Algebra I – podzim 2018 – 1. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Rozhodněte, zda množina
{ 2a +
√
2b + 2
4
√
2ci +
4
√
8di | a, b, c, d ∈ Z }
je podokruhem, případně ideálem, okruhu Z[ 4
√
2i].
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1
b
FF
a // 2
a
JJ
b
66 3
a
vv
b

4
a
vv
b
hh
3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa
(R[x], +) × (R, +) × (Z[x], +) × ({ a + bi | a, b ∈ Z }, +) /H,
kde
H = (f, f(1), g, 2g(2) + 3zi) | f ∈ R[x], g ∈ Z[x], z ∈ Z, (x2
+ 1) dělí f .
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla 3
√
2 + 3
√
4 nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
α2 + α + 1
,
kde α je kořenem polynomu x4
+ 3x2
+ 3x + 6, bez použití jiných než racionálních
čísel ve jmenovateli.
6. (10 bodů) Dejte příklad nekonečné grupy a její čtyřprvkové podgrupy, která není
cyklická.
7. (10 bodů) Dejte příklad konečného okruhu takového, že právě dvě pětiny jeho
prvků jsou jednotky.
8. (5 bodů) Definujte okruh polynomů nad okruhem (R, +, ·).
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení o existenci a jednoznačnosti podílového tělesa.
10. (10 bodů) Dokažte, že každá podgrupa nekonečné cyklické grupy je cyklická.