Algebra I – podzim 2020 – 5. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Uvažujme grupu (G, •), kde G = SN × SN, přičemž SN značí množinu
všech permutací množiny N, a operace • je definovaná předpisem
(f, g) • (h, k) = (f ◦ h, h−1
◦ g ◦ h ◦ k).
Pro každou z následujících množin rozhodněte, zda tvoří normální podgrupu grupy
(G, •).
1) H = { (f, f) | f ∈ SN }
2) K = { (f, f−1
) | f ∈ SN }
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1 a,b
// 2
b

a
// 3
a
((
b

4
a,b
hh 5a,b
oo
3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (Z, +)×(G, ·) /H, kde
G =
2p
0
f 2p p ∈ Z, f ∈ Q[x] ,
H = p,
4p
0
f 4p p ∈ Z, f ∈ Q[x], f(−1) = −f(1) .
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla 4
√
8 · i + 4
√
2 · i −
√
2 nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
α5 + α4 − 2α3 − α2 + 1
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli, víte-li, že číslo α splňuje
rovnost (α + 2) · α2
= 2.
6. (10 bodů) Dejte příklad okruhu, který má právě tři maximální ideály.
7. (10 bodů) Dejte příklad netriviálních grup G, H, K takových, že existují surjektivní
homomorfismy G do K a H do K, ale neexistuje surjektivní homomorfismus
G do H ani H do G.