Od modálních logik k TILu. Vícehodnotové logiky Luboš Popelínský E-mail: popel@fi.muni.cz http://nlp.f i.muni.cz/uui/ Obsah: • Klasické a neklasické logiky o Intenzionální logiky. Modálni logika • Temporální a jiné modality • Transparentní intenzionální logika. Začínáme o Vícehodnotová logika Úvod do umělé inteligence 9/12 1/32 Už od Aristotela se logika řídí dvěma základními logickými principy • principem extenzionality • principem dvou hod notovosti. princip extenzionality : pracujeme výhradně s pravdivostními hodnotami tvrzení a nikoliv S jejich obsahem. Tedy, logika pracuje pouze s oznamovacími větami a na těchto větách jí nezajímá, o čem tyto věty jsou, nýbrž výhradně a pouze to, jaká je jejich pravdivostní hodnota, tj. zda se jedná o pravdivá či nepravdivá tvrzení. Přesněji to znamená, že logické spojky fungují jako funkce z množiny pravdivostních hodnot do množiny pravdivostních hodnot, tj., že pravdivostním hodnotám částí složeného výroku přiřadí výslednou pravdivostní hodnotu (celého složeného výroku). Projekt ESF OPVK č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216 "Logika: systémový rámec rozvoje v oboru v CR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia" Úvod do umělé inteligence 9/12 2/32 Intenzionální logiky. Modálni logika Úvodem k intenzionálním logikám. Módy pravdy Cavaco Silva je presidentem Portugalska. Jana čte. Sluneční soustava má devět planet. (Nebo osm?) Třetí odmocnina z 27 jsou 3. nutně pravda, i v budoucnu. Ale: Jana ví, že třetí odmocnina z 27 jsou 3. Jan nevěří, že třetí odmocnina z 27 jsou 3. Verifikace programů: nejen různé světy, ale i různé budoucnosti VŽDY pravda, NĚKDY pravda, VÍM že, VĚŘÍM že, ... Úvod do umělé inteligence 9/12 3/32 □0 - "nutně platí 0", "0 je vždy pravda" - "možná platí 0", "0 je někdy pravda K-logika K == Kripke, nejobecnější, tj. s minimálními omezeními pro □ resp. O Je-li C jazyk predikátové logiky, rozšíříme ho na modálni jazyk £u,o přidáním dvou symbolů □ and O do abecedy a do definice syntaxe přidáme Je-li (j) formule, pak také (□) a (O0) jsou formule. Sémantika: Kripkeho rámce, tj. Kripkeho interpretace Úvod do umělé inteligence 9/12 4/32 Intenzionální logiky. Modálni logika Sémantika modálni logiky Kripkeho interpretace (též rámec) C = {l/l/, S, {C(p)}pew} W ... množina světů S ... relace přístupnosti/dostupnosti (accessibility) C (p) ... logika, např. výroková, C (p) pro C v každém světě p G W C — {l/l/, S, {C(p)}pGw} je Kripkeho rámec pro jazyk £ (£-frame) jestliže pro každé světy p a q z W, pSq implikuje, že C(p) C C{q) a interpretace konstant v C (p) C C (q) je stejná v C(p) i v C(q). Úvod do umělé inteligence 9/12 5/32 Intenzionální logiky. Modálni logika Sémantika modálni logiky Nechť C = {l/l/, S, {C(p)}pew} je Kripkeho rámec pro jazyk C, p G W a 0 je formule jazyka C (p). Formule cf) platí ve světě p (angl. p forces 0), píšeme p lh 0, jestliže 1. pro atomickou formuli 0, p lh cf) <^> 0 je pravdivá v C(p). 2. p lh (0 —>> <^> p lh 0 implikuje p lh íp. Podobně pro ostatní logické spojky a V, 3 3. p lh U(j) O pro všechny světy q G W takové, že pSq 2 q lh 0. 4. p lh <^> existuje q G 1/1/ pSq a q lh 0. Formule 0 je pravdivá v Kripkeho rámci (interpretaci) C, jestliže pro každý svět p G W cf) platí ve světě p, píšeme Ihc (/>. Formule 0 je tautologie, jestliže platí ve všech intepretacích Kripkeho. 