Algebra I – podzim 2023 – 5. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Pro každou z následujících tří podmínek rozhodněte, zda korektně definuje
podmnožinu I okruhu (Z[ 3
√
2], +, ·) a zda tato podmnožina je ideálem tohoto okruhu.
Přitom množina I obsahuje číslo a + b 3
√
2 + c 3
√
4 + d 3
√
16, kde a, b, c, d ∈ Z, právě tehdy,
když platí
(a) [a + b + c]3 = [d]3,
(b) [a + b + d]3 = [c]3,
(c) [a + c + d]3 = [b]3.
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1
a //
b
882
a,b
// 3
a,b
!!
4
a
aa bee
3. (15 bodů) Nalezněte součin známých grup, který je izomorfní faktorové grupě
(G, ·) × (Z, +) /H, kde
G =





p 0 0
f 1 0
h g p

 p ∈ {1, −1}, f, g ∈ Z[x], h ∈ Z[i][x]



,
H =







1 0 0
f 1 0
h g 1

 , f(1) + 2k

 ∈ G × Z k, h(2), h(3) ∈ Z, f(1) + g(1) je sudé



.
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla 4
√
2 + 4
√
4 + 4
√
8 nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
α5 − 2α4 + α3 + 3α + 1
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli, víte-li, že číslo α splňuje rovnost
α3
(2 − α) = 2α + 2.
6. (10 bodů) Dejte příklad konečného okruhu (R, +, ·) takového, že existuje právě 9
10
|R|
prvků r ∈ R takových, že pro nějaký prvek s ∈ R \ {0} platí r · s = 0.
7. (10 bodů) Dejte příklad grupy (G, ·), která má více než jeden izomorfismus na sebe,
a jejích dvou prvků g a h takových, že pro každý izomorfismus ϕ: (G, ·) → (G, ·) platí
ϕ(g) = g a ϕ(h) = h.
8. (5 bodů) Definujte podílové těleso oboru integrity.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení o existenci ideálu generovaného danou podmnožinou
okruhu, včetně explicitního popisu prvků tohoto ideálu.
10. (10 bodů) Přímo z definice podgrupy dokažte, že levé třídy rozkladu grupy podle
podgrupy jsou po dvou disjunktní.