(Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi ooooooooooo Diskrétní matematika - 10. týden Vytvořující funkce Lukáš Vokřínek Masarykova univerzita Fakulta informatiky podzim 2024 (Formální) mocninné řady oooooooo Obsah přednášky Operace s vytvořujícími funkcemi ooooooooooo Q (Formální) mocninné řady • Přehled mocninných řad Q Operace s vytvořujícími funkcemi (Formální) mocninné řady oooooooo Doporučené zdroje Operace s vytvořujícími funkcemi ooooooooooo • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant Matematika drsně a svižně, e-text na www.math.muni.cz/Matematika_drsne_svizne. (Formální) mocninné řady oooooooo Doporučené zdroje Operace s vytvořujícími funkcemi ooooooooooo • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant Matematika drsně a svižně, e-text na www.math.muni.cz/Matematika_drsne_svizne. • Donald E. Knuth, The Art Of Computer Programming. • Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik, Concrete Mathematics, Addison-Wesley, 1994. (Formální) mocninné řady •ooooooo Plán prednášky Operace s vytvořujícími funkcemi ooooooooooo Q (Formální) mocninné řady • Přehled mocninných řad (Formální) mocninné řady Operace s vytvořujícími funkcemi o»oooooo ooooooooooo Definice Buď dána nekonečná posloupnost a = (ao, ai, a2,.. .)■ JeJí vytvořující funkcí rozumíme (formální) mocninnou řadu tvaru oo 3kxk = a0 + aix + a2x2 + k=0 (Formální) mocninné řady o»oooooo Operace s vytvořujícími funkcemi ooooooooooo (Formální) mocninné rady Definice Buď dána nekonečná posloupnost a = (ao, ai, a2,.. .)■ JeJí vytvořující funkcí rozumíme (formální) mocninnou řadu tvaru oo 3kxk = a0 + aix + a2x2 + k=0 Poznámka O formální mocninné řadě hovoříme proto, že se zatím na tuto řadu díváme čistě formálně jako na jiný zápis dané posloupnosti a nezajímáme se o konvergenci. Na druhou stranu to ale znamená, že formální mocninná řada není funkce a nemůžeme do ní dosazovat. (Formální) mocninné řady o»oooooo Operace s vytvořujícími funkcemi ooooooooooo (Formální) mocninné rady Definice Buď dána nekonečná posloupnost a = (ao, ai, a2,.. .)■ JeJí vytvořující funkcí rozumíme (formální) mocninnou řadu tvaru oo 3kxk = a0 + aix + a2x2 + k=0 Poznámka O formální mocninné řadě hovoříme proto, že se zatím na tuto řadu díváme čistě formálně jako na jiný zápis dané posloupnosti a nezajímáme se o konvergenci. Na druhou stranu to ale znamená, že formální mocninná řada není funkce a nemůžeme do ní dosazovat. To ovšem vzápětí napravíme, když s využitím znalostí z analýzy nekonečných řad přejdeme od formálních mocninnných řad k příslušným funkcím. (Formální) mocninné řady oo«ooooo Operace s vytvořujícími funkcemi ooooooooooo Příklad Posloupnosti samých jedniček odpovídá formální mocninná řada 1 + x + x2 + x3 + • • •. Z analýzy víme, že stejně zapsaná mocninná řada konverguje pro x £ (—1,1) a její součet je roven funkci 1/(1 — x). Stejně tak obráceně, rozvineme-li tuto funkci do Taylorovy řady v bodě 0, dostaneme zřejmě původní řadu. Takovéto „zakódování" posloupnosti čísel do funkce a zpět je klíčovým obratem v teorii vytvořujících funkcí. (Formální) mocninné řady oo«ooooo Operace s vytvořujícími funkcemi OOOOOOOOOOO Příklad Posloupnosti samých jedniček odpovídá formální mocninná řada 1 + x + x2 + x3 + • • •. Z analýzy víme, že stejně zapsaná mocninná řada konverguje pro x £ (—1,1) a její součet je roven funkci 1/(1 — x). Stejně tak obráceně, rozvineme-li tuto funkci do Taylorovy řady v bodě 0, dostaneme zřejmě původní řadu. Takovéto „zakódování" posloupnosti čísel do funkce a zpět je klíčovým obratem v teorii vytvořujících funkcí. Jak jsme již zmínili, tento obrat lze ale použít pouze tehdy, pokud víme, že řada alespoň v nějakém okolí 0 konverguje. Často ale „diskrétní" matematici používají následující „podvod": • pomocí formálních mocninných řad odvodí nějaký vztah (formuli, rekurenci,...) bez toho, aby se zajímali o konvergenci (Formální) mocninné řady oo«ooooo Operace s vytvořujícími funkcemi ooooooooooo Příklad Posloupnosti samých jedniček odpovídá formální mocninná řada 1 + x + x2 + x3 + • • •. Z analýzy víme, že stejně zapsaná mocninná řada konverguje pro x £ (—1,1) a její součet je roven funkci 1/(1 — x). Stejně tak obráceně, rozvineme-li tuto funkci do Taylorovy řady v bodě 0, dostaneme zřejmě původní řadu. Takovéto „zakódování" posloupnosti čísel do funkce a zpět je klíčovým obratem v teorii vytvořujících funkcí. Jak jsme již zmínili, tento obrat lze ale použít pouze tehdy, pokud víme, že řada alespoň v nějakém okolí 0 konverguje. Často ale „diskrétní" matematici používají následující „podvod": • pomocí formálních mocninných řad odvodí nějaký vztah (formuli, rekurenci,...) bez toho, aby se zajímali o konvergenci • jinými prostředky (často matematickou indukcí) tento vztah dokážou (Formální) mocninné řady OOO0OOOO Operace s vytvořujícími funkcemi OOOOOOOOOOO Vytvořující funkce v praxi využíváme: • k nalezení explicitní formule pro /c-tý člen posloupnosti; • často vytvořující funkce vycházejí z rekurentních vztahů, občas ale díky nim odvodíme rekurentní vztahy nové; (Formální) mocninné řady OOO0OOOO Operace s vytvořujícími funkcemi ooooooooooo Vytvořující funkce v praxi využíváme: • k nalezení explicitní formule pro /c-tý člen posloupnosti; • často vytvořující funkce vycházejí z rekurentních vztahů, občas ale díky nim odvodíme rekurentní vztahy nové; o výpočet průměrů či jiných statistických závislostí (např. průměrná složitost algoritmu); (Formální) mocninné řady OOO0OOOO Operace s vytvořujícími funkcemi ooooooooooo Vytvořující funkce v praxi využíváme: • k nalezení explicitní formule pro /c-tý člen posloupnosti; • často vytvořující funkce vycházejí z rekurentních vztahů, občas ale díky nim odvodíme rekurentní vztahy nové; o výpočet průměrů či jiných statistických závislostí (např. průměrná složitost algoritmu); • důkaz různých identit; • často je nalezení přesného vztahu příliš obtížné, ale mnohdy stačí vztah přibližný nebo alespoň asymptotické chování. (Formální) mocninné řady oooo»ooo r* v ■ r y i y Operace s vytvořujícími funkcemi ooooooooooo y v i cninr ie raay Následující větu znáte z matematické analýzy z loňského semestru: Věta Buď (ao, ai, a2,...) posloupnost reálných čísel. Platí-li pro nějaké /? € M, že pro všechna k ^ 0 je \ak\ < Rk, psk řada a(x)= ea/cx/c /c>0 konverguje pro každé x £ (—^, Součet této řady tedy definuje funkci na uvedeném intervalu, tuto funkci označujeme rovněž a(x). (Formální) mocninné řady oooo»ooo Operace s vytvořujícími funkcemi ooooooooooo Součet formální mocninné řady Následující větu znáte z matematické analýzy z loňského semestru Buď (ao, ai, a2,...) posloupnost reálných čísel. Platí-li pro nějaké R £ IR, že pro všechna k ^> 0 je \a^\ < Rk, pak rada a(X) = ^2 a*x* k>0 konverguje pro každé x £ (—^, Součet této řady tedy definuje funkci na uvedeném intervalu, tuto funkci označujeme rovněž a(x). Hodnotami funkce a(x) na libovolném okolí 0 je jednoznačně určena původní posloupnost, nebot má a(x) v 0 derivace všech řádů a