Algebra I — podzim 2018 — 2. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Nechť R značí množinu všech uspořádaných trojic kladných reálných čísel. Rozhodněte, zda (R, ©, *), kde © a * jsou operace definované předpisy
(P, 1,r) © (s, t,u) = (p- s,q -t,r -u), (p, q, r) * (s, t, u) = (plogs, tlosq, rlogs • ul°sq), pro všechna p, q, r, s,t,u G IR+, je okruh a zda je to těleso.
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
3. (15 bodů) Nechť
rp 0N
c p,
Určete, které známé grupě je izomorfní grupa ((G, •) x (Q \ {0}, •))/H, kde
G
c e C, pgQ\{0} .
m, n G Z lichá, r G
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla a/3 + y/3 ■ i +      + 1 nad
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
a5 - 9a3 - 4a2 + 9a + 6
kde a je kořenem polynomu x4 — 8x2 — 4x + 2, bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli.
6. (10 bodů) Dejte příklad grupy, která má právě tři podgrupy.
7. (10 bodů) Dejte příklad tří těles R, S a T takových, že R C S C T a platí [5 : i?] = [T : S] = 2.
8. (5 bodů) Definujte okruh a obor integrity.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení popisující rozšíření tělesa o algebraický prvek a rozšíření tělesa o transcendentní prvek.
10. (10 bodů) Dokažte, že inverze k izomorfismu pologrup je izomorfismus.