4. cvičení z MB 154, podzim 2021
Příklad 1. Dořešte příklady z minula, v mém případě: Popište všechny primitivní kořeny modulo 53; Nalezněte všechna m G N taková, že </?(m) = 38, resp. </?(m) = 16.
Příklad 2. Najděte poslední cifru čísla 37" . Určete poslední dvě cifry čísla 132021. Příklad 3. Určete, pro která n G Z platí
53n+4 _ g (mod
Určete, pro která n G Z platí
Příklad 4. Rozhodněte, zdaje 7 kvadratický zbytek modulo 13. Příklad 5. Řešte kongruenci 3x2 + x — 5 = 0 (mod 13).
Příklad 6. Řešte kongruence x2 — 3x — 10 = 0 (mod 49),    — 3x — 14 = 0 (mod 49). V prvním případě úpravou vyjde {x — 26)2 = 0, ve druhém {x — 2A)(x — 28) = 0.
Příklad 7. Rozhodněte, zdaje 58 kvadratický zbytek modulo 157.
Příklad 8. Rozhodněte, zdaje 58 kvadratický zbytek modulo 163. Vyřešte kongruenci
x2 = 58   (mod 163).
Budu to osobně prezentovat tak, že to vynásobím 1 = 5881 = (^) (protože 58 je kvadratický zbytek) a pak celé odmocním. V případě dostatku času můžete zkusit vyřešit i předchozí příklad, kde ale 5878 = (j§f) nepomůže a je potřeba místo toho — 1 = 5839 (bohužel 58 není čtvrtá mocnina nebo tak něco) a ještě si pomůžete — 1 = 279 = 439 (prostě je potřeba najít nějaký kvadratický nezbytek, vyjde hned 2, takže 4 není čtvrtá mocnina a tedy jejich součin 4 • 58 je čtvrtá mocnina), dohromady tak Ax2 = 4 • 58 = (4 • 58)40 a opět lze odmocnit: x = ±2_1 • (4 • 58)20.
i