Doc. RNDr. Jiří Zháněl, Dr.
PRŮVODCE
STATISTICKÝM ZPRACOVÁNÍM
KVANTITATIVNÍCH DAT
Přednášky nk+np 2019
https://is.muni.cz/auth/el/1451/jaro2017/nk
2019/um/
DOPORUČENÁ LITERATURA
Anděl, J. (1993). Statistické metody. Praha:
Matfyzpress.
Cyhelský, L., Kahounová, J. & Hindls, R. (1996).
Elementární statistická analýza. Praha:
Management Press.
Gajda,V. & Zvolská, J. (1982). Úvod do
statistických metod. PF Ostrava. Skriptum.
Gibilisco, S. (2009). Statistika bez předchozích
znalostí. Brno: Computer Press.
DOPORUČENÁ LITERATURA
Hendl, J. (2012). Přehled statistických metod
zpracování dat. Analýza a metaanalýza dat.
Praha: Portál.
Kovář, R. & Blahuš, P. (1989). Aplikace vybraných
statistických metod v antropomotorice. Praha:
SPN. Skriptum.
Meloun M. & Militký, J. (1994). Statistické
zpracování experimentálních dat. Praha: Plus.
DOPORUČENÁ LITERATURA
Meloun M. & Militký, J. (1996). Statistické
zpracování experimentálních dat. Sbírka úloh.
Pardubice: Univerzita Pardubice.
Seger, J. & Hindls, R. (1993). Statistické metody v
ekonomii. Praha: H & H.
Seger, J. & Hindls, R. (1995). Statistické metody v
tržním hospodářství. Praha: Victoria Publishing.
A mnoho dalších …
PROGRAM PŘEDNÁŠEK
1.ÚVOD
1.1 Historie statistiky, pojem a struktura statistiky,
základní statistické pojmy
1.2 Teorie měření, měřící stupnice (škály),
metodologické problémy měření
PROGRAM PŘEDNÁŠEK
2. DESKRIPTIVNÍ (POPISNÁ) STATISTIKA
2.1 Statistické třídění dat, zpracování a grafické
znázornění
2.1.1 Jednorozměrné rozdělení četností
2.1.2 Jednorozměrné intervalové rozdělení četností
2.1.3 Grafické znázornění rozdělení četností
2.2 Míry polohy
2.3 Míry variability
2.3.1 Kvantilové míry variability
2.3.2 Momentové míry variability
PROGRAM PŘEDNÁŠEK
2.4 Standardní skóre
2.5 Míry závislosti
2.5.1 Závislost pevná, volná, statistická a korelační
2.5.2 Lineární korelace a lineární regrese
2.5.3 Součinová a pořadová korelace
3. ANALYTICKÁ STATISTIKA
3.1 Testování statistických hypotéz
11.1 HISTORIE STATISTIKY
Nejstarší písemné památky statistické povahy
pocházejí ze Sumeru (nejstarší stát světa 3000 –
2000 př. n. l., Perský záliv).
Hliněné destičky obsahují záznamy o časových
intervalech, počtech osob, domácího zvířectva,
úrodě atd.
1.1 HISTORIE STATISTIKY
Pojem statistika pochází z latinského slova status
(tj. postavení, stav), …
Počátky statistických postupů využívány již ve
středověku ke zjišťování počtu obyvatelstva, velikosti
majetku, území, obchodu, armády…
Statistika jako součást přednášek na středověkých
univerzitách => UNIVERZITNÍ STATISTIKA.
1.1 HISTORIE STATISTIKY
V 17. století se Angličané John Graunt a William
Petty zabývali zkoumání různých hromadných
společenských jevů za pomocí číselných
charakteristik skupin obyvatelstva např. počty
narozených a zemřelých osob, počtem obyvatel a
složením rodin.
Postupy byly nazvány
POLITICKÁ ARITMETIKA
(využitelné politicky,
používány aritmetické
postupy).
C. F. Gauss
17. století: rozvoj TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI
• ve Francii B. Pascal, P. de Fermat, de Moivre,
de Laplace, Poisson;
• v Holandsku Ch. Huygens;
• ve Švýcarsku J. Bernoulli, Euler;
• v Německu
• v Rusku Čebyšev, Markov, Ljapunov.
1.1 HISTORIE STATISTIKY
Postupná integrace
UNIVERZITNÍ STATISTIKY, POLITICKÉ ARITMETIKY a
TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI
docházelo v 19. století k utváření
MODERNÍ STATISTIKY.
V 19. století vznik vědecké teorie statistiky, a její
aplikace do statistické praxe, do výzkumu o příčinných
vztazích mezi hromadnými jevy (belgický matematik
L. A. J. Quételet).
V pozdějších letech dochází k pronikání statistiky do
přírodních a technických věd (Angličan Galton, Pearson
a Fisher).
HISTORIE STATISTIKY V ČECHÁCH
(Český statistický úřad, www.czso.cz)
Nejstarší dochovaný zápis:
„Soupis majetku litoměřického kostela z roku 1058“
(součást zakládací listiny kapituly sv. Štěpána v
Litoměřicích.
VÝZNAMNÁ DATA
6. března 1897 … zřízen Zemský
statistický úřad Království českého,
(první statistický úřad na území dnešní
České republiky).
Rok 1909 … vyšla první „Statistická příručka království
Českého“ (další v roce 1913).
13. října 1753 … vydán patent
císařovny Marie Terezie (1717 – 1780)
o každoročním sčítání lidu,
HISTORIE STATISTIKY V ČECHÁCH
VÝZNAMNÁ DATA
1918 (vznik samostatného Československa) … zákon č.
49 o organizaci statistické služby (1919).
1919 … založen Státní úřad statistický (SÚS) jako orgán
pověřený celostátními statistickými šetřeními (např.
sčítání lidu).
1.1.1993 (vznik ČR) převzal všechny kompetence
Český statistický úřad (ČSÚ).
HISTORIE STATISTIKY V ČECHÁCH
Nejžádanější informace: inflace, makroekonomické údaje,
obyvatelstvo, regiony, města, obce, ročenky, sčítání lidu,
volební výsledky, základní údaje o ČR.
Český statistický úřad (ČSÚ)
1.1.2 POJEM A STRUKTURA STATISTIKY
STATISTIKA OBECNĚ
Obor zabývající se zpracováním, rozborem a
zveřejňováním informací, které
kvantitativně charakterizují zákonitosti
společenského života (Encyklopedický
slovník, 1982).
1.1.2 POJEM A STRUKTURA STATISTIKY
MATEMATICKÁ STATISTIKA
• matematický obor zabývající se
zpracováním dat a rozborem statistických
charakteristik popisovaného statistického
souboru (Encyklopedický slovník, 1982),
• věda o formálních metodách vyhodnocení
dat, které umožňují zpracovat, popsat a
analyzovat shromážděná data (Fleischer,
1988).
Náhodný jev (definice):
Je-li dána množina Ω (všech výsledků náhodného
pokusu, tj. pokusu, jehož výsledek není jednoznačně
určen podmínkami, za kterých je prováděn), pak
náhodným jevem (v Ω) nazýváme každou podmnožinu
množiny Ω.
Jev Ω nazýváme jistý, jev Ø nemožný. Jednotlivé
výsledky ω patří do Ω se nazývají elementární jevy.
Předmět „Základy statistiky“ = opravdu jen ZÁKLADY!
Např. Pravděpodobnost a statistika (Friesl, 2004).
(MATEMATICKÁ) STATISTIKA
DESKRIPTIVNÍ
(popisná)
ANALYTICKÁ
(inferentní, induktivní,
srovnávací)
DESKRIPTIVNÍ STATISTIKA se zabývá zpracováním
a popisem dat.
Poskytuje metody umožňující přehledné a názorné
zpracování dat, např.:
 tabulky,
 grafické znázornění rozložení četností,
 výpočet statistických charakteristik (např.
aritmetický průměr nebo korelační koeficient).
ANALYTICKÁ (INFERENTNÍ) STATISTIKA
… vychází z výsledků Deskriptivní statistiky
(zpracování dat), umožňuje nám data analyzovat tzn.
vyhodnotit, např. stanovit, zda …
Např. střední hodnoty dvou tréninkových skupin A, B
sportovců (nebo dvou skupin pacientů) vykazují nějaký
významný rozdíl, který může být vysvětlován použitou
tréninkovou metodou (nebo léčebným účinkem
medikamentace u pacientů).
SYMBOLICKÉ ZNÁZORNĚNÍ FUNKCE STATISTIKY
STATISTIKA = ZPRACOVÁNÍ + POPIS + ANALÝZA DAT
1.1.3 ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ POJMY
STATISTICKÝ SOUBOR
je souhrn (množina) statistických jednotek stejného
druhu
Rozlišujeme pojmy základní soubor a výběrový soubor.
