Doc. RNDr. Jiří Zháněl, Dr.
PRŮVODCE
STATISTICKÝM ZPRACOVÁNÍM
KVANTITATIVNÍCH DAT
Přednášky nk+np2019
DOPORUČENÁ LITERATURA
Anděl, J. (1993). Statistické metody. Praha:
Matfyzpress.
Cyhelský, L., Kahounová, J. & Hindls, R. (1996).
Elementární statistická analýza. Praha:
Management Press.
Gajda,V. & Zvolská, J. (1982). Úvod do
statistických metod. PF Ostrava. Skriptum.
Gibilisco, S. (2009). Statistika bez předchozích
znalostí. Brno: Computer Press.
DOPORUČENÁ LITERATURA
Hendl, J. (2012). Přehled statistických metod
zpracování dat. Analýza a metaanalýza dat.
Praha: Portál.
Kovář, R. & Blahuš, P. (1989). Aplikace vybraných
statistických metod v antropomotorice. Praha:
SPN. Skriptum.
Meloun M. & Militký, J. (1994). Statistické
zpracování experimentálních dat. Praha: Plus.
DOPORUČENÁ LITERATURA
Meloun M. & Militký, J. (1996). Statistické
zpracování experimentálních dat. Sbírka úloh.
Pardubice: Univerzita Pardubice.
Seger, J. & Hindls, R. (1993). Statistické metody v
ekonomii. Praha: H & H.
Seger, J. & Hindls, R. (1995). Statistické metody v
tržním hospodářství. Praha: Victoria Publishing.
A mnoho dalších …
PROGRAM PŘEDNÁŠEK
1.ÚVOD
1.1 Historie statistiky, pojem a struktura
statistiky, základní statistické pojmy
1.2 Teorie měření, měřící stupnice (škály),
metodologické problémy měření
PROGRAM PŘEDNÁŠEK
2. DESKRIPTIVNÍ (POPISNÁ) STATISTIKA
2.1 Statistické třídění dat, zpracování a
grafické znázornění
2.1.1 Jednorozměrné rozdělení četností
2.1.2 Jednorozměrné intervalové rozdělení četností
2.1.3 Grafické znázornění rozdělení četností
2.2 Míry polohy
2.3 Míry variability
2.3.1 Kvantilové míry variability
2.3.2 Momentové míry variability
PROGRAM PŘEDNÁŠEK
2.4 Standardní skóre
2.5 Míry závislosti
2.5.1 Závislost pevná, volná, statistická a korelační
2.5.2 Lineární korelace a lineární regrese
2.5.3 Součinová a pořadová korelace
3. ANALYTICKÁ STATISTIKA
3.1 Věcná a statistická významnost
3.2 Testování statistických hypotéz
11.1 HISTORIE STATISTIKY
„Nur wer die Vergangenheit kennt, hat
eine Zukunft“.
„Only he who knows the past has a
future“.
Wilhelm von Humboldt
(1767-1835, německý učenec a státník, spoluzakladatel
Humboldt-Universität zu Berlin).
11.1 HISTORIE STATISTIKY
Nejstarší písemné památky statistické povahy
pocházejí ze Sumeru (nejstarší stát světa 3000 –
2000 př. n. l., Perský záliv).
Hliněné destičky obsahují záznamy o časových
intervalech, počtech osob, počet domácího
zvířectva, množství úrody, atd.
1.1 HISTORIE STATISTIKY
Pojem statistika pochází z latinského
slova status (tj. postavení, stav).
Počátky statistických postupů využívány
již ve středověku ke zjišťování počtu
obyvatelstva, velikosti majetku, území,
obchodu, armády, atd.
Statistika jako součást přednášek na
středověkých univerzitách =>
(1) UNIVERZITNÍ STATISTIKA.
1.1 HISTORIE STATISTIKY
V 17. století se Angličané John Graunt a William
Petty zabývali zkoumání různých hromadných
společenských jevů za pomocí číselných
charakteristik skupin obyvatelstva (např. počty
narozených a zemřelých osob, počtem obyvatel
a složením rodin).
Tyto postupy byly nazvány
(2) POLITICKÁ ARITMETIKA
(využitelné politicky,
používány aritmetické
postupy).
17. století:
(3) TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI
• Francie (B. Pascal, P. de Fermat, de Moivre,
de Laplace, Poisson);
• Holandsko (Ch. Huygens);
• Švýcarsko (J. Bernoulli, Euler);
• Německo (C. F. Gauss)
• Rusko (Čebyšev, Markov, Ljapunov).
1.1 HISTORIE STATISTIKY
19. století = postupná integrace:
UNIVERZITNÍ STATISTIKA + POLITICKÁ
ARITMETIKA + TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI
 MODERNÍ STATISTIKA
Aplikace do praxe, do výzkumu o příčinných
vztazích mezi hromadnými jevy
(Belgie, L. A. J. Quételet).
Později pronikání statistiky do přírodních a
technických věd
(Anglie, Galton, Pearson a Fisher).
HISTORIE STATISTIKY V ČECHÁCH
Nejstarší dochovaný zápis:
„SOUPIS MAJETKU LITOMĚŘICKÉHO KOSTELA
Z ROKU 1058“
(součást zakládací listiny kapituly sv. Štěpána v
Litoměřicích, Český statistický úřad, www.czso.cz).
VÝZNAMNÁ DATA
 6. března 1897 … zřízen Zemský
statistický úřad Království českého,
(první statistický úřad na území dnešní
České republiky).
 1909 … vyšla první „Statistická příručka království
Českého“.
 13. října 1753 … patent císařovny
Marie Terezie (1717 – 1780) o
každoročním sčítání lidu,
HISTORIE STATISTIKY V ČECHÁCH
VÝZNAMNÁ DATA
1918 (vznik Československa) => zákon č. 49
o organizaci statistické služby (1919).
1919 … založen STÁTNÍ ÚŘAD STATISTICKÝ (SÚS)
jako orgán pověřený celostátními statistickými
šetřeními (např. sčítání lidu).
1.1.1993 (vznik ČR) všechny kompetence
převzal ČESKÝ STATISTICKÝ ÚŘAD (ČSÚ).
HISTORIE STATISTIKY V ČECHÁCH
NEJŽÁDANĚJŠÍ INFORMACE: inflace, makroekonomické
údaje, obyvatelstvo, regiony, města, obce, ročenky, sčítání
lidu, volební výsledky, základní údaje o ČR.
Český statistický úřad (ČSÚ)
1.1.2 POJEM A STRUKTURA STATISTIKY
STATISTIKA OBECNĚ
Obor zabývající se
zpracováním, rozborem a zveřejňováním
informací,
které kvantitativně charakterizují
zákonitosti společenského života
(Encyklopedický slovník, 1982).
1.1.2 POJEM A STRUKTURA STATISTIKY
MATEMATICKÁ STATISTIKA
Matematický obor zabývající se
zpracováním dat a rozborem statistických
charakteristik
popisovaného statistického souboru
(Encyklopedický slovník, 1982)
Např. Pravděpodobnost a statistika (Friesl, 2004).
Definice náhodného jevu:
Je-li dána množina Ω (všech výsledků náhodného
pokusu, tj. pokusu, jehož výsledek není jednoznačně
určen podmínkami, za kterých je prováděn), pak
náhodným jevem (v Ω) nazýváme každou podmnožinu
množiny Ω.
Jev Ω nazýváme jistý, jev Ø nemožný. Jednotlivé
výsledky ω patří do Ω se nazývají elementární jevy.
Základy statistiky = opravdu jen ZÁKLADY!
(viz příklad)
(MATEMATICKÁ) STATISTIKA
1. DESKRIPTIVNÍ
(popisná)
2. ANALYTICKÁ
(inferentní, induktivní,
srovnávací)
1. DESKRIPTIVNÍ STATISTIKA
se zabývá zpracováním a popisem dat.
Poskytuje metody umožňující přehledné a názorné
zpracování dat, např. v podobě:
 tabulek,
 grafů (znázornění rozložení četností),
 výpočtu základních statistických charakteristik
(např. aritmetický průměr nebo korelační koeficient).
2. ANALYTICKÁ (INFERENTNÍ) STATISTIKA
vychází z výsledků deskriptivní statistiky (zpracování
dat), umožňuje nám data analyzovat, tzn. vyhodnotit.
Tedy např. pomocí statistických metod posoudit, zda
střední hodnoty (M) výsledků testu „skok daleký z
místa“ tréninkových skupin A a B vykazují významný
rozdíl, který může být vysvětlován použitou
tréninkovou metodou.
SYMBOLICKÉ ZNÁZORNĚNÍ FUNKCE STATISTIKY
STATISTIKA = ZPRACOVÁNÍ + POPIS + ANALÝZA DAT
1.1.3 ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ POJMY
STATISTICKÝ SOUBOR
je souhrn (množina) statistických jednotek stejného
druhu
Rozlišujeme pojmy základní soubor a výběrový soubor.
Rozsah základního souboru N, výběrového souboru n.
Základní soubor (N) je soubor všech statistických
jednotek, které teoreticky mohou být předmětem
sledování.
… např. všichni studenti oboru TV a sport = v ČR,
Evropě, na světě, …
ZÁKLADNÍ SOUBOR (ZS)
ZS má zpravidla značný rozsah, zjištění zkoumaných
vlastností všech prvků je buďto nemožné nebo je
příliš časově a ekonomicky náročné.
Výzkumné šetření (zjištění) se proto provádí u
vybraných jednotek ze základního souboru =>
výběrový soubor (n).
Výběrový soubor je náhodnou
podmnožinou prvků základního
souboru a reprezentuje jej.
Výzkum u prvků výběrového souboru (TV, H, síla):
na základě poznání vlastností výběrového souboru se
usuzuje – při splnění určitých podmínek - na
vlastnosti základního souboru.
VÝBĚROVÝ SOUBOR (VS) získáváme tzv. NÁHODNÝM
VÝBĚREM.
Každý prvek základního souboru má stejnou možnost
být vybrán.
O vybrání či nevybrání do výběrového souboru
rozhoduje tedy pouze náhoda.
Př. ZS (N=10 000) = studenti TV v CZ, VS (n=100)
METODY NÁHODNÉHO VÝBĚRU PRVKŮ DO
VÝBĚROVÉHO SOUBORU (VS):
I. LOSOVÁNÍ
• losování statistických jednotek s jejich
vracením do osudí (u malých souborů),
• losování statistických jednotek bez vracení
do osudí (u velkých souborů),
• generátor náhodných čísel (software
https://supermartas.cz/aplikace/online/nahod
na-cisla/)
II. Tabulka náhodných čísel
1. V tabulce zvolíme libovolné číslo, od něj čteme
uvedená čísla s potřebným počtem míst (např. N=540 =>
trojmístná čísla).
2. Do výběru zahrnujeme ty jednotky základního
souboru, jejichž přiřazená čísla jsou < 540.
3. Čísla vyšší než rozsah základního souboru
vynecháme.
4. Pokračujeme tak dlouho, než dosáhneme
požadovaného rozsahu výběrového souboru.
Např. ze základního souboru N=540 máme vybrat n=12
N=540
n=12
Výsledek: 936 (mimo), 175, 154, 928, 532, 571, 509,
047, 510, 341, 397, 038, 322, 437, 858, 616, 570, 418.
Možno vyzkoušet pomocí Excelu – Analýza dat –
Generátor náhodných čísel:
Typ rozložení - diskrétní
Počet proměnných – dle počtu číslic
jednociferné n = 1
dvouciferné n = 2
atd.
Pro N=54O se počet proměnných rovná 3.
IV. STRATIFIKOVANÝ VÝBĚR
… vychází z rozdělení základního souboru na skupiny
(straty), z každé z nich se pak dělá náhodný výběr.
Je žádoucí proporcionální zastoupení ve výběru ze
