Algebra I – podzim 2023 – 4. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Pro každou z následujících pěti podmínek rozhodněte, zda korektně
definuje podmnožinu I okruhu (Z100[x], +, ·), která tvoří
• ideál v (Z100[x], +, ·), • podgrupu v (Z100[x], +), • podpologrupu v (Z100[x], ·).
Přitom polynom
∞
i=0
[zi]100 · xi
, kde zi ∈ Z, patří do I právě tehdy, když
(a) z0 | z1 v (Z, +, ·),
(b) [z0]100 | [z1]100 v (Z100, +, ·),
(c) [z0]100 = [4k]100, [z1]100 = [6 ]100 pro nějaká k, ∈ Z,
(d) [z0]100 = [6k]100, [z1]100 = [4 ]100 pro nějaká k, ∈ Z,
(e) [z0]100 = [z1]100 = [10k]100 pro nějaké k ∈ Z.
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1
b
FF
a // 2
a
((
b
66 3
a
((
b

4
a
TT
b
hh
3. (15 bodů) Nalezněte součin známých grup, který je izomorfní faktorové grupě
(G, ·)/H, kde
G =





1 a r
0 1 b
0 0 1

 a, b ∈ Z[
√
2], r ∈ Z[
4
√
2]



,
H =





1
√
2 · c d
0 1 c + 2k
√
2
0 0 1

 c, d ∈ Z[
√
2], k ∈ Z



.
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla 2 3
√
4 + 3
√
2 nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
α4 + 20α + 4
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli, víte-li, že číslo α splňuje
rovnost 2α2
= α4
+ 14α + 2.
6. (10 bodů) Dejte příklad okruhu R, který má více než dva prvky, a homomorfismu
ϕ: R → R takového, že pro právě dva prvky r okruhu R platí ϕ(r) = r.
7. (10 bodů) Dejte příklad surjektivního homomorfismu ϕ: S → G, kde S je pologrupa,
která není monoid, a G je nekonečná grupa.
8. (5 bodů) Definujte okruh a jeho charakteristiku.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení popisující nerozložitelné polynomy nad C a nad R.
10. (10 bodů) Přímo z definic tělesa a oboru integrity dokažte, že konečná tělesa jsou
právě konečné obory integrity.