Algebra I – podzim 2022 – 1. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Určete, pro která přirozená čísla k je množina
Mk = { ka + 3b
3
√
2 + 3c
3
√
4 | a, b, c ∈ Z }
podokruhem, případně ideálem, okruhu Z[ 3
√
2].
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1
b
 a
((
2
b //
a
hh 3
a
((
b

4 a
yy
b
hh
3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (G, ·)/H, kde
G =





p f g
0 p h
0 0 p

 | p ∈ {1, −1}, f, g, h ∈ Z[x], f(1) = 2 · h(1)



,
H =





1 f g
0 1 h
0 0 1

 | f, g, h ∈ Z[x], f a h mají kořen 1, g(1) je sudé



.
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla 3
√
4 + 3
√
2 − 2 nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
α5 − 2α4 + α3 + 3α + 1
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli, víte-li, že číslo α splňuje
rovnost α3
(2 − α) = 2α + 2.
6. (10 bodů) Dejte příklad konečné cyklické grupy (G, ·) a jejích dvou prvků g a h
takových, že množina {g, h} generuje G, ale žádný z prvků g a h celé G negeneruje.
7. (10 bodů) Dejte příklad dvou neizomorfních konečných okruhů takových, že ani
jeden není tělesem a mají stejný počet prvků a stejnou charakteristiku.
8. (5 bodů) Definujte okruh polynomů nad okruhem.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení popisující všechna vložení daného oboru integrity
do těles. Co nastává v případě, že je obor integrity konečný?
10. (10 bodů) Dokažte, že každý pologrupový homomorfismus mezi dvěma grupami
je homomorfismem grupovým. Vycházejte přitom přímo z definic homomorfismů
a grupy.