Algebra I — podzim 2020 — 3. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Nechť R značí okruh polynomů nad okruhem
({a + by/2 | a,b E Z},+,-).
Rozhodněte, zda množina všech polynomů v R, jejichž lineární koeficient je tvaru 2a + by/2 a konstantní koeficient je tvaru 2c + 2dy/2, pro a, b,c,d E Z, je ideálem okruhu R. Dále rozhodněte, zda množina všech polynomů v R, jejichž lineární koeficient je tvaru 8a+by/2 a konstantní koeficient je tvaru c+ 2dy/2, pro a, b,c,d E Z, je podokruhem okruhu R.
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (G, -)/H, kde
P,qER\{0}, f,geC[x]
'v 0 /
G={ |0 q g
^0 0 p
'v   o /
H= { | 0 e-p g
v0    0 P/
PER\{0}, e E {1,-1}, f,geC[x], f(2) E
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla   , 1     + y/2 + 1 nad
y/V2-l
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
a3 + a + 6'
kde a splňuje a2 ■ (a2 + 2) = —2 • (2a + 1), bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli.
6. (10 bodů) Dejte příklad grupy G a homomorfismu <p: G —> G, které splňují ip / ip o ip a ker (p) = ker (p o p).
7. (10 bodů) Dejte příklad okruhu obsahujícího právě 12 prvků, které nejsou jednotky.
8. (5 bodů) Definujte, co se rozumí tím, když se o oboru integrity řekne, že je s jednoznačným rozkladem.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení popisující všechny faktorové grupy grupy (G, -)/H, kde H < (G, •).
10. (10 bodů) Dokažte, že inverze k izomorfismu pologrup je izomorfismus.