Rozsah základního souboru N, výběrového souboru n.
Základní soubor (N) je soubor všech statistických
jednotek, které teoreticky mohou být předmětem
sledování.
… např. všichni studenti oboru TV a sport = v ČR,
Evropě, na světě, …
ZÁKLADNÍ SOUBOR (ZS)
ZS má zpravidla značný rozsah, zjištění zkoumaných
vlastností všech prvků je buďto nemožné nebo je příliš
časově a ekonomicky náročné.
Výzkumné šetření (zjištění) se proto provádí u
vybraných jednotek ze základního souboru = výběrový
soubor (n).
Výběrový soubor je náhodnou
podmnožinou prvků základního
souboru a reprezentuje jej.
Na základě poznání vlastností výběrového souboru se
usuzuje – při splnění určitých podmínek - na
vlastnosti základního souboru.
VÝBĚROVÝ SOUBOR získáváme tzv. NÁHODNÝM
VÝBĚREM,
kdy každý prvek základního souboru má stejnou
možnost být vybrán.
O vybrání či nevybrání rozhoduje tedy pouze
náhoda.
STATISTICKÉ JEDNOTKY
jsou prvky statistického souboru, které mají alespoň
jednu společnou vlastnost (znak)
Statistickými jednotkami mohou být např. osoby, věci,
události, jejichž vlastnosti nás zajímají (student).
Zjišťujeme-li u každé statistické jednotky pouze jeden
statistický znak (např. tělesnou výšku), hovoříme o
jednorozměrném statistickém souboru.
Zjišťujeme-li dva nebo více znaků, hovoříme o
dvourozměrném (výška a hmotnost), resp. o
vícerozměrném statistickém souboru (3 a více znaků).
STATICKÝ ZNAK
je společná vlastnost jednotek statistického souboru
Statistické znaky vyjadřují vlastnosti statistických
jednotek.
Dělení statistických znaků:
1. KVALITATIVNÍ vyjádřeny slovně:
 alternativní (binární)
nabývá-li znak pouze dvou
variant např. muž-žena)
 množné (nabývá-li znak
více než dvou variant např.
držitel zlaté, stříbrné či
bronzové medaile).
Např. plavec či neplavec;
trenér I., II. či II. třídy),
2. KVANTITATIVNÍ (vyjádřeny číselně, např. věk 37 let,
tělesná výška 183 cm), které dále dělíme na …
 spojité neboli kontinuální (nabývají libovolných
reálných číselných hodnot např. výsledek v běhu na
100 m, ve skoku vysokém, atd.),
Dělení statistických znaků:
2. KVANTITATIVNÍ (vyjádřeny číselně),
 nespojité neboli diskrétní (nabývají pouze některých
číselných hodnot, nejčastěji z oboru celých
nezáporných čísel.
např. počet úspěšných hodů na koš, leh-sedy, …).
Dělení statistických znaků:
1.2 TEORIE MĚŘENÍ, MĚŘÍCÍ STUPNICE (ŠKÁLY)
1.2.1 ZÁKLADNÍ POJMY TEORIE MĚŘENÍ
Měření … v průběhu historického vývoje lidské
společnosti běžná každodenní procedura (užití hodinek,
tachometru automobilu, atd.).
Historické počátky měření … porovnávání objektů s
počtem prstů, délkou palce, délkou chodidla, lokte,
paže tj. primitivní měřící způsoby.
Rozvoj vědy a techniky složitých měřících přístrojích.
1.2 TEORIE MĚŘENÍ, MĚŘÍCÍ STUPNICE (ŠKÁLY)
1.2.1 ZÁKLADNÍ POJMY TEORIE MĚŘENÍ
a) Měřitelnost fyzikálních vlastností
(délka, čas, hmotnost),
Problematiku kvantifikace (měření) řeší obor nazývaný
TEORIE MĚŘENÍ.
b) Měřitelnost psychických vlastností (inteligence,
strach, postoje).
REPREZENTAČNÍ TEORIE MĚŘENÍ (Campbell):
… měření jako „přiřazování číslic k reprezentaci
vlastností“.
… později doplněna (Stevens) o formulaci „…za měření
lze považovat každé přiřazování číslic k objektům nebo
událostem … podle pravidel.
Klasická koncepce měření rozlišuje
(1) fundamentální měření
(2) odvozené měření
Někteří autoři zmiňují ještě
(3) měření asociativní (Berka, 1977) resp. asociační
(Blahuš, 1996), označované rovněž jako měření per fiat,
per Definition, by fiat či měření na základě konvence.
(1) FUNDAMENTÁLNÍ MĚŘENÍ
„se vztahuje na bezprostřední
měření veličin“ a je to „každé
měření, které nezahrnuje žádná
předcházející měření“.
Příklad: měření tělesné výšky
(2) ODVOZENÉ MĚŘENÍ
„předpokládá jiná, dříve provedená
měření, z nichž je odvozeno na
základě vztahů“; a tedy „závisí na
předcházejících měřeních“.
Příklad: měření objemu kvádru
(3) ASOCIATIVNÍ MĚŘENÍ (ASOCIAČNÍ)
je takové měření, kdy „je přímo měřená veličina
asociována s nepřímo měřitelnou veličinou“.
Příklad 1: při měření teploty vycházíme ze závislosti
změny objemu kapaliny na teplotě.
Kapalinový teploměr: využívá
teplotní roztažnosti kapaliny
(rtuť, líh apod.).
Bimetalový teploměr – využívá
pásek složený ze dvou kovů s
různými teplotními součiniteli
délkové roztažnosti.
Typickým příkladem asociativního měření je
TESTOVÁNÍ MOTORICKÝCH SCHOPNOSTÍ.
ASOCIATIVNÍ MĚŘENÍ je časté v oblasti sociálních
věd – jedná se o předpokládaný (hypotetický) vztah
mezi
(1)pozorovanými vlastnostmi, které nejsou měřitelné
(např. vytrvalost sportovce) a
(2) měřitelnými veličinami (počet uběhnutých metrů
při Cooperově testu).
Příklad 2: testování vytrvalostních schopností (např.
Cooper test). Průběh … vytrvalost x vzdálenost?
1.2.2 MĚŘÍCÍ STUPNICE (ŠKÁLY)
Empirická
proměnná
Tělesná výška
Numerická
proměnná
cm
Numerická
proměnná
Testové skóre
Empirická
proměnná
Kondice
Rozdíl ve
způsobu měření
a přiřazení!
2
Rozdíl v měření
Teorii škál = relativně samostatná část teorie měření.
Pojem škála resp. měřítko nebo stupnice.
ZÁKLADNÍ DRUHY ŠKÁL (STUPNIC)
1. NOMINÁLNÍ škála
(jmenná, klasifikační)
2. ORDINÁLNÍ škála
(pořadová)
3. METRICKÉ škály
NEMETRICKÉ
METRICKÉ
INTERVALOVÁ
POMĚROVÁ
1. NOMINÁLNÍ ŠKÁLA
(jmenná, klasifikační)
… je škála založena na jakémkoliv přiřazování
číslic ve smyslu pouhého pojmenování.
Jde vlastně o pojmenování osob či skupin čísly, o
uspořádání do tříd, které se navzájem vylučují.
Např. pohlaví (M, Ž), kuřák, nekuřák, národnost, čísla
hráčů, atd.
1. NOMINÁLNÍ ŠKÁLA
Třídění na znaky:
1. alternativní (binární, dichotomické) = 2 možnosti
(plavec, neplavec; kuřák, nekuřák; muž, žena)
2. množné (polytomické) = více než 2 možností
Základní empirickou operací je „určení rovnosti“.
Možné relace =, ,
Zpracování znaků = neparametrické statistické
metody
2. ORDINÁLNÍ ŠKÁLA (pořadová)
Stupnice umožňuje uspořádání objektů do pořadí,
je možno určit vztah větší či menší, těžší či lehčí, atd.
Nejsou známy odstupy (intervaly) mezi znaky (čísly) !!!
Př. školní známky, stupnice tvrdosti, pořadí v cíli.
Základní empirické operace (2):
„určením rovnosti“ a „určením vztahu více nebo méně“.
Relace =, , >, <,
Zpracování znaků=neparametrické statistické metody.
… předpokládá přirozené uspořádání objektů
vzhledem k nějaké vlastnosti.
3. METRICKÉ ŠKÁLY (INTERVALOVÁ A POMĚROVÁ )
3. 1 INTERVALOVÁ ŠKÁLA
… vyžaduje stanovení měrové jednotky a počátku, jsou
přípustné všechny aritmetické operace.
