Algebra I – podzim 2021 – 2. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Pro každou z množin
M1 = { f ∈ SN | ∀n ∈ N: |f(n) − f(n + 1)| ≤ 2 },
M2 = { f ∈ SN | ∀n ∈ N: |f(n) − f(n + 1)| = 2 },
M3 = { f ∈ SN | ∀n ∈ N: |f(n) − f(n + 1)| ≥ 2 },
M4 = { f ∈ SN | ∃k ∈ N ∀n ∈ N: |f(n) − f(n + 1)| ≤ k },
M5 = { f ∈ SN | ∃k ∈ N ∀n ∈ N: |f(n) − f(n + 1)| = k }
rozhodněte, zda je podpologrupou, případně podmonoidem, případně podgrupou,
grupy (SN, ◦) všech bijektivních transformací množiny přirozených čísel.
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1
b,c
HH
a // 2
a
 b,c
// 3
a,c
((
b

4
c
hh
a,b

3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (R\{0}, ·)×(G, ·) /H,
kde
G =





1 0 0
a 1 0
c b 1

 a, b ∈ Z, c ∈ C



,
H =




(−1) · et
,


1 0 0
a 1 0
s + t · i 2a + 4k 1



 a, k, ∈ Z, s, t ∈ R



.
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla 1 +
√
3 +
√
3 − 1 · i nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
α4 + 3α3 + 2α2 − α + 1
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli, víte-li, že číslo α splňuje
rovnost α3
· (α + 2) = 2 · (α − 1).
6. (10 bodů) Dejte příklad okruhu, který není tělesem a má právě dva podokruhy,
které tělesem jsou.
7. (10 bodů) Dejte příklad grup G a H, které nejsou cyklické a přitom splňují
následující podmínky:
• Grupa G není izomorfní žádné podgrupě grupy H.
• Grupa H není izomorfní žádné podgrupě grupy G.
• Každá podgrupa grupy H různá od H je izomorfní nějaké podgrupě grupy G.
8. (5 bodů) Definujte podílové těleso oboru integrity.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení popisující nerozložitelné polynomy nad C a nad R.
10. (10 bodů) Přímo z definice podgrupy dokažte, že levé třídy rozkladu grupy podle
podgrupy jsou po dvou disjunktní.