straty (neproporcionální ve specifických případech).
Př. 1. výzkumný soubor „vysokoškoláci“ (= studující
techniky, univerzity, uměleckých vysokých škol, atd.).
III. SKUPINOVÝ VÝBĚR
… užívá se, je-li základní soubor velmi početný a je
uspořádán do skupin (např. třídy ve škole), z nichž
vybíráme skupiny – nutný je dostatečný počet skupin.
Př. 2. výzkumný soubor „učitelé s praxí do …“
(1. do 5 let, 2. do 10 let, 3. do 15 let, do 20 let, atd.).
V. ZÁMĚRNÝ VÝBĚR
… nerozhoduje náhoda, výzkumník sám vybírá jedince
jež považuje za typické (subjektivní výběr).
Výsledky se týkají jen daného výběru (v závěrech
výzkumu nutná formulace: „na daném vzorku se
prokázalo. že…“)!!!
Problém: výběr x dobrovolníci (rozdíly - vyšší výkon,
motivace, větší potřeba sociálního uznání, …).
Nelze je použít při standardizaci testů!
Další podrobnosti např.
Chrástka, M. (2007). Metody pedagogického výzkumu.
STATISTICKÉ JEDNOTKY
jsou prvky statistického souboru, které mají alespoň
jednu společnou vlastnost (znak)
Statistickými jednotkami mohou být např. osoby, věci,
události, jejichž vlastnosti nás zajímají (student, klub).
Zjišťujeme-li u každé statistické jednotky pouze jeden
statistický znak (např. tělesnou výšku), hovoříme o
jednorozměrném statistickém souboru.
Zjišťujeme-li dva nebo více znaků, hovoříme o
dvourozměrném (výška a hmotnost), resp. o
vícerozměrném statistickém souboru (3 a více znaků).
STATICKÉ ZNAKY
Vyjádření hodnot statistických znaků
(proměnných) slovy nebo čísly.
Klasifikace:
1. Slovní proměnné = alfabetické
(kategoriální)
se nazývají kvalitativní znaky.
2. Číselné proměnné = numerické
se nazývají kvantitativními znaky.
STATICKÝ ZNAK
je společná vlastnost jednotek statistického souboru
Statistické znaky tedy vyjadřují vlastnosti
statistických jednotek.
1. KVALITATIVNÍ
(kategoriální,
vyjádřeny slovně)
Např. muž/žena, plavec/neplavec, zdravý/nemocný
barva očí: zelené, modré, hnědé, …,
herní kategorie: žáci mladší, starší, junioři, …
 alternativní (binární,
dichotomické):
nabývá-li znak pouze dvou
variant (muž/žena)
 množné (polytomické):
nabývá-li znak více než
dvou variant (barva očí:
zelená, modrá, černá,
atd.).
1. KVALITATIVNÍ ZNAKY
2. KVANTITATIVNÍ (vyjádřeny číselně, např. věk
37 let, tělesná výška 183 cm, hmotnost, čas, …)
2. KVANTITATIVNÍ ZNAKY
 spojité neboli kontinuální
(nabývají libovolných reálných číselných hodnot,
např. výsledek v běhu na 100 m, ve skoku
vysokém, mezi 2 hodnotami vždy může být další),
2. KVANTITATIVNÍ ZNAKY
 nespojité neboli diskrétní
(nabývají pouze konečný počet číselných hodnot,
nejčastěji z oboru celých nezáporných čísel.
např. počet úspěšných hodů na koš, leh-sedy, atd.).
1.2 TEORIE MĚŘENÍ, MĚŘÍCÍ STUPNICE (ŠKÁLY)
1.2.1 ZÁKLADNÍ POJMY TEORIE MĚŘENÍ
Měření … v průběhu historického vývoje lidské
společnosti běžná každodenní procedura (užití hodinek,
tachometru automobilu, atd.).
Historické počátky měření … porovnávání objektů s
počtem prstů, délkou palce, délkou chodidla, lokte,
paže tj. primitivní měřící způsoby.
Rozvoj vědy a techniky složitých měřících přístrojích.
2
1.2 TEORIE MĚŘENÍ, MĚŘÍCÍ STUPNICE (ŠKÁLY)
1.2.1 ZÁKLADNÍ POJMY TEORIE MĚŘENÍ
a) Měřitelnost fyzikálních vlastností
(délka, čas, hmotnost),
Problematiku kvantifikace (měření) řeší obor nazývaný
TEORIE MĚŘENÍ.
b) Měřitelnost psychických vlastností (inteligence,
strach, postoje).
REPREZENTAČNÍ TEORIE MĚŘENÍ (Campbell):
… měření jako „přiřazování číslic k reprezentaci
vlastností“.
… později doplněna (Stevens) o formulaci „…za měření
lze považovat každé přiřazování číslic k objektům nebo
událostem … podle pravidel.
Klasická koncepce měření rozlišuje
(1) fundamentální měření
(2) odvozené měření
Někteří autoři zmiňují ještě
(3) měření asociativní (Berka, 1977) resp. asociační
(Blahuš, 1996), označované rovněž jako měření per fiat,
per Definition, by fiat či měření na základě konvence.
(1) FUNDAMENTÁLNÍ MĚŘENÍ
„se vztahuje na bezprostřední
měření veličin“ a je to „každé
měření, které nezahrnuje žádná
předcházející měření“.
Příklad: měření tělesné výšky
(2) ODVOZENÉ MĚŘENÍ
„předpokládá jiná, dříve provedená
měření, z nichž je odvozeno na
základě vztahů“; a tedy „závisí na
předcházejících měřeních“.
Příklad: měření objemu kvádru
(3) ASOCIATIVNÍ MĚŘENÍ (ASOCIAČNÍ)
je takové měření, kdy „je přímo měřená veličina
asociována s nepřímo měřitelnou veličinou“.
Příklad 1.
Při měření teploty vycházíme ze závislosti
změny objemu kapaliny na teplotě.
Příklad 2.
Při testování úrovně vytrvalosti pomocí Cooper testu
vycházíme z předpokládané asociace (vztahu) mezi
uběhnutou vzdáleností (měřitelná) a úrovní
vytrvalostní schopnosti (nepřímo měřitelná).
1.2.2 MĚŘÍCÍ STUPNICE (ŠKÁLY)
Empirická
proměnná
Tělesná výška
Numerická
proměnná
cm
Numerická
proměnná
Testové skore
Empirická
proměnná
Kondice
Rozdíl ve
způsobu měření
a přiřazení!
Rozdíl v měření
TEORII ŠKÁL
(pojem škála, resp. stupnice)
ZÁKLADNÍ DRUHY ŠKÁL (STUPNIC)
1. NOMINÁLNÍ škála
(jmenná, klasifikační)
2. ORDINÁLNÍ škála
(pořadová)
3. METRICKÉ škály
NEMETRICKÉ
METRICKÉ
INTERVALOVÁ
POMĚROVÁ
1. NOMINÁLNÍ ŠKÁLA
(jmenná, klasifikační)
… je škála založena na jakémkoliv přiřazování
číslic ve smyslu pouhého pojmenování.
Jde vlastně o pojmenování osob či skupin čísly, o
uspořádání do tříd, které se navzájem vylučují.
Např. pohlaví (M, Ž), kuřák, nekuřák, národnost, čísla
hráčů, atd.
1. NOMINÁLNÍ ŠKÁLA
Třídění na znaky:
1. alternativní (binární, dichotomické) = 2 možnosti
(plavec, neplavec; kuřák, nekuřák; muž, žena)
2. množné (polytomické) = více než 2 možností
Základní empirickou operací je „určení rovnosti“.
Možné relace =, ,
Zpracování znaků = neparametrické statistické
metody
2. ORDINÁLNÍ ŠKÁLA (pořadová)
Stupnice umožňuje uspořádání objektů do pořadí,
je možno určit vztah větší či menší, těžší či lehčí, atd.
Nejsou známy odstupy (intervaly) mezi znaky (čísly) !!!
Př. školní známky, stupnice tvrdosti, pořadí v cíli.
Základní empirické operace (2):
„určením rovnosti“ a „určením vztahu více nebo méně“.
Relace =, , >, <,
Zpracování znaků=neparametrické statistické metody.
… předpokládá přirozené uspořádání objektů
vzhledem k nějaké vlastnosti.
3. METRICKÉ ŠKÁLY (INTERVALOVÁ A POMĚROVÁ )
3. 1 INTERVALOVÁ ŠKÁLA
… vyžaduje stanovení měrové jednotky a počátku, jsou
přípustné všechny aritmetické operace.
NOVÁ VLASTNOST: je zavedena jednotka měření, tzn.
jsou známy odstupy (intervaly) mezi hodnotami (čísly).
Nula je zvolená!!! => stanovení počátku dohodou.
Např. letopočet (Diokleciánův, byzantský, křesťanský,
čínsky, atd.),
teplota ○C (bod tání ledu 0 °C a bod varu 100 °C při při
tlaku vzduchu 1013,25 hPa).
3. METRICKÉ ŠKÁLY (INTERVALOVÁ A POMĚROVÁ )
3. 2 POMĚROVÁ ŠKÁLA
… z formálního hlediska vlastně intervalová škála
s přirozeným počátkem, jsou přípustné všechny
aritmetické operace.
Nula je absolutní … (nepřítomnost jevu).
Např. čas, věk, výška, hmotnost, teplotní
stupnice dle Kelvina (v podstatě všechny
fyzikální jednotky).
Statistické metody:
parametrické i neparametrické.
NEMETRICKÉ ŠKÁLY METRICKÉ ŠKÁLYTYP ŠKÁLY
NOMINÁLNÍ ORDINÁLNÍ INTERVALOVÁ POMĚROVÁ
Příklady Číselné označení
barev,
psychologického
typu, pohlaví, atd.
Školní známky,
stupnice tvrdosti,
služební pořadí,
Richterova stupnice
Teplota ve°C,
Fahrenheita, letopočet,
inteligenční kvocient
Teplota °Kelvina, věk,
váha, výška, velikost
úhlu, čas
Operace = ,  = , , >, < Navíc: intervaly, nula
zvolená
Navíc: nula absolutní
Statistické
charakteris.
Modus, absolutní a
relativní četnosti
Navíc: medián,
kvantily a
kvantilové
odchylky,
procentily
Navíc: arit. Průměr,
směrodat.odchylka,
šikmost, špičatost
Navíc: koeficient
variability, geometr.
průměr
Testy
Významnosti
 2
- test, McNemar
test, Cochran test,...
Znaménkový test,
Mann-Whitney Utest,
Friedmanova
pořadová analýza
variance, aj.
Parametrické metody:
F-test
t-test (pro závislé či
nezávislé soubory)
Parametrické metody:
F-test
t-test (pro závislé či
nezávislé soubory)
Míry závislosti Kontingenční a
čtyřpolní koeficient
Navíc: pořadová
korelace
Navíc: Pearsonova
součinová korelace
Navíc: Pearsonova
součinová korelace
Statistické
metody
Některé
neparametrické
metody
Všechny
neparametrické
metody
Všechny neparametrické a
parametrické metody
Všechny
neparametrické a
parametrické metody
Přehled typů škál (upraveno, Bruhn, 1986; Roth, 1995)
Inteligenční kvocient (IQ) je index inteligence, který má normální
rozložení s průměrem 100 a standardní odchylkou 15.
POSTUP PŘI URČENÍ TYPU ŠKÁLY: A. výška (cm)
3. Lze stanovit pořadí?
1. Je známa jednotka měření?
2. Je počátek zvolený nebo absolutní?
4. Jedná se jen o pojmenování znaků čísly? Nemá smysl zjišťovat
Nemá smysl zjišťovat
ANO
absolutní
Znaky ?
- Kvantitativní
- Výška = spojitý
Škály metrické
POMĚROVÁ
POSTUP PŘI URČENÍ TYPU ŠKÁLY: B. dějepis (známka)
3. Lze stanovit pořadí?
1. Je známa jednotka měření?
2. Je počátek zvolený nebo absolutní?
4. Jedná se jen o pojmenování znaků čísly? Nemá smysl zjišťovat
ANO
NE
Nemá smysl zjišťovat
Znak?
- Kvantitativní
- Dějepis = spojitý
=> Nemohou být metrické
=> ORDINÁLNÍ
Pozn. Známky jsou spojitými znaky, i když
jsou měřeny pouze na ordinální škále.
