu je 0. Součet neprázdného seznamu je součet prvního prvku
a součtu zbytku seznamu.
listSum :: Num n => [n] -> n
listSum [] = 0
listSum (x : xs) = x + listSum xs
b) Existují nejméně dva přístupy k řešení, pokud nechceme explicitně pracovat s délkou
seznamu. Jeden z nich je, že využijeme vzoru (x : y : zs), který bere ze seznamu
po dvou prvcích, tím pádem víme, že pokud tak skončíme na jednom prvku, seznam
musel obsahovat lichý počet prvků:
oddLength :: [a] -> Bool
oddLength [] = False
oddLength [_] = True
oddLength (_ : _ : zs) = oddLength zs
Druhý přístup k řešení je, že odpověď postupně vyskládáme z prázdného seznamu,
protože víme, že ten obsahuje sudý počet prvků. Každým dalším prvkem odpověď
změníme na opačnou, s posledním prvkem získáme odpověď pro celý seznam:
oddLength' :: [a] -> Bool
oddLength' [] = False
oddLength' (_ : xs) = not (oddLength xs)
c) Opět přímočará rekurzivní definice funkce podle vzorů.
add1 :: Num n => [n] -> [n]
add1 [] = []
add1 (x : xs) = (x + 1) : add1 xs
d) Opět přímočará rekurzivní definice funkce podle vzorů.
multiplyN :: Num n => n -> [n] -> [n]
multiplyN _ [] = []
multiplyN n (x : xs) = (n * x) : multiplyN n xs
e) Opět přímočará rekurzivní definice funkce podle vzorů.
97
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 2: Rekurze a seznamy (řešení)
deleteEven :: Integral i => [i] -> [i]
deleteEven [] = []
deleteEven (x : xs) = if even x
then deleteEven xs
else x : deleteEven xs
f) Opět přímočará rekurzivní definice funkce podle vzorů.
deleteElem :: Eq a => a -> [a] -> [a]
deleteElem _ [] = []
deleteElem n (x : xs) = if x == n
then deleteElem n xs
else x : deleteElem n xs
g) Opět přímočará rekurzivní definice funkce podle vzorů.
largestNumber :: [Integer] -> Integer
largestNumber [x] = x
largestNumber (x : xs) = x `max` largestNumber xs
h) Stačí si uvědomit, jaké všechny případy mohou nastat. Jediný zajímavý případ je, když
oba vstupní seznamy jsou neprázdné. V takovém případě je potřeba porovnat první
prvky obou seznamů a také rekurzivně porovnat zbytky obou seznamů.
listsEqual :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
listsEqual [] [] = True
listsEqual [] _ = False
listsEqual _ [] = False
listsEqual (x : xs) (y : ys) = x == y && listsEqual xs ys
i) Tentokrát jen trochu komplikovanější rekurzivní definice funkce podle vzorů.
multiplyEven :: [Integer] -> [Integer]
multiplyEven [] = []
multiplyEven (x : xs) = if even x
then (2 * x) : multiplyEven xs
else multiplyEven xs
j) Tentokrát jen trochu komplikovanější rekurzivní definice funkce podle vzorů.
sqroots :: [Double] -> [Double]
sqroots [] = []
sqroots (x : xs) = if x > 0
then sqrt x : sqroots xs
else sqroots xs
Řeš. 2.2.12 Řešení se podobá funkci nth, při dosažení nuly se ale pokračuje dál s restartovaným
čítačem. Povšimněte si, že v následující implementaci používá lokálně definovaná funkce
everyNthOffset hodnotu n, která je argumentem vnější funkce.
everyNth :: Integer -> [a] -> [a]
everyNth n xs = everyNthOffset xs 0
where
everyNthOffset [] _ = []
everyNthOffset (x : xs) 0 = x : everyNthOffset xs (n - 1)
everyNthOffset (x : xs) m = everyNthOffset xs (m - 1)
98
IB015 – Sbírka úlohCvičení 3: Funkce vyšších řádů, λ-funkce, částečná aplikace, skládání (řešení)
Řeš. 2.2.13 Myšlenka řešení je procházet řetězec a držet si čítač právě otevřených a dosud neuzavřených
závorek. Ten na konci musí být nulový a zároveň nikdy během průchodu nesmí klesnout
pod nulu.
brackets :: String -> Bool
brackets s = bracketsWithDiff s 0
where
bracketsWithDiff [] k = k == 0
bracketsWithDiff ('(' : xs) k = bracketsWithDiff xs (k + 1)
bracketsWithDiff (')' : xs) k = k > 0 &&
bracketsWithDiff xs (k - 1)
Řeš. 2.2.14 Funkci, která rozhodne, jestli je řetězec palindromem, zadefinujeme jednoduše pomocí
funkce reverse a porovnání.
palindrome :: String -> Bool
palindrome str = str == reverse str
Po krátkém zamyšlení zjistíme, že na doplnění slova na palindrom nám stačí najít nejdelší
příponu slova, která tvoří palindrom. Vynechané znaky ze začátku pak doplníme i na konec
řetězce v obráceném pořadí.
palindromize :: String -> String
palindromize s = if palindrome s
then s
else [head s] ++ palindromize (tail s) ++ [head s]
Poznámka: Vzhledem k častému využívání sekvenčního spojování seznamů (++) nemá tato
funkce optimální časovou složitost. Zkuste se zamyslet, jak by se dala napsat efektivnější
funkce.
Řeš. 2.2.15 getMiddle :: [a] -> a
getMiddle xs = tortoiseRabbit xs xs
where
tortoiseRabbit (t : _) [_] = t
tortoiseRabbit (t : _) [_, _] = t
tortoiseRabbit (_ : ts) (_ : _ : rs) = tortoiseRabbit ts rs
Cvičení 3: Funkce vyšších řádů, λ-funkce, částečná aplikace,
skládání
Řeš. 3.η.2 oddify :: Integral a => [a] -> [a]
oddify xs = map (\x -> if odd x then x else x + 1) xs
Řeš. 3.η.3 inputWithOddified :: Integral a => [a] -> [(a, a)]
inputWithOddified xs = zip xs (oddify xs)
Řeš. 3.η.5 a) V prvním případě se aplikují funkce v opačném pořadí než v druhém.
b) Zápisy jsou ekvivalentní. V prvním případě bychom mohli vynechat formální parametr
x i závorky.
c) Zápisy jsou ekvivalentní. Poznámka: Závorky kolem x + 2 v druhém výrazu jsou nutné.
d) V prvním případě dostaneme chybu. Při vyhodnocování výrazu se nejdříve uzávorkují
operandy (.), a tudíž dostaneme výraz head . (head [[1], [2], [3]]). Protože
99
IB015 – Sbírka úlohCvičení 3: Funkce vyšších řádů, λ-funkce, částečná aplikace, skládání (řešení)
(head [[1], [2], [3]]) není unární funkcí, kterou po nás požaduje typ operátoru
(.), dostaneme typovou chybu. Druhý výraz je validní.
Řeš. 3.η.6 a) (take 4) [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] ∗
[1, 2, 3, 4]
Funkce, která očekává seznam a zkrátí ho na nejvýše 4 prvky.
b) ((++) "Hello, ") "World" ∗
"Hello, World"
Funkce, která očekává řetězec a přidá před něj řetězec "Hello, ".
c) (zip3 [1, 2, 3] ["a", "b"]) [True] ∗
[(1, "a", True)]
Funkce, která očekává jeden seznam a sezipuje ho se seznamy [1, 2, 3] a ["a", "b"]
na seznam trojic, přičemž prvky vstupního seznamu se dostanou do třetích složek
trojic.
d) (^ 2) 5 ∗
25
Funkce, která očekává číslo a spočítá jeho druhou mocninu.
Řeš. 3.η.7 a) ((==) 42) 16 – každá Haskellová funkce arity alespoň dva se nejprve aplikuje na
svůj první argument, čímž vznikne funkce o jedna nižší arity, která se dále aplikuje
na další argumenty.
b) (map ((==) 42)) [1, 2, 3] – stejný případ jako minulý bod: funkce map se nejprve
částečně aplikuje na svůj první argument a výsledná funkce se aplikuje na druhý
argument. Pokud bychom chtěli jít do detailu, měli bychom i rozepsat seznam pomocí
(:) a []: (map ((==) 42)) (1:(2:(3:[]))).
c) (g 4, (f g) 5) – je důležité si především všimnout, že f je (alespoň binární) funkce
aplikovaná na dva argumenty g a 5.
d) ( (zipWith3 f) ((g 4) a) ) xs – všimněte si, že funkce stále není plně aplikovaná.
e) Bool -> (Bool -> Bool) – závorkování typu zprava přímo odpovídá závorkování
výrazu zleva (porovnejte s (||) False True).
f) (a -> b -> c -> d) -> ([a] -> ([b] -> ([c] -> [d]))) – všimněte si, že závorka
končící před šipkou (->) má výrazně jiný význam, než ta začínající za šipkou.
g) (b -> c) -> ((a -> b) -> (a -> c)) – všimněte si, že závorka kolem a -> c
odpovídá obvyklému pohledu na funkci (.), která má tento typ – tedy jako na
binární funkci skládání funkcí (která produkuje funkci).
Řeš. 3.1.1 filterOutShorter :: [String] -> Int -> [String]
filterOutShorter ls n = filter (\str -> length str >= n) ls
Řeš. 3.1.2 getNames :: [(String, Integer)] -> [String]
getNames s = map fst s
successfulRecords :: [(String, Integer)] -> [(String, Integer)]
successfulRecords s = filter (\(_, p) -> p >= 8) s
successfulNames :: [(String, Integer)] -> [String]
successfulNames s = getNames (successfulRecords s)
-- zde by lambda byla moc dlouhá
successfulStrings :: [(String, Integer)] -> [String]
100
IB015 – Sbírka úlohCvičení 3: Funkce vyšších řádů, λ-funkce, částečná aplikace, skládání (řešení)
successfulStrings s = map formatStudent (successfulRecords s)
where
formatStudent (n, p) = n ++ ": " ++ show p ++ " b"
Řeš. 3.1.3 Funkci map lze využít v případě, že potřebujeme jistým způsobem modifikovat každý prvek
zadaného seznamu.
add1' :: [Integer] -> [Integer]
add1' xs = map (\x -> x + 1) xs
multiplyN' :: Integer -> [Integer] -> [Integer]
multiplyN' n xs = map (\x -> x * n) xs
Funkci filter naopak použijeme, chceme-li ze vstupního seznamu vybrat pouze některé
prvky.
deleteEven' :: [Integer] -> [Integer]
-- chci odstranit sudá čísla, ponechám tedy ty prvky,
-- pro které platí odd (číslo je liché)
deleteEven' xs = filter odd xs
deleteElem' :: Integer -> [Integer] -> [Integer]
deleteElem' n xs = filter (\x -> x /= n) xs
Funkce map a filter lze vhodně kombinovat, pokud chci prvky modifikovat a zároveň
filtrovat.
multiplyEven' :: [Integer] -> [Integer]
multiplyEven' xs = map (\x -> x * 2) (filter even xs)
sqroots' :: [Double] -> [Double]
sqroots' xs = map sqrt (filter (\x -> x > 0) xs)
Zbývající funkce nelze vhodně implementovat pomocí map a filter: listSum, oddLength
a listsEqual se vyhodnocují na jeden prvek (typu Integer nebo Bool), ale map a filter
vrací seznamy. Funkce listsEqual musí najednou procházet dva seznamy, ale map a filter
rekurzivně prochází vždy pouze jeden seznam (lze elegantně řešit použitím funkce zipWith,
je však potřeba ohlídat, zda mají seznamy stejnou délku).
Řeš. 3.1.4 import Data.Char
toUpperStr :: String -> String
toUpperStr = map toUpper
Řeš. 3.1.5 Nejdřív si zadefinujeme pomocný predikát isvowel, který o znaku určí, jestli je samohláskou.
Následně jednotlivé řetězce projdeme funkcí filter.
vowels :: [String] -> [String]
vowels s = map (filter isvowel) s
where
isvowel :: Char -> Bool
isvowel c = elem (toUpper c) "AEIOUY"
Řeš. 3.1.7 assignPrizes :: [String] -> [Integer] -> [(String, Integer)]
assignPrizes = zip
formatPrizeText :: String -> Integer -> String
101
IB015 – Sbírka úlohCvičení 3: Funkce vyšších řádů, λ-funkce, částečná aplikace, skládání (řešení)
formatPrizeText n p = n ++ ": " ++ show p ++ " Kc"
prizeTexts :: [String] -> [Integer] -> [String]
prizeTexts ns ps = zipWith formatPrizeText ns ps
Řeš. 3.1.8 map (\(x, y, z) -> if x then y else z)
(zip3 [True, False, False, True, False]
[1, 2, 3, 4] [16, 42, 7, 1, 666])
∗
[1, 42, 7, 4]
zipWith3 (\x y z -> max x (max y z))
[7, 4, 11, 2] [5, 7, 1] [16, 5, 0, 1]
∗
[16, 7, 11]
V prvním případě se jedná o funkci arity 1, která bere trojici (kde první složka je Bool
a další jsou čísla).
V druhém případě má lambda funkce aritu 3, bere tři čísla.
Řeš. 3.1.9 neighbors :: [a] -> [(a, a)]
neighbors xs = zip xs (tail xs)
Řeš. 3.1.10 f1 :: [Integer] -> Bool
f1 (x : y : s) = x == y || f1 (y : s)
f1 _ = False
Nebo kratší řešení používající funkci zipWith a funkci or, která spočítá logický součet
všech hodnot v zadaném seznamu:
f2 :: [Integer] -> Bool
f2 s = or (zipWith (==) s (tail s))
Řeš. 3.1.11 myMap :: (a -> b) -> [a] -> [b]
myMap f [] = []
myMap f (x : xs) = f x : myMap f xs
myFilter :: (a -> Bool) -> [a] -> [a]
myFilter p [] = []
myFilter p (x : xs) = if p x
then x : myFilter p xs
else myFilter p xs
myZipWith :: (a -> b -> c) -> [a] -> [b] -> [c]
myZipWith f (x : xs) (y : ys) = f x y : myZipWith f xs ys
myZipWith _ _ _ = []
Řeš. 3.1.12 Využít můžeme funkce any a all.
http://haskell.fi.muni.cz/doc/base/Prelude.html#v:any
http://haskell.fi.muni.cz/doc/base/Prelude.html#v:all
Řeš. 3.1.13 http://haskell.fi.muni.cz/doc/base/Prelude.html#v:takeWhile
http://haskell.fi.muni.cz/doc/base/Prelude.html#v:dropWhile
Řeš. 3.1.15 blueless :: [(Int, Int, Int)] -> [(Int, Int, Int)]
blueless colors = filter (\(r, g, b) -> b == 0) colors
102
IB015 – Sbírka úlohCvičení 3: Funkce vyšších řádů, λ-funkce, částečná aplikace, skládání (řešení)
greyscale :: [(Int, Int, Int)] -> [(Int, Int, Int)]
greyscale colors = filter (\(r, g, b) -> r == g && g == b) colors
polychromatic :: [(Int, Int, Int)] -> [(Int, Int, Int)]
polychromatic cs = filter (\(r, g, b) -> (r > 0 && g > 0)
|| (g > 0 && b > 0)
|| (r > 0 && b > 0)) cs
colorsToString :: [(Int, Int, Int)] -> [String]
colorsToString cs = map (\(r, g, b) -> "r: " ++ show r ++ " g: "
++ show g ++ " b: " ++ show b) cs
Řeš. 3.1.16 quickSort :: [Integer] -> [Integer]
quickSort [] = []
quickSort [x] = [x]
quickSort (x : xs) =
quickSort (filter (\y -> y < x) xs) ++
[x] ++
quickSort (filter (\y -> y >= x) xs)
Řeš. 3.2.1 a) (^) 3 2 ∗
9
Funkce, která vypočítá danou mocninu trojky.
b) (^ 3) 2 ∗
8
Funkce, která dané číslo umocní na třetí.
c) (3 ^) 2 ∗
9
Funkce, která umocní trojku daným číslem.
d) (- 2) ∗
-2
Číslo −2. Jelikož - je binární i unární operátor, nelze jej použít v pravé operátorové
sekci. Místo toho však existuje funkce subtract: subtract 2 44 ∗
42.
e) (2 -) 1 ∗
1
Funkce, která dané číslo odečte od dvojky.
f) (zipWith (+) [1, 2, 3]) [41, 14] ∗
[42, 16]
Funkce, která očekává seznam a po prvcích jej sečte se seznamem [1, 2, 3], produkuje
tedy seznam délky nejvýše 3.
g) (map (++ "!")) ["ahoj", "hi"] ∗
["ahoj!", "hi!"]
Funkce, která očekává seznam řecezů a produkuje nový seznam řetězců ve kterém je ke
každému řetězci na konec přidán „!“.
h) Syntakticky špatně utvořený výraz. Operátorové sekce musí být vždy v závorkách.
Řeš. 3.2.2 a) sumLists' :: Num a => [a] -> [a] -> [a]
sumLists' xs ys = zipWith (+) xs ys
b) upper' :: String -> String
upper' xs = map toUpper xs
c) embrace' :: [String] -> [String]
embrace' xs = map ('[' :) (map (++ "]") xs)
Nebo lze pro (:) použít prefixový tvar:
103
IB015 – Sbírka úlohCvičení 3: Funkce vyšších řádů, λ-funkce, částečná aplikace, skládání (řešení)
embrace'' :: [String] -> [String]
embrace'' xs = map ((:) '[') (map (++ "]") xs)
d) sql' :: (Ord a, Num a) => [a] -> a -> [a]
sql' xs lt = map (^ 2) (filter (< lt) xs)
Řeš. 3.2.3 a) Ne. První výraz je díky implicitním závorkám částečné aplikace ekvivalentní
((f 1) g) 2 a odpovídá funkci f beroucí tři parametry a druhý je ekvivalentní
(f 1) (g 2).
b) Ano, (f 1 g) 2 ≡ f 1 g 2 ≡ (f 1) g 2 (tedy funkce f tu bere dva argumenty).
c) Ne, (* 2) 3 ≡ (*) 3 2 ≡ 3 * 2. Neexistuje pravidlo, které by zaručovalo, že 3 * 2 se
bude rovnat 2 * 3 (standard jazyka Haskell komutativitu operátoru (*) nevynucuje).