platí aW(0) 3k = k\ (Formální) mocninné řady OOOOO0OO Přehled mocninných řad Operace s vytvořujícími funkcemi ooooooooooo n 1 -x 1 1 -x E = > x e = k>0 E k>l E k>0 X' k\ X' k>0 (Formální) mocninné řady oooooo»o Operace s vytvořujícími funkcemi ooooooooooo Poznámka Poslední vzorec 0 v 7 X' je tzv. zobecněná binomická věta, kde pro r e IR je binomický koeficient definován vztahem r\ _ r(r-l)(r-2)-"(r- k + 1) k " k\ ' Speciálně klademe (q) = 1 (Formální) mocninné řady ooooooo* Operace s vytvořujícími funkcemi ooooooooooo 9 Pro íigNz uvedeného vztahu snadno dostaneme , 1, =y(k+n-í)xk. (l-x)» ^ n-1 To plyne ze vztahu který odvodíte na cvičení. (Formální) mocninné řady ooooooo* Operace s vytvořujícími funkcemi ooooooooooo Poznámka • Pro n e N z uvedeného vztahu snadno dostaneme 1 _v^A + n-i 1 -x)n ~ ^ V n-1 (1-X) To plyne ze vztahu — n k = (-1) k fk+n-ľ n-1 který odvodíte na cvičení. • Ještě o něco obecněji můžeme substitucí ax za x obdržet obecnější vzorec, vhodný pro počítání konkrétních příkladů 1 __//c + n_ľ 1 - ax)n ~ ^ V n-1 J k>0 v (1 — ax) ak • xk. (Formální) mocninné řady oooooooo Plán prednášky Operace s vytvořujícími funkcemi •oooooooooo ť\ n i n n A v "\ s~\ \ i • Přehled mocninných řad Q Operace s vytvořujícími funkcemi (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi •ooooooooo Některým jednoduchým operacím s posloupnostmi odpovídají jednoduché operace nad mocninnými řadami: (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi •ooooooooo Některým jednoduchým operacím s posloupnostmi odpovídají jednoduché operace nad mocninnými řadami: Sčítání (a^ + b^) posloupností člen po členu odpovídá součet a(x) + b(x) příslušných vytvořujících funkcí. (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi •ooooooooo Některým jednoduchým operacím s posloupnostmi odpovídají jednoduché operace nad mocninnými řadami: Sčítání (a^ + b^) posloupností člen po členu odpovídá součet a(x) + b(x) příslušných vytvořujících funkcí. • Vynásobení {a • a^) všech členů posloupnosti stejným skalárem a odpovídá vynásobení a • a(x) příslušné vytvořující funkce. (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi •ooooooooo Některým jednoduchým operacím s posloupnostmi odpovídají jednoduché operace nad mocninnými řadami: Sčítání (a^ + b^) posloupností člen po členu odpovídá součet a(x) + b(x) příslušných vytvořujících funkcí. • Vynásobení {a • a^) všech členů posloupnosti stejným skalárem a odpovídá vynásobení a • a(x) příslušné vytvořující funkce. 9 Vynásobení vytvořující funkce a(x) monomem xn odpovídá posunutí posloupnosti doprava o n míst a její doplnění nulami. (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi •ooooooooo Některým jednoduchým operacím s posloupnostmi odpovídají jednoduché operace nad mocninnými řadami: Sčítání (a^ + b^) posloupností člen po členu odpovídá součet a(x) + b(x) příslušných vytvořujících funkcí. • Vynásobení {a • a^) všech členů posloupnosti stejným skalárem a odpovídá vynásobení a • a(x) příslušné vytvořující funkce. 9 Vynásobení vytvořující funkce a(x) monomem xn odpovídá posunutí posloupnosti doprava o n míst a její doplnění nulami. 