Algebra I – podzim 2021 – 5. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Určete, pro která přirozená čísla k je množina
Mk = { a + b
√
10 | a, b ∈ Z, [k · a]13 = [b]13 }
podokruhem, případně ideálem, okruhu Z[
√
10].
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1
b
==
c
HH
a // 2
a
 b,c
// 3
a,c
((
b

4
c
hh
a,b

3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (G, ·)/H, kde
G =





1 a c
0 1 b
0 0 1

 a, b ∈ Z[
√
2], c ∈ C



,
H =





1 2k + 6
√
2 r
0 1 3 + 2
√
2
0 0 1

 k, ∈ Z, r ∈ R



.
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla 4
√
2 + 4
√
4 + 4
√
8 nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
α4 + 20α + 4
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli, víte-li, že číslo α splňuje
rovnost (α2
− 1) · (α2
+ 3) = −26α − 9.
6. (10 bodů) Dejte příklad oboru integrity (R, ⊕, ) a homomorfismu okruhů
ϕ: (R, ⊕, ) → (Z, +, ·),
který není izomorfismus.
7. (10 bodů) Dejte příklad grupy G a její podgrupy H takové, že není jádrem
žádného homomorfismu z G a rozklad G podle H má právě šest levých tříd.
8. (5 bodů) Definujte jednotky a nerozložitelné prvky oboru integrity.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení o rozkladu homomorfismu grup na tři homomorfismy
speciálního typu.
10. (10 bodů) Přímo z definic dokažte, že každá grupa je izomorfní nějaké grupě
permutací.