Nezapomínejme, že všechny operátory definované typovými třídami můžeme předefinovat.
Poznámka: (pokročilejší) Toto by bylo možné pouze v případě, že by komutativity vyžadovaly
axiomy typové třídy, ve které je daný operátor/funkce definována. Ani to by však nezaručovalo skutečnou
korektnost – interpret/kompilátor platnost axiomů nekontroluje (ani to není v jeho silách). Zůstává pouze
důvěra v programátora, že jeho implementace je korektní.
d) Ano, (* 3) je pravá sekce.
Řeš. 3.2.4 Následující výrazy jsou ekvivalentní:
• a f g b ≡ ((a f) g) b ≡ (a f) g b (a ≡ c ≡ e)
V těchto výrazech jsou arity následující:
• a – arita alespoň 3 (bere minimálně 3 argumenty – f, g, b)
• f, g, b – arita alespoň 0 (konstanta)
• (a f) (g b) ≡ a f (g b) (b ≡ f)
Arity:
• a – arita alespoň 2 (argumenty f a (g b))
• g – arita alespoň 1
• f, b – arita alespoň 0
• a (f (g b)) nemá ekvivalentní výraz (d)
Arity:
• a, f, g – arita alespoň 1
• b – arita alespoň 0
• a (f g b) nemá ekvivalentní výraz (g)
Arity:
• f – arita alespoň 2
• a – arita alespoň 1
• g, b – arita alespoň 0
Řeš. 3.2.5 Následující typy jsou ekvivalentní:
• A -> B -> C -> D -> E ≡ A -> (B -> C -> D -> E) ≡ A -> B -> C -> (D ->
E) ≡ A -> (B -> (C -> (D -> E))) (a ≡ c ≡ d ≡ f)
Arita funkce je 4, nejedná se o funkci vyššího řádu.
• (A -> B) -> C -> D -> E nemá ekvivalentní typ (b)
Arita je 3, jde o funkci vyššího řádu (1. argument je funkce A -> B).
104
IB015 – Sbírka úlohCvičení 3: Funkce vyšších řádů, λ-funkce, částečná aplikace, skládání (řešení)
• A -> ((B -> C) -> D -> E) ≡ A -> (B -> C) -> D -> E (e ≡ h)
Arita 3, jde o funkci vyššího řádu (2. argument je funkce B -> C).
• (((A -> B) -> C) -> D) -> E nemá ekvivalentní typ (g)
Arita 1, jde o funkci vyššího řádu (která bere funkci vyššího řádu).
Řeš. 3.3.1 a) map even :: Integral a => [a] -> [Bool]
b) map head . snd :: (a, [[b]]) -> [b]
c) filter ((4 >) . last) :: (Ord a, Num a) => [[a]] -> [[a]]
d) const const :: a -> b -> c -> b
Řeš. 3.3.2 countStudentsByPoints :: Integer -> [(String, Integer)] -> Int
countStudentsByPoints pt s = length (filter (== pt) (map snd s))
countStudentsByPoints' :: Integer -> [(String, Integer)] -> Int
countStudentsByPoints' pt = length . filter ((== pt) . snd)
studentNamesByPoints :: Integer -> [(String, Integer)] -> [String]
studentNamesByPoints pt s = getNames (filter ((== pt) . snd) s)
studentsStartingWith :: Char -> [(String, Integer)]
-> [(String, Integer)]
studentsStartingWith c = filter ((== c) . head . fst)
Řeš. 3.3.3 a) failing' :: [(Int, Char)] -> [Int]
failing' sts = map fst (filter ((== 'F') . snd) sts)
failing'' :: [(Int, Char)] -> [Int]
failing'' = map fst . (filter ((== 'F') . snd))
b) embraceWith' :: Char -> Char -> [String] -> [String]
embraceWith' l r = map ((l :) . (++ [r]))
Argumenty l a r nelze rozumně odstranit.
c) divisibleBy7' :: [Integer] -> [Integer]
divisibleBy7' = filter ((== 0) . (`mod` 7))
d) letterCaesar' :: String -> String
letterCaesar' = map (chr . (3 +) . ord) . filter isLetter
e) zp' :: (Integral a, Num b) => [a] -> [b] -> [b]
zp' = zipWith (flip (^))
Řeš. 3.3.4 Vzájemně ekvivalentní funkce jsou spojeny:
105
IB015 – Sbírka úlohCvičení 3: Funkce vyšších řádů, λ-funkce, částečná aplikace, skládání (řešení)
\x -> (x * 2) > 42
(> 42) . (* 2)
flip (>) 42 . flip (*) 2
(\x -> x > 42) . (* 2)
\x -> ((> 42) . (* 2)) x
(* 2) . (> 42)
(>) 42 . (*) 2
flip (> 42) . flip (* 2)flip > 42 . flip * 2
(<) 42 . (*) 2
* 2 . > 42 (> 42) (* 2)
Všechny vzájemně ekvivalentní výrazy můžeme získat různými ekvivalentními úpravami
z \x -> (x * 2) > 42.
Zbývající výrazy:
• (* 2) . (> 42) by nejprve porovnával vstup s hodnotou 42 a poté teprve přičítal 2
k výsledku typu Bool, je tedy typově nesprávný.
• (> 42) (* 2) aplikuje sekci (> 42) na (* 2), (> 42) však vyžaduje na vstupu
číslo, ale (* 2) je typu Num a => a -> a. Výraz je tedy typově nesprávný.
• * 2 . > 42 je syntakticky nesprávný, operátorové sekce je vždy potřeba uzávorkovat.
• (<) 42 . (*) 2 není nutně ekvivalentní pro všechny vstupy, protože nic negarantuje,
že (*) je komutativní a při prohození argumentů lze zaměnit (>) za (<). Jelikož jsou
tyto funkce definovány zvlášť pro každý datový typ v dané typové třídě, je možné, že
nějaká implementace toto splňovat nebude.
• flip > 42 . flip * 2 se uzávorkuje jako flip > ((42 . flip) * 2), a pokouší
se tedy skládat číslo 42 a funkci flip a dokonce tento výsledek složení násobit dvěma.
Tento výraz je tedy typově nesprávný.
• flip (> 42) . flip (* 2) – flip očekává binární funkci, ale (> 42) a (* 2) jsou
nutně unární.
• (>) 42 . (*) 2 je ekvivalentní s \x -> 42 > (2 * x), argumenty jsou tedy otoče-
ny.
Řeš. 3.3.5 a) Naším cílem je ze zadané funkce vytvořit negovanou funkci. Z typu funkce negp vidíme,
že můžeme uvést dva argumenty – predikát a hodnotu. Pak jen na výsledek volání f
zavoláme funkci not, která realizuje logickou negaci.
negp :: (a -> Bool) -> a -> Bool
negp f x = not (f x)
b) Funkci z předchozího příkladu můžeme přepsat do tvaru složení funkcí:
negp f x = (not . f) x
Odtud můžeme následně odstranit formální argument:
106
IB015 – Sbírka úlohCvičení 3: Funkce vyšších řádů, λ-funkce, částečná aplikace, skládání (řešení)
negp f = not . f
K tomuto výsledku můžeme dojít i přímo, uvědomíme-li si, že negace predikátu je
složením predikátu s funkcí negace.
c) Dále lze tělo funkce přepsat do prefixového tvaru:
negp f = (.) not f
A následně lze odstranit poslední formální argument f, čímž dostaneme definici plně
bez formálních argumentů:
negp = (.) not
Alternativně lze tělo funkce upravit pomocí operátorové sekce:
negp f = (not .) f
negp = (not .)
Poznámka: Z hlediska elegance a čistoty kódu by byla většinou programátorů v Haskellu pravděpodobně
preferována varianta negp f = not . f.
Řeš. 3.3.7 a) \x -> (f . g) x
f . g
b) \x -> f . g x
\x -> (.) f (g x)
\x -> ((.) f . g) x
(.) f . g
c) \x -> f x . g
\x -> (.) (f x) g
\x -> flip (.) g (f x)
\x -> (flip (.) g . f) x
flip (.) g . f
Řeš. 3.3.8 a) (^ 2) . mod 4 . (+ 1)
\x -> ((^ 2) . mod 4 . (+ 1)) x
\x -> (^ 2) (mod 4 ((+ 1) x))
\x -> (mod 4 (x + 1)) ^ 2
b) (+) . sum . take 10
\x -> ((+) . sum . take 10) x
\x -> (+) (sum (take 10 x))
\x y -> (+) (sum (take 10 x)) y
\x y -> sum (take 10 x) + y
c) map f . flip zip [1, 2, 3]
\x -> (map f . flip zip [1, 2, 3]) x
\x -> map f (flip zip [1, 2, 3] x)
\x -> map f (zip x [1, 2, 3])
d) (.)
\f g -> (.) f g
\f g -> f . g
\f g x -> (f . g) x
\f g x -> f (g x)
107
IB015 – Sbírka úlohCvičení 3: Funkce vyšších řádů, λ-funkce, částečná aplikace, skládání (řešení)
Řeš. 3.3.9 a) f :: a -> b -> b
f x y = y
f x y = const y x
f x y = flip const x y
f = flip const
b) f :: Num a => a -> b -> a
f x y = const (3 + x) y
f x = const (3 + x)
f x = const ((3 +) x)
f x = (const . (3 +)) x
f = const . (3 +)
Řeš. 3.3.10 a) \_ -> x
\t -> x
\t -> const x t
const x
b) \x -> f x 1
\x -> flip f 1 x
flip f 1
c) \x -> f 1 x True
\x -> (f 1) x True
\x -> flip (f 1) True x
flip (f 1) True
d) const x
e) \x -> 0
\x -> const 0 x
const 0
f) Není možno převést, poněvadž if ... then ... else ... není klasická funkce, ale
syntaktická konstrukce, podobně jako let ... in ....
g) \f -> flip f x
\f -> flip flip x f
flip flip x
Řeš. 3.3.11 a) Postupně převádíme:
f1 x y z = x
f1 x y z = const x z -- přidáme z tak, abychom ho mohli odstranit
f1 x y = const x
f1 x y = const (const x) y -- přidáme y
f1 x = const (const x)
f1 x = (const . const) x
f1 = const . const
b) f2 x y z = y
f2 x y z = const y z
f2 x = const -- eta-redukujeme obojí
f2 x = const const x -- přidáme x
108
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 4: Vlastní a rekurzivní datové typy, Maybe (řešení)
f2 = const const
c) f3 x y z = z
f3 x y z = id z -- přidáme uměle identitu
f3 x y = id
f3 x y = const id y -- přidáme y
f3 x = const id
f3 x = const (const id) x -- přidáme x
f3 = const (const id)
Řeš. 3.3.12 Několikrát po sobě použijeme funkci flip.
g = flip (flip ... (flip (flip f c1) c2) ... cn)
Cvičení 4: Vlastní a rekurzivní datové typy, Maybe
Řeš. 4.η.1 weekend :: Day -> Bool
weekend Sat = True
weekend Sun = True
weekend _ = False
Pokud je typ Day zaveden v typové třídě Eq, můžeme použít i následující alternativní
definici funkce weekend:
weekend' :: Day -> Bool
weekend' d = d == Sat || d == Sun
Případně můžeme využít i instance Ord:
weekend'' :: Day -> Bool
weekend'' d = d >= Sat
Řeš. 4.η.2 a) Příklady hodnot jsou:
Cube 1 2 3
Cylinder (-3) (1/2)
Některé z těchto hodnot sice nemusí odpovídat skutečným tělesům, ale uvedený datový
typ je umožňuje zapsat.
b) Hodnotové konstruktory jsou umístěny jako první identifikátor ve výrazech oddělených
svislítky. Tedy v tomto případě to jsou Cube, Cylinder. Také hodnotový konstruktor
začíná velkým písmenem.
c) Typové konstruktory můžeme rozlišit na nově definované a na ty, které jsou jenom
použité. Typový konstruktor je vždy umístěn jako první identifikátor za klíčovým
slovem data, tedy v tomto případě Object. Kromě toho je tady použit i existující
typový konstruktor, konkrétně Double.
d) Funkci budeme definovat po částech. Pro každý možný tvar hodnoty typu Object, tj.
pro každý typ tělesa definujeme samostatný řádek funkce. Poznamenejme, že je nutné
použít závorky kolem argumentů funkcí, aby byl tento výraz považován jako jeden
argument, ne za několik argumentů. K definici funkcí můžeme využít i konstantu pi,
která je v Haskellu standardně dostupná.
volume :: Object -> Double
volume (Cube x y z) = x * y * z
volume (Cylinder r v) = pi * r * r * v
109
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 4: Vlastní a rekurzivní datové typy, Maybe (řešení)
surface :: Object -> Double
surface (Cube x y z) = 2 * (x * y + x * z + y * z)
surface (Cylinder r v) = 2 * pi * r * (v + r)
Řeš. 4.η.3 data Contained a = NoValue | Single a | Pair a a
data Compare a = SameContainer
| SameValue (Contained a)
| DifferentContainer
cmpContained :: Eq a => Contained a
-> Maybe (Contained a)
-> Compare a
cmpContained NoValue (Just NoValue) =
SameValue NoValue
cmpContained (Single x1) (Just (Single x2)) =
if x1 == x2
then SameValue (Single x1)
else SameContainer
cmpContained (Pair x1 y1) (Just (Pair x2 y2)) =
if x1 == x2 && y1 == y2
then SameValue (Pair x1 y1)
else SameContainer
cmpContained _ _ = DifferentContainer
Nezapomeňte, že hodnotový konstruktor lze vnímat jako funkci jako každou jinou.
Proto je potřeba závorky psát jenom tam, kde je potřeba určit pořadí, v jakém se mají
funkce aplikovat.
V případě parametrů je jen potřeba odlišit, co všechno tvoří jeden parametr.
Řeš. 4.η.4 a) Korektní typ s hodnotou například Nothing nebo Just 'A'.
b) Nekorektní výraz – typový konstruktor Maybe aplikovaný na hodnotu.
c) Korektní hodnota typu Maybe String.
d) Nekorektní výraz – hodnotový konstruktor Just očekává hodnotu, Integer je ovšem
typ.
e) Korektní hodnota typu Maybe (Maybe a).
f) Korektní hodnota typu Num a => [Maybe a].
g) Korektní hodnota typu Bool -> Maybe a -> Maybe a.
Řeš. 4.η.5 safeDiv :: Integral a => a -> a -> Maybe a
safeDiv _ 0 = Nothing
safeDiv x y = Just (x `div` y)
Řeš. 4.η.6 Maybe-hodnotu je třeba rozebrat pomocí vzorů a v závislosti na tom, zda jde o Just
obsahující hodnotu, nebo o Nothing, vrátit buď obsaženou hodnotu, nebo výchozí hodnotu.
valOrDef :: Maybe a -> a -> a
valOrDef (Just x) _ = x
valOrDef Nothing d = d
Téměř tato funkce existuje i ve standardní knihovně a to v modulu Data.Maybe
a jmenuje se fromMaybe – tyto dvě funkce se liší jen pořadím argumentů.
110
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 4: Vlastní a rekurzivní datové typy, Maybe (řešení)
Řeš. 4.1.1 a) Příklady hodnot jsou:
Steel
Warrior 100 Leather 5
Warrior (-42) Leather (-4)
Definice datových typů nevynucuje, aby celočíselné parametry byly nezáporné.
b) Hodnotové konstruktory jsou v tomto případě Steel, Leather a Warrior.
c) Typové konstruktory jsou v tomto případě Armor a Warrior. Kromě toho je tady použit
i existující typový konstruktor, konkrétně Integer. WeaponsPoints a HealthPoints
nejsou typové konstruktory, pouze typové aliasy.
d) Řešení může být následující:
attack :: Warrior -> Warrior -> Warrior
attack (Warrior _ _ hit) (Warrior hp Leather w) =
Warrior (max 0 (hp - hit)) Leather w
attack (Warrior _ _ hit) (Warrior hp Steel w) =
Warrior (max 0 (hp - hit `div` 2)) Steel w
Řeš. 4.1.2 data Jar = EmptyJar
| Cucumbers
| Jam String
| Compote Int
deriving (Show, Eq)
today :: Int
today = 2023
stale :: Jar -> Bool
stale EmptyJar = False
stale Cucumbers = False
stale (Jam _) = False
stale (Compote x) = today - x >= 10
Alternativní řešení s menším počtem vzorů a hlavně přehlednějším zápisem (víme, že
výsledek pro první tři případy je stejný):
stale' :: Jar -> Bool
stale' (Compote x) = today - x >= 10
stale' _ = False
Řeš. 4.1.3 a) Nulární typový konstruktor X, unární hodnotový konstruktor Value.
b) Nulární typové konstruktory M a N, nulární hodnotové konstruktory A, B, C, D, unární
hodnotové konstruktory N a M.
c) Chybná deklarace: Hah je v seznamu použito jako typový konstruktor, jedná se však
o hodnotový konstruktor.
d) Nulární typový konstruktor FNM, ternární hodnotový konstruktor T.
e) Vytváří se pouze typové synonymum (nulární).
f) Nulární typový konstruktor E, unární hodnotový konstruktor E.
Řeš. 4.1.4 a) Ok.
b) Nok, typová proměnná a musí být argumentem konstruktoru Makro.
c) Nok, hodnotový konstruktor není možné použít vícekrát.