9 Pro posunutí posloupnosti doleva o n míst (tj. vynechání prvních n míst posloupnosti) nejprve od a(x) odečteme polynom bn(x) odpovídají posloupnosti (ao,..., sn-i, 0,...) a poté podělíme vytvořující funkci xn. (Formální) mocninné řady Operace s vytvořujícími funkcemi oooooooo OO0OOOOOOOO Dalšími důležitými operacemi, které se při práci s vytvořujícími funkcemi často objevují, jsou: 9 Derivování podle x: funkce a'(x) vytvořuje posloupnost (ai, 2a2, 3a3,...), člen s indexem k je (/c + l^+i (tj. mocninnou řadu derivujeme člen po členu). (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi OO0OOOOOOOO Dalšími důležitými operacemi, které se při práci s vytvořujícími funkcemi často objevují, jsou: 9 Derivování podle x: funkce a'(x) vytvořuje posloupnost (ai, 2a2, 3a3,...), člen s indexem k je (/c + l^+i (tj. mocninnou řadu derivujeme člen po členu). • Integrování: funkce JQX a(t) dt vytvořuje posloupnost (O, ao, |ai, |a2, ^3,...), pro k > 1 je člen s indexem /c roven \dk-\ (zřejmě je derivací příslušné mocninné řady člen po členu původní funkce a(x)). (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi OO0OOOOOOOO Dalšími důležitými operacemi, které se při práci s vytvořujícími funkcemi často objevují, jsou: 9 Derivování podle x: funkce a'(x) vytvořuje posloupnost (ai, 2a2, 3a3,...), člen s indexem k je (/c + l^+i (tj. mocninnou řadu derivujeme člen po členu). • Integrování: funkce JQX a(ř) dt vytvořuje posloupnost (O, ao, |ai, |a2, ^3,...), pro /c > 1 je člen s indexem k roven \dk-\ (zřejmě je derivací příslušné mocninné řady člen po členu původní funkce a(x)). • Násobení řad: součin a(x)b(x) je vytvořující funkcí posloupnosti (cq, ci, c2,...), kde tj. členy v součinu až po Ck jsou stejné jako v součinu (a0 + aix + a2x2 H-----h a/cx/c)(b0 + bix + b2x2 H----b*x*). Posloupnost (cn) bývá také nazývána konvolucíposloupností i+j=k □ s - = (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi oo»ooooooo V dalším bude výhodné položit a_i = 0, a_2 = 0, atd. (pak můžeme sčítat přes všechna k), jenom bacha na konkrétní součty typu J2k>oxk — T^x' Pro ty Je potřeba sčítat pouze přes nezáporná k. Operace s vytvořujícími funkcemi přepíšeme: • £ 3kxk + £ bkxk = £(afc + bk)xk. (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi oo»ooooooo V dalším bude výhodné položit a_i = 0, a_2 = 0, atd. (pak můžeme sčítat přes všechna k), jenom bacha na konkrétní součty typu J2k>oxk — T^x' Pro ty Je potřeba sčítat pouze přes nezáporná k. Operace s vytvořujícími funkcemi přepíšeme: • £ 3kxk + £ bkxk = £(afc + bk)xk. • a -J2akxk = YJ{otak)xk. (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi oo»ooooooo V dalším bude výhodné položit a_i = 0, a_2 = 0, atd. (pak můžeme sčítat přes všechna k), jenom bacha na konkrétní součty typu J2k>oxk — T^x' Pro ty Je potřeba sčítat pouze přes nezáporná k. Operace s vytvořujícími funkcemi přepíšeme: • £ 3kxk + £ bkxk = £(afc + bk)xk. 9 a -J2akxk = YJ{otak)xk. • xn -J2akXk = J2ak-nxk- (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi oo»ooooooo V dalším bude výhodné položit a_i = 0, a_2 = 0, atd. (pak můžeme sčítat přes všechna k), jenom bacha na konkrétní součty typu J2k>oxk — T^x' Pro ty Je potřeba sčítat pouze přes nezáporná k. Operace s vytvořujícími funkcemi přepíšeme: • £ 3kxk + £ bkxk = £(afc + bk)xk. 9 a -J2akxk = YJ{otak)xk. • xn -J2akXk = J2ak-nxk- • (E^l-ÍEM^E^. kde i+j=k (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi ooo»oooooo Ukažme si důležitý příklad využívající konvoluci posloupností: Příklad jť^a(x) je v.f.p. (ao, a0 + ai, a0 + a\ + a2,.. .)■ (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi ooo»oooooo Ukažme si důležitý příklad využívající konvoluci posloupností: Příklad Y^a(x) je v.f.p. (ao, a0 + ai, a0 + a\ + a2,.. .)