Algebra I – podzim 2018 – 3. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Rozhodněte, zda množina H = { (2z
, 2z+1
− 2) | z ∈ Z } je podgrupa,
případně normální podgrupa, grupy (G, ), kde G = (Q \ {0}) × Q a je operace
definovaná pro všechna (p, q), (r, s) ∈ G předpisem
(p, q) (r, s) = (2pr, 2qr + 2r + s).
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1 a,b
// 2
b

a
// 3
a
((
b

4
a,b
hh 5a,b
oo
3. (15 bodů) Nechť
G =





1 0 0
f 1 0
h g 1

 f, g ∈ Z[x], h ∈ Q(
√
2)[x]



.
Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (G, ·) × (Z, +) /H, kde
H =







1 0 0
f 1 0
h g 1

 ,
2f(1)
3

 ∈ G × Z h(1) ∈ Q, 3 dělí g(2) − f(2)



.
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla ( 2 +
√
3 + 1) ·
√
3 nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
α4 + α3 + α2 + 6α + 2
,
kde α ∈ C splňuje rovnost α4
+ 6α = 2, bez použití jiných než racionálních čísel
ve jmenovateli.
6. (10 bodů) Dejte příklad grupy a jejích dvou podgrup H a K takových, že |H| > 2,
|K| > 2 a |H ∩ K| = 2.
7. (10 bodů) Dejte příklad tří okruhů R, S a T takových, že R a T jsou obory
integrity a S není, a surjektivních homomorfismů ϕ: R → S a ψ: S → T.
8. (5 bodů) Definujte podílové těleso oboru integrity.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení o rozkladu homomorfismu grup na tři homomorfismy
speciálních typů.
10. (10 bodů) Dokažte, že každý pologrupový homomorfismus mezi dvěma grupami
je homomorfismem grupovým. Vycházejte přitom přímo z definic homomorfismů
a grupy.