Algebra I – podzim 2021 – 3. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Pro každý z následujících předpisů rozhodněte, zda korektně definuje
binární operaci na množině S = Z6 ×Z13, a pokud ano, tak určete, zda množina S
spolu s touto operací je pologrupa.
Pro a, b, k, ∈ Z, k ≥ 1, ≥ 1:
([k]6, [a]13) • ([ ]6, [b]13) = ([k + ]6, [a · 2 + b]13),
([k]6, [a]13) ([ ]6, [b]13) = ([k + ]6, [2 · a · 3 + b]13),
([k]6, [a]13) ([ ]6, [b]13) = ([k + ]6, [a · 3 + b]13).
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1
b
==
c
HH
a // 2
a
 b,c
// 3
a,c
((
b

4
c
hh
a,b

3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (G, ·)/H, kde
G =





p 0 c
0 q f
0 0 p

 p, q ∈ {1, −1}, c ∈ C, f ∈ Z[x]



,
H =





1 0 r · (1 + i)
0 1 f
0 0 1

 r ∈ R, f ∈ Z[x] má sudý součet koeficientů



.
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla 3
√
4 − 3
√
2 + 2 nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
α4 + α3 + 8α − 2
,
kde α splňuje (α3
+2α)(α+2) = −4α−2, bez použití jiných než racionálních čísel
ve jmenovateli.
6. (10 bodů) Dejte příklad grupy G, která má právě čtyři podgrupy různé od jednoprvkové
podgrupy a od celé grupy G a žádná z těchto čtyř podgrup není obsažena
v jiné. Všechny tyto podgrupy vypište.
7. (10 bodů) Dejte příklad homomorfismů oborů integrity ϕ: R → S a ψ: S → T,
kde S je těleso, zatímco R a T tělesa nejsou.
8. (5 bodů) Definujte podílové těleso oboru integrity.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení popisující pro grupu (G, ·) a její normální podgrupu
H všechny homomorfismy z grupy (G, ·)/H do libovolné grupy pomocí homomorfismů
z grupy (G, ·).
10. (10 bodů) Dokažte, že inverze k izomorfismu pologrup je izomorfismus.