Nová vlastnost: je zavedena jednotka měření, tzn. jsou
známy odstupy (intervaly) mezi hodnotami (čísly).
Nula je zvolená !!! => stanovení počátku dohodou.
Např. letopočet, teplota ○C, …
3. METRICKÉ ŠKÁLY (INTERVALOVÁ A POMĚROVÁ )
3. 2 POMĚROVÁ ŠKÁLA
… z formálního hlediska vlastně intervalová škála
s přirozeným počátkem, jsou přípustné všechny
aritmetické operace.
Nula je absolutní … (nepřítomnost jevu).
Např. čas, věk, výška, hmotnost, teplotní
stupnice dle Kelvina (v podstatě všechny
fyzikální jednotky).
Statistické metody:
parametrické i neparametrické.
NEMETRICKÉ ŠKÁLY METRICKÉ ŠKÁLYTYP ŠKÁLY
NOMINÁLNÍ ORDINÁLNÍ INTERVALOVÁ POMĚROVÁ
Příklady Číselné označení
barev,
psychologického
typu, pohlaví, atd.
Školní známky,
stupnice tvrdosti,
služební pořadí,
Richterova stupnice
Teplota ve°C,
Fahrenheita, letopočet,
inteligenční kvocient
Teplota °Kelvina, věk,
váha, výška, velikost
úhlu, čas
Operace = ,  = , , >, < Navíc: intervaly, nula
zvolená
Navíc: nula absolutní
Statistické
charakteris.
Modus, absolutní a
relativní četnosti
Navíc: medián,
kvantily a
kvantilové
odchylky,
procentily
Navíc: arit. Průměr,
směrodat.odchylka,
šikmost, špičatost
Navíc: koeficient
variability, geometr.
průměr
Testy
Významnosti
 2
- test, McNemar
test, Cochran test,...
Znaménkový test,
Mann-Whitney Utest,
Friedmanova
pořadová analýza
variance, aj.
Parametrické metody:
F-test
t-test (pro závislé či
nezávislé soubory)
Parametrické metody:
F-test
t-test (pro závislé či
nezávislé soubory)
Míry závislosti Kontingenční a
čtyřpolní koeficient
Navíc: pořadová
korelace
Navíc: Pearsonova
součinová korelace
Navíc: Pearsonova
součinová korelace
Statistické
metody
Některé
neparametrické
metody
Všechny
neparametrické
metody
Všechny neparametrické a
parametrické metody
Všechny
neparametrické a
parametrické metody
Přehled typů škál (upraveno, Bruhn, 1986; Roth, 1995)
χ2 - test
Jsou rodinný stav nevěsty a ženicha závislé znaky?
McNemarův test
Ovlivňuje požití alkoholu správné projetí trati?
Znaménkový test
Je zvýšení tlaku stejně pravděpodobné jako jeho pokles?
Friedmanův test
Vliv preparátů na srážlivost krve
Inteligenční kvocient (IQ) je index inteligence, který má normální
rozložení s průměrem 100 a standardní odchylkou 15.
POSTUP PŘI URČENÍ TYPU ŠKÁLY: A. výška (cm)
3. Lze stanovit pořadí?
1. Je známa jednotka měření?
2. Je počátek zvolený nebo absolutní?
4. Jedná se jen o pojmenování znaků čísly? Nemá smysl zjišťovat
Nemá smysl zjišťovat
ANO
absolutní
Znaky ?
- Kvantitativní
- Výška = spojitý
Škály metrické
POMĚROVÁ
POSTUP PŘI URČENÍ TYPU ŠKÁLY: B. dějepis (známka)
3. Lze stanovit pořadí?
1. Je známa jednotka měření?
2. Je počátek zvolený nebo absolutní?
4. Jedná se jen o pojmenování znaků čísly? Nemá smysl zjišťovat
ANO
NE
Nemá smysl zjišťovat
Znak?
- Kvantitativní
- Dějepis = spojitý
=> Nemohou být metrické
=> ORDINÁLNÍ
Pozn. Známky jsou spojitými znaky, i když
jsou měřeny pouze na ordinální škále.
ŠKÁLA ZNAKZnak
Nominální
(a)
Ordinální
(b)
Intervalová
(c)
Poměrová
(d)
Spojitý
(e)
Diskrétní
(f)
1. Pohlaví
2. Věk
3. Počet
sourozenců
4. Známka
z matematiky
5. Inteligenční
kvocient
6. Hodnocení v
krasobruslení
7. Výkon ve
skoku dalekém
Klasifikujte znaky obsažené v tabulce – správnou odpověď
označte křížkem (X)
Pozn. Známky jsou spojitými znaky, i když jsou měřeny pouze na
ordinální škále.
Řešení: 1. a, f; 2. d, e; 3. d, f; 4. b, e; 5. c, e; 6. d, e; 7. d, e.
Pozn. Známky jsou spojitými znaky, i když jsou měřeny pouze
na ordinální škále.
ŠKÁLA ZNAKZnak
Nominální
(a)
Ordinální
(b)
Intervalová
(c)
Poměrová
(d)
Spojitý
(e)
Diskrétní
(f)
1. Pohlaví
2. Věk
3. Počet
sourozenců
4. Známka
z matematiky
5. Inteligenční
kvocient
6. Hodnocení v
krasobruslení
7. Výkon ve
skoku dalekém
1. URČENÍ TYPU ŠKÁLY (nominální, ordinální, metrické)
a) nominální + ordinální  neparametrické stat. metody
b) metrické  parametrické statistické metody
2. ROZLOŽENÍ ČETNOSTÍ ZNAKŮ (NORMÁLNÍ ČI JINÉ)
a) normální  parametrické statistické metody
b) jiné  neparametrické statistické metody
3. VÝPOČET ZÁKLADNÍCH STATISTICKÝCH CHARAKTERISTIK
a) míry centrální tendence
b) míry variability
c) míry závislosti
METODY DESKRIPTIVNÍ STATISTIKY
Chceme-li získat podrobnější informace, je třeba
údaje uspořádat - tato činnost se nazývá statistické
zpracování (třídění) dat. Nejjednodušším způsobem
statistického zpracování dat je tzv. tabulka rozdělení
(rozložení) četností.
2. DESKRIPTIVNÍ STATISTIKA
2.1 STATISTICKÉ TŘÍDĚNÍ DAT
Výsledkem měření, testování (statistického šetření)
jsou neuspořádané, neroztříděné a nepřehledné
statistické údaje
Dynamometr: 31; 28; 27; 23; 18; 22; 36; 25; 19; 26
(2) spojité statistické znaky s malým počtem výskytu
(např. pro statistické soubory s malým rozsahem).
2.1.1 JEDNOROZMĚRNÉ ROZDĚLENÍ ČETNOSTÍ
Je-li JEDNA VLASTNOST statistického souboru
charakterizovaná JEDNÍM STATISTICKÝM ZNAKEM,
hovoříme o jednorozměrném statistickém souboru
(o jednorozměrném rozdělení resp. rozložení četností).
Konstrukce tabulky - postup vhodný pro:
(1) nespojité kvantitativní statistické znaky
(např. počet dětí v rodině, úspěšné koše),
PŘÍKLAD 1. Při dvakrát opakovaném testování
střelby na koš byly u deseti osob (n=10) zjištěny
výsledky uvedené v tabulce (zaznamenán počet
úspěchů z deseti pokusů při 1. resp. 2. testování).
Tabulka (hrubé skóre)
Hráč A B C D E F G H J K
xi 7 6 7 8 9 8 8 8 9 10
yi 4 8 6 8 7 8 7 4 8 10
Posouzení znaků xi:
 … tabulka jednorozměrného rozdělení četností.
Pro znaky x i sestavte (frekvenční) tabulku rozdělení četností.
kvantitativní, nespojité, poměrová  …
Frekvenční tabulka jednorozměrného rozdělení četností.
Xi Čárkovací
metoda
ni fi Kumulativní
četnost
Ni Fi
6  1 0.1 1 0.1
7   2 0.2 3 0.3
8     4 0.4 7 0.7
9   2 0.2 9 0.9
10  1 0.1 10 1.0
 10 1.0 - -
Vysvětlivky:
n...rozsah souboru xi...hodnota znaku
ni...absolutní četnost fi...relativní četnost (fi = ni /n)
Ni ... absolutní kumulativní četnost
Fi ... relativní kumulativní četnost
Absolutní četnost – vyjadřuje absolutní výskyt jednotlivých
znaků, relativní četnost – vyjádření v procentech.