111
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 4: Vlastní a rekurzivní datové typy, Maybe (řešení)
d) Nok, typová proměnná c musí být argumentem konstruktoru Fun.
e) Nok, argumenty konstruktoru Fun mohou být pouze typové proměnné, ne složitější
typové výrazy (tj. není možné použít definici podle vzoru).
f) Nok, Z X není korektní výraz, protože X je hodnotový konstruktor.
g) Nok, každý hodnotový konstruktor musí začínat velkým písmenem.
h) Nok, výraz je interpretován jako hodnotový konstruktor Makro se třemi argumenty:
Int, -> a Int – je nutné přidat závorky kolem (Int -> Int).
i) Nok, syntax výrazu je chybná: type musí mít na pravé straně pouze jednu možnost
(jedná se o typové synonymum, ne o nový datový typ).
j) Ok, typový i hodnotové konstruktory mají stejný název. Na pravé straně definice je X
nejdřív binárním hodnotovým a pak dvakrát nulárním typovým konstruktorem. Jediná
plně definovaná hodnota tohoto typu je x = X x x.
Řeš. 4.1.5 a) Matematická definice rovnosti zlomků nám říká, že 𝑎
𝑏 = 𝑐
𝑑 ⇔ 𝑎 ⋅ 𝑑 = 𝑏 ⋅ 𝑐. Funkci pak
už snadno postavíme na této rovnosti.
fraceq :: Frac -> Frac -> Bool
fraceq (a, b) (c, d) = a * d == b * c
b) Zde opět použijeme vestavěnou funkci signum.
nonneg :: Frac -> Bool
nonneg (a, b) = signum a == signum b
c) K řešení nám opět pomůže si nejdříve matematicky zapsat požadovaný výraz: 𝑎
𝑏 + 𝑐
𝑑 =
𝑎𝑑+𝑏𝑐
𝑏𝑑 .
fracplus :: Frac -> Frac -> Frac
fracplus (a, b) (c, d) = simplify (a * d + b * c, b * d)
d) fracminus :: Frac -> Frac -> Frac
fracminus (a, b) (c, d) = fracplus (a, b) (-c, d)
e) fractimes :: Frac -> Frac -> Frac
fractimes (a, b) (c, d) = simplify (a * c, b * d)
f) fracdiv :: Frac -> Frac -> Frac
fracdiv (_, _) (0, _) = error "division by zero"
fracdiv (a, b) (c, d) = fractimes (a, b) (d, c)
g) Pro úpravu do základního tvaru postačí vydělit čitatele i jmenovatele jejich největším
společným jmenovatelem (můžeme použít vestavěnou funkci gcd, která pracuje i se
zápornými čísly). Musíme si však dát pozor na znaménko – základním tvarem zlomku
−2
−4 je 1
2 a nikoliv −1
−2 . To můžeme zajistit následovně: číslo ve jmenovateli základního
tvaru budeme mít vždy kladné a znaménko přeneseme do čitatele (například pomocí
vestavěné funkce signum).
simplify :: Frac -> Frac
simplify (a, b) = ((signum b) * (a `div` d), abs (b `div` d))
where d = gcd a b
Poznámka: Haskell má vestavěný typ pro zlomky, Rational. Ten je reprezentován v podstatě stejným způsobem,
tedy jako dvě hodnoty typu Integer. Nicméně nejedná se přímo o dvojice, ale typ Rational definuje hodnotový
konstruktor %, tedy například zlomek 1
4
zapíšeme jako 1 % 4. Datový typ Rational je instancí mnoha typových
tříd, mimo jiné Num a Fractional, proto s ním lze pracovat jako s jinými číselnými typy v Haskellu a používat
operátory jako (+), (-), (*), (/).
112
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 4: Vlastní a rekurzivní datové typy, Maybe (řešení)
Řeš. 4.1.6 commonPricing :: Int -> Float
commonPricing cups = fromIntegral (13 * pricingCups)
where
pricingCups = cups - cups `div` 10
employeeDiscount :: Float -> Float
employeeDiscount basePrice = basePrice * (1 - 0.15)
studentPricing :: Int -> Float
studentPricing cups = fromIntegral cups
data PricingType = Common | Employee | Student
computePrice :: PricingType -> Int -> (Int -> Float)
-> (Float -> Float) -> (Int -> Float) -> Float
computePrice Common cups cp _ _ = cp cups
computePrice Employee cups cp ed _ = (ed . cp) cups
computePrice Student cups _ _ sp = sp cups
Řeš. 4.1.7 commonPricing :: Int -> Float
commonPricing cups = fromIntegral (13 * pricingCups)
where
pricingCups = cups - cups `div` 10
employeeDiscount :: Float -> Float
employeeDiscount basePrice = basePrice * (1 - 0.15)
studentPricing :: Int -> Float
studentPricing cups = fromIntegral cups
data PricingType' = Common'
| Special (Int -> Float)
| Discount (Float -> Float)
computePrice :: PricingType' -> Int -> (Int -> Float) -> Float
computePrice Common' cups cp = cp cups
computePrice (Special sp) cups _ = sp cups
computePrice (Discount dp) cups cp = dp (cp cups)
common :: PricingType'
common = Common'
employee :: PricingType'
employee = Discount employeeDiscount
student :: PricingType'
student = Special studentPricing
Řeš. 4.2.1 a) Nekorektní výraz – typový konstruktor Maybe aplikovaný na hodnotu.
b) Nekorektní výraz – hodnotový konstruktor Just je aplikovaný na příliš mnoho argu-
mentů.
113
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 4: Vlastní a rekurzivní datové typy, Maybe (řešení)
c) Korektní hodnota typu Num a => Maybe (Maybe a).
d) Nekorektní výraz – typový konstruktor Maybe aplikovaný na hodnotu Nothing.
e) Nekorektní výraz – nulární hodnotový konstruktor Nothing nebere žádné argumenty.
f) Korektní hodnota typu (Num a) => Maybe [Maybe a].
g) Korektní hodnota (funkce) typu a -> Maybe a.
Řeš. 4.2.2 a) Korektní typ s hodnotou například Nothing.
b) Nekorektní výraz – hodnotový konstruktor Just očekává hodnotu, a je ovšem typ.
c) Korektní hodnota typu (Num a) => Maybe (a -> a).
d) Korektní hodnota (ne funkce) typu Maybe (a -> Maybe a).
e) Nekorektní výraz – implicitní závorky jsou (Just Just) Just a podle předchozího
příkladu víme, že Just Just :: Maybe (a -> Maybe a). Avšak tento výraz není
funkcí (je to Maybe výraz – podstatný je vnější typový konstruktor), a proto ho
nemůžeme aplikovat na hodnotu, jako by to byla funkce.
Řeš. 4.2.3 divlist :: Integral a => [a] -> [a] -> [Maybe a]
divlist = zipWith safeDiv
Funkce safeDiv je definovaná stejně jako v příkladu 4.η.5.
Řeš. 4.2.5 mayZip :: [a] -> [b] -> [(Maybe a, Maybe b)]
mayZip (a : xa) (b : xb) = (Just a, Just b) : (mayZip xa xb)
mayZip [] (b : xb) = (Nothing, Just b) : (mayZip [] xb)
mayZip (a : xa) [] = (Just a, Nothing) : (mayZip xa [])
mayZip [] [] = []
Řeš. 4.2.6 summarize :: StudentResult -> String
summarize (StudentResult name course res) =
unwords [name, "has", showRes res, "from", course]
where
showRes (Just res) = show res
showRes _ = "no result"
Řeš. 4.3.1 a) Zero, Succ Zero, Succ (Succ Zero), Succ (Succ (Succ Zero)), ...
b) Zajistí, že kompilátor deklaruje Nat jako instanci typové třídy Show (tj. typové třídy
poskytující funkci show, která umožní převést hodnotu typu na jeho řetězcovou interpretaci)
a na základě definice datového typu Nat automaticky definuje intuitivním způsobem
funkci show, tj. např. show (Succ (Succ Zero)) ∗
"Succ (Succ Zero)".
c) natToInt :: Nat -> Int
natToInt Zero = 0
natToInt (Succ x) = 1 + natToInt x
d) Takováto hodnota má tvar Succ (Succ (Succ (Succ ...))). Lze se tedy inspirovat
například funkcí repeat:
natInfinity :: Nat
natInfinity = Succ natInfinity
Řeš. 4.3.2 a) Con 3.14
b) eval :: Expr -> Double
eval (Con x) = x
eval (Add x y) = eval x + eval y
114
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 4: Vlastní a rekurzivní datové typy, Maybe (řešení)
eval (Sub x y) = eval x - eval y
eval (Mul x y) = eval x * eval y
eval (Div x y) = eval x / eval y
c) Pro získání hodnoty z výrazu tvaru Just x použijeme funkci fromJust a pro zjištění,
zda hodnota existuje funkci isJust. Obě naleznete v modulu Data.Maybe, nebo si
je můžete definovat sami:
fromJust :: Maybe a -> a
fromJust (Just x) = x
isJust :: Maybe a -> Bool
isJust (Just _) = True
isJust _ = False
Pozor, mezi použitím isJust x a x /= Nothing je podstatný rozdíl v tom, že to
druhé vyžaduje, aby typ zabalený uvnitř Maybe hodnoty byl porovnatelný.
Nyní již samotné řešení.
import Data.Maybe
evalMay :: Expr -> Maybe Double
evalMay (Con x) = Just x
evalMay (Add x y) = if isJust evx && isJust evy
then Just (fromJust evx + fromJust evy)
else Nothing
where
evx = evalMay x
evy = evalMay y
-- vyhodnocovani pro konstruktory Sub a Mul je uplne analogicke
-- vyhodnocovani Add, proto ho neuvadime
evalMay (Div x y) = if isJust evx && isJust evy
&& fromJust evy /= 0
then Just (fromJust evx / fromJust evy)
else Nothing
where
evx = evalMay x
evy = evalMay y
Tato úloha se dá o mnoho jednodušeji řešit s použitím tzv. monád (či alespoň
Applicative). O nich se něco můžete dozvědět například na navazujících předmětech
IB016 a IA014.
Řeš. 4.3.3 data Expr = Con Double | Var
| Add Expr Expr | Sub Expr Expr
| Mul Expr Expr | Div Expr Expr
eval' :: Double -> Expr -> Double
eval' _ (Con x) = x
eval' v Var = v
eval' v (Add x y) = eval' v x + eval' v y
eval' v (Sub x y) = eval' v x - eval' v y
eval' v (Mul x y) = eval' v x * eval' v y
115
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 4: Vlastní a rekurzivní datové typy, Maybe (řešení)
eval' v (Div x y) = eval' v x / eval' v y
Řeš. 4.3.4 a) Jsou to tyto stromy: ()
()
EE
()
EE
()
E()
E()
EE
()
E()
()
EE
E
()
()
E()
EE
E
()
()
()
EE
E
E
tree1 = Node () (Node () Empty Empty) (Node () Empty Empty)
tree2 = Node () (Node () (Node () Empty Empty) Empty) Empty
tree3 = Node () (Node () Empty (Node () Empty Empty)) Empty
tree4 = Node () Empty (Node () (Node () Empty Empty) Empty)
tree5 = Node () Empty (Node () Empty (Node () Empty Empty))
b) Nechť #()(𝑛) je počet stromů typu BinTree (). Pak lze nahlédnout, že
#()(𝑛) = {
1 if 𝑛 = 0
∑
𝑛−1
𝑖=0
#()(𝑖)#()(𝑛 − 𝑖 − 1) if 𝑛 > 0
Pokud bychom chtěli znát konkrétní hodnoty, můžeme formuli přepsat
count 0 = 1
count n = sum $ map (\i -> count i * count (n - i - 1))
[0 .. n - 1]
čímž lehce zjistíme, že map count [0..5] [1,1,2,5,14,42].
c) Pro BinTree Bool platí
#Bool(𝑛) = 2 𝑛
#()(𝑛)
Obecně pro BinTree 𝑡 máme:
# 𝑡(𝑛) = |𝑡| 𝑛
#()(𝑛),
kde |𝑡| je počet různých hodnot typu 𝑡. Hledané hodnoty #Bool(𝑛) jsou:
countT t n = t ^ n * count n
map (countT 2) [0, 1, 2, 3, 4, 5] ∗
[1, 2, 8, 40, 224, 1344]
Řeš. 4.3.5 a) treeSize :: BinTree a -> Int
treeSize Empty = 0
treeSize (Node _ t1 t2) = 1 + treeSize t1 + treeSize t2
b) listTree :: BinTree a -> [a]
listTree Empty = []
listTree (Node v t1 t2) = listTree t1 ++ [v] ++ listTree t2
c) height :: BinTree a -> Int
height Empty = 0
height (Node _ l r) = 1 + max (height l) (height r)
d) longestPath :: BinTree a -> [a]
longestPath Empty = []
longestPath (Node v t1 t2) = if length p1 > length p2
then v : p1
else v : p2
116
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 4: Vlastní a rekurzivní datové typy, Maybe (řešení)
where
p1 = longestPath t1
p2 = longestPath t2
Řeš. 4.3.6 a) fullTree :: Int -> a -> BinTree a
fullTree 0 _ = Empty
fullTree n v = Node v (fullTree (n - 1) v) (fullTree (n - 1) v)
b) treeZip :: BinTree a -> BinTree b -> BinTree (a, b)
treeZip (Node x1 l1 r1) (Node x2 l2 r2) =
Node (x1, x2) (treeZip l1 l2) (treeZip r1 r2)
treeZip _ _ = Empty
Řeš. 4.3.7 treeMayZip :: BinTree a -> BinTree b -> BinTree (Maybe a, Maybe b)
treeMayZip (Node a l1 r1) (Node b l2 r2) =
Node (Just a, Just b) (treeMayZip l1 l2) (treeMayZip r1 r2)
treeMayZip (Node a l1 r1) Empty =
Node (Just a, Nothing) (treeMayZip l1 Empty) (treeMayZip r1 Empty)
treeMayZip Empty (Node b l2 r2) =
Node (Nothing, Just b) (treeMayZip Empty l2) (treeMayZip Empty r2)
treeMayZip Empty Empty = Empty
Řeš. 4.3.8 a) -- Rozšíření množiny hodnot typu `a` o nekonečno
data MayInf a = Inf | NegInf | Fin a
deriving (Eq)
instance (Ord a) => Ord (MayInf a) where
_ <= Inf = True
Inf <= _ = False
NegInf <= _ = True
_ <= NegInf = False
(Fin a) <= (Fin b) = a <= b
isTreeBST :: (Ord a) => BinTree a -> Bool
isTreeBST = isTreeBST' NegInf Inf
isTreeBST' :: (Ord a) => MayInf a -> MayInf a -> BinTree a -> Bool
isTreeBST' _ _ Empty = True
isTreeBST' low high (Node v l r) = let v' = Fin v in
low <= Fin v && Fin v <= high &&
isTreeBST' v' high r &&
isTreeBST' low v' l
-- alternativní definice
isTreeBST2 :: (Ord a) => BinTree a -> Bool
isTreeBST2 = isAscendingList . inorder
inorder :: BinTree a -> [a]
inorder Empty = []
inorder (Node v l r) = inorder l ++ [v] ++ inorder r
117
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 4: Vlastní a rekurzivní datové typy, Maybe (řešení)
isAscendingList :: (Ord a) => [a] -> Bool
isAscendingList [] = True
isAscendingList l = and $ zipWith (<=) l (tail l)
b) searchBST :: (Ord a) => a -> BinTree a -> Bool
searchBST _ Empty = False
searchBST k (Node v l r) = case compare k v of
EQ -> True
LT -> searchBST k l
GT -> searchBST k r
Řeš. 4.4.1 roseTreeSize :: RoseTree a -> Int
roseTreeSize (RoseNode _ subtrees) =
1 + sum (map roseTreeSize subtrees)
roseTreeSum :: Num a => RoseTree a -> a
roseTreeSum (RoseNode v subtrees) =
v + sum (map roseTreeSum subtrees)
roseTreeMap :: (a -> b) -> RoseTree a -> RoseTree b
roseTreeMap f (RoseNode v subtrees) =
RoseNode (f v) (map (roseTreeMap f) subtrees)
Řeš. 4.4.2 evalExpr :: LogicExpr -> Bool
evalExpr Pos = True
evalExpr Neg = False
evalExpr (And x y) = evalExpr x && evalExpr y
evalExpr (Or x y) = evalExpr x || evalExpr y
evalExpr (Implies x y) = not (evalExpr x) || evalExpr y
evalExpr (Equiv x y) = evalExpr x == evalExpr y
Řeš. 4.4.3 data Bit = O | I
deriving Show
toBitString :: Int -> [Bit]
toBitString 0 = [O]
toBitString a = (if a `mod` 2 == 1 then I else O)
: toBitString (a `div` 2)
fromBitString :: [Bit] -> Int
fromBitString (O : xs) = 2 * fromBitString xs
fromBitString (I : xs) = 1 + 2 * fromBitString xs
fromBitString [] = 0
insert :: IntSet -> Int -> IntSet
insert set num = insert' set (toBitString num)
insert' :: IntSet -> [Bit] -> IntSet
insert' SetLeaf [] = SetNode True SetLeaf SetLeaf
insert' (SetNode _ l r) [] = SetNode True l r
insert' SetLeaf (O : bits) = SetNode False (insert' SetLeaf bits) SetLeaf
118
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 5: Intensionální seznamy, lenost, foldy (řešení)
insert' SetLeaf (I : bits) = SetNode False SetLeaf (insert' SetLeaf bits)
insert' (SetNode end l r) (O : bits) = SetNode end (insert' l bits) r
insert' (SetNode end l r) (I : bits) = SetNode end l (insert' r bits)
find :: IntSet -> Int -> Bool
find set num = find' set (toBitString num)
find' :: IntSet -> [Bit] -> Bool
find' (SetNode True _ _) [] = True
find' _ [] = False
find' SetLeaf _ = False
find' (SetNode _ l _) (O : xs) = find' l xs
find' (SetNode _ _ r) (I : xs) = find' r xs
listSet :: IntSet -> [Int]
listSet set = listSet' set []
listSet' :: IntSet -> [Bit] -> [Int]
listSet' SetLeaf _ = []
listSet' (SetNode False l r) bits = listSet' l (O : bits)
++ listSet' r (I : bits)
listSet' (SetNode True l r) bits = fromBitString (reverse bits)
: listSet' l (O : bits) ++ listSet' r (I : bits)
Řeš. 4.4.4 data SeqSet a = SeqNode Bool [(a, SeqSet a)]
deriving Show
son :: (Eq a) => a -> [(a, SeqSet a)] -> SeqSet a
son a anc = getSon $ lookup a anc
where
getSon Nothing = SeqNode False []
getSon (Just node) = node
insertSeq :: Eq a => SeqSet a -> [a] -> SeqSet a
insertSeq (SeqNode _ anc) [] = SeqNode True anc
insertSeq (SeqNode end anc) (a : xa) = let s = son a anc in
SeqNode end ((a, insertSeq s xa) : filter ((a/=) . fst) anc)
findSeq :: Eq a => SeqSet a -> [a] -> Bool
findSeq (SeqNode end _ ) [] = end
findSeq (SeqNode _ anc) (a : xa) = findSeq (son a anc) xa
Cvičení 5: Intensionální seznamy, lenost, foldy
Řeš. 5.η.1 divisors :: Integer -> [Integer]
divisors n = [ x | x <- [1 .. n], mod n x == 0 ]
Řeš. 5.η.4 a) countPassed :: [(UCO, [String])] -> [(UCO, Int)]
countPassed m = [ (uco, length passed) | (uco, passed) <- m ]
119
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 5: Intensionální seznamy, lenost, foldy (řešení)
b) atLeastTwo :: [(UCO, [String])] -> [UCO]
atLeastTwo m = [ uco | (uco, passed) <- m, length passed >= 2 ]
Nebo alternativně s využitím vzorů:
atLeastTwo' :: [(UCO, [String])] -> [UCO]
atLeastTwo' m = [ uco | (uco, x:y:_) <- m ]
c) passedIB015 :: [(UCO, [String])] -> [UCO]
passedIB015 m = [ uco | (uco, passed) <- m, elem "IB015" passed ]
d) passedBySomeone :: [(UCO, [String])] -> [String]
passedBySomeone m = [ code | (_, passed) <- m, code <- passed ]
Řeš. 5.η.5 Funkci naturalsFrom jde definovat pomocí jednoduché rekurzivní definice, která nebude
mít žádný bázový případ.
naturalsFrom :: Integer -> [Integer]
naturalsFrom n = n : naturalsFrom (n + 1)
naturals :: [Integer]
naturals = naturalsFrom 0
Pan Fešák upřesňuje: Protože definici funkce naturalsFrom chybí bázový případ
a její volání nikdy neskončí, tato definice není ve skutečnosti korektní rekurzivní
definice v matematickém slova smyslu. Přesněji řečeno je tato definice korekurzivní
(viz https://en.wikipedia.org/wiki/Corecursion).