ŠKÁLA ZNAKZnak
Nominální
(a)
Ordinální
(b)
Intervalová
(c)
Poměrová
(d)
Spojitý
(e)
Diskrétní
(f)
1. Pohlaví
2. Věk
3. Počet
sourozenců
4. Známka
z matematiky
5. Inteligenční
kvocient
6. Hodnocení v
krasobruslení
7. Výkon ve
skoku dalekém
Klasifikujte znaky obsažené v tabulce – správnou odpověď
označte křížkem (X)
Pozn. Známky jsou spojitými znaky, i když jsou měřeny pouze na
ordinální škále.
Řešení: 1. a, f; 2. d, e; 3. d, f; 4. b, e; 5. c, e; 6. d, e; 7. d, e.
Pozn. Známky jsou spojitými znaky, i když jsou měřeny pouze
na ordinální škále.
ŠKÁLA ZNAKZnak
Nominální
(a)
Ordinální
(b)
Intervalová
(c)
Poměrová
(d)
Spojitý
(e)
Diskrétní
(f)
1. Pohlaví
2. Věk
3. Počet
sourozenců
4. Známka
z matematiky
5. Inteligenční
kvocient
6. Hodnocení v
krasobruslení
7. Výkon ve
skoku dalekém
1. URČENÍ TYPU ŠKÁLY (nominální, ordinální, metrické)
a) nominální + ordinální  neparametrické stat. metody
b) metrické  parametrické statistické metody
2. ROZLOŽENÍ ČETNOSTÍ ZNAKŮ (NORMÁLNÍ ČI JINÉ)
a) normální  parametrické statistické metody
b) jiné  neparametrické statistické metody
3. VÝPOČET ZÁKLADNÍCH STATISTICKÝCH CHARAKTERISTIK
a) míry centrální tendence
b) míry variability
c) míry závislosti
METODY DESKRIPTIVNÍ STATISTIKY
Chceme-li získat podrobnější informace, je třeba
údaje uspořádat - tato činnost se nazývá statistické
zpracování (třídění) dat. Nejjednodušším způsobem
statistického zpracování dat je tzv. tabulka rozdělení
(rozložení) četností.
2. DESKRIPTIVNÍ STATISTIKA
2.1 STATISTICKÉ TŘÍDĚNÍ DAT
Výsledkem měření, testování (statistického šetření)
jsou neuspořádané, neroztříděné a nepřehledné
statistické údaje
Hody na koš (n=10): 7; 6; 7; 8; 9; 8; 8; 8; 9; 10
(2) spojité statistické znaky s malým počtem výskytu
(např. pro statistické soubory s malým rozsahem).
2.1.1 JEDNOROZMĚRNÉ ROZDĚLENÍ ČETNOSTÍ
Je-li JEDNA VLASTNOST statistického souboru
charakterizovaná JEDNÍM STATISTICKÝM ZNAKEM,
hovoříme o jednorozměrném statistickém souboru
(o jednorozměrném rozdělení resp. rozložení četností).
Konstrukce tabulky - postup vhodný pro:
(1) nespojité kvantitativní statistické znaky
(např. počet dětí v rodině, úspěšné koše),
PŘÍKLAD 1. Při dvakrát opakovaném testování
střelby na koš byly u deseti osob (n=10) zjištěny
výsledky uvedené v tabulce (zaznamenán počet
úspěchů z deseti pokusů při 1. resp. 2. testování).
Tabulka (hrubé skóre)
Hráč A B C D E F G H J K
xi 7 6 7 8 9 8 8 8 9 10
yi 4 8 6 8 7 8 7 4 8 10
Posouzení znaků xi:
 … tabulka jednorozměrného rozdělení četností.
Pro znaky x i sestavte (frekvenční) tabulku rozdělení četností.
kvantitativní, nespojité, poměrová  …
Frekvenční tabulka jednorozměrného rozdělení četností.
Xi Čárkovací
metoda
ni fi Kumulativní
četnost
Ni Fi
6  1 0.1 1 0.1
7   2 0.2 3 0.3
8     4 0.4 7 0.7
9   2 0.2 9 0.9
10  1 0.1 10 1.0
 10 1.0 - -
Vysvětlivky:
n...rozsah souboru xi...hodnota znaku
ni...absolutní četnost fi...relativní četnost (fi = ni /n)
Ni ... absolutní kumulativní četnost
Fi ... relativní kumulativní četnost
Absolutní četnost – vyjadřuje absolutní výskyt jednotlivých
znaků, relativní četnost – vyjádření v procentech.
Kumulativní relativní četnost – vyjadřuje v % (po
vynásobená stem) jaké procento rozsahu souboru má
odpovídající variantu a menší hodnotu dané proměnné.
F i = 0,7 => 70 % hráčů dosáhlo výsledku 8 úspěšných
pokusů a méně.
Xi Čárkovací
metoda
ni fi Kumulativní
četnost
Ni Fi
6  1 0.1 1 0.1
7   2 0.2 3 0.3
8     4 0.4 7 0.7
9   2 0.2 9 0.9
10  1 0.1 10 1.0
 10 1.0 - -
(2) nespojité statistické znaky s velkým počtem výskytů.
2. 1. 2 JEDNOROZMĚRNÉ INTERVALOVÉ (SKUPINOVÉ)
ROZDĚLENÍ ČETNOSTÍ
Konstrukce tabulky jednorozměrného intervalového rozdělení
četností je postup vhodný pro:
(1) spojité kvantitativní
statistické znaky
(např. výsledky měření běhu na
100 m, tělesné výšky, skoku
dalekého),
Je-li n < 30 doporučuje se vytvořit ne více než 6 intervalů.
Je-li 30 < n < 100 doporučuje se vytvořit 7 až 10 intervalů.
DOPORUČENÁ PRAVIDLA
pro konstrukci tabulky jednorozměrného intervalového rozložení četností
URČENÍ ŠÍŘKY A POČTU INTERVALŮ
Variační rozpětí (R) R = x max – x min
Šířka intervalu (h) h = 0,08 x R h = (x max – x min)/k
Počet intervalů (k) k = n
k  5. log n
k  1 + 3.3 log n
(Sturgesovo pravidlo)
Intervaly musí být vytvořeny tak,
aby jeden statistický znak
nemohl být současně zařazen
do dvou různých intervalů!!!
Intervaly na sebe musejí navazovat!!!
POZOR !
POZOR !
PŘÍKLAD 2. Pro znaky yi sestavte tabulku
skupinového (intervalového) rozdělení četností.
Variační rozpětí (R) R = x max – x min R = 10 - 4 = 6
Šířka intervalu (h) h = 0,08 x R h = 0.08 x 6 = 0,48  1 (pokus)
Hráč A B C D E F G H J K
xi 7 6 7 8 9 8 8 8 9 10
yi 4 8 6 8 7 8 7 4 8 10
Pomocné výpočty pro určení
šířky (h) a počtu intervalů (k)
PŘÍKLAD 2. Pro znaky yi sestavte tabulku
skupinového (intervalového) rozdělení četností.
 Doporučená šířka intervalu: 1
 Doporučený počet intervalů: 3 až 5
Pomocné výpočty pro určení
šířky (h) a počtu intervalů (k)
Počet intervalů (k)
k = n k  5. log n k  1 + 3.3 log n
k = 3.16 k  5 k  4.3 (log 10 = 1)
Třída Interval Střed ni fi Ni Fi
1 4 – 5 4,5 2 0,2 2 0,2
2 6 – 7 6,5 3 0,3 5 0,5
3 8 – 9 8,5 4 0,4 9 0,9
4 10 – 10,5 1 0,1 10 1,0
 - - 10 1,0 - Tabulka
skupinového (intervalového)
rozdělení četností (znak yi).
2. 1. 3 GRAFICKÉ ZNÁZORNĚNÍ ROZDĚLENÍ ČETNOSTÍ
1) HISTOGRAM ČETNOSTÍ
(sloupkový diagram, sloupcový graf)
Histogram … jedna z
nejčastěji užívaných
forem grafického
znázornění rozdělení
četností.
Grafické znázornění = přehlednější a názornější forma
znázornění rozdělení četností.
Histogram je tvořen sloupci
… jejich šířka odpovídá šířce třídního intervalu,
… jejich výška odpovídá absolutní četnosti
sledovaného statistického znaku.
2) (FREKVENČNÍ) POLYGON
Forma grafického znázornění rozdělení četností, kdy
místo sloupců použijeme ke znázornění rozdělení
četností lomenou čáru.
Tato lomená čára je spojnice bodů vytvořených v
průsečících středů intervalů a příslušných četností.
Frekvenční polygon inteligence citově deprivovaných dětí
0
5
10
15
20
25
30
35
66-70
71-75
76-80
81-85
86-90
91-95
96-100
101-105
106-110
111-115
116-120
IQ
f
2) (FREKVENČNÍ) POLYGON
3) (GALTONOVA) OGIVA
Pojem ogival je v architektuře používán pro lomený
oblouk, ve statistice tento pojem charakterizuje
esovitě lomenou křivku znázorňující kumulativní
četnosti (absolutní nebo relativní).
4) VÝSEČOVÝ (SEKTOROVÝ) GRAF
Jedná se o kruhový graf, vyjadřující relativní
četnosti jako charakteristiku struktury daného
souboru (nejčastěji v %).
62%
31%
7%
4) VÝSEČOVÝ (SEKTOROVÝ) GRAF
5) PIKTOGRAM
Piktogram = grafický znak znázorňující pojem nebo
sdělení obrazově (např. dopravní značky), též
piktograf. Vyjadřuje absolutní četnosti bez nároků na
přesnost, má spíše informativní charakter a používá
obrazových symbolů (např. lokomotiva, váček s
penězi, postava vojáka).
Spotřeba energie v městě X v letech
1960 1970 1980 1990 2000
10 MW 22 MW 28 MW 43 MW 52 MW
Třídy Četnost Kumul. %
5 2 20,00%
7 3 50,00%
9 4 90,00%
Další 1 100,00%
Pro znaky y sestavte tabulku skupinového (intervalového)
rozdělení četností.
Histogram
0
1
2
3
4
5
5 7 9 Další
Třídy
Četnost
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
Četnost
Kumul. %
Histogram četností
20%
30%
40%
10%
5
7
9
Další
Výsečový (sektorový) graf
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ
CHARAKTERISTIKY
PRO DATA ZÍSKANÁ NA ŠKÁLE
NOMINÁLNÍ, ORDINÁLNÍ, METRICKÉ
3
MÍRY VARIABILITY
DATA
NOMINÁLNÍ ORDINÁLNÍ METRICKÁ
MÍRY POLOHY
MODUS MEDIÁN ARITMETICKÝ
PRŮMĚR
Entropie
(uspořádanost)
Kvartilové rozpětí
Kvartilová odchylka
Rozptyl
Standardní odchylka
Variační koeficient
2. 2 MÍRY POLOHY
Míry polohy (neboli míry centrální tendence)
charakterizují úroveň statistického souboru z
hlediska jeho střední hodnoty,
…zevšeobecňují, zastupují, reprezentují jednotlivé
hodnoty sledovaného statistického znaku,
…umožňují srovnání polohy dvou či více rozdělení
četností, resp., srovnání střední úrovně dvou či více
souborů.
Hod na koš (n=10): 6; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 10
NEJČASTĚJI POUŽÍVANÉ MÍRY POLOHY
1. NOMINÁLNÍ STUPNICE (DATA)
MODUS (Mo) označuje nejčastěji se vyskytující
hodnotu statistického souboru (hodnota s největší
četností).
Modus je nejsnáze zjistitelná míra polohy.
Soubor může mít jeden či více modů
(soubor bimodální, soubor trimodální).
Modus je použitelný pro nominální stupnice
(a všechny vyšší).
Rozdělení bimodální
0
50
100
150
200
250
0 5 10 15 20 25
hodnota znaku
četnost
MEDIÁN (Me) označuje prostřední člen variační řady
(dělí výsledky seřazené podle velikosti na polovinu).
2. ORDINÁLNÍ STUPNICE (DATA)
Medián není citlivý na velikost krajních hodnot.
Medián je použitelný pro ordinální stupnici (a vyšší).
Ukázka výpočtu pro sudý a lichý počet dat:
xi : 6 7 7 8 8 8 8 9 9 10 (sudý počet)
xi : 6 7 7 8 8 8 8 9 9 10 10 (lichý počet)
Mo = 8 Me = 8
3. METRICKÉ STUPNICE (DATA)
ARITMETICKÝ PRŮMĚR = nejpoužívanější míra polohy.
Použitelný (pouze!) pro metrické škály (stupnice).
Výpočet: součet všech hodnot statistického souboru
dělený rozsahem souboru (n).
a) aritmetický průměr prostý (jednoduchý)