Kumulativní relativní četnost – vyjadřuje v % (po
vynásobená stem) jaké procento rozsahu souboru má
odpovídající variantu a menší hodnotu dané proměnné.
F i = 0,7 => 70 % hráčů dosáhlo výsledku 8 úspěšných
pokusů a méně.
Xi Čárkovací
metoda
ni fi Kumulativní
četnost
Ni Fi
6  1 0.1 1 0.1
7   2 0.2 3 0.3
8     4 0.4 7 0.7
9   2 0.2 9 0.9
10  1 0.1 10 1.0
 10 1.0 - -
(2) nespojité statistické znaky s velkým počtem výskytů.
2. 1. 2 JEDNOROZMĚRNÉ INTERVALOVÉ (SKUPINOVÉ)
ROZDĚLENÍ ČETNOSTÍ
Konstrukce tabulky jednorozměrného intervalového rozdělení
četností je postup vhodný pro:
(1) spojité kvantitativní
statistické znaky
(např. výsledky měření běhu na
100 m, tělesné výšky, skoku
dalekého),
Je-li n < 30 doporučuje se vytvořit ne více než 6 intervalů.
Je-li 30 < n < 100 doporučuje se vytvořit 7 až 10 intervalů.
DOPORUČENÁ PRAVIDLA
pro konstrukci tabulky jednorozměrného intervalového rozložení četností
URČENÍ ŠÍŘKY A POČTU INTERVALŮ
Variační rozpětí (R) R = x max – x min
Šířka intervalu (h) h = 0,08 x R h = (x max – x min)/k
Počet intervalů (k) k = n
k  5. log n
k  1 + 3.3 log n
(Sturgesovo pravidlo)
Intervaly musí být vytvořeny tak,
aby jeden statistický znak
nemohl být současně zařazen
do dvou různých intervalů!!!
Intervaly na sebe musejí navazovat!!!
POZOR !
POZOR !
PŘÍKLAD 2. Pro znaky yi sestavte tabulku
skupinového (intervalového) rozdělení četností.
Variační rozpětí (R) R = x max – x min R = 10 - 4 = 6
Šířka intervalu (h) h = 0,08 x R h = 0.08 x 6 = 0,48  1 (pokus)
Hráč A B C D E F G H J K
xi 7 6 7 8 9 8 8 8 9 10
yi 4 8 6 8 7 8 7 4 8 10
Pomocné výpočty pro určení
šířky (h) a počtu intervalů (k)
PŘÍKLAD 2. Pro znaky yi sestavte tabulku
skupinového (intervalového) rozdělení četností.
 Doporučená šířka intervalu: 1
 Doporučený počet intervalů: 3 až 5
Pomocné výpočty pro určení
šířky (h) a počtu intervalů (k)
Počet intervalů (k)
k = n k  5. log n k  1 + 3.3 log n
k = 3.16 k  5 k  4.3 (log 10 = 1)
Třída Interval Střed ni fi Ni Fi
1 4 – 5 4,5 2 0,2 2 0,2
2 6 – 7 6,5 3 0,3 5 0,5
3 8 – 9 8,5 4 0,4 9 0,9
4 10 – 10,5 1 0,1 10 1,0
 - - 10 1,0 - Tabulka
skupinového (intervalového)
rozdělení četností (znak yi).
2. 1. 3 GRAFICKÉ ZNÁZORNĚNÍ ROZDĚLENÍ ČETNOSTÍ
1) HISTOGRAM ČETNOSTÍ
(sloupkový diagram, sloupcový graf)
Histogram … jedna z
nejčastěji užívaných
forem grafického
znázornění rozdělení
četností.
Grafické znázornění = přehlednější a názornější forma
znázornění rozdělení četností.
Histogram je tvořen sloupci
… jejich šířka odpovídá šířce třídního intervalu,
… jejich výška odpovídá absolutní četnosti
sledovaného statistického znaku.
2) (FREKVENČNÍ) POLYGON
Forma grafického znázornění rozdělení četností, kdy
místo sloupců použijeme ke znázornění rozdělení
četností lomenou čáru.
Tato lomená čára je spojnice bodů vytvořených v
průsečících středů intervalů a příslušných četností.
Frekvenční polygon inteligence citově deprivovaných dětí
0
5
10
15
20
25
30
35
66-70
71-75
76-80
81-85
86-90
91-95
96-100
101-105
106-110
111-115
116-120
IQ
f
2) (FREKVENČNÍ) POLYGON
3) (GALTONOVA) OGIVA
Pojem ogival je v architektuře používán pro lomený
oblouk, ve statistice tento pojem charakterizuje
esovitě lomenou křivku znázorňující kumulativní
četnosti (absolutní nebo relativní).
4) VÝSEČOVÝ (SEKTOROVÝ) GRAF
Jedná se o kruhový graf, vyjadřující relativní
četnosti jako charakteristiku struktury daného
souboru (nejčastěji v %).
62%
31%
7%
4) VÝSEČOVÝ (SEKTOROVÝ) GRAF
5) PIKTOGRAM
Piktogram = grafický znak znázorňující pojem nebo
sdělení obrazově (např. dopravní značky), též
piktograf. Vyjadřuje absolutní četnosti bez nároků na
přesnost, má spíše informativní charakter a používá
obrazových symbolů (např. lokomotiva, váček s
penězi, postava vojáka).
Spotřeba energie v městě X v letech
1960 1970 1980 1990 2000
10 MW 22 MW 28 MW 43 MW 52 MW
Třídy Četnost Kumul. %
5 2 20,00%
7 3 50,00%
9 4 90,00%
Další 1 100,00%
Pro znaky yi sestavte tabulku skupinového (intervalového)
rozdělení četností.
Histogram
0
1
2
3
4
5
5 7 9 Další
Třídy
Četnost
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
Četnost
Kumul. %
Histogram četností
20%
30%
40%
10%
5
7
9
Další
Výsečový (sektorový) graf
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ
CHARAKTERISTIKY
DATA
NOMINÁLNÍ, ORDINÁLNÍ,
METRICKÁ
MÍRY VARIABILITY
DATA
NOMINÁLNÍ ORDINÁLNÍ METRICKÁ
MÍRY POLOHY
MODUS MEDIÁN ARITMETICKÝ
PRŮMĚR
Entropie
(uspořádanost)
Kvartilové rozpětí
Kvartilová odchylka
Rozptyl
Standardní odchylka
Variační koeficient
3
2. 2 MÍRY POLOHY
Míry polohy (neboli míry centrální tendence)
…charakterizují úroveň statistického souboru z hlediska
polohy jeho střední hodnoty,
…zevšeobecňují, zastupují, reprezentují jednotlivé hodnoty
sledovaného statistického znaku,
…umožňují srovnání polohy dvou či více rozdělení četností,
srovnání střední úrovně dvou či více souborů.
Dynamometrie: 18; 19; 22; 23; 25; 26; 27; 28; 31; 36
NEJČASTĚJI POUŽÍVANÉ MÍRY POLOHY
1. NOMINÁLNÍ STUPNICE (DATA)
MODUS (Mo) … označuje nejčastěji se vyskytující hodnotu
statistického souboru (hodnota s největší četností).
Modus … je nejsnáze zjistitelná míra polohy.
Soubor může mít jeden či více modů (soubor bimodální,
soubor trimodální).
Modus je použitelný pro nominální stupnice (a všechny
vyšší).
Rozdělení bimodální
0
50
100
150
200
250
0 5 10 15 20 25
hodnota znaku
četnost
MEDIÁN (Me) … označuje prostřední člen variační řady (dělí
výsledky seřazené podle velikosti na polovinu).
2. ORDINÁLNÍ STUPNICE (DATA)
Medián … není citlivý na velikost extrémních (krajních) hodnot.
Medián … je použitelný pro ordinální stupnici (a vyšší).
Ukázka výpočtu pro sudý a lichý počet dat:
xi : 6 7 7 8 8 8 8 9 9 10 (sudý počet)
xi : 6 7 7 8 8 8 8 9 9 10 10 (lichý počet) Mo = ? Me = ?
Mo = 8 Me = 8
18; 19; 22; 23; 25; 26; 27; 28; 31; 36
3. METRICKÉ STUPNICE (DATA)
ARITMETICKÝ PRŮMĚR … nejpoužívanější míra polohy.
… je použitelný (pouze!) pro metrické škály (stupnice).
… je to součet všech hodnot statistického souboru dělený
rozsahem souboru (n).
a) aritmetický průměr prostý (jednoduchý)




n
i
i
n
x
nn
xxx
x
1
21 1...
