Algebra I – podzim 2021 – 1. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Pro každou z množin
M1 = { a + b
3
√
3 + c
3
√
9 | a, b, c ∈ Z, [a]2 = [b]2 = [c]2 },
M2 = { a + b
3
√
3 + c
3
√
9 | a, b, c ∈ Z, [a]3 = [b]3 = [c]3 },
M3 = { a + b
3
√
3 + c
3
√
9 | a, b, c ∈ Z, [b]2 = [c]2 },
M4 = { a + b
3
√
3 + c
3
√
9 | a, b, c ∈ Z, [b]3 = [c]3 }
rozhodněte, zda je podokruhem, případně ideálem, okruhu Z[ 3
√
3].
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1
b
FF
a // 2
a
JJ
b
66 3
a
vv
b

4
a
vv
b
hh
3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa
(R[x], +) × (R[x], +) × (Z, +) × (Z, +) /H,
kde
H = (f, g, 2z, z) | f, g ∈ R[x], z ∈ Z, f(1) = g(3), (x2
− 2x + 2) dělí f .
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla 3
√
4 − 3
√
2 nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
α5 − 2α4 + α3 + 3α + 1
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli, víte-li, že číslo α splňuje
rovnost α3
(2 − α) = 2α + 2.
6. (10 bodů) Dejte příklad grupy, která má až na izomorfismus právě šest homomorfních
obrazů.
7. (10 bodů) Dejte příklad oboru integrity (R, +, ·), který má nekonečně mnoho podokruhů,
ale žádný jeho podokruh není tělesem. Uveďte rovněž příklad nekonečně
mnoha podokruhů okruhu (R, +, ·).
8. (5 bodů) Definujte nerozložitelný prvek oboru integrity.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení popisující vztah mezi rozklady polynomů nad Q a
nad Z.
10. (10 bodů) Dokažte, že každý pologrupový homomorfismus mezi dvěma grupami
je homomorfismem grupovým. Vycházejte přitom přímo z definic homomorfismů
a grupy.