n
i
i
n
x
nn
xxx
x
1
21 1...
X - statistický znak n - rozsah souboru
X i - hodnota statistického znaku - pozorování
x
b) vážený aritmetický průměr
užívá se u početnějších souborů, výpočet vychází z
rozdělení četností,
vážený se nazývá proto, že jednotlivým hodnotám
znaku je přisuzována váha odpovídající počtu výskytů.







 m
i
i
i
m
i
i
m
mm
w
wx
www
wxwxwx
x
1
1
21
2211
...
...
Wi … váha (počet výskytů)
n … rozsah souboru (počet hodnot).


m
i
iwn
1
b) aritmetický průměr vážený - příklad
Přijímací řízení FTK 1991 – 1993
Výsledky testu běh na 100m
1991 (n = 350) AP = 13,0
1992 (n = 230) AP = 12,5
1993 (n = 120) AP = 12,0







 m
i
i
i
m
i
i
m
mm
w
wx
www
wxwxwx
x
1
1
21
2211
...
...
Jaký je průměrný výkon
v běhu na 100 m v letech
1991 – 1993?
13,0 x 350 + 12,5 x 230 + 12,0 x 120
AP = = 12, 66
350 + 230 + 120
??? 13,0 + 12,5 + 12,0 =
37,5/3 = 12,5 ???
Poznámky
• v tzv. Gaussově normálním rozložení (rozdělení)
četností (symetrickém) jsou hodnoty aritmetického
průměru, modu a mediánu stejně velké.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0 1,0 2,0 3,0 4,0 z - body
směrodatné odchylky
počet případů pod
Gaussovou křivkou
[%]
34,13%
13,59%
34,13%
13,59%
2,14%
2,14%
0,13%0,13%
• čím více se od sebe tyto hodnoty liší, tím více je
rozdělení četností asymetrické (hovoříme o porušené
normalitě rozložení četností).
PŘÍKLAD 3
Výpočet: modus, medián, aritmetický průměr.
Hráč A B C D E F G H J K
xi 7 6 7 8 9 8 8 8 9 10
yi 4 8 6 8 7 8 7 4 8 10
Variační řada znaku xi: 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10
Mo = ? Me = ? AP = ? Vážený AP = ?
Mo = 8 Me = 8 AP = 8 Vážený AP = 8
SAMI: Variační řada znaku yi: 4, 8, 6, 8, 7, 8, 7, 4, 8, 10
Mo = ? Me = ? AP = ? Vážený AP = ?
Mo = 8 Me = 7,5 AP = 7 Vážený AP = 7
Pomocí Excelu – Statistické funkce
Výpočet: modus, medián, aritmetický průměr.
MODE
MEDIAN
PRŮMĚR
2. 3 MÍRY VARIABILITY
Popis statistického souboru pomocí měr polohy (tedy
určení středních hodnot) není dostačující - viz příklad!
Př. 1: 4, 5, 6  15/3=5 (AP 1) Př. 2: 1, 5, 9  15/3=5 (AP 2)
1 10 1 10
MÍRY VARIABILITY
• charakterizují vyrovnanost jednotek souboru,
• ukazují, jak jsou hodnoty souboru rozptýleny, tedy
jak se jednotlivé hodnoty znaku vzájemně liší.
• umožňují posoudit, do jaké míry je sledovaný soubor
homogenní (stejnorodý) resp. heterogenní
(nestejnorodý, různorodý).
Míry variability, tedy přinášejí další důležité informace
o vlastnostech souboru, v odborné literatuře jsou též
označovány jako míry variace, rozptýlení, měnlivosti.
Vlastnosti variability:
Soubor homogenní
Soubor heterogenní
2. 3. 1 KVANTILOVÉ MÍRY VARIABILITY
NEJČASTĚJI POUŽÍVANÉ KVM
VARIAČNÍ ŘADA = znaky statistického souboru
seřazené podle velikosti.
VARIAČNÍ ROZPĚTÍ =diference mezi největší a nejmenší
hodnotou znaku statistického souboru tj. R=xmax – xmin
KVANTIL=hodnota kvantitativního statistického znaku,
která rozděluje (láme) variační řadu na jisté části.
KMV jsou využitelné pro stupnice ordinální a dále pro
stupnice metrické v případech, kdy nelze prokázat
normalitu rozložení četností dat (proč ne pro nominální
stupnice?).
Hráč A B C D E F G H J K
xi 7 6 7 8 9 8 8 8 9 10
yi 4 8 6 8 7 8 7 4 8 10
VARIAČNÍ ŘADA znaků x i 
VARIAČNÍ ŘADA znaků y i …4,4,6,7,7,8,8,8,8,10
VARIAČNÍ ROZPĚTÍ R = x max – x min  R = 10 – 4 = 6
PŘÍKLAD 4 Výpočet: variační řada, variační rozpětí.
Sami totéž pro znaky y i
6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10
R = 10 – 6 = 4VARIAČNÍ ROZPĚTÍ R = x max – x min 
DRUHY KVANTILŮ (kvartil, decil, percentil)
1. KVARTIL (Y) … kvartily rozdělují variační řadu na
čtvrtiny, na 4 skupiny.
Dolní kvartil (Q1, x25)
KOLIK MÁME KVARTILŮ?
Horní kvartil (Q3, x75)
(Střední kvartil) = medián
VÝPOČET KVANTILŮ
5,0
100



