Prvočísla ooooooooooooooooooo Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooo Diskrétní matematika - 3. týden Elementární teorie čísel - Eulerova věta, řád prvku Lukáš Vokřínek Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2024 Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooooooooo oooooo ooooooooooooo Obsah přednášky Q Prvočísla • Poznámky • Dělitelé znovu 9 Rozložení prvočísel Q Aritmetické funkce • Eulerova funkce cp Q Malá Fermatova věta, Eulerova věta Prvočísla ooooooooooooooooooo Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooo Doporučené zdroje • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant Matematika drsně a svižně, e-text na www.math.muni.cz/Matematika_drsne_svizne. Prvočísla ooooooooooooooooooo Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooo Doporučené zdroje • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant Matematika drsně a svižně, e-text na www.math.muni.cz/Matematika_drsne_svizne. 9 Michal Bulant, výukový text k přednášce Elementární teorie čísel, http: //is .muni . cz/el/1431/podzim2012/M6520/ um/main-print.pdf • Jiří Herman, Radan Kučera, Jaromír Šimša, Metody řešení matematických úloh. MU Brno, 2001. 9 William Stein, Elementary Number Theory: Primes, Congruences, and Secrets, Springer, 2008. Dostupné na http://wstein.org/ent/ent.pdf o Radan Kučera, výukový text k přednášce Algoritmy teorie čísel, http://www.math.muni.cz/~kucera/texty/ATC10.pdf Prvočísla • Poznámky • Dělitelé znovu • Rozložení prvočísel • Eulerova funkce cp Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta 0*00000000000000000 oooooo ooooooooooooo Připomenutí - věta o jednoznačném rozkladu Libovolné přirozené číslo n > 2 je možné vyjádřit jako součin prvočísel, přičemž je toto vyjádření jediné, nebereme-li v úvahu pořadí činitelů. (Je-li n prvočíslo, pak jde o „součin'1 jednoho prvočísla.) Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta oo«oooooooooooooooo oooooo ooooooooooooo PRIMES is in P Poznámka Již jsme se zmínili, že je složité o velkých číslech s jistotou rozhodnout, jde-1i o prvočíslo (na druhou stranu je o naprosté většině složených čísel snadné prokázat, že jsou skutečně složená). Přesto se v roce 2002 podařilo indickým matematikům (Agrawal, Saxena, Kayal: http://www.cse.iitk.ac.in/users/manind.ra/ algebra/primality_v6 .pdf) dokázat, že problém prvočíselnosti je možné rozhodnout algoritmem s časovou složitostí polynomiálně závislou na počtu cifer vstupního čísla. Nic podobného se zatím nepodařilo v otázce rozkladu čísla na prvočísla (třebaže se obecně nevěří, že je to možné, exaktní důkaz zatím nebyl podán). Prvočísla ooo»ooooooooooooooo Is FACTOR in Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooo Nic podobného se zatím nepodařilo v otázce rozkladu čísla na prvočísla (třebaže se obecně nevěří, zeje to možné, exaktní důkaz zatím nebyl podán). Nejrychlejší obecně použitelný faktorizační algoritmus, tzv. síto v číselném tělese1, je sub-exponenciální časové složitosti Oíe1-9^^173^1^^273). Pro podrobnosti navštivte M8190 Algoritmy teorie čísel & Prvočísla OOO0OOOOOOOOOOOOOOO Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooo Is FACTOR in P? Nic podobného se zatím nepodařilo v otázce rozkladu čísla na prvočísla (třebaže se obecně nevěří, zeje to možné, exaktní důkaz zatím nebyl podán). Nejrychlejší obecně