Alternativně lze řešit pomocí enumeračního zápisu:
naturalsFrom' :: Integer -> [Integer]
naturalsFrom' n = [n..]
Řeš. 5.η.6 maxmin :: Ord a => [a] -> (a, a)
maxmin (x:xs) = maxmin' (x, x) xs
where
maxmin' res [] = res
maxmin' (ma, mi) (a:as) = maxmin' (ma `max` a, mi `min` a) as
Řeš. 5.1.1 Elegantní možností je využít vzory s konkrétními hodnotami pro pohlaví:
allPairs ppl = [ (m, f) | (m, Male) <- ppl, (f, Female) <- ppl ]
Toto řešení využívá toho, že položky generátory (výrazu ... <- [...]), které nesplňují
vzor se automaticky vynechají. Do proměnné m se tak dosazují pouze ty hodnoty, které
jsou ve dvojici s Male, zatímco do f se dosazují pouze ty, které jsou ve dvojici s Female.
Pokud bychom navíc měli instanci Eq Sex, mohli bychom využít i následujících řešení:
allPairs' people = [ (m, f) | (m, isM) <- people, isM == Male,
(f, isF) <- people, isF == Female ]
Jiným funkčním řešením by bylo například:
allPairs'' people = [ (m, f) | (m, isM) <- people, (f, isF) <- people,
isM == Male, isF == Female]
To je ale zbytečně neefektivní: ke každému m se postupně zkusí všechna možná f i tehdy,
když m není muž a proto stejně takové přiřazení vzápětí zahodíme. Kvalifikátory tedy
chceme mít co nejvíce vlevo to jde, aby se nevyhovující přiřazení vyloučila co nejdříve.
120
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 5: Intensionální seznamy, lenost, foldy (řešení)
Vzájemné pořadí generátorů pak ovlivňuje, zda jsou ve výsledném seznamu shlukovány
páry podle mužů, nebo žen.
Řeš. 5.1.2 a) [ x^2 | x <- [1 .. k] ]
b) f :: [[a]] -> [[a]]
f s = [ t | t <- s, length t > 3 ]
c) [ '*' | _ <- [1 .. 5] ]
d) [ ['*' | _ <- [1 .. n]] | n <- [0 ..] ]
e) [ [1 .. n] | n <- [1 ..] ]
Řeš. 5.1.3 a) [ f x | x <- s ]
b) [ x | x <- s, p x ]
c) [ f x | x <- s, p x ]
d) [ x | _ <- [1 ..] ]
e) [ x | _ <- [1 .. n] ]
f) [ x | t <- s, let x = f t, p x ]
případně [ f x | x <- s, p (f x) ], ale toto řešení je méně efektivní
Řeš. 5.1.4 a) perm :: Eq a => [a] -> [[a]]
perm [] = [[]]
perm s = [m : n | m <- s, n <- perm (filter (m /=) s)]
b) varrep :: Int -> [a] -> [[a]]
varrep 0 s = [[]]
varrep k s = [m : n | m <- s, n <- varrep (k - 1) s]
c) comb :: Int -> [a] -> [[a]]
comb 0 _ = [[]]
comb k xs0 =
[m : t | (m, n) <- zip xs0 . tails . tail $ xs0, t <- comb (k - 1)
n]↪
where
tails [] = [[]]
tails (x : xs) = (x : xs) : tails xs
Tady lze případně použít funkci tails z modulu Data.List, viz https://haskell.
fi.muni.cz/doc/base/Data-List.html#v:tails.
Řeš. 5.1.5 Nechť 𝑛 = length s. Lepší časovou složitost má funkce f2, protože projde seznamem
jenom jednou, tedy má lineární časovou složitost. Na druhé straně f1 vykoná nejvíce
𝑛/2 + 1 volání funkce (!!). Tato volání se v tomto případě vykonají každé v lineárním
čase vzhledem k druhému argumentu funkce (!!). Dohromady tedy vyhodnocení funkce
f1 vyžaduje kvadratický čas.
Řeš. 5.2.1 naturals !! 2
naturalsFrom 0 !! 2
(0 : naturalsFrom (0 + 1)) !! 2
naturalsFrom (0 + 1) !! (2 - 1)
((0 + 1) : naturalsFrom ((0 + 1) + 1)) !! (2 - 1)
((0 + 1) : naturalsFrom ((0 + 1) + 1)) !! 1
naturalsFrom ((0 + 1) + 1) !! (1 - 1)
(((0 + 1) + 1) : naturalsFrom (((0 + 1) + 1) + 1)) !! (1 - 1)
(((0 + 1) + 1) : naturalsFrom (((0 + 1) + 1) + 1)) !! 0
121
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 5: Intensionální seznamy, lenost, foldy (řešení)
(0 + 1) + 1
1 + 1
2
Nejdůležitější projev lenosti je vidět v předposledním řádku: zahození (a tedy nevyhodnocení)
podvýrazu naturalsFrom (((0 + 1) + 1) + 1), protože ho funkce (!!) nepotře-
buje12
. Při striktní strategii by jednak vypadalo jinak pořadí vyhodnocování podvýrazů,
ale také by se vyhodnocovaly všechny. To by právě u zmíněného podvýrazu vedlo k nekonečnému
výpočtu.
Řeš. 5.2.3 a) Funkce f při pokusu o vyhodnocení cyklí: f ∗
f ∗
f ∗
... Avšak opět, funkce
fst vybere z uvedené dvojice jenom první prvek. Tedy k vyhodnocení f nedojde a celý
výraz bude vyhodnocen v konečném čase.
b) Funkce f je definována jen pro prázdný seznam, ale ve výrazu je volána
na neprázdném seznamu. Normálně bychom tedy dostali chybovou zprávu
Non-exhaustive patterns in function f. Ale protože funkce const nepoužívá svůj
druhý argument, k vyhodnocení f [1] díky lenosti nikdy nedojde, a vyhodnocení tedy
skončí bez chyby.
c) Výraz div 2 0 sám o sobě vrátí chybu divide by zero. Může se zdát, že tady zafunguje
líné vyhodnocování a 0 * div 2 0 se vyhodnotí na 0, protože první argument je
0. Obecně v tomto případě to však není pravda, protože u aritmetických operátorů
vždy dochází k vyhodnocení obou operandů. Kvůli efektivitě totiž není vyhodnocování
aritmetických operací definováno přímo v Haskellu, ale pomocí primitivních operací
procesoru.
d) Při pokusu o vyhodnocení tohoto výrazu dostaneme typovou chybu. Je potřeba mít na
paměti, že syntaktická a typová analýza výrazu předchází jeho vyhodnocování, a tedy
líné vyhodnocování situaci nezachrání, protože k němu vůbec nedojde.
Řeš. 5.2.4 addNumbers :: [String] -> [String]
addNumbers = zipWith (\i n -> show i ++ ". " ++ n) [1 ..]
Řeš. 5.2.5 integers = 0 : [ sgn * n | n <- [1 ..], sgn <- [1, -1] ]
Při tvorbě nekonečných seznamů si musíme dát pozor na to, aby byl každý prvek dosažitelný
na konečné pozici. Například řešení [0 ..] ++ [-1, -2 ..] toto nesplňuje –
všechna záporná čísla se nachází až za nekonečným počtem kladných. V intensionálních
seznamech tento problém nastává, pokud se nekonečný generátor objeví na jiné než první
pozici. Uvažte třeba nesprávné řešení: [ sgn * n | sgn <- [1, -1], n <- [1 ..] ].
Při vyhodnocování se nejdříve zafixuje hodnota sgn = 1 a následně probíhá nekonečně
mnoho dosazení do n, takže na volbu sgn = -1 nikdy nedojde.
Řeš. 5.2.6 threeSum = [ (x, y, z) | z <- [2 ..], x <- [1 .. z - 1],
let y = z - x ]
Jak bylo nastíněno v řešení 5.2.5, nekonečný generátor se nesmí objevit na jiné než
první pozici, natož aby jich nekonečných bylo více. Nemůžeme tedy napsat třeba
[ (x, y, z) | x <- [1 ..], y <- [1 ..], let z = x + y ], protože bychom dostali
jen nekonečně mnoho trojic tvaru (1, y, 1 + y). Je proto zapotřebí jít do nekonečna
po nějaké vhodné vlastnosti, kterou má vždy jen konečně mnoho prvků. Zde se přímo nabízí
12
Přesněji řečeno, formální parametr xs, na který se výraz naváže, se nevyskytuje na pravé straně použité
definice funkce (!!).
122
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 5: Intensionální seznamy, lenost, foldy (řešení)
součet prvních dvou prvků – pro jeden konkrétní součet snadno vygenerujeme všechny
vyhovující trojice, kterých je konečný počet.
Řeš. 5.2.7 Označme počty kroků při líném, normálním a striktním vyhodnocování popořadě 𝐿, 𝑁 a 𝑆.
a) 𝐿 ≤ 𝑆. Nejdříve vyšetříme nekonečné výpočty:
• 𝐿 = ∞, tedy líná strategie vede k zacyklení. Potom dle věty o perpetualitě také
striktní strategie vede k zacyklení a 𝐿 = 𝑆 = ∞.
• 𝐿 ≠ ∞ a 𝑆 = ∞, zřejmě 𝐿 ≤ 𝑆.
• 𝐿 ≠ ∞ a 𝑆 ≠ ∞. Striktní strategie vynutí vyhodnocení každého podvýrazu
právě jednou, kdežto líná nejvýše jednou, obě přitom bez ohledu na počet použití
výsledku výrazu (Např. u f x = x + x bude výraz dosazený za x vyhodnocen
pouze jednou). Opět tedy 𝐿 ≤ 𝑆.
b) Mezi 𝑁 a 𝑆 obecně vztah není. První dva případy z předchozí argumentace projdou
stejně; ukážeme však, že může nastat 𝑁 > 𝑆. Použijeme opět funkci f x = x + x.
Odkrokujme si vyhodnocení výrazu f (1 + 2) oběma strategiemi:
• Striktní: f (1 + 2) f 3 3 + 3 6
• Norm.: f (1 + 2) (1 + 2) + (1 + 2) 3 + (1 + 2) 3 + 3 6
Řeš. 5.2.9 a) repeat True
cycle [True]
iterate id True
b) iterate (2 *) 1
c) iterate (9 *) 1
d) iterate (9 *) 3
e) iterate ((-1) *) 1
iterate negate 1
cycle [1, -1]
f) iterate ('*' :) ""
iterate ("*" ++) ""
g) iterate (\x -> (mod (x + 1) 4)) 1
cycle [1, 2, 3, 0]
Řeš. 5.2.10 Chceme-li něco provést pro každé dva sousední prvky seznamu, použijeme „zipování
s vlastním ocasem“:
differences :: [Integer] -> [Integer]
differences xs = zipWith (-) (tail xs) xs
Řeš. 5.2.11 values :: (Integer -> a) -> [a]
values f = map f naturals
a) První derivaci (diskrétní) funkce f.
b) Druhé derivaci (diskrétní) funkce f.
Nenecháme se zmást druhou derivací. Tu můžeme použít k vyšetření extrémů jen
u spojitých funkcí. První derivace nám ale pomůže; hledáme body, do nichž funkce klesá
(a tedy první derivace je záporná) a z nichž roste (a tedy první derivace následujícího bodu
je kladná).
localMinima :: (Integer -> Integer) -> [Integer]
localMinima f = map fst3 . filter lmin $ zip3 (tail fs) dfs (tail dfs)
where
fs = values f
123
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 5: Intensionální seznamy, lenost, foldy (řešení)
dfs = differences fs
lmin (_, din, dout) = din < 0 && dout > 0
fst3 (x, _, _) = x
Řeš. 5.2.12 Existuje více řešení. Označíme je postupně fib𝑁.
-- standardni, ale neefektivni definice
fib1 :: Integer -> Integer
fib1 0 = 0
fib1 1 = 1
fib1 n = fib1 (n - 1) + fib1 (n - 2)
-- kompaktnejsi zapis fib1
fib2 :: Integer -> Integer
fib2 n = if n == 0 || n == 1 then n else fib2 (n - 1) + fib2 (n - 2)
-- efektivni seznamova definice
fib3 :: [Integer]
fib3 = fib' (0, 1)
where
fib' (x, y) = x : fib' (y, x + y)
-- efektivni definice funkce s akumulacnim parametrem, odvozena z fib3
fib4 :: Integer -> Integer
fib4 n0 = fib' n0 (0, 1)
where
fib' 0 (x, y) = x
fib' n (x, y) = fib' (n - 1) (y, x + y)
Různá další řešení lze nalézt na stránce http://www.haskell.org/haskellwiki/The_
Fibonacci_sequence.
Řeš. 5.2.13 fibs :: [Integer]
fibs = 0 : 1 : zipWith (+) fibs (tail fibs)
Řeš. 5.2.14 treeTrim :: BinTree a -> Integer -> BinTree a
treeTrim Empty _ = Empty
treeTrim (Node v l r) 0 = Node v Empty Empty
treeTrim (Node v l r) n =
Node v (treeTrim l (n-1)) (treeTrim r (n-1))
a) treeRepeat :: a -> BinTree a
treeRepeat x = Node x (treeRepeat x) (treeRepeat x)
b) treeIterate :: (a -> a) -> (a -> a) -> a -> BinTree a
treeIterate f g x =
Node x (treeIterate f g (f x)) (treeIterate f g (g x))
c) depthTree :: BinTree Integer
depthTree = treeIterate (+1) (+1) 0
Řeš. 5.2.15 infFinTree = Node "strom" infFinTree (Node "konec" Empty Empty)
124
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 5: Intensionální seznamy, lenost, foldy (řešení)
Řeš. 5.2.16 nonNegativePairs = [ (x, y) | z <- [2 ..], x <- [1 .. z - 1],
let y = z - x ]
Řešení je prakticky totožné jako 5.2.6, jen se přes součet iteruje „skrytě“.
Řeš. 5.2.17 Je potřeba zvolit vhodnou vlastnost, přes niž se dá iterovat do nekonečna a má ji vždy
konečný počet prvků. Vhodnou touto je díky kladnosti prvků součet seznamu. Všechny
seznamy s daným součtem vyrobíme pomocí rekurze a intensionálního seznamu.
positiveLists = [ l | s <- [0 ..], l <- listsOfSum s ]
where
listsOfSum :: Integer -> [[Integer]]
listsOfSum 0 = [[]]
listsOfSum n = [x : l | x <- [1 .. n], l <- listsOfSum (n - x)]
Řeš. 5.3.1 a) product' :: Num a => [a] -> a
product' [] = 1
product' (x : s) = x * product' s
b) length' :: [a] -> Int
length' [] = 0
length' (_ : s) = 1 + length' s
c) map' :: (a -> b) -> [a] -> [b]
map' _ [] = []
map' f (x : s) = f x : map' f s
Vždy jde o definici, která vrací určitou hodnotu na prázdném seznamu. V případě
neprázdného seznamu se výsledek nějakým způsobem získá z prvního prvku seznamu
a výsledku rekurzivního volání definované funkce na zbytku seznamu.
