Algebra I – podzim 2023 – 2. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Uvažujme podmnožiny I1, I2, I3 okruhu Z[
√
10][x], přičemž podmnožina
Ij obsahuje právě ty polynomy nad Z[
√
10], jejichž konstantní koeficient náleží
do množiny Kj a lineární koeficient do množiny Lj, kde
K1 = { 10a + b
√
10 | a, b ∈ Z, [a]9 = [b]9 },
L1 = { 2c + d
√
10 | c, d ∈ Z, [c]3 = [−d]3 },
K2 = { 5a + b
√
10 | a, b ∈ Z, [a]3 = [−b]3 },
L2 = { 2c + d
√
10 | c, d ∈ Z },
K3 = L3 = { 5a + b
√
10 | a, b ∈ Z, [a]4 = [b]4 }.
Pro každou z podmnožin I1, I2, I3 rozhodněte, zda je ideálem okruhu Z[
√
10][x].
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1
b,c
HH
a // 2
a
 b,c
// 3
a,c
((
b

4
c
hh
a,b

3. (15 bodů) Nalezněte součin známých grup, který je izomorfní faktorové grupě
(G, ·)/H, kde
G =





1 a c
0 1 b
0 0 1

 a, b ∈ Z, c ∈ Z[i]



,
H =





1 2d 2d i + e
0 1 4d
0 0 1

 d, e ∈ Z



.
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla
√
3 + 1 · i −
√
3 + 1 nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
α3 + α2 − α
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli, víte-li, že číslo α splňuje
rovnost α4
+ 3α3
= 3 · (1 − α2
) · (α + 1).
6. (10 bodů) Dejte příklad okruhu, který není podokruhem žádného tělesa, a jeho
podokruhu, který je těleso.
7. (10 bodů) Dejte příklad grupy (G, ·), izomorfismu ϕ: G → G a podgrupy H ⊆ G
takových, že ϕ(H) ⊆ H, ale přitom ϕ(H) = H.
8. (5 bodů) Definujte okruh polynomů nad okruhem (R, +, ·).
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení popisující všechny ideály, prvoideály a maximální
ideály v okruhu polynomů nad tělesem.
10. (10 bodů) Dokažte, že každý pologrupový homomorfismus mezi dvěma grupami
je homomorfismem grupovým. Vycházejte přitom přímo z definic homomorfismů
a grupy.