2svět q je přístuoný ze světa p Úvod do umělé inteligence 9/12 6/32 axiom j m ono vlastnost relace /? n(A —>£?)—> (nA -> nJ5) AT □A -» DOA ^ ^ -> nOi4 5 Oi4 -> 5 y.adné požadavky 3u(wRu) wRw (wRv A vRu) => iui?iz => v/Zlu (wRv A wRu) => viz David Pelikán, Vzájemná srovnání axiomatických systémů modálních logik, DP FFUK Praha 2007 Úvod do umělé inteligence 9/12 7/32 od modalit "nutně", "možná"celkem přirozeně k modalitám temporálním "někdy/vždycky v minulosti/budoucnosti viz např. https: //wwwii.munixz/~popel/lectures/bak_logika/non-classical-logics/modal-logic.pdf Deontické modality Op..................Je přikázáno p (z anglického ordered = přikázáno) Fp..................Je zakázáno p (z anglického forbidden = zakázáno) Pp..................Je povoleno p (z anglického permitted = povoleno) dosavadní modality - alethické (nutnost, možnost), temporální i deontické : v jistém smyslu absolutní a všeobecně platné, epistemické modality jsou "relativní": Kxp..................... x ví, že platí p (z angl. know = vědět) Uxp......................x neví, že platí p (z unknown = neznámé) Bxp..................... x věří, že platí p (z believe = věřit) Úvod do umělé inteligence 9/12 8/32 Transparentní intenzionální logika. Začínáme Nedostatečná expresivita predikátové logiky. Příklady 1. Červená barva je krásnější než modrá. Kostka je červená. individuum(červená barva) vs. vlastnost (je červená) nelze vyjádřit např. jejich rovnost 2. Varšava je hlavní město Polska. Varšava - jméno individua hlavní město Polska - individuová role - závisí na světě a čase - význam "býti hlavním městem"na světě a čase nezávisí 3. Číslo X je větší než číslo Y. vs. Otec je větší než syn. matematické "větší než", relace, pevně dané. vs. empirické : vztah dvou individuí, který se může měnot v čase 4. ano vs. V Brně prší. ano = pravdivostní hodnota true vs. propozice označuje pravdivostní hodnotu, která se mění v čase. I když pravdivostní hodnota někdy závisí na světe a čase, samotný význam na nich nezávisí Úvod do umělé inteligence 9/12 9/32 Transparentní intenzionální logika. Začínáme Problém substituce Problém substituce : a = b; C(x/a) h C(x/b) Prezident C R je manžel L i vie. Prezident CR je ekonom. h Manžel Lívie je ekonom. Ale: Prezident C R je manžel L i vie. Miloš Zeman chce být prezident C R. h Miloš Zeman chce být manželem Livie. Úvod do umělé inteligence 9/12 10 / 32 Transparentní intenzionální logika. Začínáme Rid íard Montague vs. Pavel Tichý Montague : přirozený jazyk nesplňuje princip kompozicionality (Frege) , protože se skládá z mnoha tzv. nepoddajných výrazů, nepoddajný = vyznám výrazu daného jazyka často závisí na něčem, co nebylo pojmenováno. Viz Karel myslí na prezidenta České republiky. Karel myslí na manžela L i vie Klausové. 3 Cvičení: zkusme vyhodnotit: (i) v roce (světě) 2020 (ii) v roce 2009: ? Montague : denotátem (nebo referencí) výrazu prezident CR jeho extenze,( hodnota v aktuálním světě a čase,) osoba Václava Klause, stejně tak : Václav Klaus denotátem výrazu mazel Livie Klausové.Nicméně reference obou vět již shodné nejsou, Karel může myslet na prezidenta CR, aniž by myslel na manžela Livie Klausové. Tuto neshodu Montague vidí a připisuje ji tím, že dané výrazy jsou nepoddajné a dále neřeší. 