■ Odtud např. dostáváme, že 11 -In- je v.f.p. harmonických čísel H{ 1 — x 1 — x (Formální) mocninné řady Operace s vytvořujícími funkcemi oooooooo oooo»oooooo Ukažme si důležitý příklad využívající konvoluci posloupností: Příklad Y^a(x) je v.f.p. (ao, a0 + ai, a0 + a\ + a2,.. .)■ Odtud např. dostáváme, že 11 -In- je v.f.p. harmonických čísel H{ 1 — x 1 — x Příklad Protože = J2n>oxľ1' dostáváme konvoluci posloupnosti (1,1,...) se sebou vztahy (l-x): A7>0 (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi ooo»oooooo Ukažme si důležitý příklad využívající konvoluci posloupností: Příklad Y^a(x) je v.f.p. (ao, a0 + ai, a0 + a\ + a2,...) Odtud např. dostáváme, že 1 In 1 1 -x 1 -x je v.f.p. harmonických čísel Hn Příklad Protože = J2n>QXn, dostáváme konvoluci posloupnosti (1,1,...) se sebou vztahy což máme dokázáno z dřívějška jako důsledek zobecněné binomické věty. (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi OOOO0OOOOO Příklad V krabici je 30 červených, 40 modrých a 50 bílých míčků, míčky stejné barvy přitom nelze rozeznat. Kolika způsoby je možné vybrat soubor 70 míčků? (Formální) mocninné řady Operace s vytvořujícími funkcemi OOOOOOOO OOOOO0OOOOO V krabici je 30 červených, 40 modrých a 50 bílých míčků, míčky stejné barvy přitom nelze rozeznat. Kolika způsoby je možné vybrat soubor 70 míčků? Řešení Hledaný počet je roven koeficientu u x70 v součinu (l+x + xz + - • -+x30)(l+x + x2 + - • -+x4U)(l+x + x^ + - • -+x*u). 40 30 «0 0,0 (Formální) mocninné řady Operace s vytvořujícími funkcemi OOOOOOOO OOOOOfNDOOOO V krabici je 30 červených, 40 modrých a 50 bílých míčků, míčky stejné barvy přitom nelze rozeznat. Kolika způsoby je možné vybrat soubor 70 míčků? Řešení Hledaný počet je roven koeficientu u x70 v součinu (l+x + xz + - • -+x30)(l+x + x2 + - • -+x4U)(l+x + x^ + - • -+x*u). 40 30 Tento součin upravíme na tvar (1 — x)_3(l — x31)(l — x41)(l — x51), odkud pomocí zobecněné binomické věty dostaneme (l-x31-x41-xD1+x^ + ...) AI 51 72 a tedy koeficientem u x70 je zřejmě (70+2) _ (70+2-31) _ (70+2-41) _ (70+2-51) = 1Q6L (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi ooooo«oooo Příklad Zkusme pomocí vytvořujících funkcí najít explicitní vzoreček pro 1 + 2 + — - + 2k. Protože je -^hix vytvořující funkce posloupnosti (2^), je vytvořující funkcí pro posloupnost (1 + 2 H-----Y 2k) funkce _I___L_ -o. -i___L_ l-x l-2x * l-2x 1-x' Proto je zpětně tato posloupnost rovna (2 • 2k — 1). (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi ooooo«oooo Příklad Zkusme pomocí vytvořujících funkcí najít explicitní vzoreček pro 1 + 2 + — - + 2k. Protože je -^hix vytvořující funkce posloupnosti (2^), je vytvořující funkcí pro posloupnost (1 + 2 H-----Y 2k) funkce _I___L_ -o. -i___L_ l-x l-2x * l-2x 1-x' Proto je zpětně tato posloupnost rovna (2 • 2k — 1). Rozklad na parciální zlomky! (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi oooooo»ooo Rozklad na parciální zlomky - připomenutí Rozklad na parciální zlomky jsme již viděli dříve při integraci racionálních lomených funkcí, přesto připomeneme: • Předpokládáme, že P(x)/Q(x) je podíl polynomů, kde deg P < deg Q (jinak vydělíme se zbytkem) a P(x), Q(x) nemají společné kořeny. <□► < rnP ► < -E ► < -E ► -E O °n O (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi oooooo»ooo Rozklad na parciální zlomky - připomenutí Rozklad na parciální zlomky jsme již viděli dříve při integraci racionálních lomených funkcí, přesto připomeneme: • Předpokládáme, že P(x)/Q(x) je podíl polynomů, kde deg P < deg Q (jinak vydělíme se zbytkem) a P(x), Q(x) nemají společné kořeny. o Polynom Q(x) rozložíme