Algebra I – podzim 2020 – 2. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Na množině R × R uvažujme relaci ekvivalence ∼ definovanou před-
pisem
(a, b) ∼ (¯a,¯b) ⇐⇒ (a − ¯a) − (b − ¯b) ∈ Z.
Pro každý z následujících předpisů rozhodněte, zda korektně definuje na množině
S = (R × R)/∼ operaci takovou, že (S, ) je pologrupa.
(a) [(a, b)]∼ [(c, d)]∼ = [(c − b, d − a)]∼, pro a, b, c, d ∈ R
(b) [(a, b)]∼ [(c, d)]∼ = [(a · c, b · d)]∼, pro a, b, c, d ∈ R
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1
b
FF
a // 2
a
((
b
66 3
a
((
b

4
a
TT
b
hh
3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa
(G, ·) × (Q \ {0}, ·) × (Q \ {0}, ·) /H,
kde
G =
p f
0 p
p ∈ Q \ {0}, f ∈ Q[x] ,
H =
p f
0 p
, p, p p ∈ Q \ {0}, f ∈ Q[x] má kořen
√
2 .
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla 2 − 3
√
2 − 3
√
4 nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
α4 + 2α2 + 2α + 5
,
kde α splňuje α4
= −3 · (α2
+ α + 2), bez použití jiných než racionálních čísel ve
jmenovateli.
6. (10 bodů) Dejte příklad grupy, která má právě šest podgrup.
7. (10 bodů) Dejte příklad okruhů R a S a dvou různých homomorfismů R do S.
8. (5 bodů) Definujte, co se rozumí tím, když se o oboru integrity řekne, že je
s jednoznačným rozkladem.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení popisující všechny surjektivní homomorfismy grup.
10. (10 bodů) Dokažte, že za předpokladu konečnosti je definice tělesa ekvivalentní
definici oboru integrity.