Algebra I – podzim 2023 – 1. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Na množině Zn × Zn uvažujme binární operace ⊕ a ∗ definované pro
a, b, c, d ∈ Zn předpisy
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d),
(a, b) ∗ (c, d) = (ad − ac + bc, ac + bd).
Pro hodnoty n = 3 a n = 5 rozhodněte, zda (Zn ×Zn, ⊕, ∗) je okruh/obor integrity.
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1
b,c
HH
a // 2
a
 b,c
// 3
a,c
((
b

4
c
hh
a,b

3. (15 bodů) Nalezněte součin známých grup, který je izomorfní faktorové grupě
(G, ·)/H, kde
G =





p a r
0 p b
0 0 p

 p ∈ {1, −1}, a, b ∈ Z, r ∈ Z[
√
2]



,
H =





1 a a
√
2 + c
0 1 2b
0 0 1

 a, b, c ∈ Z



.
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla 2 +
√
2 · i −
√
2 nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
α4 + 2α2 + 8
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli, víte-li, že číslo α splňuje
rovnost α3
(α + 2) = −4α − 10.
6. (10 bodů) Dejte příklad okruhu R a jeho nenulového ideálu I takového, že je
faktorový okruh R/I izomorfní okruhu (Q, +, ·).
7. (10 bodů) Dejte příklad grupy G a jejích podgrup H a K takových, že H K,
K H a průnik H ∩ K má právě dva prvky.
8. (5 bodů) Definujte jednotky a nerozložitelné prvky oboru integrity.
9. (5 bodů) Uveďte, jaké jsou vztahy mezi obory integrity a tělesy.
10. (10 bodů) Přímo z definice podgrupy dokažte, že levé třídy rozkladu grupy podle
podgrupy jsou po dvou disjunktní.