X - statistický znak n - rozsah souboru
X i - hodnota statistického znaku - pozorování
x
b) vážený aritmetický průměr
užívá se u početnějších souborů, výpočet vychází z
rozdělení četností,
vážený se nazývá proto, že jednotlivým hodnotám
znaku je přisuzována váha odpovídající počtu výskytů.







 m
i
i
i
m
i
i
m
mm
w
wx
www
wxwxwx
x
1
1
21
2211
...
...
Wi … váha (počet výskytů)
n … rozsah souboru (počet hodnot).


m
i
iwn
1
b) aritmetický průměr vážený - příklad
Přijímací řízení FTK 1991 – 1993
Výsledky testu běh na 100m
1991 (n = 350) AP = 13,0
1992 (n = 230) AP = 12,5
1993 (n = 120) AP = 12,0







 m
i
i
i
m
i
i
m
mm
w
wx
www
wxwxwx
x
1
1
21
2211
...
...
Jaký je průměrný výkon
v běhu na 100 m v letech
1991 – 1993?
13,0 x 350 + 12,5 x 230 + 12,0 x 120
AP = = 12, 66
350 + 230 + 120
??? 13,0 + 12,5 + 12,0 =
37,5/3 = 12,5 ???
Poznámky
• v tzv. Gaussově normálním rozložení (rozdělení)
četností (symetrickém) jsou hodnoty aritmetického
průměru, modu a mediánu stejně velké.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0 1,0 2,0 3,0 4,0 z - body
směrodatné odchylky
počet případů pod
Gaussovou křivkou
[%]
34,13%
13,59%
34,13%
13,59%
2,14%
2,14%
0,13%0,13%
• čím více se od sebe tyto hodnoty liší, tím více je
rozdělení četností asymetrické (hovoříme o porušené
normalitě rozložení četností).
PŘÍKLAD 3
Výpočet: modus, medián, aritmetický průměr.
Hráč A B C D E F G H J K
xi 7 6 7 8 9 8 8 8 9 10
yi 4 8 6 8 7 8 7 4 8 10
Variační řada znaku xi: 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10
Mo = ? Me = ? AP = ? Vážený AP = ?
Mo = 8 Me = 8 AP = 8 Vážený AP = 8
SAMI: Variační řada znaku yi: 4, 8, 6, 8, 7, 8, 7, 4, 8, 10
Mo = ? Me = ? AP = ? Vážený AP = ?
Mo = 8 Me = 7,5 AP = 7 Vážený AP = 7
Pomocí Excelu – Statistické funkce
Výpočet: modus, medián, aritmetický průměr.
MODE
MEDIAN
PRŮMĚR
2. 3 MÍRY VARIABILITY
Popis statistického souboru pomocí měr polohy (tedy
určení středních hodnot) není dostačující - viz příklad!
Př. 1: 4, 5, 6  15/3=5 (AP 1) Př. 2: 1, 5, 9  15/3=5 (AP 2)
1 10 1 10
MÍRY VARIABILITY
• charakterizují vyrovnanost jednotek souboru,
• ukazují, jak jsou hodnoty souboru rozptýleny, tedy
jak se jednotlivé hodnoty znaku vzájemně liší.
• umožňují posoudit, do jaké míry je sledovaný soubor
homogenní (stejnorodý) resp. heterogenní
(nestejnorodý, různorodý).
Míry variability, tedy přinášejí další důležité informace
o vlastnostech souboru, v odborné literatuře jsou též
označovány jako míry variace, rozptýlení, měnlivosti.
Vlastnosti variability:
Soubor homogenní
Soubor heterogenní
2. 3. 1 KVANTILOVÉ MÍRY VARIABILITY
NEJČASTĚJI POUŽÍVANÉ KVM
VARIAČNÍ ŘADA = znaky statistického souboru
seřazené podle velikosti.
VARIAČNÍ ROZPĚTÍ =diference mezi největší a nejmenší
hodnotou znaku statistického souboru tj. R=xmax – xmin
KVANTIL=hodnota kvantitativního statistického znaku,
která rozděluje (láme) variační řadu na jisté části.
KMV jsou využitelné pro stupnice ordinální a dále pro
stupnice metrické v případech, kdy nelze prokázat
normalitu rozložení četností dat (proč ne pro nominální
stupnice?).
Hráč A B C D E F G H J K
xi 7 6 7 8 9 8 8 8 9 10
yi 4 8 6 8 7 8 7 4 8 10
VARIAČNÍ ŘADA znaků x i 
VARIAČNÍ ŘADA znaků y i …4,4,6,7,7,8,8,8,8,10
VARIAČNÍ ROZPĚTÍ R = x max – x min  R = 10 – 4 = 6
PŘÍKLAD 4 Výpočet: variační řada, variační rozpětí.
Sami totéž pro znaky y i
6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10
R = 10 – 6 = 4VARIAČNÍ ROZPĚTÍ R = x max – x min 
DRUHY KVANTILŮ (kvartil, decil, percentil)
1. KVARTIL (Y) … kvartily rozdělují variační řadu na
čtvrtiny, na 4 skupiny.
Dolní kvartil (Q1, x25)
KOLIK MÁME KVARTILŮ?
Horní kvartil (Q3, x75)
(Střední kvartil) = medián
VÝPOČET KVANTILŮ
5,0
100



pn
zp
zp - pořadí kvantilu xp
n - rozsah souboru
Příklad : Urči dolní kvartil x25 , přičemž počet hodnot v souboru je
n = 40.
tzn., že 10,5 hodnota (resp. průměr desáté a jedenácté hodnoty) v
uspořádaném souboru představuje dolní kvartil x25
5,105,0
100
2540


pz
2
)11()10(
25
xx
x


2. DECIL
… decily rozdělují variační řadu na desetiny, na 10
skupin o 10% rozsahu souboru.
Označují se x10, x20, …x90
3. PERCENTIL (PROCENTIL)
…percentily rozdělují variační řadu na setiny, na 100
skupin o 1% rozsahu. Označují se x1, x2, …x99
DALŠÍ KVANTILOVÉ CHARAKTERISTIKY VARIABILITY
KVANTILOVÉ ROZPĚTÍ
kvartilové rozpětí x 75 – x 25
decilové rozpětí x 90 – x 10
percentilové rozpětí x 99 – x 1
KVANTILOVÉ ODCHYLKY
a) kvartilová odchylka
x 75 – x 25
Q =
2
b) decilová odchylka
x 90 – x 10
Q =
2
c) percentilová odchylka
x 99 – x 1
Q =
2
Měří varianci lépe než
variační rozpětí, není
ovlivněna extrémy.
Je osminou rozpětí
krajních decilů, záleží tedy
na rozpětí prostředních
80% prvků souboru.
Je devadesátiosminou
rozpětí krajních
percentilů.
Předchozí (kvantilové) míry variability udávají jen
rozpětí, v němž se znaky pohybují.
2. 3. 2 MOMENTOVÉ MÍRY VARIABILITY
(1) variaci ve smyslu vzájemné odlišnosti jednotlivých
hodnot znaku (mezi sebou),
(2) variaci ve smyslu odlišnosti jednotlivých hodnot
znaku od průměru.
Vhodnějšími mírami variability jsou momentové míry
variability (pokud je ovšem možné je vypočítat).
Jsou to takové charakteristiky, které udávají …
NEJČASTĚJI POUŽÍVANÉ MOMENTOVÉ MÍRY
VARIABILITY
AP…aritmetický průměr
Rozptyl (s2) … je aritmetickým průměrem ze čtverců
odchylek jednotlivých hodnot znaku od jejich
aritmetického průměru.
Rozptyl „měří“ variaci ve smyslu odlišnosti
jednotlivých hodnot znaku od průměru i ve smyslu
vzájemné odlišnosti jednotlivých hodnot znaku.
(pro rozsáhlé soubory)
x i …hodnota znaku
 ( x i - AP ) 2
s2 =
n
1. ROZPTYL
2. SMĚRODATNÁ (STANDARDNÍ) ODCHYLKA (s)
Symbolický tvar
s =  s2 (var x)
Směrodatná odchylka (s)
… je kvadratickým průměrem odchylek jednotlivých
hodnot znaku od aritmetického průměru.
 ( x i - AP ) 2
s = 
n
1
)( 2
2




n
xx
ss i
(pro rozsáhlé soubory)
3. VARIAČNÍ KOEFICIENT
s
V =
|AP |
s
V = 100 x
| AP |
umožňuje provést srovnání variability dvou či více
souborů, jejichž znaky jsou měřeny v různých
jednotkách (cm, kg, sekundy, …),
udává poměr směrodatné odchylky k aritmetickému
průměru, přesněji řečeno udává, kolik % aritmetického
průměru tvoří směrodatná odchylka.
