3 Množiny a množinové operace V přehledu matematických formalismů informatiky se v této lekci zaměříme na první základní „datový typ" matematiky, tj. na množiny. O množinách jste sice zajisté slyšeli už na základní škole, ale podstatou našeho předmětu je uvést povětšinou neformálně známé pojmy na patřičnou formální úroveň nutnou pro teoretické základy informatiky. Stručný přehled lekce * Uvedení množin a operací množinového kalkulu. * Uspořádané fc-tice a kartézský součin. * Porovnávania určení množin. Princip inkluze a exkluze. * Relace a funkce mezi množinami. □ Petr Hliněný, Fl MU Brno, 2023 1/23 Fl: IB000: Množiny, množinové operace 3.1 Pojem množiny Co je vlastně množinaľn Na tuto otázku bohužel není zcela jednoduchá odpověď. . . • Naivní pohled: „Množina je soubor prvků a je svými prvky plně určena, "u • Příklady zápisu množin 0, {a, b}, {&, a}, {a, 6, a}, {{a, 6}}, {0, {0}, {{0}}}, {x | x je liché přirozené číslo}. Petr Hliněný, Fl MU Brno, 2023 2/23 Fl: IB000: Množiny, množinové operace Co je ale pak prvek? Tady pozor, pojem prvku sám o sobě nemá matematický význam, svého významu totiž nabývá pouze ve spojení „být prvkem množiny11. Prvky množiny tak může být cokoliv, mimo jiné i další množiny. Relativitu významu vztahu „prvek-množina" si můžeme přiblížit třeba na vztahu „podřízený-nadřízený" z běžného pracovního života. Tam také nemá smysl jen říkat, že je někdo podřízeným, aniž řekneme také jeho nadřízeného. Přitom i vedoucí je někomu ještě podřízený a naopak i ten poslední podřízený pracovník může být pánem třeba svého psa. Podobně je tomu s množinou jako „nadřízenou" svých prvků. Ale přece jenom. .. v dobře definovaném kontextu lze (omezeně) mluvit o prvcích jako samostatných entitách. Formálně se například jedná o prvky pevně dané nosné množiny. Petr Hliněný, Fl MU Brno, 2023 3/23 Fl: IB000: Množiny, množinové operace Zápis množiny Značení množin a jejich prvků: • x £ M „x je prvkem množiny M", • 0 je prázdná množina {}. Některé vlastnosti vztahu „být prvkem" jsou • a£{a,6}, a0{{a,6}}, {a, 6} £ {{a, 6}}, na 0 0, 0 G {0}, 0 0 0,n • rovnost množin dle prvků {a, b} = {&, a} = {a, 6, a}, {a, 6} 7^ {{a, b}}.c Značení: Počet prvků (mohutnost) množiny A zapisujeme \A . |0| = 0, |{0}| = 1, |{a, 6, c}| = 3, |{{a, 6}, c}| = 2. Petr Hliněný, Fl MU Brno, 2023 4/23 Fl: IB000: Množiny, množinové operace Jednoduché srovnání množin Vztah „být prvkem množiny" nám přirozeně podává i způsob porovnávání množin mezi sebou. Jedná se o klíčovou část, čili hlavní nástroj teorie množin. Definice: Množina A je podmnožinou množiny B, právě když každý prvek A je prvkem B. Píšeme A C B nebo obráceně B ~D A. Říkáme také, že se jedná o inkluzi. □ • Platí {a} C {a} C {a, b} £ {{a, &}}, 0 C {0}, • A C B, právě když A C B a A ^ B (A je v7asŕA7/xpodmnožinou B). Z naivní definice množiny pak přímo vyplývá následující: Definice: Dvě množiny jsou si rovny A — B právě tehdy, když A C B a B C A. • Podle naivní definice jsou totiž množiny A b B stejné, mají-li stejné prvky. • Důkaz rovnosti množin A = B má obvykle dvě části: Odděleně se dokáží inkluze A C B a B C A. Petr Hliněný, Fl MU Brno, 2023 5/23 Fl: IB000: Množiny, množinové operace Ukázky nekonečných množin Značení: Běžné číselné množiny v matematice jsou následující * N = {0,1, 2, 3,... } je množina přirozených čísel, * Z = {..., —2, —1, 0,1, 2, 3,... } je množina celých čísel, * Z+ = {1, 2, 3,... } je množina celých kladných čísel, * (Q je množina racionálních čísel (zlomků). * R je množina reálných čísel. Tyto uvedené číselné množiny jsou vesměs nekonečné, na rozdíl od konečných množin uvažovaných v předchozím „naivním" pohledu. □ Pojem nekonečné množiny se přímo v matematice objevil až teprve v 19. století a brzy se s ním spojilo několik paradoxů ukazujících, že naivní pohled na teorii množin pro nekonečné množiny nedostačuje. My se k problematice nekonečných množin, Cantorově větě a Russelovu paradoxu vrátíme v závěru našeho předmětu v Lekci 15. Petr Hliněný, Fl MU Brno, 2023 6/23 Fl: IB000: Množiny, množinové operace r 3.2 Množinové operace Sjednocení a průnik Definice 3.2. Sjednocení U a průnik n dvou množin A, B definujeme AuB = {x \ x e A nebo x G B}n , AD B = {x \ x E A a současně x £ B} .c AU B AnB Příklady {a, 6, c} U {a, d} = {a, 6, c, d}, {a, 6, c} n {a, d} = {a} Petr Hliněný, Fl MU Brno, 2023 7/23 Fl: IB000: Množiny, množinové operace ■r Sjednocení a průnik AnB AU B {x | x G A nebo x G B} , {x | x G A a současně x G S} . • Vždy platí „distributivita" A n (S U C) = (A n S) U (A n C) a A u (s n C) = (A u s) n (A U C) □ • a také „asociativita" An(BnC) = (iílB)nC (stejně pro U) a „komutativita" in5 = Bni (stejně pro U). □ Definice: Pro libovolný počet množin indexovaných pomocí / rozšířeně • Nechť Ai — {2'í} pro každé i G N. Pak Užgn^ je množina všech sudých přirozených čísel.c • Nechť Bi = {x\xe'N,x>i} pro každé i G N. Pak fVN ^ = {x | x G pro nějaké i G /} {x I x G Ai pro každé iG/}.[ Petr Hliněný, Fl MU Brno, 2023 8/23 Fl: IB000: Množiny, množinové operace ■r Množinový rozdíl Definice 3.3. Rozdíl \ a symetrický rozdíl A dvou množin A, B definujeme A\B = {x \ x E A a současně x 0 £>}□ , AAB = (A\B) U (B\A) .□ A\B AAB • Příklady {a, 6, c} \ {a, 6, cř} = {c}, {a, 6, c}A{a, 6, cř} = {c, cř}. • Vždy platí například A \ (B n C) = (A \ B) U (A \ C) apod.n Definice: Pro libovolný počet množin indexovaných pomocí konečné / A\ — {x | x G Ai pro lichý počet i G /} . Petr Hliněný, Fl MU Brno, 2023 9/23 Fl: IB000: Množiny, množinové operace Doplněk k množině Definice: Nechť A C M. Doplňkem A vzhledem k M je množina A = M\A. • Jedná se o poněkud specifickou operaci, která musí být vztažena vzhledem k nosné množině M! Je-li M = {a, 6, c}, pak {a, b} = {c}. Je-li M = {a, b}, pak {a, 6} = 0. □ • Vždy pro ACM platí A — A („dvojí" doplněk). • Vždy pro A, B C M platí AuB = InŠa AnB = ÄUB. (Viz Vennovy diagramy.) Petr Hliněný, Fl MU Brno, 2023 10/23 Fl: IB000: Množiny, množinové operace ■r Potenční množina Definice 3.4. Potenční množina množiny A, neboli množina všech podmnožin, je definovaná vztahem 2A = {B | B C A}. □ • Platí například 2^6> = {0, {a}, {&}, {a, &}}, • 20 = {0}, 2Í0'W> = {0, {0}, {{0}}, {0, {0}}}, □ Věta 3.5. Počet prvků potenční množiny splňuje \2A\ = 2lALn Důkaz: Důkaz jen stručně naznačíme (pro přesnější zápis důkazu by se použila matematická indukce z Lekce 4). Jak vybereme jednu podmnožinu B C A? Například tak, že pro každý z \A prvků množiny A se nezávisle rozhodneme, zda jej zařadíme do B nebo ne. To jsou dvě možnosti pro výběr každého prvku b G A a podle principu nezávislých výběrů je celkový počet různých podmnožin množiny A roven 2A = 2 • 2 • ... • 2 = 2'/i' . □ \a Petr Hliněný, Fl MU Brno, 2023 11/23 Fl: IB000: Množiny, množinové operace ■r 3.3 Kartézský součin Definice: Uspořádaná dvojice (a, b) je zadána množinou {{a}, {a, &}}.