Algebra I – podzim 2020 – 1. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Na množině R×R uvažujme binární operace ⊕ a ∗ definované předpisy
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d),
(a, b) ∗ (c, d) =
ac + bd
2
,
ad + bc
2
.
Rozhodněte, zda (R × R, ⊕, ∗) je okruh, případně obor integrity.
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1
b,c
HH
a // 2
a
 b,c
// 3
a,c
((
b

4
c
hh
a,b

3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (G, ·)/H, kde
G =





a b c
0 1 d
0 0 a

 a ∈ {−1, 1}, b, d ∈ Z, c ∈ C



,
H =





1 b r
0 1 b + 2e
0 0 1

 b, e ∈ Z, r ∈ R



.
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla 1 +
√
3 +
√
3 − 1 · i nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
α3 + 2α2 + α − 1
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli, víte-li, že číslo α splňuje
rovnost α3
· (α + 2) = 2 · (α − 1).
6. (10 bodů) Dejte příklad okruhu, který není těleso a má právě 40 jednotek.
7. (10 bodů) Dejte příklad grupových homomorfismů ϕ, ψ: G → G, které splňují
ker(ϕ) = ker(ψ), ϕ(G) = ψ(G) a ϕ(G) ⊆ ψ(G).
8. (5 bodů) Definujte normální podgrupu a faktorovou grupu.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení popisující nerozložitelné polynomy nad C a nad R.
10. (10 bodů) Dokažte, že každý ideál okruhu polynomů nad tělesem je konečně
generovaný.