Variační koeficient …
PŘÍKLAD 5
Výpočet: rozptyl, směrodatná odchylka, variační koeficient
Hráč A B C D E F G H J K
xi 7 6 7 8 9 8 8 8 9 10
yi 4 8 6 8 7 8 7 4 8 10
(7-8)2+(6-8)2+(7-8)2……(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2
s2 =
10
1+4+1+0+1+0+0+0+1+4 12
= = = 1,20
10 10
(1) Rozptyl AP=8
(2) Směrodatná odchylka s =  s2 = 1,09 = 1,1
s 1,09 s
V1= = = 0,14 resp. V1= . 100 = 14 %
AP 8 AP
Variační koeficient V1
V2 = 0,26 resp. V2 = 26 %  V1  V2
Sami - variační koeficient V2 tj. znaků y i …
Sami – směrodatná odchylka znaků y i …
Interpretace …
Pomocí Excelu – Statistické funkce
Výpočet: rozptyl, směrodatná odchylka, variační koeficient
VAR.VÝBĚR
vypočte rozptyl výběru
SMODCH.VÝBĚR
vypočte směrodatnou
odchylku výběru
VAR
SMODCH
yi
Stř. hodnota 7
Chyba stř. hodnoty 0,596285
Medián 7,5
Modus 8
Směr. odchylka 1,885618
Rozptyl výběru 3,555556
Špičatost -0,05776
Šikmost -0,49718
Rozdíl max-min 6
Minimum 4
Maximum 10
Součet 70
Počet 10
Největší (1) 10
Nejmenší (1) 4
Hladina spolehlivosti (95,0%) 1,34889
Pomocí Excelu – Analýza dat – Popisná statistika
1. URČENÍ TYPU ŠKÁLY (nominální, ordinální, metrické)
a) nominální + ordinální  neparametrické stat. metody
b) metrické  parametrické statistické metody
2. ROZLOŽENÍ ČETNOSTÍ ZNAKŮ (NORMÁLNÍ ČI JINÉ)
a) normální  parametrické statistické metody
b) jiné  neparametrické statistické metody
3. VÝPOČET ZÁKLADNÍCH STATISTICKÝCH CHARAKTERISTIK
a) míry centrální tendence
b) míry variability
c) míry závislosti
METODY DESKRIPTIVNÍ STATISTIKY
5
2.5 MÍRY ZÁVISLOSTI
2.5.1 ZÁVISLOST PEVNÁ, VOLNÁ, STATISTICKÁ A KORELAČNÍ
Jednorozměrné soubory - charakterizovány
jednotlivými statistickými znaky (výkon ve skoku do dálky,
v běhu na 100m, tělesná výška, tělesná hmotnost, …
Možné souvislosti mezi znaky:
úspěšnost střelby 1. a 2. pokus,
tělesná výška x hmotnost,…
2.5.1 ZÁVISLOST PEVNÁ, VOLNÁ, STATISTICKÁ A KORELAČNÍ
Hledáním, zkoumáním a hodnocením souvislostí
(závislostí) mezi dvěma (či více) statistickými znaky se
zabývají míry závislosti.
Závislosti znaků, věcí a jevů
mohou být velmi rozmanité:
• některé jsou nepodstatné (náhodné)
• jiné jsou výrazem určité vnitřní nutnosti – hovoříme o
tzv. příčinné (kauzální) závislosti.
Příčinná (kauzální) závislost je taková závislost, kdy
daný jev či několik jevů (příčina) nutně vyvolává za
určitých podmínek jiný jev (následek, účinek).
Nejjednodušší formy kauzálních závislostí u přírodních
jevů např. ….
… při zahřívání tělesa (elementární příčina) za
konstantních podmínek dochází ke zvětšování jeho
objemu (elementární účinek) tj. princip teploměru.
Z hlediska metody zkoumání rozlišujeme závislosti
pevné a volné.
PEVNÁ ZÁVISLOST
Pevná závislost = případ, kdy výskytu jednoho jevu
NUTNĚ ODPOVÍDÁ výskyt druhého jevu.
Tedy každé hodnotě jedné proměnné odpovídá jen
jedna hodnota jiné proměnné (funkční závislost).
Např. zahříváme-li těleso 5
min, vzroste teplota o 10 º C,
zahříváme-li těleso 10 min,
vzroste teplota o 20 º C, atd.
PEVNÁ ZÁVISLOST
Pevná závislost
… se opakuje ve všech jednotlivých případech (při
dodržení standardních podmínek).
…může být tedy charakterizována jediným
pozorováním (větší počet pozorování slouží k ověření
výsledků a vyloučení chyb).
…setkáváme se s ní při formulování zákonitostí vztahů
mezi proměnnými (např. Newtonův či Ohmův zákon).
PEVNÁ ZÁVISLOST
čas v sekundách
1000
2000
3000
4000
0 10 20 30
pozorované
hodnoty
2
2
1
gts 
dráha v
metrech
volný pád
VOLNÁ ZÁVISLOST
Volná závislost = případ, kdy výskyt jednoho jevu
OVLIVŇUJE výskyt druhého jevu (NE nutně odpovídá).
Tedy každé hodnotě jedné proměnné odpovídají různé
hodnoty jiné proměnné (statistická závislost).
Volnou závislost
…lze zkoumat pouze na základě mnoha pozorování,
jediné pozorování může přinést naprosto nahodilý
výsledek,
VOLNÁ ZÁVISLOST
…při jejím zkoumání hraje důležitou roli volba
vhodných statistických znaků (tedy takových, které
postihují jevy co nejpřesněji),
…a dostatečný rozsah souboru (u malých souborů se
může projevit vliv náhodných a vedlejších činitelů).
Při zkoumání společenských jevů se většinou
nesetkáváme s pevnou závislostí; nejčastěji určitá
příčina vede k různým účinkům, jedná se tedy o volné
závislosti.
Např. skok daleký … rychlost x délka skoku …
VOLNÁ ZÁVISLOST
tržní poptávka
pozorované hodnoty
30
40
50
10 20 30 40
cena zboží v Kč
poptávka
po zboží v
kusech
pozorované
hodnoty
2.5.2 REGRESNÍ A KORELAČNÍ ANALÝZA
Metody regresní a korelační analýzy slouží k poznání a
matematickému popisu statistických závislostí; jsou
souhrnně označované jako korelační počet.
Hlavní úkoly korelačního počtu
1. postižení povahy korelační závislosti (regresní analýza),
2. měření těsnosti korelační závislosti (korelační analýza).
Hlavní úkoly korelačního počtu
1. postižení povahy korelační závislosti (regresní analýza),
2. měření těsnosti korelační závislosti (korelační analýza).
1. postižení povahy korelační závislosti umožňuje odhady
neznámých hodnot závisle proměnné y při známých
hodnotách nezávisle proměnné x - hovoříme o regresi.
HLAVNÍ ÚKOLY KORELAČNÍHO POČTU
Povaha korelační závislosti je nejčastěji vyjadřována
matematickou funkcí - hovoříme o regresní funkci.
Tento úkol korelačního počtu nazýváme regresní analýza.
HLAVNÍ ÚKOLY KORELAČNÍHO POČTU
2. měření těsnosti korelační závislosti umožňuje posuzovat
přesnost regresních odhadů a míru korelační závislosti hovoříme
o vlastní korelaci.
Korelace je vyjadřována tzv. korelačním koeficientem.
Tento úkol korelačního počtu nazýváme korelační analýza.
2.5.3 REGRESNÍ ANALÝZA (LINEÁRNÍ)
Regresní analýza umožňuje postihnout povahu závislosti
pomocí matematické funkce, která by co nejlépe vyjadřovala
charakter zkoumané závislosti.
Hledaná matematická funkce se nazývá regresní funkce a je
vyjádřena regresní rovnicí.
Regresní funkce může nabývat mnoha typů:
• lineární regrese
• kubická regrese
• hyperbolická regrese • logaritmická regrese
• polynomická regrese
• kvadratická regrese
…a mnohé jiné…
1. ÚKOL „POSTIŽENÍ POVAHY KORELAČNÍ ZÁVISLOSTI“
Nejjednodušší z nich je LINEÁRNÍ REGRESNÍ FUNKCE, která
má ve své empirické podobě tvar
Y = a + b . x
Pro vyjádření regresní funkce konkrétní závislost (např.
tělesné výšky a hmotnosti) je třeba určit tzv. regresní
koeficienty a, b, přičemž vycházíme z empirických údajů
(měřených znaků) sledované závislosti.