□ Fakt: Platí (a, 6) = (c, d) právě tehdy, když a = ca současně b = d.t • Co je dle definice (a, a)?c (a, a) = {{a}, {a, a}} = {{a}, {a}} = {{&}}.c Definice 3.6. Kartézský součin dvou množin A,B definujeme jako množinu všech uspořádaných dvojic ze složek z A a B Ax B = {(a, b) | a e A, b e B}. □ Příklady {a, b} x {a} = {(a, a), (6, a)}, {c, d} x {a, 6} = {(c, a), (c, 6), (d, a), (d, 6)}.c Platí 0xX = 0 = Xx0pro každou množinu X. □ Jednoduchá mnemotechnická pomůcka říká A x B A • B Petr Hliněný, Fl MU Brno, 2023 12/23 Fl: IB000: Množiny, množinové operace Skládání součinu Definice: Pro k G N, k > 0 definujeme uspořádanou k-tici (ai, • • • , a^) ind. - (ai) ai, - (ai, <22, • • • , a^, ai+i) = ((ai, a2, • • • , a^), a^+i).n Fakt: Platí (ai, • • • , a^) = (&i, • * * ? &fe)> právě když = bi pro každé 1 < i < Definice kartézského součinu více množin: Pro každé /c G N definujeme Ai x A2 x • • • x Ak = {(tti, ^2, • • • , dk) \ clí e Ai pro každé 1 < i < k} .□ • Například Z3 = ZxZxZ = {(i, j, fc) | ij,k G Z}. • Co je A°?n {0}, neboť jediná uspořádaná 0-tice je právě prázdná 0. Poznámka: Podle uvedené definice není kartézský součin asociativní, tj. obecně nemusí platit, že A x (B x C) = (A x B) x C.n V matematické praxi je někdy výhodnější uvažovat upravenou definici, podle níž součin asociativní je. Pro účely této přednášky není podstatné, k jaké definici se přikloníme. Prezentované definice a věty „fungují" pro obě varianty. Petr Hliněný, FI MU Brno, 2023 13/23 Fl: IB000: Množiny, množinové operace 3.4 Porovnávání a určení množin Věta 3.7. Pro každé dvě množiny A, B C M platí A U B = ÄDB. □ Důkaz v obou směrech rovnosti (viz ilustrační obrázek). • AU B C AnB: □ * Pro x G M platí x G A U B, právě když x 0 A U B, neboli když zároveň x 0 A a x 0 B. * To znamená x G A a zároveň x E B, z čehož vyplývá požadované • AU B DÄHB: * Pro x G M platí x G A n B, právě když x G A a zároveň x G B, neboli když zároveň x 0 A a x 0 B. * To znamená x ^ AU B, z čehož vyplývá požadované x G A U S. □ Petr Hliněný, Fl MU Brno, 2023 14/23 Fl: IB000: Množiny, množinové operace Věta 3.8. Pro každé tři množiny A, B, C platí A \ (B n C) = (A \ B) U(A\C). Důkaz (viz ilustrační obrázek).c • A\(BHC) C (A \ B) U(A\C): * Je-li x G A \ (B H C), pak x G A a zároveň x 0 (B n C), neboli x ^ B nebo x ^ C. * Pro první možnost máme pro druhou x E (A \ C).ľ • Naopak A\(BnC) d (A \ B) U(A\C)\ * Je-li xe(A\B) U (A \ C), pak x G (A \ B) nebo x G (A \ C). * Pro první možnost máme x G A a zároveň x ^ B, z čehož plyne x G A a zároveň x^(BnC),a tudíž xGÍ\(Bn C).n * Druhá možnost je analogická. □ Petr Hliněný, Fl MU Brno, 2023 15/23 Fl: IB000: Množiny, množinové operace Charakteristický vektor (pod)množiny V případech, kdy všechny uvažované množiny jsou podmnožinami nějaké konečné nosné množiny X, což není neobvyklé v programátorských aplikacích, s výhodou využijeme následující reprezentaci množin. Definice: Mějme nosnou množinu X — {xi, £2, • • • 3 %n}- Pro AC X