Algebra I – podzim 2021 – 4. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Uvažujme pologrupy (Z × Z, •) a (Z × Z, ) s operacemi zadanými
předpisy
(a, b) • (c, d) = (ac, bc + d),
(a, b) (c, d) = (ac, bd + ad + bc).
O obou strukturách (Z × Z, +, •) a (Z × Z, +, ) (kde (Z × Z, +) je standardní
komutativní grupa dvojic celých čísel se sčítáním po složkách) rozhodněte, zda
jsou okruhem, případně oborem integrity, případně tělesem.
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1 a,b
// 2
b

a
// 3
a
((
b

4
a,b
hh 5a,b
oo
3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (Z, +)×(G, ·) /H, kde
G =
2p
0
f 2p p ∈ Z, f ∈ C[x] ,
H = 2p,
2p
0
f 2p p ∈ Z, f ∈ C[x] je dělitelný polynomem x2
− (i + 1)x + i .
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla 2 +
√
2 · i −
√
2 nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
α5 + 2α4 + α3 + 3α2 + 12α + 1
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli, víte-li, že číslo α splňuje
rovnost (2 + α)(4 + α3
) = −2.
6. (10 bodů) Dejte příklad okruhu R, jeho podokruhu S a homomorfismu okruhů
ϕ: S → T takového, že neexistuje homomorfismus ψ: R → T, jehož zúžení na S
je rovno ϕ.
7. (10 bodů) Dejte příklad grupy G, která má právě šest maximálních podgrup
(tj. podgrup různých od G, které nejsou obsaženy v žádné jiné podgrupě kromě
celé grupy G).
8. (5 bodů) Definujte, co se rozumí tím, když se o oboru integrity řekne, že je
s jednoznačným rozkladem.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení o existenci a jednoznačnosti podílového tělesa.
10. (10 bodů) Přímo z definice podgrupy dokažte, že levé třídy rozkladu grupy podle
podgrupy jsou po dvou disjunktní.