pn
zp
zp - pořadí kvantilu xp
n - rozsah souboru
Příklad : Urči dolní kvartil x25 , přičemž počet hodnot v souboru je
n = 40.
tzn., že 10,5 hodnota (resp. průměr desáté a jedenácté hodnoty) v
uspořádaném souboru představuje dolní kvartil x25
5,105,0
100
2540


pz
2
)11()10(
25
xx
x


2. DECIL
… decily rozdělují variační řadu na desetiny, na 10
skupin o 10% rozsahu souboru.
Označují se x10, x20, …x90
3. PERCENTIL (PROCENTIL)
…percentily rozdělují variační řadu na setiny, na 100
skupin o 1% rozsahu. Označují se x1, x2, …x99
DALŠÍ KVANTILOVÉ CHARAKTERISTIKY VARIABILITY
KVANTILOVÉ ROZPĚTÍ
kvartilové rozpětí x 75 – x 25
decilové rozpětí x 90 – x 10
percentilové rozpětí x 99 – x 1
KVANTILOVÉ ODCHYLKY
a) kvartilová odchylka
x 75 – x 25
Q =
2
b) decilová odchylka
x 90 – x 10
Q =
2
c) percentilová odchylka
x 99 – x 1
Q =
2
Měří varianci lépe než
variační rozpětí, není
ovlivněna extrémy.
Je osminou rozpětí
krajních decilů, záleží tedy
na rozpětí prostředních
80% prvků souboru.
Je devadesátiosminou
rozpětí krajních
percentilů.
Předchozí (kvantilové) míry variability udávají jen
rozpětí, v němž se znaky pohybují.
2. 3. 2 MOMENTOVÉ MÍRY VARIABILITY
(1) variaci ve smyslu vzájemné odlišnosti jednotlivých
hodnot znaku (mezi sebou),
(2) variaci ve smyslu odlišnosti jednotlivých hodnot
znaku od průměru.
Vhodnějšími mírami variability jsou momentové míry
variability (pokud je ovšem možné je vypočítat).
Jsou to takové charakteristiky, které udávají …
NEJČASTĚJI POUŽÍVANÉ MOMENTOVÉ MÍRY
VARIABILITY
AP…aritmetický průměr
Rozptyl (s2) … je aritmetickým průměrem ze čtverců
odchylek jednotlivých hodnot znaku od jejich
aritmetického průměru.
Rozptyl „měří“ variaci ve smyslu odlišnosti
jednotlivých hodnot znaku od průměru i ve smyslu
vzájemné odlišnosti jednotlivých hodnot znaku.
(pro rozsáhlé soubory)
x i …hodnota znaku
 ( x i - AP ) 2
s2 =
n
1. ROZPTYL
2. SMĚRODATNÁ (STANDARDNÍ) ODCHYLKA (s)
Symbolický tvar
s =  s2 (var x)
Směrodatná odchylka (s)
… je kvadratickým průměrem odchylek jednotlivých
hodnot znaku od aritmetického průměru.
 ( x i - AP ) 2
s = 
n
1
)( 2
2




n
xx
ss i
(pro rozsáhlé soubory)
3. VARIAČNÍ KOEFICIENT
s
V =
|AP |
s
V = 100 x
| AP |
umožňuje provést srovnání variability dvou či více
souborů, jejichž znaky jsou měřeny v různých
jednotkách (cm, kg, sekundy, …),
udává poměr směrodatné odchylky k aritmetickému
průměru, přesněji řečeno udává, kolik % aritmetického
průměru tvoří směrodatná odchylka.
Variační koeficient …
PŘÍKLAD 5
Výpočet: rozptyl, směrodatná odchylka, variační koeficient
Hráč A B C D E F G H J K
xi 7 6 7 8 9 8 8 8 9 10
yi 4 8 6 8 7 8 7 4 8 10
(7-8)2+(6-8)2+(7-8)2……(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2
s2 =
10
1+4+1+0+1+0+0+0+1+4 12
= = = 1,20
10 10
(1) Rozptyl AP=8
(2) Směrodatná odchylka s =  s2 = 1,09 = 1,1
s 1,09 s
V1= = = 0,14 resp. V1= . 100 = 14 %
AP 8 AP
Variační koeficient V1
V2 = 0,26 resp. V2 = 26 %  V1  V2
Sami - variační koeficient V2 tj. znaků y i …
Sami – směrodatná odchylka znaků y i …
Interpretace …
Pomocí Excelu – Statistické funkce
Výpočet: rozptyl, směrodatná odchylka, variační koeficient
VAR.VÝBĚR
vypočte rozptyl výběru
SMODCH.VÝBĚR
vypočte směrodatnou
odchylku výběru
VAR
SMODCH
yi
Stř. hodnota 7
Chyba stř. hodnoty 0,596285
Medián 7,5
Modus 8
Směr. odchylka 1,885618
Rozptyl výběru 3,555556
Špičatost -0,05776
Šikmost -0,49718
Rozdíl max-min 6
Minimum 4
Maximum 10
Součet 70
Počet 10
Největší (1) 10
Nejmenší (1) 4
Hladina spolehlivosti (95,0%) 1,34889
Pomocí Excelu – Analýza dat – Popisná statistika
Pomocí Excelu – Analýza dat – Popisná statistika
Sample Female (n=65)
Variables M SD min max
Age 10.20 0.60 9.0 10.9
Weight (kg) 36.76 6.10 25.8 53.0
Height (cm) 145.30 7.50 130.0 165.0
SR (kp) 18.90 4.82 11.0 36.6
SL (kp) 16.70 5.03 9.1 39.2
Tab. 1 Základní statistické charakteristiky sledovaných proměnných (Female, 9–10.9 let)
Legend:
SR…max. strength right hand, SL… max. strength left hand, M… mean, SD… standard deviation
1. URČENÍ TYPU ŠKÁLY (nominální, ordinální, metrické)
a) nominální + ordinální  neparametrické stat. metody
b) metrické  parametrické statistické metody
2. ROZLOŽENÍ ČETNOSTÍ ZNAKŮ (NORMÁLNÍ ČI JINÉ)
a) normální  parametrické statistické metody
b) jiné  neparametrické statistické metody
3. VÝPOČET ZÁKLADNÍCH STATISTICKÝCH CHARAKTERISTIK
a) míry centrální tendence
b) míry variability
c) míry závislosti
METODY DESKRIPTIVNÍ STATISTIKY
4
2.5 MÍRY ZÁVISLOSTI
2.5.1 ZÁVISLOST PEVNÁ, VOLNÁ, STATISTICKÁ A KORELAČNÍ
Jednorozměrné soubory - charakterizovány
jednotlivými statistickými znaky (výkon ve skoku do dálky,
v běhu na 100m, tělesná výška, tělesná hmotnost, …
Existence souvislostí mezi znaky:
úspěšnost střelby 1. a 2. pokus,
tělesná výška x hmotnost,…
2.5.1 ZÁVISLOST PEVNÁ, VOLNÁ, STATISTICKÁ A
KORELAČNÍ
Míry závislosti se zabývají hledáním, zkoumáním a
hodnocením souvislostí (závislostí, vztahů) mezi dvěma
(či více) statistickými znaky.
Závislosti znaků, věcí a jevů
mohou být velmi rozmanité:
• nepodstatné (náhodné)
• příčinné (kauzální) závislosti) jsou výrazem určité
vnitřní nutnosti (příčina vyvolává následek)
Příčinná (kauzální) závislost je závislost, kdy daný
jev či několik jevů (příčina) nutně vyvolává za
určitých podmínek jiný jev (následek, účinek).
Nejjednodušší formy kauzálních závislostí se
vyskytují u přírodních jevů např. ….
… při zahřívání tělesa za konstantních podmínek
(elementární příčina) dochází ke zvětšování jeho objemu
(elementární účinek) => tj. princip teploměru.
DRUHY ZÁVISLOSTÍ: 1. PEVNÁ ZÁVISLOST
Pevná závislost = případ, kdy výskytu jednoho jevu
NUTNĚ ODPOVÍDÁ výskyt druhého jevu.
Tedy jedné hodnotě jedné proměnné odpovídá jen jedna
hodnota jiné proměnné (funkční závislost).
Např. zahříváme-li těleso 5 min,
vzroste teplota o 10 º C,
zahříváme-li těleso 10 min,
vzroste teplota o 20 º C, atd.
PEVNÁ ZÁVISLOST
Pevná závislost – charakteristika:
 se opakuje ve všech jednotlivých případech (při
dodržení standardních podmínek).
 může být tedy charakterizována jediným
pozorováním (větší počet pozorování slouží k ověření
výsledků a vyloučení chyb).
 setkáváme se s ní při formulování zákonitostí
vztahů mezi proměnnými
(např. fyzikální zákony = Archimedův zákon).
2. VOLNÁ ZÁVISLOST
Volná závislost = případ, kdy výskyt jednoho jevu
OVLIVŇUJE výskyt druhého jevu (NE nutně odpovídá).
Tedy každé hodnotě jedné proměnné odpovídají různé
hodnoty jiné proměnné (statistická závislost).
Volnou závislost lze zkoumat pouze na základě mnoha
pozorování, jediné pozorování může přinést naprosto
nahodilý výsledek.
VOLNÁ ZÁVISLOST
 při jejím zkoumání hraje důležitou roli volba
vhodných statistických znaků (tedy takových,
které postihují jevy co nejpřesněji),
 dostatečný rozsah souboru (u malých souborů se
může projevit vliv náhodných a vedlejších činitelů).
Při zkoumání společenských jevů se většinou
nesetkáváme s pevnou závislostí ale s volnou, kdy
určitá příčina vede k různým účinkům.
Např. skok daleký: rychlost x délka skoku (volná z.)
VOLNÁ ZÁVISLOST
tržní poptávka
pozorované hodnoty
30
40
50
10 20 30 40
cena zboží v Kč
poptávka
po zboží v
kusech
pozorované
hodnoty
2.5.2 REGRESNÍ A KORELAČNÍ ANALÝZA
Metody regresní a korelační analýzy slouží k
poznání a matematickému popisu statistických
závislostí; jsou souhrnně označované jako
korelační počet.
Hlavní úkoly korelačního počtu:
1. postižení povahy korelační závislosti (regresní
analýza),
2. měření těsnosti korelační závislosti (korelační
analýza).
Hlavní úkoly korelačního počtu:
1. postižení povahy korelační závislosti (regresní
analýza),
2. měření těsnosti korelační závislosti (korelační
analýza).
1. postižení povahy korelační závislosti umožňuje odhady
neznámých hodnot závisle proměnné y při známých
hodnotách nezávisle proměnné x - hovoříme o regresi.
HLAVNÍ ÚKOLY KORELAČNÍHO POČTU
Povaha korelační závislosti je nejčastěji vyjadřována
matematickou funkcí - hovoříme o regresní funkci.
Tento úkol korelačního počtu nazýváme regresní analýza.
HLAVNÍ ÚKOLY KORELAČNÍHO POČTU
2. měření těsnosti korelační závislosti umožňuje posuzovat
přesnost regresních odhadů a míru korelační závislosti hovoříme
o vlastní korelaci.
Korelace je vyjadřována tzv. korelačním koeficientem.
Tento úkol korelačního počtu nazýváme korelační analýza.
2.5.3 REGRESNÍ ANALÝZA (LINEÁRNÍ)
Regresní analýza umožňuje postihnout povahu závislosti
pomocí matematické funkce, která by co nejlépe vyjadřovala
charakter zkoumané závislosti.
Hledaná matematická funkce se nazývá regresní funkce a je
vyjádřena regresní rovnicí.
Regresní funkce může nabývat mnoha typů:
• lineární regrese
• kubická regrese
• hyperbolická regrese • logaritmická regrese
• polynomická regrese
• kvadratická regrese
…a mnohé jiné…
1. ÚKOL „POSTIŽENÍ POVAHY KORELAČNÍ ZÁVISLOSTI“
Nejjednodušší z nich je LINEÁRNÍ REGRESNÍ FUNKCE, která
má ve své empirické podobě tvar
Y = a + b . x
Pro vyjádření regresní funkce konkrétní závislost (např.
tělesné výšky a hmotnosti) je třeba určit tzv. regresní
koeficienty a, b, přičemž vycházíme z empirických údajů
(měřených znaků) sledované závislosti.
Pro výpočet regresních koeficientů a, b je výhodné použít
následující vzorce
n  x i y i -  xi  y i  y i - b xi
b = ------------------------- a = ----------------------
n  xi
2
- (  xi ) 2
n
2.5.4 KORELAČNÍ ANALÝZA (LINEÁRNÍ)
Pojem korelace pochází z latiny (co – relation = souvztažnost),
korelaci nejčastěji označujeme symbolem „ r “.
Korelace je nejobecněji definována jako…
…volná kvantitativní závislost dvou či více jevů.
Korelace vyjadřuje míru (těsnost, stupeň) závislosti a je
charakterizována číslem, tzv. korelačním koeficientem (r),
který..
…„měří“ těsnost závislosti popsané lineární regresní funkcí.
2. ÚKOL „MĚŘENÍ TĚSNOSTI KORELAČNÍ ZÁVISLOSTI“
VZORCE PRO VÝPOČET KORELAČNÍHO KOEFICIENTU
Symbolická podoba vzorce pro výpočet korelačního koeficientu
sx,y cov (X, Y)
r = ---------- = --------------------
sx . sy  var X .var Y
kovariance
součin obou
směrodatných odchylek
Korelace je tedy matematicky podíl kovariance a součinu
obou směrodatných odchylek (viz dále).
Metrická data 
Pearsonův koeficient součinové korelace (vzorec)
 ( x i - x ).( y i - y )
r = ------------------------------------
  ( x i - x )2  ( y i - y )2
Pearsonův koeficient součinové korelace - výpočtový tvar
n  x i y i -  x i  y i
r = ---------------------------------------------------
  n  x i
2
- (  x i ) 2
 n  y i
2
- ( y i) 2