použitelný faktorizační algoritmus, tzv. síto v číselném tělese1, je sub-exponenciální časové složitosti Oíe1-9^^173^1^^273). Poznámka Peter Shor v roce 1994 vymyslel algoritmus, který faktorizuje v kubickém čase (tj. 0((log A/)3)) na kvantovém počítači. Je k tomu nicméně třeba sestrojit počítače s dostatečným počtem qubits -jak je to obtížné, lze vysledovat z toho, ze v roce 2001 se IBM podařilo pomocí kvantového počítače rozložit číslo 15 a v roce 2012 byl dosažen další faktorizační rekord rozkladem čísla 21. Pro podrobnosti navštivte M8190 Algoritmy teorie čísel < & > Prvočísla oooo»oooooooooooooo Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooo RSA Challenge Poznámka Že je problém rozkladu přirozeného čísla na prvočísla výpočetně složitý, o tom svědčí i (již neplatná) výzva učiněná v roce 1991 firmou RSA Security (viz http: //www. rsasecurity. com/rsalabs/node. asp?id=2093). Pokud se komukoliv podařilo rozložit čísla označená podle počtu cifer jako RSA-100, ..., RSA-704, RSA-768, ..., RSA-2048, mohl obdržet 1000_____ 30 000, 50 000, ..., resp. 200 000 dolarů (číslo RSA-100 rozložil v temže roce Arjen Lenstra, číslo RSA-704 bylo rozloženo v roce 2012, některá dosud rozložena nebyla). Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooo Díky jednoznačnosti rozkladu na prvočísla jsme schopni (se znalostí tohoto rozkladu) snadno odpovědět i na otázky ohledně počtu či součtu dělitelů konkrétního čísla. Stejně snadno dostaneme i (z dřívějška intuitivně známý) postup na výpočet největšího společného dělitele dvou čísel ze znalosti jejich rozkladu na prvočísla. Důsledek pnkk je tvaru Každý kladný dělitel čísla a — p"1 • • • ■ p™1.....p™k, kde mi,..., mk £ No a mi < n\, rr?2 < r?2, mk < nk. Prvočísla OOOOO0OOOOOOOOOOOOO Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooo Díky jednoznačnosti rozkladu na prvočísla jsme schopni (se znalostí tohoto rozkladu) snadno odpovědět i na otázky ohledně počtu či součtu dělitelů konkrétního čísla. Stejně snadno dostaneme i (z dřívějška intuitivně známý) postup na výpočet největšího společného dělitele dvou čísel ze znalosti jejich rozkladu na prvočísla. • Každý kladný dělitel čísla a — p^.....pkk je tvaru p™1.....p™k, kde mi,..., £ No a mi < n\, rr?2 < r?2, nik < "k- • Číslo a má tedy právě r{a) — (r?i + l)(r?2 + 1){nk + 1) kladných dělitelů, jejichž součet je "1 + 1 Pk 1 a(a) Pi-1 Pk ~ 1 □ ť3? - = >0 Q,o Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooo»oooooooooooo oooooo ooooooooooooo Důsledek (Pokr.) • Jsou-li pi,..., pk navzájem různá prvočísla a n\, ..., n^, m\, ..., m^ G No a označíme-li r\ — min{r?;, m;}, tf = max{n/, m,} pro každé i = 1, 2,..., k, platí (pí ni [pí "i pD = pí1 ŕ/c p/c Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta OOOOOOO0OOOOOOOOOOO oooooo ooooooooooooo Mersenneho prvočísla a dokonalá čísla S pojmem součet všech kladných dělitelů čísla a souvisí pojem tzv. dokonalého čísla a, které splňuje podmínku a(a) = 2a, resp. slovně: součet všech kladných dělitelů čísla a menších než a samotné je roven číslu a. Takovými čísly jsou např. 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 +14, 496 a 8128 (jde o všechna dokonalá čísla menší než 10 000). Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta OOOOOOO0OOOOOOOOOOO oooooo ooooooooooooo Mersenneho prvočísla a dokonalá čísla S pojmem součet všech kladných dělitelů čísla a souvisí pojem tzv. dokonalého čísla a, které splňuje podmínku a(a) = 2a, resp. slovně: součet všech kladných dělitelů čísla a menších než a samotné je roven číslu a. Takovými čísly jsou např. 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 +14, 496 a 8128 (jde o všechna dokonalá čísla menší než 10 000). Poznámka Lze ukázat, že sudá dokonalá čísla jsou v úzkém vztahu s tzv. Mersenneho prvočísly. Platí totiž: a je sudé dokonalé číslo, právě když je tvaru a = 2q~ľ • (2q — 1), kde 2q — 1 je prvočíslo. Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta OOOOOOO0OOOOOOOOOOO oooooo ooooooooooooo Mersenneho prvočísla a dokonalá čísla S pojmem součet všech kladných dělitelů čísla a souvisí pojem tzv. dokonalého čísla a, které splňuje podmínku a(a) = 2a, resp. slovně: součet všech kladných dělitelů čísla a menších než a samotné je roven číslu a. Takovými čísly jsou např. 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 +14, 496 a 8128 (jde o všechna dokonalá čísla menší než 10 000). Poznámka Lze ukázat, že sudá dokonalá čísla jsou v úzkém vztahu s tzv. Mersenneho prvočísly. Platí totiž: a je sudé dokonalé číslo, právě když je tvaru a = 2q~ľ • (2q — 1), kde 2q — 1 je prvočíslo. Na druhou stranu popsat lichá dokonalá čísla se dodnes nepodařilo, resp. dodnes se neví, jestli vůbec nějaké liché dokonalé číslo existuje. Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooo«oooooooooo oooooo ooooooooooooo Hledání velkých prvočísel Mersenneho prvočísla jsou právě prvočísla tvaru 2 — 1. Bez zajímavosti není ani to, že právě Mersenneho prvočísla jsou mezi všemi prvočísly nejlépe „vidět" - pro Mersenneho čísla existuje poměrně jednoduchý a rychlý postup, jak ověřit, že jde o prvočísla Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta oooooooo«oooooooooo oooooo ooooooooooooo Hledání velkých prvočísel Mersenneho prvočísla jsou právě prvočísla tvaru 2 — 1. Bez zajímavosti není ani to, že právě Mersenneho prvočísla jsou mezi všemi prvočísly nejlépe „vidět" - pro Mersenneho čísla existuje poměrně jednoduchý a rychlý postup, jak ověřit, že jde o prvočísla Lucas-Lehmerův test Definujme posloupnost (sn)^L0 rekurzívně předpisem so = 4, sn+i = — 2. Pak je číslo Mp = 2P — 1 prvočíslo, právě tehdy, když Mp dělí sp_2 Prvočísla ooooooooo«ooooooooo Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooo Proto není náhodou, že největší známá prvočísla jsou obvykle tvaru 2k — 1 (viz např. http://www.utm.edu/research/primes/largest.html). Jakkoliv může být hledání největšího známého prvočísla chápáno jako pochybná zábava bez valného praktického užitku2, jednak posunuje hranice matematického poznania zdokonaluje použité metody (a často i hardware), jednak může přinést benefit i samotným objevitelům (Electronic Frontier Foundation vypsala odměny EFF Cooperative Computing Awards za nalezení prvočísla majícího alespoň 106,107,108 a 109 číslic - odměny 50, resp. 100 tisíc $ za první dvě kategorie byly vyplaceny v letech 2000, resp. 2009 - v obou případech projektu GIMPS - na další odměny si ještě zřejmě nějaký čas počkáme). 2Viz např. titulek iDnes z 6.