Algebra I – podzim 2022 – 2. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Pro m ∈ {13, 18} a n ∈ {9, 16} rozhodněte, zda předpis
([a]m, [2k
]n) ([b]m, [2 ]n) = ([a + 3k
· b]m, [2k+
]n), pro a, b, k, ∈ Z, k ≥ 1, ≥ 1,
korektně definuje na množině S = Zm × { [2k
]n | k ≥ 1 } operaci takovou, že (S, )
je pologrupa.
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1
b
FF
a // 2
a
((
b
66 3
a
((
b

4
a
TT
b
hh
3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa
(G, ·) × (G, ·) × (Q \ {0}, ·) /H,
kde
G =
p f
0 p
p ∈ Q \ {0}, f ∈ C[x] ,
H =
p 0
0 p
,
p f
0 p
, 1/p p ∈ Q \ {0}, f ∈ C[x] má kořen 1 .
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla 2 − 3
√
2 − 3
√
4 nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
α4 + 2α2 + 2α + 5
,
kde α splňuje α4
= −3 · (α2
+ α + 2), bez použití jiných než racionálních čísel ve
jmenovateli.
6. (10 bodů) Dejte příklad monoidu obsahujícího právě šest neinvertibilních prvků.
7. (10 bodů) Dejte příklad okruhu, který má právě čtyři homomorfismy do sebe.
8. (5 bodů) Definujte, co se rozumí tím, když se o oboru integrity řekne, že je
s jednoznačným rozkladem.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení popisující nerozložitelné polynomy nad C a nad R.
10. (10 bodů) Dokažte, že každý ideál okruhu polynomů nad tělesem je hlavní.