 x i y i – n x y
= ----------------------------------------
 (  x i
2
– n x ) (  y i
2
– n y )
Pro metrická data užíváme k výpočtu míry těsnosti korelační
závislosti tzv. Pearsonův koeficient součinové korelace.
Pro ordinální data užíváme k výpočtu míry těsnosti korelační
závislosti tzv. Spearmanův koeficient pořadové korelace.
n  xi y i -  xi  y i
r = ---------------------------------------------------
  n  xi
2
- ( xi )2
 n  y i
2
- ( y i)2

6 .  ( i x - i y ) 2
6
rxy = 1 - --------------------- = 1 - -------------  ( R i - Q i ) 2
n (n2
- 1) n (n2
- 1)
VLASTNOSTI KORELACE
1. VELIKOST KORELACE
Korelační koeficient r nabývá hodnot z intervalu <-1 ; 1>
Význam hodnot 0, 1, -1
r = 0  lineární nezávislost proměnných
r = 1  úplná (funkční) pozitivní lineární závislost
r = -1  úplná (funkční) negativní lineární závislost
Čím více se r blíží hodnotě 1, tím považujeme závislost za
silnější,
čím více se r blíží hodnotě 0, tím považujeme závislost za
slabší.
2. SMĚR KORELACE
a) kladná (pozitivní) <0;1>
b) záporná (negativní) <-1;0>
3. TVAR KORELACE
a) lineární (lze dosti dobře proložit přímku)
b) nelineární (nelze proložit přímku)
POZNÁMKY KE KORELACÍM
1. Matematicko-statistické předpoklady výpočtu korelačního
koeficientu:
a) linearita (korelačním polem lze dosti dobře proložit
přímku),
b) normalita (dvojrozměrné normální rozložení četností),
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0 1,0 2,0 3,0 4,0 z - body
směrodatné odchylky
počet případů pod
Gaussovou křivkou
[%]
34,13%
13,59%
34,13%
13,59%
2,14%
2,14%
0,13%0,13%
1. Matematicko-statistické předpoklady výpočtu korelačního
koeficientu:
c) dostatečný rozsah souboru (n=200, n=100, n=30)
1. Matematicko-statistické předpoklady výpočtu korelačního
koeficientu:
2. Věcný a formální smysl znaménka korelačního koeficientu
Např. vypočítaná korelační závislost výsledků studentů FTK
(n=185) v běhu na 100m …
… a ve skoku dalekém je
r = − 0,8 <-1 ; 1>
Co to znamená z hlediska
interpretace?
a) kladná (pozitivní) <0;1> b) záporná (negativní) <-1;0>
To by ovšem znamenalo, že kdo je rychlejší v běhu na 100m,
ten dosahuje horších výsledků ve skoku dalekém.
To je ovšem…
PROČ ???
…odborně i věcně NESMYSL!
…jakou „hodnotu“ má výsledek v běhu na 100 m
10,7 s versus 12,3 s?
PROTOŽE…
…jakou „hodnotu“ má výsledek ve skoku dalekém
570 cm versus 430 cm?
3. Koeficient determinace r 2
… určuje jaká část rozptylu výkonu v jednom testu je dána
proměnlivostí (variabilitou) výkonů v druhém testu.
Koeficient determinace r 2 = 0, 64 (64 %).
Např. výše uvedená korelační závislost výsledků studentů FTK
(n=185) v běhu na 100m a ve skoku dalekém r = 0,8 znamená,
že…
Tedy 64 % rozptylu výkonu ve skoku dalekém je ovlivněno
(determinováno) proměnlivostí (variabilitou) výkonů v běhu na
100m.
REGRESNÍ ANALÝZA (1. úkol korelačního počtu)
PŘÍKLAD 7. Výpočet - koeficientů regresní přímky
Regresní přímka Y = a + b . x
5
REGRESNÍ ANALÝZA (1. úkol korelačního počtu)
PŘÍKLAD 7. Výpočet - koeficientů regresní přímky
Hráč A B C D E F G H J K
xi 7 6 7 8 9 8 8 8 9 10
yi 4 8 6 8 7 8 7 4 8 10
Regresní přímka Y = a + b . x
POMOCNÁ TABULKA
Hráč X i Y i X i
2 Y i
2 X i . Y i
REGRESNÍ ANALÝZA (1. úkol korelačního počtu)
PŘÍKLAD 7. Výpočet - koeficientů regresní přímky
Hráč X i Y i X i
2 Y i
2 X i . Y i
A 7 4 49 16 28
B 6 8 36 64 48
POMOCNÁ TABULKA
C 7 6 49 36 42
D 8 8 64 64 64
E 9 7 81 49 63
F 8 8 64 64 64
G 8 7 64 49 56
H 8 4 64 16 32
J 9 8 81 64 72
K 10 10 100 100 100
 80 70 652 522 569
Y = a + b . x = 1 + 0,75 . x
Pořadí osob X i Y i X i
2 Y i
2 X i . Y i
 80 70 652 522 569
Statistické charakteristiky: APx = 8 APy = 7 s x= 1,1 s y= 1,8
Konstrukce regresní přímky za pomocí regresní rovnice
X 8 10Volba x 
Y 7 8,5Výpočet y 
Y = a + b . x = 1 + 0,75 . x
Pozn. x…nezávisle proměnná y…závisle proměnná
Y1 = 1 + 0,75 . 8 = 7 Y2 = 1 + 0,75 . 10 = 8,5
2) X = a + b . Y SAMI !!!
Z 1 (8; 7) Z 2 (10; 8,5)
Pozn. y…nezávisle proměnná x…závisle proměnná
Pořadí osob X i Y i X i
2 Y i
2 X i . Y i
 80 70 652 522 569
Statistické charakteristiky: APx = 8 APy = 7 s x= 1,1 s y= 1,8
Regresní přímka X = a + b . y
n  x i y i -  x i  y i  x i – b .  y i
b = ------------------------------- a = ----------------------
n  y i
2
- (  y i ) 2
n
X = a + b . y = 6 + 0,28 . y
10. 569 – 80.70 5690 - 5600 90
b = ------------------------- = ----------------------- = -------- = 0,28
10.522 - (70)2
5220 - 4900 320
80 – 0,28.70 60,4
a = ------------------------ = ---------- = 6
10 10
Graf korelační závislosti (= korelogram) - konstrukce
y (x)
10 
9
8     
7 
6 