definujeme charakteristický vektor xa jako Xa — (ci, c2,..., cn), kde q = 1 pro x\ £ A a q = 0 jinak.c • Platí A — B právě když xa = Xb- • Množinové operace jsou realizovány „bitovými funkcemi" sjednocení ^ OR, průnik ^ AND, symetrický rozdíl ^ XOR. Petr Hliněný, Fl MU Brno, 2023 16/23 Fl: IB000: Množiny, množinové operace r Princip inkluze a exkluze Tento důležitý a zajímavý kombinatorický princip je někdy také nazýván „princip zapojení a vypojení Věta 3.9. Počet prvků ve sjednocení dvou či tří množin spočítáme: AuB = A + B - AnB AUBUC = A + B + C - AnB - AnC - BnC + AílBnC □ A A B B Všimněte si, že větu lze stejně tak využít k výpočtu počtu prvků v průniku množin Petr Hliněný, Fl MU Brno, 2023 17/23 Fl: IB000: Množiny, množinové operace ■r Příklad 3.10. Z 1000 televizí jich při první kontrole na výrobní lince má 5 vadnou obrazovku, 10 je poškrábaných a 12 má jinou vadu. Přitom 3 televize mají současně všechny tři vady a 4 jiné jsou poškrábané a mají jinou vadu. Kolik televizí je celkem vadných? í Řešení: Dosazením \A\ = 5, \B\ = 10, \C\ = 12, \A H B n C\ = 3, \A H B\ = 3 + 0, AnC\ =3 + 0, |£ H C\ = 3 + 4 do Věty 3.9 zjistíme výsledek 17. □ □ Poznámka. Jen stručně, bez důkazu a bližšího vysvětlení, si uvedeme obecnou formu principu inkluze a exkluze: n 0^/C{l,...,n} n a (Jeho znalost nebude v předmětu vyžadována.) Petr Hliněný, Fl MU Brno, 2023 18/23 Fl: IB000: Množiny, množinové operace ■r 3.5 Relace a funkce Vedle množin jsou dalším důležitým základním „datovým typem" matematiky relace, které nyní zavedeme a kterým vzhledem k jejich mnohotvárnému použití v informatice věnujeme významnou pozornost i v příštích lekcích. Definice 3.11. Relace mezi množinami Al, A2, • • • , A^, pro k G N, je libovolná podmnožina kartézského součinu iž C Ai x A2 x • • • x Ak .□ Pokud A\ — A2 — • • • = Ak = A, hovoříme o k-ární relaci R na A. Příklady relací. • {(1, a), (2, a), (2, b)} je relace mezi {1, 2, 3} a {a, 6}. • {(i, 2 - i) \ i E N} je binární relace na N.c • {(i, j, i + j) | i, j B říká, že / je funkce s def. oborem A a oborem hodnot, který je podmnožinou Bx Příklady funkcí jsou třeba následující. • Definujeme funkci / : N —> N předpisem f (x) = x + 8. Pak / = {(>, x + 8) | x e N}.n • Definujeme funkci p/^s :NxN^N předpisem plus (i, j) = i + j. Pak plus = {(i, j, i + j) | i, j G N}. Petr Hliněný, Fl MU Brno, 2023 21/23 Fl: IB000: Množiny, množinové operace ^Parciální (částečné) funkce Definice: Pokud naši Definici 3.12 upravíme tak, že požadujeme pro každé x e A nejvýše jedno y G B takové, že (x, y) G /, obdržíme definici parciální funkce z A do B. V parciální funkci / nemusí být pro některé „vstupní" hodnoty x funkční hodnota definována (viz například f (2) v uvedeném obrázku). Pro nedefinovanou hodnotu používáme znak _L Petr Hliněný, Fl MU Brno, 2023 22/23 Fl: IB000: Množiny, množinové operace Nasleduje několik příkladů parciálních funkcí. • Definujeme parciální funkci / : Z —> N předpisem f(x) = 3 + x jestliže x > 0. _L jinak. Tj. / = {(x,3 + x) | x G N}. □ Také funkce / : R —> R daná běžným analytickým předpisem /(z) logx je jen parciální - není definována pro x < O.c Co je relace, přiřazující lidem v ČR jejich (česká) rodná čísla? Petr Hliněný, Fl MU Brno, 2023 23/23 Fl: IB000: Množiny, množinové operace