Funkcionalitu těchto tří funkcí lze tedy abstrahovat na funkci, která dostane jako jeden
argument hodnotu vracenou na prázdném seznamu a jako druhý argument funkci, která se
aplikuje na první prvek neprázdného seznamu a na výsledek volání požadované funkce na
zbytku seznamu. Tedy:
foldr' :: (a -> b -> b) -> b -> [a] -> b
foldr' _ z [] = z
foldr' f z (x : s) = f x (foldr' f z s)
Řeš. 5.3.2 Pro některé podúlohy je uvedeno více ekvivalentních řešení – tato jsou uváděna pod sebou
a jsou odlišena apostrofem v názvu funkce.
a) sumFold :: Num a => [a] -> a
sumFold = foldr (+) 0
sumFold' :: Num a => [a] -> a
sumFold' = foldr (\e t -> e + t) 0
b) productFold :: Num a => [a] -> a
productFold = foldr (*) 1
c) orFold :: [Bool] -> Bool
orFold = foldr (||) False
d) lengthFold :: [a] -> Int
lengthFold = foldr (\_ t -> t + 1) 0
125
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 5: Intensionální seznamy, lenost, foldy (řešení)
e) maximumFold :: Ord a => [a] -> a
maximumFold = foldr1 max
maximumFold' :: Ord a => [a] -> a
maximumFold' list = foldr max (head list) list
Řeš. 5.3.3 Jedná se o funkce sum, product, or, and, length, minimum a maximum.
Řeš. 5.3.4 a) foldr (-) 0 [1, 2, 3] ∗
1 - (2 - (3 - 0))
∗
2
b) foldl (-) 0 [1, 2, 3] ∗
((0 - 1) - 2) - 3
∗
-6
c) foldr (&&) True (True : False : repeat True)
True && foldr (&&) True (False : repeat True) {- z def. foldr -}
foldr (&&) True (False : repeat True) {- z def. (&&) -}
False && foldr (&&) True (repeat True) {- z def. foldr -}
False {- z def. (&&) -}
d) foldl (&&) True (True : False : repeat True)
foldl (&&) (True && True)
(False : repeat True) {- z def. foldl -}
foldl (&&) ((True && True) && False)
(repeat True) {- z def. foldl -}
foldl (&&) ((True && True) && False)
(True : repeat True) {- z def. repeat -}
foldl (&&) (((True && True) && False) && True)
(repeat True) {- z def. foldl -}
foldl (&&) (((True && True) && False) && True)
(True : repeat True) {- z def. repeat -}
{- … neskončí -}
Všiměte si, že u foldl můžeme hodnotu vrátit jen v okamžiku, kdy dojdeme na
prázdný seznam. Naopak chování foldr na nekonečném seznamu závisí na lenosti
dodané funkce.
Řeš. 5.3.5 Jasným kandidátem na řešení je použití některé z akumulačních funkcí. Celkem máme na
výběr ze čtyř: foldr, foldl, foldr1, foldl1. Připomeňme si, jak která z nich funguje:
foldr (@) w [1,2,3,4] = 1 @ (2 @ (3 @ (4 @ w)))
foldr1 (@) [1,2,3,4] = 1 @ (2 @ (3 @ 4))
foldl (@) w [1,2,3,4] = (((w @ 1) @ 2) @ 3) @ 4
foldl1 (@) [1,2,3,4] = ((1 @ 2) @ 3) @ 4
Na základě těchto příkladů vidíme, že jediným vhodným kandidátem na přirozenou definici
funkce subtractlist je foldl1. Tedy ve výsledku dostaneme:
subtractlist :: [Integer] -> Integer
subtractlist = foldl1 (-)
Řeš. 5.3.6 a) Funkce foldr pracuje na seznamech a nahrazuje (:) za funkci, v tomto případě za
(.), a [] za id. Intuitivně musí jít o seznam funkcí, které budeme postupně skládat.
Ve výsledku tedy vytvoříme složení funkcí v pořadí, v jakém jsou uvedeny v seznamu.
b) Zkusme nejprve otypovat funkci intuitivně. Pro zkrácení řekněme f = foldr (.) id.
• Z použití foldr plyne, že funkce bude očekávat jako 1. argument seznam.
126
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 5: Intensionální seznamy, lenost, foldy (řešení)
• Pokud tento seznam bude prázdný, pak foldr vrátí id, dostáváme tedy zatím
typ [a] -> b -> b (tento typ je zatím nejspíš příliš obecný, protože jsme nevzali
v úvahu všechno chování foldr).
• Funkce, která je argumentem foldr dostává vždy jako první argument prvek ze
seznamu a jako druhý argument výsledek rekurzivního zpracování volání foldr
na celém zbytku seznamu (což je pro poslední prvek seznamu koncová hodnota,
zde id). Tím pádem v seznamu musí být funkce, které půjde složit s funkcí id.
• Zároveň, tím, že funkce f všechny tyto funkce složí za sebe, tak je jich výsledek
musí být stejného typu, jako jejich vstup – tak, aby na sebe mohli navázat.
• Dostáváme tedy, že vstupní seznam bude typu [a -> a].
• Složení takových funkcí je pak také typu a -> a, což rovněž odpovídá typu id.
• Celkem tedy dostáváme f :: [a -> a] -> a -> a.
Alternativně můžeme funkci otypovat algoritmicky.
• Máme daný výraz foldr (.) id
• Zjistíme si typy všech funkcí:
foldr :: (a -> b -> b) -> b -> [a] -> b
(.) :: (a -> b) -> (c -> a) -> c -> b
id :: a -> a
• Přejmenujeme typové proměnné, aby měl každý výskyt každé funkce vlastní
typové proměnné:
foldr :: (a -> b -> b) -> b -> [a] -> b
(.) :: (d -> e) -> (f -> d) -> f -> e
id :: c -> c
• Určíme typové rovnosti na základě aplikací:
(d -> e) -> (f -> d) -> f -> e = a -> b -> b
c -> c = b
• Rozepíšeme typové rovnosti do jednodušších:
d -> e = a
f -> d = b
f -> e = b
c -> c = b
• Vyjádříme si všechny proměnné pomocí co nejmenšího počtu proměnných:
d = e = f = c
b = c -> c
a = c -> c
• Zjistíme, jaký typ vlastně hledáme. Je to typový výraz odpovídající typu foldr
s odstraněnými dvěma typovými argumenty, tedy ve výsledku [a] -> b. Dosadíme
do něj vyjádření proměnných získaných v předchozím kroku a tím dostaneme
výsledný typ:
foldr (.) id :: [a] -> b = [c -> c] -> c -> c
c) foldr (.) id [(+ 4), (* 10), (42 ^)]
d) foldr (.) id [(+ 4), (* 10), (42 ^)] 1
Řeš. 5.3.7 append' :: [a] -> [a] -> [a]
append' xs ys = foldr (:) ys xs
append'' :: [a] -> [a] -> [a]
append'' = flip (foldr (:))
127
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 5: Intensionální seznamy, lenost, foldy (řešení)
Řeš. 5.3.8 reverse' :: [a] -> [a]
reverse' = foldl (flip (:)) []
Řeš. 5.3.9 Pro některé podúlohy je uvedeno více ekvivalentních řešení – tato jsou uváděna pod sebou
a jsou odlišena apostrofem v názvu funkce.
a) concatFold :: [[a]] -> [a]
concatFold = foldr (++) []
b) listifyFold :: [a] -> [[a]]
listifyFold = foldr (\x s -> [x] : s) []
listifyFold':: [a] -> [[a]]
listifyFold' = foldr ((:) . (: [])) []
c) nullFold :: [a] -> Bool
nullFold = foldr (\_ _ -> False) True
d) composeFold :: [(a -> a)] -> a -> a
composeFold = foldr (.) id
composeFold' :: [(a -> a)] -> a -> a
composeFold' = flip (foldr id)
e) idFold :: [a] -> [a]
idFold = foldr (:) []
idFold' :: [a] -> [a]
idFold' = foldr (\e t -> e : t) []
f) mapFold :: (a -> b) -> [a] -> [b]
mapFold f = foldr (\e t -> f e : t) []
g) headFold :: [a] -> a
headFold = foldr1 const
headFold':: [a] -> a
headFold' = foldr1 (\e t -> e)
h) lastFold :: [a] -> a
lastFold = foldr1 (flip const)
lastFold':: [a] -> a
lastFold' = foldr1 (\e t -> t)
i) maxminFold :: Ord a => [a] -> (a,a)
maxminFold (x:xs) = foldl (\(ma, mi) e -> (e `max` ma, e `min` mi))
(x, x) xs
Poznámka: pokud bychom rozbalili definici foldl, je toto řešení v podstatě ekvivalentní
tomu rekurzivnímu v 5.η.6.
j) suffixFold :: [a] -> [[a]]
suffixFold = foldr (\e (x : xs) -> (e : x) : x : xs) [[]]
k) filterFold :: (a -> Bool) -> [a] -> [a]
filterFold p = foldr (\e t -> if p e then e : t else t) []
128
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 5: Intensionální seznamy, lenost, foldy (řešení)
l) oddEvenFold :: [a] -> ([a], [a])
oddEvenFold = foldr (\x (l, r) -> (x : r, l)) ([], [])
m) takeWhileFold :: (a -> Bool) -> [a] -> [a]
takeWhileFold p = foldr (\e t -> if p e then e : t else []) []
n) dropWhileFold :: (a -> Bool) -> [a] -> [a]
dropWhileFold p = foldl (\t e ->
if null t && p e
then []
else t ++ [e]) []
dropWhileFold':: (a -> Bool) -> [a] -> [a]
dropWhileFold' p list = foldl (\t e ->
if null (t []) && p e
then id
else t . (e :) ) id list []
Druhé uvedené řešení má lepší složitost.
Řeš. 5.3.10 foldl' f z s = foldr (flip f) z (reverse s)
Řeš. 5.3.11 insert :: Ord a => a -> [a] -> [a]
insert x [] = [x]
insert x (y:ys) = if x < y
then x : y : ys
else y : insert x ys
insert' :: Ord a => a -> [a] -> [a]
insert' x = foldr (\y (z : zs) ->
if y > z
then z : y : zs
else y : z : zs) [x]
Poznamenejme, že první varianta je díky lenosti tím rychlejší, čím blíže začátku se má
prvek vložit, kdežto druhá varianta vždy prochází a kopíruje celý seznam.
insertSort :: Ord a => [a] -> [a]
insertSort = foldr insert []
Řeš. 5.3.12 Funkce foldr přestane vyhodnocovat výraz po prvním nalezeném True (díky línému
vyhodnocování funkce (||)), avšak foldl ho vždy projde celý. Tedy v případě nekonečného
seznamu foldr skončí po prvním nalezeném True, ale foldl neskončí nikdy.
Řeš. 5.3.13 Odpověď jste měli hledat na internetu, ne tady.
Řeš. 5.3.14 Ne, není to možné. Funkce f by musela dokázat rozlišit, kdy je volána na prvku ze sudého
místa a kdy z lichého. K dispozici má však pouze 𝑛-tý prvek a seznam vzniklý zpracováním
prvních 𝑛 − 1 prvků.
Důkaz. Předpokládejme pro spor, že taková funkce f existuje.
Ukážeme nejdřív, že funkce f si nemůže „dělat poznámky“ ve svém výsledku na to,
aby poznala, zda je na sudé či liché pozici, ale musí ve svém 𝑛-tém volání vracet přímo
výsledek na prvních 𝑛 prvcích. Toto tvrzení je přímým důsledkem toho, že potřebujeme po
129
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 5: Intensionální seznamy, lenost, foldy (řešení)
poslední aplikaci funkce f dostat rovnou hledaný výsledek (a že v okamžiku kdy aplikaci
provádíme, nemáme jak poznat, zda je poslední).
Uvažme dále seznamy as = [1, 2, 3] a bs = [1, 3]. Pak v nějakém momentě dojde
pro oba seznamy k volání f [1] 3. V případě seznamu as však má dojít k přidání 3 do
výsledku, zatímco v případě bs ne. To však není možné – funkce f je čistá funkce, nemá
tedy jak tyto dva případy rozlišit.
Ve druhém případě to možné je:
f = \(b, s) x -> (not b, if b then s ++ [x] else s)
v = (True, [])
Teď již postupujeme zleva (foldl) a v hodnotě typu Bool si ukládáme, jestli je aktuální
pozice sudá.
Řeš. 5.3.15 foldr f z s = foldr2 (\x y s -> f x (f y s)) (\x -> f x z) z s
Opačná definice (foldr2 pomocí foldr) není možná. Pomocí foldr2 je možné vybrat
každý druhý prvek seznamu (foldr2 (\x y s -> x : s) (: []) []), což však pomocí
foldr není možné (viz úloha 5.3.14).
Řeš. 5.4.1 treeFold :: (a -> b -> b -> b) -> b -> BinTree a -> b
treeFold _ e Empty = e
treeFold n e (Node v l r) = n v (treeFold n e l) (treeFold n e r)
Řeš. 5.4.2 a) treeSize :: BinTree a -> Int
treeSize = treeFold (\_ l r -> 1 + l + r) 0
b) treeHeight :: BinTree a -> Int
treeHeight = treeFold (\_ l r -> 1 + max l r) 0
c) treeList :: BinTree a -> [a]
treeList = treeFold (\v l r -> l ++ [v] ++ r) []
d) treeConcat :: BinTree [a] -> [a]
treeConcat = treeFold (\v l r -> l ++ v ++ r) []
e) treeMax :: (Ord a, Bounded a) => BinTree a -> a
treeMax = treeFold (\v l r -> maximum [v, l, r]) minBound
f) treeFlip :: BinTree a -> BinTree a
treeFlip = treeFold (\v l r -> Node v r l) Empty
g) treeId :: BinTree a -> BinTree a
treeId = treeFold (\v l r -> Node v l r) Empty
treeId' = treeFold Node Empty
h) rightMostBranch :: BinTree a -> [a]
rightMostBranch = treeFold (\v l r -> v:r) []
i) treeRoot :: BinTree a -> a
treeRoot = treeFold (\v l r -> v) undefined
treeRoot' = treeFold (const . const) undefined
j) treeNull :: BinTree a -> Bool
treeNull = treeFold (\v l r -> False) True
k) leavesCount :: BinTree a -> Int
leavesCount = treeFold (\v l r -> if l + r == 0 then 1 else l + r) 0
l) leavesList :: BinTree a -> [a]
130
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 5: Intensionální seznamy, lenost, foldy (řešení)
leavesList = treeFold (\v l r ->
if null l && null r
then [v]
else l ++ r) []
m) treeMap :: (a -> b) -> BinTree a -> BinTree b
treeMap f = treeFold (\v l r -> Node (f v) l r) Empty
treeMap' f = treeFold (\v -> Node (f v)) Empty
treeMap'' f = treeFold (Node . f) Empty
n) treeAny :: (a -> Bool) -> BinTree a -> Bool
treeAny p = treeFold (\v l r -> p v || l || r) False
treeAny' p = treeFold (\v l r -> or [p v, l, r]) False
o) treePair :: Eq a => BinTree (a,a) -> Bool
treePair = treeFold (\(x,y) l r -> x == y && l && r) True
p) subtreeSums :: Num a => BinTree a -> BinTree a
subtreeSums = treeFold (\v l r -> Node (v + root l + root r) l r)
Empty
where
root (Node v l r) = v
root Empty = 0
Řeš. 5.4.3 roseTreeFold :: (a -> [b] -> b) -> RoseTree a -> b
roseTreeFold n (RoseNode v ts) = n v (map (roseTreeFold n) ts)
Řeš. 5.4.4 a) roseTreeSize :: RoseTree a -> Int
roseTreeSize = roseTreeFold (\_ xs -> 1 + sum xs)
b) roseTreeHeight :: RoseTree a -> Int
roseTreeHeight = roseTreeFold (\_ xs -> 1 + maximum (0:xs))
Všimněte si přidání 0 proto aby maximum fungovalo i pro listy. To v tomto případě
můžeme bezpečně udělat, pokud seznam prázdný nebude, nic to nerozbije. Víme totiž,
že výška nemůže být záporná a že seznam je seznamem čísel.
c) Inorder průchod se u těchto stromů nedá dobře definovat, můžeme ale udělat třeba
preorder – v seznamu je nejprve hodnota uzlu a následně hodnoty všech podstromů.
roseTreeList :: RoseTree a -> [a]
roseTreeList = roseTreeFold (\v xs -> v : concat xs)
d) roseTreeConcat :: RoseTree [a] -> [a]
roseTreeConcat = roseTreeFold (\v xs -> v ++ concat xs)
e) roseTreeMax :: (Ord a, Bounded a) => RoseTree a -> a
roseTreeMax = roseTreeFold (\v xs -> maximum (v : xs))
f) roseTreeFlip :: RoseTree a -> RoseTree a
roseTreeFlip = roseTreeFold (\v xs -> RoseNode v (reverse xs))
g) roseTreeId :: RoseTree a -> RoseTree a
roseTreeId = roseTreeFold (\v xs -> RoseNode v xs)
roseTreeId' = roseTreeFold RoseNode
h) roseRightMostBranch :: RoseTree a -> [a]
roseRightMostBranch = roseTreeFold (\v xs -> v :
if null xs then [] else last xs)
i) roseTreeRoot :: RoseTree a -> a
131
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 5: Intensionální seznamy, lenost, foldy (řešení)
roseTreeRoot = roseTreeFold (\v _ -> v)
roseTreeRoot' = roseTreeFold const
j) Datový typ neumožňuje reprezentovat prázdné stromy.
roseTreeNull :: RoseTree a -> Bool
roseTreeNull = roseTreeFold (\_ _ -> False)
roseTreeNull' = roseTreeFold (const . const False)
k) roseLeavesCount :: RoseTree a -> Int
roseLeavesCount = roseTreeFold (\_ xs ->
if null xs then 1 else sum xs)
l) roseLeavesList :: RoseTree a -> [a]
roseLeavesList = roseTreeFold (\v xs ->
if null xs then [v] else concat xs)
m) roseTreeMap :: (a -> b) -> RoseTree a -> RoseTree b
roseTreeMap f = roseTreeFold (\v xs -> RoseNode (f v) xs)
roseTreeMap' f = roseTreeFold (\v -> RoseNode (f v))
roseTreeMap'' f = roseTreeFold (RoseNode . f)
n) roseTreeAny :: (a -> Bool) -> RoseTree a -> Bool
roseTreeAny p = roseTreeFold (\v xs -> p v || or xs)
roseTreeAny' p = roseTreeFold (\v xs -> or (p v : xs))
o) roseTreePair :: Eq a => RoseTree (a, a) -> Bool
roseTreePair = roseTreeFold (\(x, y) xs -> x == y && and xs)
roseTreePair' :: Eq a => RoseTree (a, a) -> Bool
roseTreePair' = roseTreeFold (\(x, y) xs -> and ((x == y) : xs))
p) roseSubtreeSums :: Num a => RoseTree a -> RoseTree a
roseSubtreeSums = roseTreeFold (\v xs -> RoseNode
(sum (v : map root xs))
xs)
where root (RoseNode v _) = v
Řeš. 5.4.5 Nejprve je třeba promyslet si, jak by taková funkce intuitivně měla fungovat. Katamorfismus
je obecně funkce na struktuře, která nahrazuje konstruktory této struktury zadanými
funkcemi nebo hodnotami, a ve výsledku umožní rekurzivně projít celou strukturu. Datový
typ Nat má konstruktory Zero :: Nat a Succ :: Nat -> Nat. Našim cílem je převod
hodnoty tohoto typu na nějakou hodnotu, obecně typu a. Katamorfismus na hodnotách
daného typu je definován funkcemi, které nahrazují jeho hodnotové konstruktory funkcemi
stejné arity, jejichž výsledná hodnota je typu a, a v místě, kde má konstruktor argument
původního typu (v tomto případě tedy Nat), uvedeme a.
