Algebra I — podzim 2019 — 4. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Na množině S = Z x Z x (Z \ {0}) je definována relace ekvivalence ~ předpisem
(a, b, c) ~ (d, e, /)     •<=>-     af = cd & b f = ce. Rozhodněte, zda předpis
[(a, b, c)]^ * [(d, e, f)]^ = [(ad — be, ae + bd, cf)]^
korektně definuje na množině S/~ operaci takovou, že (S/~, *) je pologrupa, případně grupa.
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
a a
s—^ a,o
1yAjRýJL<3)      (4] u
3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (G, -)/H, kde
'1   c f G = t I 0  1 d ,0  0 1
c,de Z[i], / G C[x] 1  ai f
H = { \ 0   1   a + 26 + ci ,0   0 1
a,b,c e Z, /eC[i],/(2) = /(i)
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla (1 + i + y/2i)/y/2 nad
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
a3 + 2a2 + 4
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli, víte-li, že číslo a splňuje rovnost a4 + 8a = —2(a3 + a2 + 1).
6. (10 bodů) Dejte příklad oboru integrity a jeho ideálu, který není prvoideál.
7. (10 bodů) Dejte příklad grupy G a homomorfismu <p: G —> G, který splňuje rovnost tpotpotpotp = id^, ale nesplňuje rovnost ip o tp = id^.
8. (5 bodů) Definujte okruh polynomů nad okruhem (R, +, •).
9. (5 bodů) Popište vztah mezi rozšířeními těles konečného stupně a rozšířeními těles o algebraické prvky. Tyto pojmy vysvětlete.
10. (10 bodů) Dokažte, že každý ideál okruhu polynomů nad tělesem je hlavní.