na kořenové činitele. <□► < rnP ► < -E ► < -E ► -E O °n O Rozklad na parciální zlomky jsme již viděli dříve při integraci racionálních lomených funkcí, přesto připomeneme: • Předpokládáme, že P(x)/Q(x) je podíl polynomů, kde deg P < deg Q (jinak vydělíme se zbytkem) a P(x), Q(x) nemají společné kořeny. o Polynom Q(x) rozložíme na kořenové činitele. • Jsou-li všechny kořeny cti, jednoduché, pak P(x) A1 +----h Q{X) x - «1 x — ag □ s> - = (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi oooooo»ooo Rozklad na parciální zlomky - připomenutí Rozklad na parciální zlomky jsme již viděli dříve při integraci racionálních lomených funkcí, přesto připomeneme: • Předpokládáme, že P(x)/Q(x) je podíl polynomů, kde deg P < deg Q (jinak vydělíme se zbytkem) a P(x), Q(x) nemají společné kořeny. o Polynom Q(x) rozložíme na kořenové činitele. • Jsou-li všechny kořeny cti, jednoduché, pak P(x) Q(X) Ai X — Oi\ + ••• + A £ X — Oi£ Má-li kořen ol\ násobnost kj, pak se příslušný parciální zlomek nahradí součtem parciálních zlomků tvaru Ar + A i2 (x — a i) (x — ŕ*;)2 + ••• + A iki (X — OLj)k< (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi OOOOOOO0OO Rozklad na parciální zlomky - pokračování V případě dvojice komplexně sdružených kořenů nahrazujeme sčítanec A/[x — a) sčítancem (Ax + 6)/(x2 + px + q) včetně příslušných mocnin jmenovatele. (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi OOOOOOO0OO Rozklad na parciální zlomky - pokračování o V případě dvojice komplexně sdružených kořenů nahrazujeme sčítanec A/[x — a) sčítancem (Ax + 6)/(x2 + px + q) včetně příslušných mocnin jmenovatele. 9 Neznámé dopočítáme roznásobením a buď porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x nebo dosazením jednotlivých kořenů. (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi OOOOOOO0OO Rozklad na parciální zlomky - pokračování o V případě dvojice komplexně sdružených kořenů nahrazujeme sčítanec A/[x — a) sčítancem (Ax + B)/(x2 + px + q) včetně příslušných mocnin jmenovatele. 9 Neznámé dopočítáme roznásobením a buď porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x nebo dosazením jednotlivých kořenů. • Výrazy A/(x — a)k převedeme na výrazy tvaru 6/(1 — j3x)k vydělením čitatele i jmenovatele výrazem (—a)k. Tento výraz již umíme rozvinout do mocninné řady. (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi oooooooooo Rozklad na parciální zlomky - vychytávka Protože preferujeme 1 — /3x, bude lepší jmenovatel rozložit rovnou na součin takovýchto činitelů, např. 1 - 5x + 6x2 = (1 - 2x)(l - 3x), (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi OOOOOOOO0O Rozklad na parciální zlomky - vychytávka Protože preferujeme 1 — /3x, bude lepší jmenovatel rozložit rovnou na součin takovýchto činitelů, např. 1 - 5x + 6x2 = (1 - 2x)(l - 3x), který obecně získáme "otočením" polynomu - provedeme substituci x = i a vynásobme ŕ2: l-5± + 6£ = (l-2±)(l-3±) ŕ2-5ŕ + 6 = (ŕ-2)(ŕ-3) (Formální) mocninné řady oooooooo Operace s vytvořujícími funkcemi OOOOOOOO0O Rozklad na parciální zlomky - vychytávka Protože preferujeme 1 — /3x, bude lepší jmenovatel rozložit rovnou na součin takovýchto činitelů, např. 1 - 5x + 6x2 = (1 - 2x)(l - 3x), který obecně získáme "otočením" polynomu - provedeme substituci x = i a vynásobme ŕ2: l-5± + 6£ = (l-2±)(l-3±) ŕ2-5ŕ + 6 = (ŕ-2)(ŕ-3) Přitom poslední tvar je již klasický rozklad na kořenové činitele, ve kterém můžeme použít např. známé vzorečky pro kořeny kvadratického polynomu. <□► < rnP ► < -E ► < -E ► E O Q, O