5
4  
6 7 8 9 10 x (y)


A 7 4
B 6 8
C 7 6
D 8 8
E 9 7
F 8 8
G 8 7
H 8 4
J 9 8
K 10 10
x i y i
Z 1
Z 2
Pomocí Excelu – Statistické funkce
Výpočet koeficientů regresní přímky
2) X = a + b . Y
1) Y = a + b . X
INTERCEPT
odhad parametru a
SLOPE
odhad parametru b
Pomocí Excelu – Statistické funkce
Výpočet koeficientů regresní přímky
1) Y = a + b . X
Y = 1 + 0,75 . X
2) X = a + b . Y
X = 6 + 0,28 . Y
Pomocí Excelu – Analýza dat – Regrese
Výpočet koeficientů regresní přímky
1) Y = a + b . X
Y = 1 + 0,75 . X
Pomocí Excelu – Analýza dat – Regrese
Výpočet koeficientů regresní přímky
VÝSLEDEK
Regresní statistika
Násobné R 0,459279327
Hodnota spolehlivosti R 0,2109375
Nastavená hodnota spolehlivosti R 0,112304688
Chyba stř. hodnoty 1,7765838
Pozorování 10
ANOVA
Rozdíl SS MS F Významnost F
Regrese 1 6,75 6,75 2,138613861 0,181775314
Rezidua 8 25,25 3,15625
Celkem 9 32
Koeficienty Chyba stř. hodnoty t Stat Hodnota P Dolní 95% Horní 95%
Hranice 1 4,141130079 0,241479978 0,815257536 -8,549463079 10,54946308
xi 0,75 0,512855568 1,462400035 0,181775314 -0,432647059 1,932647059
korelační koeficient
koeficient determinace
Významnost F < α = 0,05 →
model je statisticky vhodný
a
b
Pomocí Excelu – Analýza dat – Regrese
Výpočet koeficientů regresní přímky
2) X = a + b . Y
X = 6 + 0,28 . Y
Pomocí Excelu – Analýza dat – Regrese
Výpočet koeficientů regresní přímky
VÝSLEDEK
Regresní statistika
Násobné R 0,459279327
Hodnota spolehlivosti R 0,2109375
Nastavená hodnota spolehlivosti R 0,112304688
Chyba stř. hodnoty 1,087930949
Pozorování 10
ANOVA
Rozdíl SS MS F Významnost F
Regrese 1 2,53125 2,53125 2,138613861 0,181775314
Rezidua 8 9,46875 1,18359375
Celkem 9 12
Koeficienty Chyba stř. hodnoty t Stat Hodnota P Dolní 95% Horní 95%
Hranice 6,03125 1,389509735 4,340559729 0,002476521 2,827034807 9,235465193
yi 0,28125 0,192320838 1,462400035 0,181775314 -0,162242647 0,724742647
koeficient determinace
korelační koeficient
Významnost F < α = 0,05 →
model je statisticky vhodný
a
b
KORELAČNÍ ANALÝZA (2. úkol korelačního počtu)
PŘÍKLAD 7. Výpočet (Pearsonova) korelačního koeficientu
Výpočtový tvar
Pořadí osob X i Y i X i
2 Y i
2 X i . Y i
 80 70 652 522 569
n  x i y i -  x i  y i
rx,y = ---------------------------------------------------
  n  x i
2
- (  x i ) 2
 n  y i
2
- ( y i) 2

10. 569 – 80.70
r = -------------------------------------------- = 0,46
 (10. 652 – 6400) . (10. 522 – 4900)
Pomocí Excelu – Statistické funkce
Výpočet (Pearsonova) korelačního koeficientu
CORREL
výpočet korelačního
koeficientu
r = 0,459
Vzhledem k intervalu <0;1> resp. <-1;0> se jedná o střední
míru závislosti (kladnou).
Jak „těsná“ je korelační závislost r = 0,46 ?
POSOUZENÍ A INTERPRETACE ZÁVISLOSTI
1. Korelační závislost (vyjádřená korelačním koeficientem)
platí pouze pro konkrétní výběr (soubor) s konkrétními
osobami, nelze tedy považovat tento vztah za obecně platný!
2. Chceme-li zobecnit platnost vypočítané závislosti „r“ na
základní soubor (populaci), musíme ověřit (testovat)
hypotézu o statistické významnosti korelačního
koeficientu.
3. Při testování významnosti „r“ (odlišnost od nuly),
zjišťujeme, zda je výběrový korelační koeficient statisticky
významný (s ohledem na rozsah souboru).
4. Zamítnutí (či nezamítnutí) nulové hypotézy provádíme
s určitou pravděpodobností na tzv. hladině významnosti
(obvykle bývá volena p = 0,05 resp. p = 0,01).
PRO NÁŠ PŘÍKLAD, kdy r = 0,46; n = 10
…zjistíme v tabulce kritických hodnot koeficientu
součinové korelace, …
Počet dvojic Kritické hodnoty
(na =0,05, =0,01)
n =0,05 =0,01
9 0,666 0,798
10 0,632 0,765
11 0,602 0,735
30 0,361 0,463
Tabulka kritických hodnot
… že „náš“ korelační koeficient r = 0,46 je pro obě hladiny
významnosti menší, než tzv. kritická hodnota, je tedy
STATISTICKY NEVÝZNAMNÝ.
Závěr: mezi výsledky 1. a 2. pokusů nebyla zjištěna závislost,
nelze tvrdit, že… CO? Interpretace! Ale pro n=30?
Test1 Test2
8 7
5 5
4 4
6 4
7 5
6 4
5 5
7 6
Příklad. Výpočet (Pearsonova) korelačního koeficientu
Testujte hypotézu, zda výběrový
korelační koeficient je statisticky
významný (s ohledem na rozsah
souboru).
Pořadí osob X i Y i X i
2 Y i
2 X i . Y i
 48 40 300 208 247
Příklad. Výpočet (Pearsonova) korelačního koeficientu
n  x i y i -  x i  y i
rx,y = ---------------------------------------------------
  n  x i
2
- (  x i ) 2
 n  y i
2
- ( y i) 2