S těmito znalostmi se tedy podívejme na typ Nat. Hodnotový konstruktor Zero nahradíme
nulární funkcí, tedy hodnotou typu a. Hodnotový konstruktor Succ nahradíme
unární funkcí s typem a -> a. Když definujeme tuto transformaci jako funkci, musíme ji
definovat po částech pro jednotlivé hodnotové konstruktory. V těle pak použijeme dodané
funkce a rekurzivně voláme natFold:
natFold :: (a -> a) -> a -> Nat -> a
natFold s z Zero = z
natFold s z (Succ x) = s (natFold s z x)
Pokud bychom fixovali parametry s a z, lze lépe vidět, jak katamorfismus na Nat pracuje:
natFoldsz :: Nat -> a
132
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 6: Manipulace s funkcemi, typy, opakování (řešení)
natFoldsz Zero = z
natFoldsz (Succ x) = s (natFoldsz x)
Řeš. 5.4.6 a) Číslo 𝑛 typu Nat vlastně znamená přičtení 𝑛 jedniček k nule. Když nezačneme nulou,
ale jiným číslem 𝑚, dostaneme přesně součet 𝑛+ 𝑚. Budeme tedy foldovat jedno z čísel,
konstruktory Succ necháme být a Zero nahradíme druhým číslem.
natAdd :: Nat -> Nat -> Nat
natAdd m n = natFold Succ m n
natAdd' = natFold Succ
b) Nula je sudá, konstruktor Zero se tedy má vyhodnotit na True. Přičtení jedničky vždy
paritu změní, konstruktory Succ proto nahradíme funkcí invertující logickou hodnotu.
natEven :: Nat -> Bool
natEven = natFold not True
c) Součin 𝑚 a 𝑛 je jen 𝑛-násobné přičtení 𝑚 k nule. Přičítat už umíme funkcí natAdd
a chceme-li funkci provést 𝑛-krát, nahradíme jí všechny konstruktory Succ v 𝑛.
natMul :: Nat -> Nat -> Nat
natMul m n = natFold (natAdd m) Zero n
Řeš. 5.4.7 Implementace Foldable je možná pomocí funkcí foldr nebo foldMap. Funkce foldr
v tomto případě vede na následující, poměrně složitou, definici.
instance Foldable BinTree where
-- type cannot be specified in instance
-- foldr :: (a -> b -> b) -> b -> BinTree a -> b
foldr _ e Empty = e
foldr f e (Node v l r) = f v (foldr f (foldr f e r) l)
Zatímco bázový případ je poměrně přímočarý, ten rekurzivní není – v tomto případě máme
problém s tím, že nemáme k dispozici nic, čím bychom dokázali zkombinovat více hodnot
typu b, vyjma funkce f, která ale ještě bere argument typu a. Musíme tedy porušit symetrii
přístupu k levému a pravému podstromu a výsledek zpracování jednoho z nich dát jako
bázový případ pro druhý.
Jednodušší alternativou je postup s využitím monoidů. Monoid je daný nosnou množinou,
binární operací a jejím neutrálním prvkem. Je třeba aby množina byla uzavřená
vzhledem k dané binární operaci a operace byla asociativní. V kontextu typové třídy
Monoid je operace reprezentována operátorem (<>) a neutrální prvek hodnotou mempty.
Instanci Foldable můžeme implementovat pomocí funkce foldMap, která provede
projekci všech prvků stromu do daného monoidu a výsledky pospojuje monoidovou operací
(<>).
instance Foldable BinTree where
-- type cannot be specified in instance
-- foldMap :: Monoid m => (a -> m) -> BinTree a -> m
foldMap proj tree = go tree
where
go Empty = mempty
go (Node val left right) = proj val <> go left <> go right
Cvičení 6: Manipulace s funkcemi, typy, opakování
133
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 6: Manipulace s funkcemi, typy, opakování (řešení)
Řeš. 6.η.1 a) Bool
b) [a]
c) [String] (případně ekvivalentně [[Char]])
Z podvýrazu "" :: String víme, že v seznamu musí být řetězce.
d) Nelze otypovat, seznamy musí být homogenní (všechny hodnoty musí mít stejný typ,
ale první je typu Bool a druhý [a], což jsou neunifikovatelné typy).
e) Fractional a => [a]; tedy a může být libovolný typ schopný reprezentovat zlomky
(popřípadě také (Num a, Fractional a) => [a], ale Fractional implikuje Num).
Pozor, stále se jedná o seznam, jehož všechny prvky mají stejný typ. Jen dosud není
řečeno, jaký to bude, jen že to musí být nějaký typ z třídy Fractional. Celá čísla lze
samozřejmě reprezentovat i pomocí typů z třídy Fractional, např. Double.
Jednotlivé prvky seznamu mají typ 1 :: Num a => a, 2 :: Num a => a a
3.14 :: Fractional a => a. Jelikož se mají společně nacházet v jednom seznamu,
musíme je unifikovat. Při tom dostaneme kontext (Num a, Fractional a) =>, ten
však můžeme zjednodušit na Fractional a =>, protože Fractional je podtřídou Num.
f) Nelze otypovat. Chybová hláška No instance for (Num Bool) arising from the
literal ‘1’ říká, že Bool není číslo (instance Num). Přesněji vzato, nelze otypovat
s definicemi, které máme v Prelude (a je celkem dobrý důvod na to, aby tato instance
neexistovala).
Typy jednotlivých prvků seznamu jsou 1 :: Num a => a, 2 :: Num a => a a
True :: Bool. Jelikož však Bool není číslo, nejde tyto typy unifikovat, a tedy nemohou
být společně v seznamu.
g) (Ord a, Num a) => [a] (obě části kontextu jsou nutné, mezi Ord a Num není žádný
vztah implikace)
Podvýrazy mají typy filter :: (a -> Bool) -> [a] -> [a], (\x -> x > 5) ::
(Ord n, Num n) => n -> Bool a [1, 2, 4, 8] :: Num m => [m]. Dosadíme-li typy
argumentů za odpovídající typy filter a provedeme unifikaci, odstraněním již
použitých argumentů dostáváme typ (Ord a, Num a) => [a].
h) (Show a, Integral a) => a -> String; Show je typová třída typů, které lze převést
do textové reprezentace.
Popřípadě také (Show a, Num a, Integral a) => a -> String, ale Integral implikuje
Num.
i) (Num a, Read a) => String -> a; Read je typová třída typů, jejichž hodnoty lze
parsovat z textové reprezentace (typ výsledku funkce read se odvodí z kontextu použití).
j) Integral a => a -> Double; explicitní otypování je zde použito k vynucení konverze
na konkrétní typ. fromIntegral :: (Integral a, Num b) => a -> b totiž umožňuje
konverzi celého čísla na libovolný číselný typ.
Řeš. 6.η.2 a) Ze vzoru vidíme, že vstupem je dvojice, a z výrazu na pravé straně vidíme, že i návratový
typ je dvojice. Zároveň typ první složky v argumentu musí být stejný jako typ druhé
složky v návratovém typu a naopak. Celkově tedy swap :: (a, b) -> (b, a).
b) První argument musí být typu Bool podle prvního řádku definice. Podle první-
134
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 6: Manipulace s funkcemi, typy, opakování (řešení)
ho řádku tedy dostaneme typ Bool -> (a, b) -> (b, a), zatímco podle druhého
Bool -> (c, d) -> (c, d). Jelikož typy na odpovídajících pozicích musíme unifikovat
(tedy (a, b) ∼ (c, d) a (b, a) ∼ (c, d)), jediná možnost je, že oba typy ve
dvojici budou stejné. swapIf :: Bool -> (a, a) -> (a, a).
c) Z toho, že v obou vzorech je právě jeden argument a funkce vrací String, vidíme,
že nejobecnější možný typ funkce je a -> String. Typ argumentů funkce však není
závislý jen na jejich použití na pravé straně definice, ale i na vzorech. Jelikož [] je vzor
prázdného seznamu, musí být argument funkce seznamového typu. Další omezení již
nejsou, dostáváme tedy sayLength :: [a] -> String.
d) Z použitých vzorů můžeme odvodit, že funkce bere dva argumenty a že první je typu
Char. Z návratové hodnoty prvního řádku můžeme odvodit typ Bool. Zbývá už jen
určení typu druhého argumentu. Ve druhém vzoru si můžeme všimnout, že vracíme
hodnotu, kterou bereme ve druhém argumentu. Takže obě mají stejný typ, a protože
návratová hodnota má typ Bool, i druhý argument bude mít typ Bool. Dostáváme
tedy aOrX :: Char -> Bool -> Bool.
Řeš. 6.η.3 Máme dvě možnosti funkcí, které svůj argument ignorují, a dvě varianty pro funkce, které
s argumentem nějak pracují – identitu a negaci.
bfalse :: Bool -> Bool
bfalse _ = False
btrue :: Bool -> Bool
btrue _ = True
bid :: Bool -> Bool
bid x = x
bnot :: Bool -> Bool
bnot True = False
bnot False = True
Řeš. 6.η.5 binmap :: (a -> a -> b) -> [a] -> [b]
binmap f xs = zipWith f xs (tail xs)
binmap' :: (a -> a -> b) -> [a] -> [b]
binmap' _ [] = []
binmap' _ [_] = []
binmap' f (x:y:xs) = f x y : binmap f (y:xs)
Řeš. 6.1.1 a) Arita 3. Po aplikaci na tři argumenty libovolného, ale stejného typu, který navíc musí
být instancí typové třídy Eq, je výsledek typu Bool. Příkladem funkce, která může
mít tento typ, je \x y z -> x == y && y == z.
b) Arita 2. Závorka vpravo (kolem [a] -> Int) nemá žádný efekt – tato závorka by
v typu implicitně byla, i kdybychom ji vynechali a odpovídá částečné aplikaci. Prvním
argumentem je funkce a -> Bool, druhým je pak seznam, jehož prvky mají stejný
typ jako argumenty funkce v prvním argumentu. Výsledek je pak Int. Například (\p
-> length . filter p) :: (a -> Bool) -> ([a] -> Int).
c) Arita 0. Nejedná se o funkci (je to seznam funkcí). Například [(+), (-)] :: [Int
-> Int -> Int].
135
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 6: Manipulace s funkcemi, typy, opakování (řešení)
d) Arita 3. Po aplikaci na 3 argumenty typů Int, Integer a String dostaneme výsledek
typu String. Například (\x y z -> show x ++ " " ++ show y ++ " " ++ z) ::
Int -> Integer -> String -> String.
e) Arita 2. První argument je funkce typu Int -> Integer, druhý je String, výsledek
je String. Například (\f x -> show (f (read x))) :: (Int -> Integer)
-> String -> String.
f) Arita 3. Tento typ je ekvivalentní typu v d) (uzávorkování funkčního typu zprava
odpovídá částečné aplikaci funkce).
g) Arita 2. Bere dva argumenty (Int a Integer) a produkuje seznam funkcí (typu
[String -> String]). Například (\x y -> [ \s -> show x ++ show i ++ s |
i <- [1..y] ]) :: Int -> Integer -> [String -> String].
h) Aritu nelze z typu určit, bude ale nejméně 3. Důvodem je, že na místě výsledku je
v typu typová proměnná c, za kterou ale můžeme dosadit i funkční typ. Víme však,
že funkce bude brát minimálně tři argumenty – funkci typu a -> b -> c a následně
dva argumenty typů b a a (které opět mohou být i funkce).
Uvažme příklady konkrétních typů, které můžeme za jednotlivé argumenty dosadit.
• Za první argument dosadíme typ funkce (||) :: Bool -> Bool -> Bool –
druhý i třetí argument pak musí být Bool a stejně tak i výsledek. Pro tuto
konkretizaci dostáváme tedy aritu 3.
• Za první argument dosadíme typ funkce zipWith :: (d -> e -> f) ->
[d] -> [e] -> [f]. Ten můžeme uzávorkovat jako zipWith :: (d ->
e -> f) -> [d] -> ([e] -> [f]) a položit a ≡ d -> e -> f, b ≡
[d] a c ≡ [e] -> [f]. Tím dostaneme konkretizaci našeho typu
na ((d -> e -> f) -> [d] -> [e] -> [f]) -> [d] -> ((d -> e -> f) ->
[d] -> [e] -> [f]) -> [e] -> [f], a tedy aritu 4.
Konkrétním (a jediným totálním) příkladem funkce s tímto typem je
flip. Můžete si v interpretru ověřit, že počet argumentů této funkce nutných
k tomu, aby výsledek nebyla funkce, je vskutku závislý na prvním
argumentu. Uvážit můžeme třeba flip (||) True False :: Bool a
flip zipWith [1, 2, 3] (+) [3, 2, 1] :: Num a => [a].
Řeš. 6.1.2 a) cm :: (a -> [b]) -> [a] -> [b]
Při typování rekurzivních funkcí může být výhodné dívat se nejprve na bázový příklad.
V tomto případě z něj však moc nezjistíme: vidíme, že má typ a -> [b] -> [c],
tedy víme jen, že druhý argument je seznam a návratová hodnota je taktéž seznam.
Z rekurzivní části definice pak plyne, že typ návratové hodnoty celé funkce musí být
stejný jako typ návratové hodnoty funkce f (plyne z typu ++), a že funkce f musí brát
jako argumenty hodnoty ze seznamu v druhém argumentu cm.
Funkce je podobná funkci map, ale z každého prvku původního seznamu vytvoří seznam
prvků a tyto seznamy spojí. Najdeme ji i mezi základními funkcemi v Haskellu pod
názvem concatMap.
b) mm :: (Bounded a, Ord a) => [a] -> (a, a)
Z bázového případu (prvního řádku) odvodíme, že výsledek bude dvojice. Dále z typů
minBound :: Bounded a => a a maxBound :: Bounded a => a odvodíme, že obě
složky výsledné dvojice budou instancemi typové třídy Bounded (ale zatím nic neříká,
že to musí být stejné typy). Ze vzoru odvodíme, že argument bude seznam. Dohromady
136
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 6: Manipulace s funkcemi, typy, opakování (řešení)
tedy z bázového případu dostáváme typ (Bounded b, Bounded c) => [a] -> (b,
c).
Z rekurzivního případu pak opět vidíme, že argument je seznam a výsledek dvojice
– to je konzistentní s již zjištěným typem. Dále ale vidíme, že obě složky výsledné
dvojice musí být stejného typu jako prvky vstupu a navíc tento typ musí být instancí
Ord – obojí plyne z typu max :: Ord a => a -> a -> a, resp. min stejného typu.
Z druhého řádku definice tedy plyne typ Ord a => [a] -> (a, a).
Typy získané z jednotlivých řádků definice unifikujeme a při tom i sloučíme kontexty.
Tím dostaneme výsledný typ.
Funkce mm počítá minimum a maximum z hodnot v seznamu a dělá to v jednom
průchodu. Navíc funguje i na prázdném seznamu, kde jako minimum vrací nejvyšší
hodnotu daného typu a jako maximum nejnižší – tyto hodnoty můžeme chápat jako
neutrální prvky pro minimum (resp. maximum) pokud je typ omezený. Tato funkce
tedy nefunguje s neomezenými typy jako je Integer.
c) c :: (b -> c) -> (a -> b) -> a -> c
Funkci můžeme ekvivalentně zapsat jako
c' f g x = f (g x)
Jedná se tedy o funkci, která bere dvě funkce a hodnotu libovolného typu a aplikuje
funkce postupně na tuto hodnotu. Tedy o ekvivalent funkce (.).
Můžeme postupovat i více algoritmicky:
1. můžeme začít s tím, že parametrům (včetně toho v lambda funkci) dáme libovolný
typ.
x :: t
y :: u
z :: a
2. dále si všimneme, že y je aplikováno na z, a tedy se musí jednat o funkci, která
bere argumenty typu a; výsledek je zatím neznámého typu
x :: t
y :: a -> b
z :: a
3. z toho tedy plyne, že (y z) :: b
4. dále pak x je aplikováno na (y z), tedy to opět musí být funkce, tentokrát beroucí
argument typu b; výsledek je opět zatím neznámého typu
x :: b -> c
y :: a -> b
z :: a
5. tedy x (y z) :: c;
6. dále můžeme otypovat lambda funkci na pravé straně definice funkce ze zadání:
(\z -> x (y z)) :: a -> c, výsledek je samozřejmě typ výsledku na pravé
straně lambda funkce, zatímco před -> je typ argumentu;
7. nyní již zbývá přidat jen typy argumentů x a y: c :: (b -> c) -> (a -> b)
-> a -> c.
