Algebra I – podzim 2019 – 3. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Buď R podokruh okruhu všech matic typu 2 × 2 nad tělesem Q(
√
2)
s obvyklými operacemi, jehož nosičem je množina
p q
0 r
p ∈ Z[
√
2], q ∈ Q(
√
2), r ∈ Z .
Rozhodněte, zda množina
a + b
√
2 q
0 r
a, b, r ∈ Z, 2 dělí a, 4 dělí b, q ∈ Q(
√
2)
je ideálem okruhu R a zda množina
a + b
√
2 c + d√
2
0 r
a, b, c, d, r ∈ Z, b sudé
je jeho podokruhem.
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1
b
==
c
HH
a // 2
a
 b,c
// 3
a,c
((
b

4
c
hh
a,b

3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (G, ·)/H, kde
G =





1 f h
0 1 g
0 0 1

 f, g ∈ Z[x], h ∈ C[x]



,
H =





1 f h
0 1 f
0 0 1

 f ∈ Z[x], h ∈ R[x], 2 dělí f(1)



.
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla 4
√
2 + 4
√
4 + 4
√
8 nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
α5 − 2α4 + α3 + 3α + 1
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli, víte-li, že číslo α splňuje
rovnost α3
(2 − α) = 2α + 2.
6. (10 bodů) Dejte příklad okruhu, který není oborem integrity, a jeho podokruhu,
který oborem integrity je.
7. (10 bodů) Dejte příklad dvou necyklických grup G a H takových, že existuje
jediná podgrupa grupy G, která je izomorfní nějaké podgrupě grupy H.
8. (5 bodů) Definujte jednotky a nerozložitelné prvky oboru integrity.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení o existenci a jednoznačnosti podílového tělesa.
10. (10 bodů) Přímo z definic dokažte, že každá grupa je izomorfní nějaké grupě
permutací.