OBSAH

Tato lekce pokračuje v základních formalismech matematických vět a důkazů a rozebírá jednotlivě obvyklé druhy či typy matematických důkazů. Rozbor je na přednášce i pak na cvičeních doprovázený mnoha vzorovými ukázkami důkazů a více příkladů je i v učebním textu. Čtěte a opakujte si tyto ukázky i po přednášce a cvičeních, s důrazem na vlastní pochopení podstaty věci a důležitosti jednotlivých kroků, neboť jen tak se dokážete dopracovat k rutinnímu zvládání alespoň těch jednoduchých důkazů (zvládnutí neznamená naučit se nazpaměť básničku!).

Významnou součástí lekce je zavedení matematické indukce (coby jednoho z typů důkazů, docela obvyklého v naší oblasti), které se budeme věnovat i v další lekci. Blíže viz slidy.

Samostatné procvičení učiva - odpovědníky

Pro látku matematických důkazů je obtížné připravovat jakékoliv smysluplné rutinní testy, natož automatizované testy. Proto si také znovu zopakujte základní příklady odpovědníku Lekce 3, kde jich bylo hodně, a také případně Lekce 2.
Zde přidáváme sadu pokročilých příkladů vztahujících se k látce důkazů, konkrétně příkladů, jejichž podstatou je otestovat schopnost samostatného matematického myšlení při hledání řešení (a k tomu schopnost důkazu správnosti nalezeného řešení pro jeho spolehlivé ověření).

Opět upozorňujeme na nutnost dobrého pochopení významu implikace, neboli matematického tvrzení formulovaného stylem "jestliže platí předpoklad, pak platí závěr" (sekce 1.2). I přes všechno vysvětlování stále některým studentům marně vrtá hlavou, proč třeba následující tvrzení je matematicky pravdivé:  Je-li n přirozené a zároveň n<0, tak n=0.5. (No proč? Přece 0.5 není přirozené ani záporné...)

Druhá poznámka se týká uváděných příkladů, ve kterých je úkolem sečíst řadu čísel. V tomto odpovědníku se vyskytuje jen snadná aritmetická řada (tj. součet s prvními mocninami indexu), pro níž asi znáte návod "udělejte průměr prvního a posledního sčítance a vynásobte počtem členů". Vyzkoušejte si ale v odpovědníku i obecnější přístup odvození výsledku, ve kterém si obecné členy řady rozepíšete do elementárních sum mocnin indexu a za tyto elementární sumy dosadíte z dobře známých sumačních vzorců, obdobně jako v následující ukázce výpočtu

. Ony sumační vzorce najdete zčásti v učebním textu (i s odvozením) nebo na všelijakých web stránkách matematických pomůcek, jako třeba na odkazu dole. A poté, co v příkladech tohoto typu najdete odpověď, vždy si pro její ověření zvlášť spočítejte součty prvních pár členů a se vzorcem porovnejte pro kontrolu!

Na rozdíl od dřívějších odpovědníků již vidíte i některé velmi obtížné příklady (zde především ty s komplexními množinovými výrazy), které nemusí všichni studenti zvládat. K takovým příkladům se zájemci o vyšší známky mohou vracet opakovaně po načerpání dalších vědomostí (třeba na cvičeních), avšak ty těžké příklady určitě nebudou potřebné ke složení zkoušky v části pass/fail ani v jednom kódu předmětu.

Diskuse o látce

Opět následující starší diskusní vlákna (z dob před existencí prezenčních cvičení IB000), která by vám mohla doplňkově pomoci s pochopením výkladu.

Doplňkové a externí materiály

Jak to tak vypadá, docela mnoho studentů teď přichází na FI bez znalosti významu matematické značky "suma", která znamená součet členů podle řídícího parametru, například   (jinak ) je zkratkou pro zápis  (je to něco jako programovací smyčka s řídící proměnnou i a součtem mezivýsledků). Zkuste se dále podívat třeba sem:

Opět je přidána i starší sada papírových příkladů, jejichž vzorová řešení lze posléze najít ve výukových materiálech.

Externí odkazy...