Algebra I – podzim 2015 – 2. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Rozhodněte, zda množina
S = { f : Z → Z | z dělí f(z) pro všechna z ∈ Z }
je podokruhem, respektive ideálem, okruhu (ZZ
, +, ·), kde + a · jsou obvyklé operace
sčítání a násobení funkcí.
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
/.-,()*+1
a //
b
88/.-,()*+2
a,b
///.-,()*+3
a,b
!!
/.-,()*+4
a
aa bee
3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (G, ·)/H, kde
G =
q 0
a + b i q
| q ∈ Q \ {0}, a, b ∈ R ,
H =
q 0
a + a i q
| q ∈ Q, q > 0, a ∈ R .
4. (10 bodů) Rozložte polynom x7
+ x6
− x5
− 3x4
+ 8x3
+ 20x2
+ 20x + 4 na
součin nerozložitelných polynomů nad C, R, Q a Z, víte-li, že má kořen 1 − 3
√
2 a
dvojnásobný kořen i − 1.
5. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla 3
√
4 − 3
√
2 + 2 nad Q.
6. (15 bodů) Vyjádřete číslo 1
α2−α+1
, kde α je kořen polynomu x3
+ 2x2
+ 2x + 2,
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli.
7. (5 bodů) Dejte příklad grupy (G, ·) a tří různých podgrup grupy (G, ·) × (G, ·),
které jsou izomorfní (G, ·). Pokud taková grupa neexistuje, zdůvodněte proč.
8. (5 bodů) Dejte příklad homomorfismu grup ϕ: GL2(R) → (R \ {0}, ·), který
má stejné jádro jako homomorfismus det zobrazující každou regulární matici na
její determinant, ale přitom ϕ = det. Pokud takový homomorfismus neexistuje,
zdůvodněte proč.
9. (5 bodů) Dejte příklad grupy, která je generovaná jedním prvkem, a její podgrupy,
která jedním prvkem generovaná není. Pokud taková grupa neexistuje, zdůvodněte
proč.
10. (5 bodů) Definujte okruh polynomů nad daným okruhem.
11. (5 bodů) Formulujte tvrzení popisující normální podgrupy grupy (G, ·)/H, kde
(G, ·) je grupa a H je její normální podgrupa.
12. (5 bodů) Dokažte, že každý konečný obor integrity je těleso.