Algebra I – podzim 2022 – 3. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Na množině C×C uvažujme binární operace ⊕ a ∗ definované předpisy
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d),
(a, b) ∗ (c, d) = (ac − 2bd, ad + bc + 2bd).
Rozhodněte, zda (C × C, ⊕, ∗) je okruh/obor integrity/těleso.
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1
b,c
HH
a // 2
a
 b,c
// 3
a,c
((
b

4
c
hh
a,b

3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (G, ·)/H, kde
G =





1 a f
0 1 b
0 0 1

 a, b ∈ Z, f ∈ Z[x]



,
H =





1 2c d
0 1 4c
0 0 1

 c, d ∈ Z



.
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla 1 +
√
3 +
√
3 − 1 · i nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
α4 + 2α2 + 8
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli, víte-li, že číslo α splňuje
rovnost α3
(α + 2) = −4α − 10.
6. (10 bodů) Dejte příklad okruhu R, který má až na izomorfismus právě osm
homomorfních obrazů, a dvou surjektivních homomorfismů ϕ: R → S a ψ: R → T
takových, že neexistuje homomorfismus S do T ani homomorfismus T do S.
7. (10 bodů) Dejte příklad grupy G a homomorfismů ϕ, ψ: G → G, které splňují
ker(ϕ) = ker(ψ), ψ(G) ϕ(G) a ϕ(G) ψ(G).
8. (5 bodů) Definujte jednotky a nerozložitelné prvky oboru integrity.
9. (5 bodů) Popište vztah mezi rozšířeními těles konečného stupně a rozšířeními
těles o algebraické prvky. Tyto pojmy vysvětlete.
10. (10 bodů) Přímo z definic dokažte, že každá grupa je izomorfní nějaké grupě
permutací.