3Daniel Balík,Montaguova logika ve srovnání s Transparentní intenzionální logikou,DP FF MU2009 Úvod do umělé inteligence 9/12 11 / 32 Transparentní intenzionální logika. Začínáme Transparentní intezionální logika Karel myslí na prezidenta České republiky. Karel myslí na manžela L i vie Klausové. (Podle TIL) příklad neříká nic o tom, že Karel myslí na Václava Klause, denotátem výrazu prezident CR není Václav Klaus. Denotátem tohoto výrazu je individuová role, intenze. Václav Klaus je nahodily držitel této role v aktuálním světě a čase, je referencí Úvod do umělé inteligence 9/12 12 / 32 Úvod do umělé inteligence 9/12 26 / 32 Vícehodnotová logika Od dvouhodnotové k tříhodnotové logice Od dvouhodnotové k tříhodnotové logice nepravda (0) - pravda (1) nepravda (0) - nevím (1/2) - pravda (1) zavedeme funkci val(A) = pravdivostní hodnota formule A např. /(p) = 1, l(q) = 0, pak např. val(p) = 1, val{-^p) = 0, val(p A q) = 0, val(p => q) = 0 Pak, v souhlasu se sémantikou logických spojek, jistě platí val(^A) = 1 - val(A), val(A A B) = min(val(A), val(B), val(A V 6) = n7ax(va/(/4), \za/(6) (pro další spojky je možno spočítat z těchto tří) Úvod do umělé inteligence 9/12 27 / 32 Vícehodnotová logika Od dvouhodnotové k tříhodnotové logice Troj hod notová Lukasiewiczova logika zobecníme funkci val() pro tříhodnotovou logiku. A jsme tam ... ? Neplatí např. princip vyloučení třetího. Jistě. Potíž: jen velmi málo tautologií v takové logice najdeme. Zkusme nadefinovat jinak implikaci pVq nová definice p/q 0 1/2 1 0 1/2 1 0 1 1 1 1 1 1 1/2 1/2 1/2 1 1/2 1 1 1 0 1/2 1 0 1/2 1 val(p q) = min(l, 1 — val(p) + val(q)) Úvod do umělé inteligence 9/12 28 / 32 Vícehodnotová logika Od dvouhodnotové k tříhodnotové logice K sémantice Lukasiewiczovy logiky Opět pracujeme s pojmem interpretace, tj. přiřazením pravdivostních hodnot z {0,1/2,1} výrokovým symbolům Model formule 0 je taková interpretace , kdy val((j)) > 0 Formule 0 sémanticky vyplývá z množiny premis , |= 0, jestliže pro každou interpretaci / val(<$>) < val((j)) Cvičení: dokažte, že pokud = 02,...}, pak 0i A 02 A ... =^> 0. Úvod do umělé inteligence 9/12 29 / 32 Vícehodnotová logika Od dvouhodnotové k tříhodnotové logice Fuzzy logika. Lotfi Zadeh vychází z fuzzy množin, kdy příslušnost do množiny je z intervalu [0,1] a fuzzy relací. Příklad: množina "být mladý" stejná funkce valQ, jen nepracujeme s diskrétní doménou {0,1/2,1} ale intervalem [0,1] dále analogickyjako pro troj hod notovou logiku Úvod do umělé inteligence 9/12 30 / 32 • co jsou modálni logiky I I ■ . 7 J . V|| 71 v / ll o modality nutne , mozna • jiné modality a temporální logiky • a něco k tomu z těch nejobecnějších intenzionálních logik 9 především nástin Tichého TILu o tříhodnotové a fuzzy logiky Úvod do umělé inteligence 9/12 31 / 32 Non-monotonic logic, viz Logic for Applications Stanford Encyclopedia of Philosophy, un peut updated https:/Stanford Encyclopedia of Philosophy, un peut updated/plato.stanford.edu/entries/logic-ai/ JELIA: European Conference on Logics in Artificial Intelligence, last issue 2019 https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-030-19570-0 Üvod do umele inteligence 9/12 32 / 32