Řeš. 6.1.4 a) Arita 2. Funkce map bere jako první argument funkci, druhý pak seznam (jehož
prvky mají stejný typ jako vstup funkce). Funkce flip pak pouze prohodí pořadí
argumentů, takže seznam bude první a funkce druhá. Produkuje seznam.
137
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 6: Manipulace s funkcemi, typy, opakování (řešení)
b) Arita 1. Vstupem je seznam, výstup je Bool.
c) Arita 3. Kromě dvou argumentů explicitně zapsaných lambda funkcí (typů a -> b, a
b -> Bool) bere tato funkce ještě seznam ([a]).
d) Arita 1. Nejobecnější typ výrazu je (\x -> x 1 || x 2) :: Num a => (a ->
Bool) -> Bool. Jediným vstupem je tedy funkce (predikát na číslech).
e) Arita 2. Argument flip je operátorovou sekcí od (.), druhým argumentem
bude funkce, prvním pak hodnota, která může vstoupit do této funkce.
flip (not .) :: a -> (a -> Bool) -> Bool.
f) Arita 2. Oba argumenty jsou seznamy (to plyne již z typu zipWith), výsledkem je
rovněž seznam. Jediná potíž by mohla být, pokud by tento výraz nešel otypovat. Zde
je však třeba si uvědomit, že id je polymorfní funkce typu a -> a a za a lze tedy dosadit
i funkční typ (třeba b -> c, a tak dostat specializaci na (b -> c) -> b -> c).
Dostáváme tedy zipWith id :: [b -> c] -> [b] -> [c], tedy funkci, která vezme
seznam funkcí a seznam argumentů, a aplikuje funkce na argumenty.
Řeš. 6.1.5 Naše funkce bere dva argumenty – funkci (pojmenujeme f) a hodnotu (pojmenujeme x).
Z typu funkce víme, x lze dát jako argument f. Musíme si rozmyslet co s nimi můžeme
dělat pro to, abychom vrátili něco typu b.
Dále se můžeme zamyslet nad tím, co můžeme dělat s argumentem typu a. Jelikož však
tento argument může být libovolného typu, nevíme nic o jeho vlastnostech a struktuře a
nemáme ho tedy jak modifikovat.
Zároveň potřebujeme nějak vyrobit hodnotu typu b. Opět o tomto typu nic nevíme, a
tedy nemáme jinou možnost jak ho vyrobit, než pomocí f.
Existuje tedy jen jedna totální funkce tohoto typu:
app :: (a -> b) -> a -> b
app f a = f a
Tato funkce je ekvivalentní standardnímu operátoru ($).
Řeš. 6.1.6 Žádná totální funkce tohoto typu neexistuje. Je třeba si uvědomit, že aby taková totální
funkce existovala, musela by být schopná vytvořit hodnotu typu a z prázdného seznamu.
To však není možné, máme-li neznámý typ a nemáme jak vytvořit jeho hodnotu.
Řeš. 6.1.7 Uvažme funkci foo :: (a -> Maybe b) -> Maybe a -> Maybe b. Tu pak můžeme volat
jako foo f x, kde f je funkce typu a -> Maybe b a x je hodnota typu Maybe a. Uvažme
jaká chování může funkce foo mít.
a) Nezávisle na argumentech může vrátit Nothing.
constNothing :: (a -> Maybe b) -> Maybe a -> Maybe b
constNothing _ _ = Nothing
b) Pokud chceme vyprodukovat nějakou jinou hodnotu než Nothing, máme k dispozici
pouze dané argumenty f a x. Speciálně nemáme jak vytvořit hodnotu typu b jinak,
než pomocí funkce f :: a -> Maybe b – důvodem je to, že b může být libovolný
typ a nic o něm nevíme.
Pro použití funkce f potřebujeme hodnotu typu a. Tu můžeme získat jedině z hodnoty
x :: Maybe a. Ačkoli o a nevíme nic, o hodnotě typu Maybe a již víme, že může být
Nothing nebo Just z pro nějaké z.
138
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 6: Manipulace s funkcemi, typy, opakování (řešení)
Můžeme tedy použít vzory pro rozložení hodnoty x a pokud není Nothing, použít
uvnitř uloženou hodnotu typu a jako vstup do funkce f.
bind :: (a -> Maybe b) -> Maybe a -> Maybe b
bind _ Nothing = Nothing
bind f (Just x) = f x
c) Žádná další možnost není.
Řeš. 6.1.8 Prvně otypujeme řádky jednotlivě:
1. První argument musí jistě být číslo a porovnatelný, typ druhého argumentu musí
být seznamový, protože se objevuje v then větvi ifu, kde se v else větvi objevuje
seznam, typ třetího argumentu je Bool. Návratová hodnota je seznam stejného typu
jako druhý argument, protože můžeme vracet přímo druhý argument.
Dostáváme tedy (Num a, Ord a) => a -> [b] -> Bool -> [b]
2. Z druhého řádku o prvním argumentu nevíme nic, o druhém víme, že je to seznam
a že je stejného typu jako návratová hodnota. O třetím argumentu opět víme, že je
to Bool
c -> [d] -> Bool -> [d]
3. O argumentech nevíme nic, ale víme, že návratová hodnota je řetězec.
e -> f -> g -> String
V těchto případech je vhodné nechat zatím typové proměnné v jednotlivých typech
různé, abychom zabránili náhodnému propojení typů, které spolu nesouvisí.
Nyní zbývá unifikovat typy na pozicích, které si v definici funkce odpovídají.
• a ∼ c ∼ e, zde nesmíme zapomenout, že s a se pojí typový kontext. Unifikace je
naopak jednoduchá, protože unifikuje jen samotné typové proměnné. Nadále budeme
místo nich všech používat a (substituce c ↦ a a e ↦ a).
• [b] ∼ [d] ∼ f vyřešíme substitucí d ↦ b a f ↦ [b].
• Bool ∼ Bool ∼ g, zde je substituce jednoduchá: g ↦ Bool.
• [b] ∼ [d] ∼ String, což už ale máme substituováno za [b] ∼ [b] ∼ String
(protože d se nahradilo za b).
Toto na první pohled nevypadá moc dobře, protože se zdánlivě snažíme unifikovat
seznam s něčím, co není seznam. Avšak String je jen alias pro [Char], a tedy
unifikovat se seznamovými typy jej lze. Dostáváme b ↦ Char.
Nyní je třeba provést substituce v typech z jednotlivých řádků definice. Nemělo by
záležet na tom, který řádek vezmeme, za předpokladu, že substituujeme, dokud můžeme.
Celkově dostaneme f :: (Num a, Ord a) => a -> [Char] -> Bool -> [Char], neboli
f :: (Num a, Ord a) => a -> String -> Bool -> String. Je důležité nezapomenout
na kontext svázaný s typovou proměnnou a.
Řeš. 6.1.9 a) Jedná se o funkci, která dokáže (pro typy, které to umožňují) převést hodnoty
daného typu na jejich textovou reprezentaci. Např. show 42 ∗
"42",
show [16, 42] ∗
"[16,42]". Funguje pro většinu typů s výjimkou funkčních typů.
Textová forma vyprodukované show by typicky měla být zápis validního Haskellového
139
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 6: Manipulace s funkcemi, typy, opakování (řešení)
výrazu.
b) Jedná se o funkci, která převádí textovou reprezentaci na hodnotu požadovaného typu.
Typ výsledné hodnoty se odvodí z použití funkce read, v případě potřeby je možné jej
vynutit explicitním otypováním:
(read "42" :: Int) ∗
42
(read "42" :: Float) ∗
42.0
(read "[1, 2, 3, 4]" :: [Int]) ∗
[1, 2, 3, 4]
read "40" + read "2" ∗
42
c) Funkce pro převod celého čísla na libovolnou reprezentaci čísla, např. funkci pro výpočet
𝑒-té odmocniny čísla 𝑛, kde 𝑒 je celé číslo a 𝑛 je číslo s plovoucí desetinnou čárkou
(např. Double), lze zapsat jako:
root :: (Floating a, Integral b) => a -> b -> a
root n e = n ** (1 / fromIntegral e)
(Operátor (**) slouží k umocňování čísel s plovoucí desetinnou čárkou.)
d) Funkce pro zaokrouhlování desetinných čísel na celá čísla (existuje i floor a ceiling).
Např. round 1.6 ∗
2, floor 1.6 ∗
1. (Typová třída RealFrac obsahuje právě
čísla, která lze zaokrouhlovat, z běžných typů do ní patří Float a Double.)
Řeš. 6.2.1 a) last [42, 3.14, 16] ∗
16.0 :: Fractional a => a
b) zipWith mod [3, 5, 7, 4] [4, 2, 3]
∗
[3, 1, 1] :: Integral a => [a]
c) (concat . map (replicate 4)) ['a', 'b', 'c']
∗
concat (map (replicate 4) ['a', 'b', 'c'])
∗
"aaaabbbbcccc" :: String
d) head (filter ((> 3) . length) ["hi!", "ahoj", "hello"])
∗
head ["ahoj", "hello"]
∗
"ahoj" :: String
e) cycle [3, 2, 4] !! 10 ∗
2 :: Num a => a
f) (head . drop 3 . iterate (^ 2)) 2
∗
((2 ^ 2) ^ 2) ^ 2
∗
256 :: Num a => a
Řeš. 6.2.2 pad :: Int -> Char -> PadMode -> String -> String
pad padTo padChar padMode str = leftPad padMode
++ str
++ rightPad padMode
where
diff = max 0 (padTo - length str)
rdiff = diff `div` 2
ldiff = diff - rdiff
mkPad n = replicate n padChar
leftPad PadLeft = mkPad diff
leftPad PadCenter = mkPad ldiff
140
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 6: Manipulace s funkcemi, typy, opakování (řešení)
leftPad PadRight = ""
rightPad PadLeft = ""
rightPad PadCenter = mkPad rdiff
rightPad PadRight = mkPad diff
Řeš. 6.2.3 take' :: Int -> [a] -> [a]
take' _ [] = []
take' 0 _ = []
take' amount (x:xs) = x : (take' (amount - 1) xs)
Řeš. 6.3.1 a) Např.
• LLeaf 42 :: BinLeafTree Int
• LNode (LLeaf 3) (LLeaf 0.2) :: BinLeafTree Double
• LNode (LLeaf "hi") (LLeaf []) :: BinLeafTree String
b) Typový konstruktor BinLeafTree arity 1. Hodnotové konstruktory LLeaf (arity 1) a
LNode (arity 2).
c) ltSumEven :: Integral a => BinLeafTree a -> a
ltSumEven (LLeaf x) = if even x then x else 0
ltSumEven (LNode l r) = ltSumEven l + ltSumEven r
Řeš. 6.3.2 a) Typové: RoseLeafTree arity 1. Hodnotové: RLNode a RLLeaf, oba arity 1.
b) countValueLeaves :: Integral i => RoseLeafTree a -> i
countValueLeaves (RLLeaf _) = 1
countValueLeaves (RLNode ls) = sum (map countValueLeaves ls)
Čistě z hlediska Haskellu by nejobecnější možný typ této funkce měl kontext Num a =>
místo Integral a =>, ale vzhledem k tomu, že výsledek má být počet, je vhodné,
aby byl jeho typ celočíselný.
c) Je dobré si všimnout, že podmínka na prořezání stromu není závislá na tom, zda
byl list odstraněn díky filtraci, nebo vůbec nebyl ve vstupu. Zároveň podle prvního
příkladu se samotný list nahrazuje za uzel bez následníků. Těchto dvou vlastností
můžeme využít a nejprve převést listy, které nechceme, na uzly bez následníků a
následně tyto uzly prořezat. Ke zpracování seznamů v uzlech použijeme map a filter.
rlFilter :: (a -> Bool) -> RoseLeafTree a -> RoseLeafTree a
rlFilter p (RLLeaf x) = if p x then RLLeaf x else RLNode []
rlFilter p (RLNode ls) =
RLNode (filter nontrivial (map (rlFilter p) ls))
where
nontrivial (RLNode []) = False
nontrivial _ = True
Řeš. 6.4.1 Vztahy lze vyčíst z hlavičky třídy zobrazené příkazem :i, např. class (Real a, Enum a)
=> Integral a where říká, že třídy Read a Enum jsou nadtřídami Integral. Jinak řečeno,
každý typ, který je v Integral, musí být i v Real a Enum. Na třídy se také můžeme dívat
jako na množiny typů – Integral je podmnožinou Real.
Kompletní vztahy mezi těmito třídami lze znázornit následujícím diagramem:
141
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 6: Manipulace s funkcemi, typy, opakování (řešení)
Integral
Real Enum
Num Ord
Eq
Show
⊂
⊂
⊂
⊂
⊂
Je dobré si povšimnout následujícího:
• žádná z číselných tříd automaticky nevyžaduje zobrazitelnost pomocí show;
• obecně čísla (jiná než reálná) nemusí jít porovnávat/řadit – například komplexní čísla
nemohou být instancí Ord; u některých reprezentací čísel (např. spočetná číslaa
nebo
čísla zadána pomocí výrazů, rovnic či funkcí) nemusí dávat dobrý smysl ani rovnost;
• všechny celočíselné typy jsou i instancemi Enum, což mimo jiné umožňuje používat
zápisy jako [1..42]; dalším příkladem typu, který je instancí Enum, je Bool.
a
Anglicky computable numbers, jsou čísla pro něž můžeme algoritmicky spočítat desetinný rozvoj do
libovolné přesnosti.
Řeš. 6.4.2 import Data.Char
instance Show Entry where
show (Word str) = show str
instance Eq Entry where
(Word str1) == (Word str2) = lowStr str1 == lowStr str2
where
lowStr xs = map toLower xs
Řeš. 6.4.3 isEqual :: Shape -> Shape -> Bool
isEqual (Circle r1) (Circle r2) = r1 == r2
isEqual (Rectangle a1 b1) (Rectangle a2 b2) = a1 == a2 && b1 == b2
isEqual Point Point = True
isEqual _ _ = False
isGreater :: Shape -> Shape -> Bool
isGreater shape1 shape2 = area shape1 > area shape2
where
area (Circle r) = pi * r * r
area (Rectangle a b) = a * b
area Point = 0
Řeš. 6.4.4 instance Eq TrafficLight where
Red == Red = True
Orange == Orange = True
142
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 7: Vstup a výstup (bonus) (řešení)
Green == Green = True
_ == _ = False
instance Ord TrafficLight where
Green <= _ = True
_ <= Red = True
Orange <= Orange = True
_ <= _ = False
instance Show TrafficLight where
show Red = "červená"
show Orange = "oranžová"
show Green = "zelená"
Řeš. 6.4.5 instance (Eq a, Eq b) => Eq (PairT a b) where
PairD a1 b1 == PairD a2 b2 = a1 == a2 && b1 == b2
instance (Ord a, Ord b) => Ord (PairT a b) where
PairD a1 b1 <= PairD a2 b2 = a1 < a2 || (a1 == a2 && b1 <= b2)
instance (Show a, Show b) => Show (PairT a b) where
show (PairD a b) = "pair of " ++ show a ++ " and " ++ show b
Řeš. 6.4.6 instance Eq a => Eq (BinTree a) where
Empty == Empty = True
Node x1 l1 r1 == Node x2 l2 r2 =
x1 == x2 && l1 == l2 && r1 == r2
_ == _ = False
Poslední řádek nelze vynechat – pokrývá porovnávání prázdného a neprázdného stromu.
Cvičení 7: Vstup a výstup (bonus)
Řeš. 7.1.1 a) f = getLine >>= \s -> putStrLn s
f' = getLine >>= putStrLn
b) f = getLine >>= putStrLn . reverse
c) f = getLine >>= \s -> putStrLn $ if null s then "<empty>" else s
d) f = getLine >>= \s -> putStrLn s >> pure s
Řeš. 7.1.2 getInteger :: IO Integer
getInteger = getLine >>= \num -> pure (read num :: Integer)
Řeš. 7.1.3 loopecho = getLine >>= \s ->
if null s then pure ()
else putStrLn s >>
loopecho
Řeš. 7.1.4 import Data.Char
getSanitized :: IO String
getSanitized = getLine >>= pure . filter isAlpha
143
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 7: Vstup a výstup (bonus) (řešení)
Řeš. 7.1.5 import System.Directory
checkFile :: IO ()
checkFile = putStr "File: " >> getLine >>=
doesFileExist >>= \b ->
putStrLn $ if b then "File exists." else "No such file."
Řeš. 7.1.6 x >> f = x >>= \_ -> f
Řeš. 7.1.7 runLeft = foldl (\a b -> a >> b) (pure ())
runLeft' = foldr (\a b -> a >> b) (pure ())
runRight = foldl (\a b -> b >> a) (pure ())
runRight' = foldr (\a b -> b >> a) (pure ())
Všimněte si, že nezáleží na výběru akumulační funkce. Aplikací funkcí foldl a foldr sice
vzniknou jiné stromy aplikací operátorů >>, ale pořadí listů zůstává stejné a operace >> je
asociativní. Pro lepší názornost si nakreslete obrázek příslušných katamorfizmů.