Pro výpočet regresních koeficientů a, b je výhodné použít
následující vzorce
n  x i y i -  xi  y i  y i - b xi
b = ------------------------- a = ----------------------
n  xi
2
- (  xi ) 2
n
2.5.4 KORELAČNÍ ANALÝZA (LINEÁRNÍ)
Pojem korelace pochází z latiny (co – relation = souvztažnost),
korelaci nejčastěji označujeme symbolem „ r “.
Korelace je nejobecněji definována jako…
…volná kvantitativní závislost dvou či více jevů.
Korelace vyjadřuje míru (těsnost, stupeň) závislosti a je
charakterizována číslem, tzv. korelačním koeficientem (r),
který..
…„měří“ těsnost závislosti popsané lineární regresní funkcí.
2. ÚKOL „MĚŘENÍ TĚSNOSTI KORELAČNÍ ZÁVISLOSTI“
VZORCE PRO VÝPOČET KORELAČNÍHO KOEFICIENTU
Symbolická podoba vzorce pro výpočet korelačního koeficientu
sx,y cov (X, Y)
r = ---------- = --------------------
sx . sy  var X .var Y
kovariance
součin obou
směrodatných odchylek
Korelace je tedy matematicky podíl kovariance a součinu
obou směrodatných odchylek (viz dále).
Metrická data 
Pearsonův koeficient součinové korelace (vzorec)
 ( x i - x ).( y i - y )
r = ------------------------------------
  ( x i - x )2  ( y i - y )2
Pearsonův koeficient součinové korelace - výpočtový tvar
n  x i y i -  x i  y i
r = ---------------------------------------------------
  n  x i
2
- (  x i ) 2
 n  y i
2
- ( y i) 2

 x i y i – n x y
= ----------------------------------------
 (  x i
2
– n x ) (  y i
2
– n y )
Pro metrická data užíváme k výpočtu míry těsnosti korelační
závislosti tzv. Pearsonův koeficient součinové korelace.
Pro ordinální data užíváme k výpočtu míry těsnosti korelační
závislosti tzv. Spearmanův koeficient pořadové korelace.
n  xi y i -  xi  y i
r = ---------------------------------------------------
  n  xi
2
- ( xi )2
 n  y i
2
- ( y i)2

6 .  ( i x - i y ) 2
6
rxy = 1 - --------------------- = 1 - -------------  ( R i - Q i ) 2
n (n2
- 1) n (n2
- 1)
VLASTNOSTI KORELACE
1. VELIKOST KORELACE
Korelační koeficient r nabývá hodnot z intervalu <-1 ; 1>
Význam hodnot 0, 1, -1
r = 0  lineární nezávislost proměnných
r = 1  úplná (funkční) pozitivní lineární závislost
r = -1  úplná (funkční) negativní lineární závislost
Čím více se r blíží hodnotě 1, tím považujeme závislost za
silnější,
čím více se r blíží hodnotě 0, tím považujeme závislost za
slabší.
2. SMĚR KORELACE
a) kladná (pozitivní) <0;1>
b) záporná (negativní) <-1;0>
3. TVAR KORELACE
a) lineární (lze dosti dobře proložit přímku)
b) nelineární (nelze proložit přímku)
POZNÁMKY KE KORELACÍM
1. Matematicko-statistické předpoklady výpočtu korelačního
koeficientu:
a) linearita (korelačním polem lze dosti dobře proložit
přímku),
b) normalita (dvojrozměrné normální rozložení četností),
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0 1,0 2,0 3,0 4,0 z - body
směrodatné odchylky
počet případů pod
Gaussovou křivkou
[%]
34,13%
13,59%
34,13%
13,59%
2,14%
2,14%
0,13%0,13%
1. Matematicko-statistické předpoklady výpočtu korelačního
koeficientu:
c) dostatečný rozsah souboru (n=200, n=100, n=30)
1. Matematicko-statistické předpoklady výpočtu korelačního
koeficientu:
2. Věcný a formální smysl znaménka korelačního koeficientu
Např. vypočítaná korelační závislost výsledků studentů FTK
(n=185) v běhu na 100m …
… a ve skoku dalekém je
r = − 0,8 <-1 ; 1>
Co to znamená z hlediska
interpretace?
a) kladná (pozitivní) <0;1> b) záporná (negativní) <-1;0>
To by ovšem znamenalo, že kdo je rychlejší v běhu na 100m,
ten dosahuje horších výsledků ve skoku dalekém.
To je ovšem…
PROČ ???
…odborně i věcně NESMYSL!
…jakou „hodnotu“ má výsledek v běhu na 100 m
10,7 s versus 12,3 s?
PROTOŽE…
…jakou „hodnotu“ má výsledek ve skoku dalekém
570 cm versus 430 cm?
3. Koeficient determinace r 2
… určuje jaká část rozptylu výkonu v jednom testu je dána
proměnlivostí výkonů v druhém testu.
Koeficient determinace r 2 = 0, 64 (64 %).
Např. výše uvedená korelační závislost výsledků studentů FTK
(n=185) v běhu na 100m a ve skoku dalekém r = 0,8 znamená,
že…
Tedy 64 % rozptylu výkonu ve skoku dalekém je ovlivněno
(determinováno) proměnlivostí výkonů v běhu na 100m.
REGRESNÍ ANALÝZA (1. úkol korelačního počtu)
PŘÍKLAD 7. Výpočet - koeficientů regresní přímky
Regresní přímka Y = a + b . x
6
REGRESNÍ ANALÝZA (1. úkol korelačního počtu)
PŘÍKLAD 7. Výpočet - koeficientů regresní přímky
Hráč A B C D E F G H J K
xi 7 6 7 8 9 8 8 8 9 10
yi 4 8 6 8 7 8 7 4 8 10
Regresní přímka Y = a + b . x
POMOCNÁ TABULKA
Hráč X i Y i X i
2 Y i
2 X i . Y i
6
REGRESNÍ ANALÝZA (1. úkol korelačního počtu)
PŘÍKLAD 7. Výpočet - koeficientů regresní přímky
Hráč X i Y i X i
2 Y i
2 X i . Y i
A 7 4 49 16 28
B 6 8 36 64 48
POMOCNÁ TABULKA
C 7 6 49 36 42
D 8 8 64 64 64
E 9 7 81 49 63
F 8 8 64 64 64
G 8 7 64 49 56
H 8 4 64 16 32
J 9 8 81 64 72
K 10 10 100 100 100
 80 70 652 522 569
Y = a + b . x = 1 + 0,75 . x
Pořadí osob X i Y i X i
2 Y i
2 X i . Y i
 80 70 652 522 569
Statistické charakteristiky: APx = 8 APy = 7 s x= 1,1 s y= 1,8
Konstrukce regresní přímky za pomocí regresní rovnice
X 8 10Volba x 
Y 7 8,5Výpočet y 
Y = a + b . x = 1 + 0,75 . x
Pozn. x…nezávisle proměnná y…závisle proměnná
Y1 = 1 + 0,75 . 8 = 7 Y2 = 1 + 0,75 . 10 = 8,5
2) X = a + b . Y SAMI !!!
