Algebra I – podzim 2023 – 3. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Nechť Hn značí množinu všech homomorfismů (Zn, +) do (Zn, +). Pro
každý z následujících tří případů rozhodněte, zda předpis
(f, [k]30) ∗ (g, [ ]30) = (p, [k · ]30), kde p([a]n) = f([a]n) + k · g([a]n),
pro a, k, ∈ Z, korektně definuje operaci na množině Hn×G takovou, že (Hn×G, ∗)
je pologrupa/grupa.
1) n = 90 a G obsahuje právě invertibilní prvky monoidu (Z30, ·).
2) n = 10 a G obsahuje právě invertibilní prvky monoidu (Z30, ·).
3) n = 10 a G = Z30.
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1 a,b
// 2
b

a
// 3
a
((
b

4
a,b
hh 5a,b
oo
3. (15 bodů) Nalezněte součin známých grup, který je izomorfní faktorové grupě
(G, ·)/H, kde
G =





p f h
0 q g
0 0 p

 p, q ∈ Q \ {0}, f, g ∈ R[x], h ∈ C[x]



,
H =





p f h
0 q g
0 0 p

 ∈ G q ∈ {p, −p}, h(2) − h(−2) ∈ R



.
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla 2 − 3
√
4 + 3
√
2 nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
4 + 2α2 + α3
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli, víte-li, že číslo α splňuje
rovnost α4
+ 2α3
+ 2α2
+ 8α = −2.
6. (10 bodů) Dejte příklad okruhu a jeho dvou různých podokruhů, které jsou izo-
morfní.
7. (10 bodů) Dejte příklad grupy takové, že řády jejích prvků jsou právě 1, 2 a 3.
8. (5 bodů) Definujte jednotky a nerozložitelné prvky oboru integrity.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení o rozkladu homomorfismu grup na tři homomorfismy
speciálního typu.
10. (10 bodů) Dokažte, že každý ideál okruhu polynomů nad tělesem je hlavní.