února 2013: Největší známé prvočíslo na světě má 17 milionů číslic a je k ničemu Prvočísla oooooooooo»oooooooo Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooo Rozložení prvočísel Nyní se budeme snažit zodpovědět následující otázky: O Je prvočísel nekonečně mnoho? Prvočísla 0000000000« (OOOOOOOO Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooo Rozložení prvočísel Nyní se budeme snažit zodpovědět následující otázky: O Je prvočísel nekonečně mnoho? O Je prvočísel nekonečně mnoho v každé (nebo aspoň některé) aritmetické posloupnosti? Prvočísla 0000000000« (OOOOOOOO Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooo Rozložení prvočísel Nyní se budeme snažit zodpovědět následující otázky: O Je prvočísel nekonečně mnoho? O Je prvočísel nekonečně mnoho v každé (nebo aspoň některé) aritmetické posloupnosti? O Jak jsou prvočísla rozložena mezi přirozenými čísly? Prvočísla oooooooooo»oooooooo Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooo Rozložení prvočísel Nyní se budeme snažit zodpovědět následující otázky: O Je prvočísel nekonečně mnoho? O Je prvočísel nekonečně mnoho v každé (nebo aspoň některé) aritmetické posloupnosti? O Jak jsou prvočísla rozložena mezi přirozenými čísly? There are two facts about the distribution of prime numbers. The first is that, [they are] the most arbitrary and ornery objects studied by mathematicians: they grow like weeds among the natural numbers, seeming to obey no other law than that of chance, and nobody can predict where the next one will sprout. The second fact is even more astonishing, for it states just the opposite: that the prime numbers exhibit stunning regularity, that there are laws governing their behavior, and that they obey these laws with almost military precision. Don Zagier Prvočísla OOOOOOOOOOO0OOOOOOO Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooo Prvočísel je nekonečně mnoho Věta (Eukleidés) Mezi přirozenými čísly existuje nekonečně mnoho prvočísel. Prvočísla OOOOOOOOOOO0OOOOOOO Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooo Prvočísel je nekonečně mnoho Věta (Eukleidés) Mezi přirozenými čísly existuje nekonečně mnoho prvočísel. Předpokládejme, že prvočísel je konečně mnoho a označme je pi, P2,..., pn- Položme A/ = pi • p2 ... pn + 1- Toto číslo je buď samo prvočíslem neboje dělitelné nějakým prvočíslem různým od pi,..., pn (čísla pi,..., pn totiž dělí číslo N — 1), což je spor. □ Prvočísla OOOOOOOOOOO0OOOOOOO Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooo Prvočísel je nekonečně mnoho Věta (Eukleidés) Mezi přirozenými čísly existuje nekonečně mnoho prvočísel. Předpokládejme, že prvočísel je konečně mnoho a označme je pi, P2,..., pn- Položme A/ = pi • p2 ... pn + 1- Toto číslo je buď samo prvočíslem neboje dělitelné nějakým prvočíslem různým od pi,..., pn (čísla pi,..., pn totiž dělí číslo N — 1), což je spor. □ Poznámka Existuje mnoho variant důkazů nekonečnosti prvočísel z různých oblastí matematiky, uveďme ještě alespoň některá tvrzení, z nichž zároveň získáme alespoň částečnou informaci o rozložení prvočísel mezi přirozenými čísly. Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta OOOOOOOOOOOO0OOOOOO oooooo ooooooooooooo Prvočísel je vcelku hodně Příklad Pro celé n > 2 existuje mezi čísly n a n\ alespoň jedno prvočíslo. Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta OOOOOOOOOOOO0OOOOOO oooooo ooooooooooooo Prvočísel je vcelku hodně Příklad Pro celé n > 2 existuje mezi čísly n a n\ alespoň jedno prvočíslo. Řešení Označme p libovolné prvočíslo dělící číslo n\ — 1 (takové existuje podle Základní věty aritmetiky protože n\ — 1 > 1). Kdyby p < n, muselo by p dělit číslo n\ a nedělilo by n\ — 1. Je tedy n < p. Protože p I (r?! — 1), platí p < n\ — 1, tedy p < n\. Prvočíslo p splňuje podmínky úlohy □ Prvočísla ooooooooooooo»ooooo Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooo Z této věty rovněž vyplývá nekonečnost prvočísel, její tvrzení je ale velice slabé. Následující tvrzení, uvedené bez důkazu, je podstatně silnejší. Věta (Čebyševova, Bertrandův postulát) Pro libovolné číslo n > 1 existuje alespoň jedno prvočíslo p splňující n < p < 2n. Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta OOOOOOOOOOOOOO0OOOO oooooo ooooooooooooo Prvočísel je vcelku málo Příklad Dokažte, že pro libovolné přirozené číslo n existuje n po sobě jdoucích přirozených čísel, z nichž žádné není prvočíslo. Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta OOOOOOOOOOOOOO0OOOO oooooo ooooooooooooo Prvočísel je vcelku málo Příklad Dokažte, že pro libovolné přirozené číslo n existuje n po sobě jdoucích přirozených čísel, z nichž žádné není prvočíslo. Řešení Zkoumejme čísla (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3,..., (n + 1)! + (n + 1). Mezi těmito n po sobě jdoucími čísly není žádné prvočíslo, protože pro libovolné k G {2, 3,..., n + 1} platí k | (r? + 1)!, a tedy k I (r? + 1)! + k, a proto (r? + 1)! + k nemůže být prvočíslo. □ Prvočísla ooooooooooooooo«ooo Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooo Prvočísla jsou relativně rovnoměrně rozložena v tom, smyslu, že v libovolné „rozumné" aritmetické posloupnosti je jich nekonečně mnoho. Například zbytek 1 po dělení čtyřmi, stejně jako zbytek 3 po dělení čtyřmi dá vždy nekonečně mnoho prvočísel (zbytek 0 nedá samozřejmě žádné a zbytek 2 pouze jediné). Obdobná situace je pak při uvažování zbytků po dělení libovolným jiným přirozeným číslem, jak uvádí následující věta, jejíž důkaz je ovšem velmi obtížný. Prvočísla ooooooooooooooo«ooo Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooo Prvočísla jsou relativně rovnoměrně rozložena v tom, smyslu, že v libovolné „rozumné" aritmetické posloupnosti je jich nekonečně mnoho. Například zbytek 1 po dělení čtyřmi, stejně jako zbytek 3 po dělení čtyřmi dá vždy nekonečně mnoho prvočísel (zbytek 0 nedá samozřejmě žádné a zbytek 2 pouze jediné). Obdobná situace je pak při uvažování zbytků po dělení libovolným jiným přirozeným číslem, jak uvádí následující věta, jejíž důkaz je ovšem velmi obtížný. Věta (Dirichletova o prvočíslech v aritmetické posloupnosti) Jsou-li a, m nesoudělná přirozená čísla, existuje nekonečně mnoho přirozených čísel k tak, že mk + a je prvočíslo. Jinými slovy, mezi čísly 1 • m + a, 2 • m + a, 3 • m + a,... existuje nekonečně mnoho prvočísel. Uveďme proto alespoň důkaz ve speciálním případě. Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta OOOOOOOOOOOOOOOO0OO oooooo ooooooooooooo Prvočísel tvaru 3k + 2 je nekonečně mnoho Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta OOOOOOOOOOOOOOOO0OO oooooo ooooooooooooo Prvočísel tvaru 3/c + 2 je nekonečně mnoho Řešení Předpokládejme naopak, že existuje pouze konečně mnoho prvočísel tohoto tvaru a označme je pi = 2, P2 = 5, P3 = 11, .. ., pn. Položme N — 3p2 • P3.....pn + 2. Rozložíme-li N na součin prvočísel, musí v tomto rozkladu vystupovat aspoň jedno prvočíslo p tvaru 3/c + 2, neboť v opačném případě by bylo N součinem prvočísel tvaru 3/c + 1 (uvažte, že N není dělitelné třemi), a tedy podle dřívějšího příkladu by bylo i N tvaru 3/c + 1, což není pravda. Prvočíslo p ovšem nemůže být žádné z prvočísel pi, p2,..., pm jak plyne z tvaru čísla A/, a to je spor. Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooooooo»o oooooo ooooooooooooo Asymptotické chování prvočísel Z tvrzení uvedených v této kapitole je možné si udělat hrubou představu o tom, jak "hustě"se mezi přirozenými čísla prvočísla vyskytují. Přesněji (i když " pouze"asymptoticky) to popisuje velmi důležitá tzv. "Prime Number Theorem": Věta (Prime Number Theorem, věta o hustotě prvočísel) Nechť 7r(x) udává počet prvočísel menších nebo rovných číslu x e IR. Pak 7t(x) x In x' tj. podíl funkcí 7i(x) a x j In x se pro x —> oc limitně blíží k 1 Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooooooo»o oooooo ooooooooooooo Asymptotické chování prvočísel Z tvrzení uvedených v této kapitole je možné si udělat hrubou představu o tom, jak "hustě"se mezi přirozenými čísla prvočísla vyskytují. Přesněji (i když " pouze"asymptoticky) to popisuje velmi důležitá tzv. "Prime Number Theorem": Věta (Prime Number Theorem, věta o hustotě prvočísel) Nechť 7r(x) udává počet prvočísel menších nebo rovných číslu x e IR. Pak 7t(x) x In x' tj. podíl funkcí 7i(x) a x j In x se pro x —> oc limitně blíží k 1 Poznámka To, jak jsou prvočísla hustě rozmístěna v množině přirozených čísel, rovněž udává Eulerův výsledek J2pep = oc. Přitom např. SneN \ — \-> c°ž znamená, že prvočísla jsou v N rozmístěna „hustěji" než druhé mocniny. Prvočísla oooooooooooooooooo* Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooo Příklad O tom, jak odpovídá asymptotický odhad 7í(x) ~ xj ln(x), v některých konkrétních příkladech vypovídá následující tabulka: x 7r(x) x/ln(x) relativní chyba 100 25 21.71 0.13 1000 168 144.76 0.13 10000 1229 1085.73 0.11 100000 9592 8685.88 0.09 1000000 78498 72382.41 0.08 Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta OOOOOOOOOOOOOOOOOOO »00000 ooooooooooooo • Poznámky • Dělitelé znovu • Rozložení prvočísel Q Aritmetické funkce • Eulerova funkce cp Prvočísla ooooooooooooooooooo Aritmetické funkce o»oooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooo Aritmetické funkce Aritmetickou funkcí zde rozumíme funkci, jejímž definičním oborem je množina přirozených čísel. Definice Multiplikativní funkcí přirozených čísel rozumíme takovou aritmetickou funkci, která splňuje, že pro všechny dvojice nesoudělných čísel a, b G N platí f (a - b) = f (a) • f {b). Prvočísla ooooooooooooooooooo Aritmetické funkce o»oooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooo Aritmetické funkce Aritmetickou funkcí zde rozumíme funkci, jejímž definičním oborem je množina přirozených čísel. Definice Multiplikativní funkcí přirozených čísel rozumíme takovou aritmetickou funkci, která splňuje, že pro všechny dvojice nesoudělných čísel a, b G N platí f(a-b) = f (a) • f (b). Příklad Multiplikativními funkcemi jsou např. funkce f(n) — cr(n), f(n) — r(n) nebo, jak brzy dokážeme i tzv. Eulerova funkce f(n) = (p(n). Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta OOOOOOOOOOOOOOOOOOO OO0OOO ooooooooooooo Eulerova funkce Definice Nechť n £ N. Definujme Eulerovu funkci cp předpisem cp(n) = |{a G N I 0 < a < n, (a, n) = 1}| (lépe počet zbytkových tříd nesoudělných s n nebo také těch, které mají modulo n inverzi). Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta OOOOOOOOOOOOOOOOOOO OO0OOO ooooooooooooo Eulerova funkce Definice Nechť n £ N. Definujme Eulerovu funkci cp předpisem cp(n) = |{a G N I 0 < a < n, (a, n) = 1}| (lépe počet zbytkových tříd nesoudělných s n nebo také těch, které mají modulo n inverzi). r Příklad ¥>(!) = 1, (x (mod a), x (mod ti)) Stačí proto ukázat, že x (mod a - ti) má inverzi, právě když obě složky obrazu mají inverzi - takových dvojic je totiž přesně (p(a) • cp(ti). To je ale jasné z CRT. □ i Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooooooooo 00000« ooooooooooooo Příklad Vypočtěte (fi{72). Prvočísla ooooooooooooooooooo Aritmetické funkce 00000« Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooo Příklad Vypočtěte (f{72) Řešení 72 = 23 • 3: (2n + 1). □ J Prvočísla ooooooooooooooooooo Plán prednášky Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta •oooooooooooo • Poznámky • Dělitelé znovu • Rozložení prvočísel • Eulerova funkce cp Q Malá Fermatova věta, Eulerova věta Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooooooooo oooooo o«ooooooooooo Úplná a redukovaná soustava zbytků Definice Úplná soustava zbytků modulo m je libovolná m-tice čísel po dvou nekongruentních modulo m (nejčastěji 0,1,..., m — 1). Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooooooooo oooooo o«ooooooooooo Úplná a redukovaná soustava zbytků Definice Úplná soustava zbytků modulo m je libovolná m-tice čísel po dvou nekongruentních modulo m (nejčastěji 0,1,..., m — 1). Redukovaná soustava zbytků modulo m je libovolná (p(m)-ť\ce čísel nesoudělných s m a po dvou nekongruentních modulo m. Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooooooooo oooooo o«ooooooooooo Úplná a redukovaná soustava zbytků Definice Úplná soustava zbytků modulo m je libovolná m-tice čísel po dvou nekongruentních modulo m (nejčastěji 0,1,..., m — 1). Redukovaná soustava zbytků modulo m je libovolná (p(m)-ť\ce čísel nesoudělných s m a po dvou nekongruentních modulo m. Lemma Necht xi, X2,..., x 2 Prvočísla ooooooooooooooooooo Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta OOOOOO0OOOOOO Příklad Určete řád čísla 2 modulo 7. l Prvočísla ooooooooooooooooooo Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta OOOOOO0OOOOOO Příklad Určete řád čísla 2 modulo 7. 1 Řešení 21 = 2 ^ 1 (mod 7) 22 = 4 ^ 1 (mod 7) 23 = 8 = 1 (mod 7) Rád čísla 2 modulo 7 je tedy roven 3. □ Prvočísla Aritmetické funkce Malá Fermatova věta, Eulerova věta ooooooooooooooooooo oooooo OOOOOOO0OOOOO Přesný popis závislosti řádu na exponentu dávají následující 2 věty: Věta Necht m 6 N, a £ Z, (a, m) = 1. Označme r řád čísla a modulo m. Pak pro libovolná ř, s £ N U {0} p/ař/' aŕ = as (mod m) ŕ = s (mod r). Prvočísla ooooooooooooooooooo Aritmetické funkce oooooo Malá Fermatova věta, Eulerova věta OOOOOOO0OOOOO Přesný popis závislosti řádu na exponentu dávají následující 2 věty: Věta_ Necht m 6 N, a £ Z, (a, m) = 1. Označme r řác/ č/s/a a modulo m. Pak pro libovolná t,sGNU {0} platí ař = as (mod m) t = s (mod r). Důkaz. Díky tomu, že as = as • ar = as+r (mod m), opakují se hodnoty mocnin as s periodou r, což dává implikaci "^=M. Zbývá ukázat, že zbytkové třídy a° (mod m),..., ar_1 (mod rn) jsou všechny různé. Přitom pokud pro 0