Z 1 (8; 7) Z 2 (10; 8,5)
Pozn. y…nezávisle proměnná x…závisle proměnná
Pořadí osob X i Y i X i
2 Y i
2 X i . Y i
 80 70 652 522 569
Statistické charakteristiky: APx = 8 APy = 7 s x= 1,1 s y= 1,8
Regresní přímka X = a + b . y
n  x i y i -  x i  y i  x i – b .  y i
b = ------------------------------- a = ----------------------
n  y i
2
- (  y i ) 2
n
X = a + b . y = 6 + 0,28 . y
10. 569 – 80.70 5690 - 5600 90
b = ------------------------- = ----------------------- = -------- = 0,28
10.522 - (70)2
5220 - 4900 320
80 – 0,28.70 60,4
a = ------------------------ = ---------- = 6
10 10
Graf korelační závislosti (= korelogram) - konstrukce
y (x)
10 
9
8     
7 
6 

5
4  
6 7 8 9 10 x (y)


A 7 4
B 6 8
C 7 6
D 8 8
E 9 7
F 8 8
G 8 7
H 8 4
J 9 8
K 10 10
x i y i
Z 1
Z 2
Pomocí Excelu – Statistické funkce
Výpočet koeficientů regresní přímky
2) X = a + b . Y
1) Y = a + b . X
INTERCEPT
odhad parametru a
SLOPE
odhad parametru b
Pomocí Excelu – Statistické funkce
Výpočet koeficientů regresní přímky
1) Y = a + b . X
Y = 1 + 0,75 . X
2) X = a + b . Y
X = 6 + 0,28 . Y
Pomocí Excelu – Analýza dat – Regrese
Výpočet koeficientů regresní přímky
1) Y = a + b . X
Y = 1 + 0,75 . X
Pomocí Excelu – Analýza dat – Regrese
Výpočet koeficientů regresní přímky
VÝSLEDEK
Regresní statistika
Násobné R 0,459279327
Hodnota spolehlivosti R 0,2109375
Nastavená hodnota spolehlivosti R 0,112304688
Chyba stř. hodnoty 1,7765838
Pozorování 10
ANOVA
Rozdíl SS MS F Významnost F
Regrese 1 6,75 6,75 2,138613861 0,181775314
Rezidua 8 25,25 3,15625
Celkem 9 32
Koeficienty Chyba stř. hodnoty t Stat Hodnota P Dolní 95% Horní 95%
Hranice 1 4,141130079 0,241479978 0,815257536 -8,549463079 10,54946308
xi 0,75 0,512855568 1,462400035 0,181775314 -0,432647059 1,932647059
korelační koeficient
koeficient determinace
Významnost F < α = 0,05 →
model je statisticky vhodný
a
b
Pomocí Excelu – Analýza dat – Regrese
Výpočet koeficientů regresní přímky
2) X = a + b . Y
X = 6 + 0,28 . Y
Pomocí Excelu – Analýza dat – Regrese
Výpočet koeficientů regresní přímky
VÝSLEDEK
Regresní statistika
Násobné R 0,459279327
Hodnota spolehlivosti R 0,2109375
Nastavená hodnota spolehlivosti R 0,112304688
Chyba stř. hodnoty 1,087930949
Pozorování 10
ANOVA
Rozdíl SS MS F Významnost F
Regrese 1 2,53125 2,53125 2,138613861 0,181775314
Rezidua 8 9,46875 1,18359375
Celkem 9 12
Koeficienty Chyba stř. hodnoty t Stat Hodnota P Dolní 95% Horní 95%
Hranice 6,03125 1,389509735 4,340559729 0,002476521 2,827034807 9,235465193
yi 0,28125 0,192320838 1,462400035 0,181775314 -0,162242647 0,724742647
koeficient determinace
korelační koeficient
Významnost F < α = 0,05 →
model je statisticky vhodný
a
b
KORELAČNÍ ANALÝZA (2. úkol korelačního počtu)
PŘÍKLAD 7. Výpočet (Pearsonova) korelačního koeficientu
Výpočtový tvar
Pořadí osob X i Y i X i
2 Y i
2 X i . Y i
 80 70 652 522 569
n  x i y i -  x i  y i
rx,y = ---------------------------------------------------
  n  x i
2
- (  x i ) 2
 n  y i
2
- ( y i) 2

10. 569 – 80.70
r = -------------------------------------------- = 0,46
 (10. 652 – 6400) . (10. 522 – 4900)
Pomocí Excelu – Statistické funkce
Výpočet (Pearsonova) korelačního koeficientu
CORREL
výpočet korelačního
koeficientu
r = 0,459
Vzhledem k intervalu <0;1> resp. <-1;0> se jedná o střední
míru závislosti (kladnou).
Jak „těsná“ je korelační závislost r = 0,46 ?
POSOUZENÍ A INTERPRETACE ZÁVISLOSTI
1. Korelační závislost (vyjádřená korelačním koeficientem)
platí pouze pro konkrétní výběr (soubor) s konkrétními
osobami, nelze tedy považovat tento vztah za obecně platný!
2. Chceme-li zobecnit platnost vypočítané závislosti „r“ na
základní soubor (populaci), musíme ověřit (testovat)
hypotézu o statistické významnosti korelačního
koeficientu.
3. Při testování významnosti „r“ (odlišnost od nuly),
zjišťujeme, zda je výběrový korelační koeficient statisticky
významný (s ohledem na rozsah souboru).
4. Zamítnutí (či nezamítnutí) nulové hypotézy provádíme
s určitou pravděpodobností na tzv. hladině významnosti
(obvykle bývá volena p = 0,05 resp. p = 0,01).
PRO NÁŠ PŘÍKLAD, kdy r = 0,46; n = 10
…zjistíme v tabulce kritických hodnot koeficientu
součinové korelace, …
Počet dvojic Kritické hodnoty
(na =0,05, =0,01)
n =0,05 =0,01
9 0,666 0,798
10 0,632 0,765
11 0,602 0,735
30 0,361 0,463
Tabulka kritických hodnot
… že „náš“ korelační koeficient r = 0,46 je pro obě hladiny
významnosti menší, než tzv. kritická hodnota, je tedy
STATISTICKY NEVÝZNAMNÝ.
Závěr: mezi výsledky 1. a 2. pokusů nebyla zjištěna závislost,
nelze tvrdit, že… CO? Interpretace! Ale pro n=30?
Test1 Test2
8 7
5 5
4 4
6 4
7 5
6 4
5 5
7 6
Příklad. Výpočet (Pearsonova) korelačního koeficientu
Testujte hypotézu, zda výběrový
korelační koeficient je statisticky
významný (s ohledem na rozsah
souboru).
Pořadí osob X i Y i X i
2 Y i
2 X i . Y i
 48 40 300 208 247
Příklad. Výpočet (Pearsonova) korelačního koeficientu
n  x i y i -  x i  y i
rx,y = ---------------------------------------------------
  n  x i
2
- (  x i ) 2
 n  y i
2
- ( y i) 2

8. 247 – 48.40 56
r = -------------------------------------------- = ----------- = 0,71
 (8. 300 – 2304) . (8. 208 – 1600) 78
r = 0,71 > 0,7067 pro α = 0,05
Na hladině α = 0,05 zamítáme
nulovou hypotézu. Koeficient je
statisticky významný.
SPEARMANŮV KOEFICIENT POŘADOVÉ KORELACE
Spearmanův koeficient pořadové korelace se používá pro
výpočet těsnosti závislosti:
 u znaků získaných na ordinální stupnici
(ordinálních znaků)
Vzorec pro výpočet Spearmanova koeficientu pořadové
korelace:
 u souborů o nevelkém rozsahu (n menší než 20)
 jestliže znaky nemají (či nelze prokázat) normální
rozložení četností
6 .  ( i x - i y ) 2
rxy = 1 - ---------------------
n (n2
- 1)
kde i x resp. i y je
index pořadí znaků
x resp. y
7
Příklad. Výpočet Spearmanova koeficientu pořadové korelace
Pořadí x i y i i x i y ( i x - i y ) 2
1 7 2,5. 4 1.5 2,5 1,5 1
2 6 1. 8 7,5. 1 7,5 42,25
3 7 2,5. 6 3 2,5 3 0,25
4 8 8 7,5. 5,5 7,5 4
5 9 7 4,5. 8,5 4,5 16
6 8 8 7,5. 5,5 7,5 4
7 8 7 4,5. 5,5 4,5 1
8 8 4 1.5 5,5 1,5 16
9 9 8 7,5. 8,5 7,5 1
10 10 10. 10 10. 10 10 0
 - - - - 85,5
6 .  ( i x - i y ) 2
6 . 85,5 513
r = 1 - -------------------- = 1 - -------------- = 1 - ---------- = 0,48
n (n2
- 1) 10 (100 - 1) 990
r = 0,48
Spearmanův koeficient pořadové korelace
Pearsonův koeficient součinové korelace
r = 0,46
POSOUZENÍ A INTERPRETACE ZÁVISLOSTI
…viz Pearsonův koeficient součinové korelace
Příklad. Výpočet Spearmanova koeficientu pořadové korelace
6 .  ( i x - i y ) 2
6 . 8 48
r = 1 - -------------------- = 1 - -------------- = 1 - ---------- = 0,95
n (n2
- 1) 10 (100 - 1) 990
Kritické hodnoty z tabulek α = 0,05 ……………. 0,6364
α = 0,01…………….. 0,7818
Hypotézu H0 : ρ= 0 o nezávislosti zamítáme
1. URČENÍ TYPU ŠKÁLY (nominální, ordinální, metrické)
a) nominální + ordinální  neparametrické stat. metody
b) metrické  parametrické statistické metody
2. ROZLOŽENÍ ČETNOSTÍ ZNAKŮ (NORMÁLNÍ ČI JINÉ)
a) normální  parametrické statistické metody
b) jiné  neparametrické statistické metody
3. VÝPOČET ZÁKLADNÍCH STATISTICKÝCH CHARAKTERISTIK
a) míry centrální tendence
b) míry variability
c) míry závislosti
METODY DESKRIPTIVNÍ STATISTIKY
Děkuji
za pozornost