Řeš. 7.2.2 leftPadTwo :: IO ()
leftPadTwo = do
str1 <- getLine
let l1 = length str1
str2 <- getLine
let l2 = length str2
let m = max l1 l2
putStrLn (replicate (m-l1) ' ' ++ str1)
putStrLn (replicate (m-l2) ' ' ++ str2)
Řeš. 7.2.3 main = getLine >>= \f ->
getLine >>= \s ->
appendFile f (s ++ "\n")
Řeš. 7.2.4 query' :: String -> IO Bool
query' question =
putStrLn question >> getLine >>= \answer -> pure (answer == "ano")
Nebo lze upravit vzniklou 𝜆-abstrakci na pointfree tvar:
query'' :: String -> IO Bool
query'' question =
putStrLn question >> getLine >>= pure . (== "ano")
Řeš. 7.2.5 a) query2 :: String -> IO Bool
query2 question = do
putStrLn question
answer <- getLine
if answer == "ano"
then pure True
else if answer == "ne"
then pure False
else query2 question
b) import Data.Char
144
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 7: Vstup a výstup (bonus) (řešení)
query3 :: String -> IO Bool
query3 question = do
putStrLn question
answer <- getLine
let lcAnswer = map toLower answer
if lcAnswer `elem` ["ano", "áno", "yes"] then
pure True
else
if lcAnswer `elem` ["ne", "nie", "no"] then
pure False
else
query3 question
Řeš. 7.2.6 a) Typ IO String; akce, která při spuštění načte řádek vstupu, jenž se stane vnitřním
výsledkem.
b) Není výrazem. Při zadání do interpretu nebo do souboru se takto zadefinuje nová akce
x :: IO String, která se chová stejně jako getLine.
c) Ekvivalentní getLine; x je lokální akce zadefinovaná jako výše.
d) Syntakticky nesprávné; konstrukci <- je lze použít pouze v do-bloku nebo intensionálním
zápisu seznamu.
e) Ekvivalentní getLine; x :: String představuje načtený řádek.
f) Typově nesprávné; na pravé straně >>= má v tomto případě stát funkce typu
String -> IO a.
g) Může to být překvapivé, ale výraz je správně utvořený. Má ale poněkud děsivý
typ Monad m => m (IO String), což pro účely tohoto cvičení můžeme číst jako
IO (IO String). Je to akce, jejímž vnitřním výsledkem je po spuštění akce getLine.
h) Ekvivalentní getLine; x je opět lokálně zadefinovaná akce.
i) Ekvivalentní getLine; x :: String představuje načtený řádek. Analogické k e).
j) Typově nesprávné; poslední výraz do-bloku musí být typu „akce“. Analogické k f).
Řeš. 7.3.1 Do souboru s akcí leftPadTwo, nechť se jmenuje třeba Cv07.hs, přidáme:
main :: IO ()
main = putStrLn "Always two lines there are:" >> leftPadTwo
Soubor přeložíme a spustíme:
$ ghc Cv07.hs
[1 of 1] Compiling Main ( Cv07.hs, Cv07.o )
Linking Cv07 ...
$ ./Cv07
Always two lines there are:
They're taking the hobbits to Isengard!
Tell me where is Gandalf, for I much desire to speak with him.
They're taking the hobbits to Isengard!
Tell me where is Gandalf, for I much desire to speak with him.
$
Řeš. 7.3.2 biggest :: Integer -> Integer -> Integer -> Integer
biggest x y z = max (max x y) z
145
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 7: Vstup a výstup (bonus) (řešení)
lowerTwo :: Integer -> Integer -> Integer -> Integer
lowerTwo x y z = x + y + z - biggest x y z
getInteger :: IO Integer
getInteger = getLine >>= \num -> pure (read num :: Integer)
main :: IO ()
main = do
putStrLn "Enter first number:"
x <- getInteger
putStrLn "Enter second number:"
y <- getInteger
putStrLn "Enter third number:"
z <- getInteger
if biggest x y z < lowerTwo x y z
then putStrLn "ANO"
else putStrLn "NE"
Řeš. 7.3.3 import System.Directory
main :: IO ()
main = do putStr "Enter filename: "
fileName <- getLine
fileExists <- doesFileExist fileName
if fileExists then do
fileContents <- readFile fileName
putStr fileContents
else putStrLn "Impossible. Perhaps the archives are incomplete."
Řeš. 7.3.4 Obecně, rekurze v kontextu IO umožňuje opakované vykonávání akcí. V tomto případě
vidíme, že od první akce, která je součástí main', až po její další výskyt se opakuje načtení
řetězce a výpis jeho převrácené podoby. Dobře použitá rekurze musí být vhodným způsobem
ukončitelná. Význam kódu měl nejspíš být takový, že zadáme-li prázdný řetězec, dojde
k ukončení rekurze a akce se nebude znovu opakovat. Autor zde však rekurzi neuhlídal
a main' se volá pokaždé; akci tedy není jak ukončit. Náprava je jednoduchá: stačí poslední
řádek odsadit tak, aby byl součástí vnořeného do-bloku.
V takto jednoduchém případě se místo vnořeného do-bloku dá bez ztráty čitelnosti
použít >>:
main :: IO ()
main = do putStr "Enter string: "
s <- getLine
if null s then putStrLn "You shall not pass!"
else putStrLn (reverse s) >> main
Řeš. 7.3.5 import Text.Read
requestInteger :: String -> IO (Maybe Integer)
requestInteger delim = do
str <- getLine
146
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 7: Vstup a výstup (bonus) (řešení)
if str == delim then pure Nothing else f (readMaybe str)
where
f Nothing = requestInteger delim
f mayInt = pure mayInt
Řeš. 7.3.7 leftPad :: IO ()
leftPad = leftPad' []
leftPad' :: [String] -> IO ()
leftPad' lines = do
line <- getLine
if line == "."
then printLines (maximum (map length lines)) (reverse lines)
else leftPad' (line:lines)
printLines :: Int -> [String] -> IO ()
printLines _ [] = pure ()
printLines maxLen (line:xs) = do
let prefix = replicate (maxLen - length line) ' '
putStrLn (prefix ++ line)
printLines maxLen xs
Řeš. 7.3.10 Dvojice obsahující v obou složkách týž řádek vstupu. Začne se vyhodnocovat první složka
dvojice; vyhodnocení getLine' způsobí přečtení řádku vstupu, který se stane výsledkem
výrazu. Kvůli línému vyhodnocování se už ve druhé složce nemá co vyhodnocovat (a tedy
se nenačte další řádek), protože výraz getLine' už vyhodnocený je.
Příklad ilustruje jeden z důvodů, proč je v Haskellu potřeba řešit vstup a výstup poněkud
neintuitivním způsobem. Dalším důvodem je pořadí spuštění – u vstupně-výstupních akcí ho
většinou chceme přesně stanovené. To je u normální redukční strategie obtížnější dosáhnout.
Řekněme, že výrazy s vedlejšími efekty se vždy vyhodnocují znovu (aby vůbec došlo k těm
efektům). Například vyhodnocení getLine' vždy způsobí, že se načte řádek. Vezměme si
hypotetickou funkci writeFile' :: FilePath -> String -> (). Budeme chtít napsat
program, který načte název souboru a obsah, který do něj uloží. Které řešení je vezme
v jakém pořadí?
main = writeFile' getLine' getLine'
main = flip writeFile' getLine' getLine'
Odpověď zní: nevíme, ale v obou bude stejné. Záleží na tom, co writeFile' bude chtít
načíst první (dá se očekávat, že to bude název souboru). Zároveň s tím flip nic neudělá,
protože oba argumenty jsou nevyhodnocený výraz (s vedlejšími efekty), a byť už máme
zajištěno, že se oba výskyty vyhodnotí zvlášť, redukční strategie stále nevynucuje, aby se
to událo před voláním writeFile'.
Chceme-li vynutit pořadí vykonávání akcí, můžeme mezi nimi uměle zavést závislost.
Například první funkce by vracela kromě načteného řádku i nějaké nahodilé číslo,
které by se jako štafetový kolík předalo druhé funkci. Ta by tak mohla byt vyhodnocena
až poté, co by došlo k vyhodnocení první. Typ by se přitom změnil na
getLine'' :: Integer -> (String, Integer). Implementace řetězení funkcí je jistě
zřejmá. A protože k takovému řetězení by docházelo často, vymysleli bychom si na něj
nějaký hezký operátor a nazvali jej třeba >>.
Článek https://wiki.haskell.org/IO_inside názorně krok po kroku ukazuje, že
myšlenka štafetového kolíku je už poměrně blízko skutečné implementaci IO. Všem nebo-
147
IB015 – Sbírka úloh Cvičení 7: Vstup a výstup (bonus) (řešení)
jácným zájemcům o Haskell ho Pan Fešák doporučuje si přečíst.
148
Přiložený kód
Pan Sazeč upozorňuje: Kopírování kódu ze souboru PDF nezachovává odsazení!
Soubory jsou ale vloženy i jako přílohy tohoto dokumentu; s rozumným prohlížečem
je můžete stáhnout kliknutím na název souboru, ať už zde, či v příslušných příkladech.
Přílohy jsou k nalezení také ve studijních materiálech v ISu.
-- * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * --
type WeaponsPoints = Integer
type HealthPoints = Integer
data Armor = Leather | Steel -- kožené nebo ocelové brnění
deriving (Eq, Show)
data Warrior = Warrior HealthPoints Armor WeaponsPoints
deriving (Eq, Show)
attack :: Warrior -> Warrior -> Warrior
attack = undefined
warrior1 = Warrior 30 Leather 30
warrior2 = Warrior 20 Steel 25
-- * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * --
addVars :: String -> String -> [(String, Integer)] -> Maybe Integer
addVars = undefined
data Mark = A | B | C | D | E | F | X | S deriving (Eq, Show)
type StudentName = String
type CourseName = String
data StudentResult = StudentResult StudentName CourseName (Maybe Mark)
deriving (Eq, Show)
summarize :: StudentResult -> String
summarize = undefined
-- * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * --
data Nat = Zero | Succ Nat deriving Show
natToInt :: Nat -> Int
natToInt = undefined
-- * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * --
data Expr = Con Double
| Add Expr Expr | Sub Expr Expr
| Mul Expr Expr | Div Expr Expr
deriving Show
eval :: Expr -> Double
eval = undefined
149
04_data.hs
IB015 – Sbírka úloh Přiložený kód
evalMay :: Expr -> Maybe Double
evalMay = undefined
-- * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * --
data BinTree a = Empty
| Node a (BinTree a) (BinTree a)
deriving (Eq, Show)
tree00 :: BinTree Int
tree00 = Node 42 (Node 28 Empty Empty) Empty
tree01 :: BinTree Int
tree01 = Node 4 (Node 2 (Node 1 Empty Empty) (Node 3 Empty Empty))
(Node 6 (Node 5 Empty Empty) (Node 7 Empty Empty))
tree02 :: BinTree Int
tree02 = Node 9 Empty (Node 11 (Node 10 Empty Empty)
(Node 12 Empty Empty))
tree03 :: BinTree Int
tree03 = Node 8 tree01 tree02
tree04 :: BinTree Int
tree04 = Node 4 (Node 2 Empty (Node 3 Empty Empty))
(Node 6 (Node 5 Empty Empty) Empty)
tree05 :: BinTree Int
tree05 = Node 100 (Node 101 Empty
(Node 102 (Node 103 Empty
(Node 104 Empty Empty))
Empty))
(Node 99 (Node 98 Empty Empty)
(Node 98 Empty Empty))
emptyTree :: BinTree Int
emptyTree = Empty
-- * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * --
treeSize :: BinTree a -> Int
treeSize = undefined
listTree :: BinTree a -> [a]
listTree = undefined
height :: BinTree a -> Int
height = undefined
longestPath :: BinTree a -> [a]
longestPath = undefined
-- * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * --
fullTree :: Int -> a -> BinTree a
fullTree = undefined
treeZip :: BinTree a -> BinTree b -> BinTree (a, b)
150
IB015 – Sbírka úloh Přiložený kód
treeZip = undefined
-- * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * --
treeMayZip :: BinTree a -> BinTree b -> BinTree (Maybe a, Maybe b)
treeMayZip = undefined
-- * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * --
isTreeBST :: (Ord a) => BinTree a -> Bool
isTreeBST = undefined
searchBST :: (Ord a) => a -> BinTree a -> Bool
searchBST = undefined
-- * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * --
data RoseTree a = RoseNode a [RoseTree a]
deriving (Show, Read)
roseTreeSize :: RoseTree a -> Int
roseTreeSize = undefined
roseTreeSum :: Num a => RoseTree a -> a
roseTreeSum = undefined
roseTreeMap :: (a -> b) -> RoseTree a -> RoseTree b
roseTreeMap = undefined
-- * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * --
data LogicExpr = Pos | Neg
| And LogicExpr LogicExpr
| Or LogicExpr LogicExpr
| Implies LogicExpr LogicExpr
| Equiv LogicExpr LogicExpr
evalExpr :: LogicExpr -> Bool
evalExpr = undefined
-- * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * --
data IntSet = SetNode Bool IntSet IntSet -- Node isEnd zero one
| SetLeaf
deriving Show
insert :: IntSet -> Int -> IntSet
insert = undefined
find :: IntSet -> Int -> Bool
find = undefined
listSet :: IntSet -> [Int]
listSet = undefined
-- * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * --
151
IB015 – Sbírka úloh Přiložený kód
data Sex = Female | Male
allPairs :: [(String, Sex)] -> [(String, String)]
allPairs = undefined
people :: [(String, Sex)]
people = [("Jeff", Male), ("Britta", Female), ("Annie", Female), ("Troy",
Male)]↪
naturalsFrom :: Integer -> [Integer]
naturalsFrom n = n : naturalsFrom (n + 1)
naturals :: [Integer]
naturals = naturalsFrom 0
-- naturals !! 2
filter' _ [] = []
filter' p (x : xs) = if p x then x : filter' p xs else filter' p xs
-- Jak se bude chovat interpret jazyka Haskell pro vstup filter' (< 3)
naturals?↪
takeWhile' _ [] = []
takeWhile' p (x : xs) = if p x then x : takeWhile' p xs else []
-- Jak se bude chovat interpret jazyka Haskell pro vstup takeWhile' (< 3)
naturals?↪
addNumbers :: [String] -> [String]
addNumbers = undefined
integers :: [Integer]
integers = undefined
threeSum :: [(Integer, Integer, Integer)]
threeSum = undefined
sumFold :: Num a => [a] -> a
sumFold = undefined
productFold :: Num a => [a] -> a
productFold = undefined
orFold :: [Bool] -> Bool
orFold = undefined
lengthFold :: [a] -> Int
lengthFold = undefined
maximumFold :: Ord a => [a] -> a
152
05_data.hs
IB015 – Sbírka úloh Přiložený kód
maximumFold = undefined
-- foldr1 (\x s -> x + 10 * s)
-- foldl1 (\s x -> 10 * s + x)
concatFold :: [[a]] -> [a]
concatFold = undefined
listifyFold :: [a] -> [[a]]
listifyFold = undefined
nullFold :: [a] -> Bool
nullFold = undefined
composeFold :: [a -> a] -> a -> a
composeFold = undefined
idFold :: [a] -> [a]
idFold = undefined
mapFold :: (a -> b) -> [a] -> [b]
mapFold = undefined
headFold :: [a] -> a
headFold = undefined
lastFold :: [a] -> a
lastFold = undefined
maxminFold :: Ord a => [a] -> (a, a)
maxminFold = undefined
suffixFold :: [a] -> [[a]]
suffixFold = undefined
filterFold :: (a -> Bool) -> [a] -> [a]
filterFold = undefined
oddEvenFold :: [a] -> ([a], [a])
oddEvenFold = undefined
takeWhileFold :: (a -> Bool) -> [a] -> [a]
takeWhileFold = undefined
dropWhileFold :: (a -> Bool) -> [a] -> [a]
dropWhileFold = undefined
data BinTree a = Node a (BinTree a) (BinTree a)
| Empty
deriving (Eq, Show)
153
05_treeFold.hs
IB015 – Sbírka úloh Přiložený kód
treeFold :: (a -> b -> b -> b) -> b -> BinTree a -> b
treeFold n e (Node v l r) = n v (treeFold n e l)
(treeFold n e r)
treeFold n e Empty = e
tree01 :: BinTree Int
tree01 = Node 2 (Node 3 (Node 5 Empty Empty) Empty)
(Node 4 (Node 1 Empty Empty) (Node 1 Empty Empty))
tree02 :: BinTree String
tree02 = Node "C" (Node "A" Empty (Node "B" Empty Empty))
(Node "E" (Node "D" Empty Empty) Empty)
tree03 :: BinTree (Int,Int)
tree03 = Node (3,3) (Node (2,1) Empty Empty) (Node (1,1) Empty Empty)
tree04 :: BinTree a
tree04 = Empty
tree05 :: BinTree Bool
tree05 = Node False (Node False Empty (Node True Empty Empty))
(Node False Empty Empty)
tree06 :: BinTree (Int, Int -> Bool)
tree06 = Node (0,even)
(Node (1,odd) (Node (2,(== 1)) Empty Empty) Empty)
(Node (3,(< 5)) Empty
(Node (4,((== 0) . mod 12)) Empty Empty))
-- typy a typové třídy: na papír, viz sbírka
-- 6.1.7: tento typ si zkopírujte na všechny funkce podle příkladu
fMaybe :: (a -> Maybe b) -> Maybe a -> Maybe b
fMaybe = undefined
data BinLeafTree a = LLeaf a
| LNode (BinLeafTree a) (BinLeafTree a)
deriving (Show, Eq)
-- je třeba doplnit i typ:
-- bitLeafTreeVal1
-- bitLeafTreeVal2
-- typové konstruktory:
-- hodnotové konstruktory:
-- je třeba doplnit i typ:
-- tSumEven
data RoseLeafTree a = RLNode [RoseLeafTree a]
| RLLeaf a
154
06_data.hs
IB015 – Sbírka úloh Přiložený kód
deriving (Show, Eq)
-- typové konstruktory:
-- hodnotové konstruktory:
-- je třeba doplnit i typ:
-- countValueLeaves
-- je třeba doplnit i typ:
-- rlFilter
import Data.Char
main = guess 1 10
query ot = do putStr ot
ans <- getLine
pure (ans == "ano")
guess :: Int -> Int -> IO ()
guess m n = do putStrLn ("Mysli si cele cislo od " ++ show m
++ " do " ++ show n ++ ".")
kv m n
kv m n = do
if m == n
then putStrLn ("Je to " ++ show m ++ ".")
else do o <- query $ "Je tve cislo vetsi nez " ++ show k ++ "? "
if o then kv (k + 1) n else kv m k
where k = (m + n) `div` 2
155
07_guess.hs