Algebra I – podzim 2020 – 4. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Na množině Z × Z jsou definovány asociativní operace ⊕ a ∗ předpisy
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d),
(a, b) ∗ (c, d) = (ac + bd, ad + bc + 2bd).
Rozhodněte, zda (Z × Z, ⊕, ∗) je okruh, případně obor integrity, případně těleso.
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1
a
 b // 2
b

a
!!
3
b
aa
a // 4
a,b

3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa
(R[x], +) × (C, +) /H,
kde
H = (f, f(i + 1) + a) | a ∈ R, f ∈ R[x] má kořen i .
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla (
√
2 + 1) ·
√
2 + 3 +
√
2 − 1 nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
α4 + 2α3 + 2α2 + 8α + 2
,
kde α splňuje α4
+ 8α = 2α2
+ 6, bez použití jiných než racionálních čísel ve
jmenovateli.
6. (10 bodů) Dejte příklad grupy, která má právě 15 cyklických podgrup.
7. (10 bodů) Dejte příklad netriviálních okruhů R, S, T spolu se surjektivními
homomorfismy ϕ: R → S a ψ: S → T, které nejsou injektivní.
8. (5 bodů) Definujte ideál, prvoideál a maximální ideál okruhu.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení o existenci a jednoznačnosti podílového tělesa.
10. (10 bodů) Dokažte, že počet prvků libovolné podgrupy konečné grupy G dělí
počet prvků grupy G.