Algebra I – podzim 2022 – 4. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Pro každou z uvedených množin polynomů nad Z rozhodněte, zda je
ideálem nebo podokruhem okruhu (Z[x], +, ·).
I1 = { f ∈ Z[x] | f = 0 nebo f má dvojnásobný kořen 1 }
I2 = { f ∈ Z[x] | f = 0 nebo f má alespoň dvojnásobný kořen 1 }
I3 = { f ∈ Z[x] | f má racionální kořen }
I4 = { f + g | f, g ∈ I3 }
I5 = { f ∈ Z[x] | f(1) = f(2) }
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1
b
==
c
HH
a // 2
a
 b,c
// 3
a,c
((
b

4
c
hh
a,b

3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (G, ·)/H, kde
G =





1 a r
0 1 b
0 0 1

 a, b ∈ Z[
√
2], r ∈ Z[
4
√
2]



,
H =





1
√
2 · c d + 3 4
√
2
0 1 c + 2k
0 0 1

 c, d ∈ Z[
√
2], k, ∈ Z



.
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla
√
2 + 4
√
2 + 4
√
8 nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
α4 + 20α + 4
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli, víte-li, že číslo α splňuje
rovnost 2α2
= α4
+ 14α + 2.
6. (10 bodů) Dejte příklad okruhu R a jeho dvou podokruhů S a T různých od R
takových, že S a T jsou jediné podokruhy okruhu R, které jsou tělesy.
7. (10 bodů) Dejte příklad grupy G a jejích dvou podgrup H a K takových, že
H ∼= K, ale neexistuje izomorfismus ϕ: G → G splňující ϕ(H) = K.
8. (5 bodů) Definujte jednotky a nerozložitelné prvky oboru integrity.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení o rozkladu homomorfismu grup na tři homomorfismy
speciálního typu.
10. (10 bodů) Přímo z definice podgrupy dokažte, že levé třídy rozkladu grupy podle
podgrupy jsou po dvou disjunktní.