8. 247 – 48.40 56
r = -------------------------------------------- = ----------- = 0,71
 (8. 300 – 2304) . (8. 208 – 1600) 78
r = 0,71 > 0,7067 pro α = 0,05
Na hladině α = 0,05 zamítáme
nulovou hypotézu. Koeficient je
statisticky významný.
SPEARMANŮV KOEFICIENT POŘADOVÉ KORELACE
Spearmanův koeficient pořadové korelace se používá pro
výpočet těsnosti závislosti:
 u znaků získaných na ordinální stupnici
(ordinálních znaků)
Vzorec pro výpočet Spearmanova koeficientu pořadové
korelace:
 u souborů o nevelkém rozsahu (n menší než 20)
 jestliže znaky nemají (či nelze prokázat) normální
rozložení četností
6 .  ( i x - i y ) 2
rxy = 1 - ---------------------
n (n2
- 1)
kde i x resp. i y je
index pořadí znaků
x resp. y
Příklad. Výpočet Spearmanova koeficientu pořadové korelace
Pořadí x i y i i x i y ( i x - i y ) 2
1 7 2,5. 4 1.5 2,5 1,5 1
2 6 1. 8 7,5. 1 7,5 42,25
3 7 2,5. 6 3 2,5 3 0,25
4 8 8 7,5. 5,5 7,5 4
5 9 7 4,5. 8,5 4,5 16
6 8 8 7,5. 5,5 7,5 4
7 8 7 4,5. 5,5 4,5 1
8 8 4 1.5 5,5 1,5 16
9 9 8 7,5. 8,5 7,5 1
10 10 10. 10 10. 10 10 0
 - - - - 85,5
6 .  ( i x - i y ) 2
6 . 85,5 513
r = 1 - -------------------- = 1 - -------------- = 1 - ---------- = 0,48
n (n2
- 1) 10 (100 - 1) 990
r = 0,48
Spearmanův koeficient pořadové korelace
Pearsonův koeficient součinové korelace
r = 0,46
POSOUZENÍ A INTERPRETACE ZÁVISLOSTI
…viz Pearsonův koeficient součinové korelace
Příklad. Výpočet Spearmanova koeficientu pořadové korelace
6 .  ( i x - i y ) 2
6 . 8 48
r = 1 - -------------------- = 1 - -------------- = 1 - ---------- = 0,95
n (n2
- 1) 10 (100 - 1) 990
Kritické hodnoty z tabulek α = 0,05 ……………. 0,6364
α = 0,01…………….. 0,7818
Hypotézu H0 : ρ= 0 o nezávislosti zamítáme
1. URČENÍ TYPU ŠKÁLY (nominální, ordinální, metrické)
a) nominální + ordinální  neparametrické stat. metody
b) metrické  parametrické statistické metody
2. ROZLOŽENÍ ČETNOSTÍ ZNAKŮ (NORMÁLNÍ ČI JINÉ)
a) normální  parametrické statistické metody
b) jiné  neparametrické statistické metody
3. VÝPOČET ZÁKLADNÍCH STATISTICKÝCH CHARAKTERISTIK
a) míry centrální tendence
b) míry variability
c) míry závislosti
METODY DESKRIPTIVNÍ STATISTIKY
3. ANALYTICKÁ STATISTIKA
3.1 Věcná a statistická významnost
3.2 Metody testování statistických hypotéz
TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ
POJMY: SOUBOR ZÁKLADNÍ A SOUBOR VÝBĚROVÝ
Pod pojmem základní soubor (generální soubor,
Grundgesamtkeit) rozumíme soubor všech jedinců,na kterých
bychom teoreticky měli šetření provádět (což však obvykle
nelze).
Musíme se proto spokojit s omezeným počtem jedinců
(pozorování, jevů), takovýto soubor potom nazýváme
výběrovým souborem (náhodný výběr, Stichprobe).
Z poznatků zjištěných u výběrového souboru, můžeme (při
splnění statistických požadavků) činit závěry platné pro
základní soubor.
Vysvětlení pojmů „soubory závislé a nezávislé“.
HYPOTÉZY
Hypotéza je dle KERLINGERA (1972) podmíněný výrok o
vztahu mezi dvěma nebo více proměnnými.
Hypotézy jsou důležité a nepostradatelné prostředky
vědeckého výzkumu, jsou pracovními nástroji teorie.
Kriteria dobrých hypotéz:
1. hypotézy jsou výroky o vztazích mezi proměnnými
2. hypotézy obsahují proměnné, které lze dobře zjišťovat a
měřit
3. vztahy mezi proměnnými lze ověřovat
PRACOVNÍ, VĚCNÁ A STATISTICKÁ HYPOTÉZA
2. Výzkumná (věcná) hypotéza - zpřesněná výpověď k předmětu
výzkumu odvozená z existujícího skutečného materiálu. Je to
domněnka o existenci vztahu mezi dvěma či více proměnnými,
ověřujeme ji prostřednictvím statistických hypotéz.
2. Statistická hypotéza je hypotetické tvrzení vyjádřené ve
statistických termínech o relacích, vyvozených ze vztahů ve
věcné hypotéze. Je to tedy jednoduše vyjádřená domněnka,
jejíž pravdivost lze ověřovat (testovat).
1. Pracovní hypotéza - tvoří základy pro předvýzkum a jsou
relativně všeobecně tvořeny, jsou subjektivními domněnkami o
předmětu problému.
Při srovnání tří druhů hypotéz se ukazuje, že stupeň obecnosti výpovědí klesá
od pracovní přes výzkumnou ke statistické hypotéze, zatímco stupeň její
přesnosti vzrůstá.
NULOVÁ A ALTERNATIVNÍ HYPOTÉZA
Základním typem úvahy při statistickém testování tzv. nulová
hypotéza (HO).
Podstatou nulové hypotézy je odůvodněný předpoklad, že mezi
dvěma jevy není statisticky významný rozdíl (rozdíl je nulový).
V případě zamítnutí nulové hypotézy přijímáme tzv.
alternativní hypotézu HA, tedy předpoklad, že rozdíl existuje.
K rozhodnutí, zda hypotézu zamítáme, či nezamítáme užijeme
tzv. testovací metody.
Jako nulová hypotéza se označuje domněnka, že dva
statistické soubory se shodují v určitých statistických
parametrech (např. AP) nebo v rozdělení četností.
H0: µ = µ0 HA: µ ≠ µ0 ; HA: µ > µ0 ; HA: µ < µ0
Hypotéza je testována (přezkušována, ověřována) pomocí tzv.
testovacích metod a zamítá se právě tehdy, je-li zjištěn
výsledek, který je při platnosti nulové hypotézy
nepravděpodobný.
Co je považováno za nepravděpodobný výsledek, musí být
stanoveno předem (např. tělesná výška mužů a žen je stejná).
Výsledky testování jsou posuzovány na tzv. hladině
významnosti.
Úroveň hladiny významnosti α = 0,05 znamená, že nulová
hypotéza se zamítá, když je pravděpodobnost, že nastane
nulová hypotéza, menší než 5% (interpretace pro α = 0,01).
V tomto případě je přijata alternativní hypotéza.
Nejčastěji srovnáváme aritmetické průměry dvou výběrových
souborů (o rozsahu n1, n2).
1. NOMINÁLNÍ DATA - STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
PŘEDPOKLAD PROBLÉM TESTOVACÍ
METODA
Dva nezávislé
soubory (znaky
nabývají právě
dvou hodnot)
Zkouška
významnosti rozdílů
souborů
X2
-čtyřpolní test
(Fischerův test,
čtyřpolní tabulka)
Dva nezávislé
soubory (znaky
nabývají více
hodnot)
Zkouška
významnosti rozdílů
souborů
X2
-vícepolní test
(kontingenční
tabulka)
Dva závislé
soubory (znaky
nabývají právě
dvou hodnot)
Zkouška
významnosti změn
X2
-Mc Nemarův
test
Dva závislé
soubory
Hodnocení
závislosti
Koef. kontingence
C
1. Lyžaři
2. Lyžaři
Znak - kouření
PŘÍKLADY
2. ORDINÁLNÍ DATA - STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
PŘEDPOKLAD PROBLÉM TESTOVACÍ METODA
Dva nezávislé
soubory
Test rovnosti
centrálních
tendencí
Medianový test
(jednoduchý), U-test
Mann-Whitneyho,
Kolmogorov-Smirnovův
test, Marshallův test
Dva závislé
soubory
Test rovnosti
centrálních
tendencí
Znaménkový test,
Wilcoxonův test
Více nezávislých
souborů
Test rovnosti
centrálních
tendencí
Medianový test
(rozšířený), H-test
Kruskal-Wallisův (analýza
rozptylu)
Dva závislé
soubory
Hodnocení míry
závislosti
Spearmanův resp.
Kendallův koeficient
korelace
Více závislých
souborů
Hodnocení míry
závislosti
Friedmanova analýza
rozptylu
1. Gymnasté A
2. Gymnasté B
Znak - body
PŘÍKLADY
3. METRICKÁ DATA - STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY I
PŘEDPOKLAD PROBLÉM TESTOVACÍ
METODA
Dva nezávislé
soubory
Zkouška rovnosti
rozptylů
(homogenita)
F-test
Dva nezávislé
soubory
Zkouška rovnosti
středních hodnot
t-test
Dva nezávislé
soubory
Zkouška
nezávislosti
korelací
Korelační test
Dva závislé
soubory
Zkouška rovnosti
rozptylů
(homogenita)
F-test
Tenisté
Tenistky
Znak:
TV
PŘÍKLADY
3. METRICKÁ DATA - STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY II
PŘEDPOKLAD PROBLÉM TESTOVACÍ
METODA
Dva závislé
soubory
Zkouška rovnosti
středních hodnot
Diferenční t-test
(párový)
Dva závislé
soubory
Hodnocení
závislosti
Koef. součinové
korelace a regrese
Více nezávislých
souborů
Zkouška rovnosti
průměrů
Analýza rozptylu,
Duncanův test
pořadí, Bartlettův
test
Více nezávislých
souborů
Zkouška rovnosti
korelačních
koeficientů
Test homogenity
Tenisté
Tenistky
Znak:
TV
PŘÍKLADY
ROZHODOVACÍ DIAGRAM PRO UŽITÍ t-TESTU
DVA NÁHODNÉ VÝBĚRY
NEZÁVISLÉ ZÁVISLÉ
t-test pro t-test pro
nezávislé výběry závislé výběry
F-test
homogenní heterogenní
rozptyl rozptyl
s1
2 = s2
2 s1
2  s2
2
t-test pro t-test pro
homogenní heterogenní
rozptyl rozptyl
STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
Párový t - test
- dva závislé soubory
- zkouška rovnosti středních hodnot
PŘÍKLAD – Zjistěte, zda se na automobilu určité značky sjíždějí
obě přední pneumatiky stejně rychle
číslo automobilu 1 2 3 4 5 6
pravá pneumatika 1,8 1 2,2 0,9 1,5 1,6
leva pneumatika 1,5 1,1 2 1,1 1,4 1,4
rozdíl 0,3 -0,1 0,2 -0,2 0,1 0,2
H0 : μ = μ1 – μ2 = 0 HA : μ = μ1 – μ2 ≠ 0




2
1;1


n
tTn
s
X
T hypotézu nelze
zamítnou
STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
Párový t - test
číslo automobilu 1 2 3 4 5 6
pravá pneumatika 1,8 1 2,2 0,9 1,5 1,6
leva pneumatika 1,5 1,1 2 1,1 1,4 1,4
rozdíl 0,3 -0,1 0,2 -0,2 0,1 0,2
 
     
1941,00377,0
0377,0
5
18833,0
5
1167,00167,02833,01167,01833,02167,0
1
1
0833,0
6
5,0
2,01,02,02,01,03,0
6
11
2
1
222222
22
1












ss
XX
n
s
X
n
X
n
i
i
n
n
i
571,20518,16
1941,0
00833,0
571,2975,0;5
2
05,0
1;16
2
1;1







n
s
X
T
ttt
n


STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
Párový t - test
Protože 1,0518 < 2,571, nelze na základě získaných dat zamítnout
hypotézu, že se obě přední pneumatiky sjíždějí stejně rychle.
= > z tabulek
STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
Párový t - test
Pomocí Excelu – Analýza dat – Dvouvýběrový párový t-test
na střední hodnotu
Dvouvýběrový párový t-test na střední hodnotu
pravá pneumatika leva pneumatika
Stř. hodnota 1,5 1,416666667
Rozptyl 0,24 0,109666667
Pozorování 6 6
Pears. korelace 0,961571662
Hyp. rozdíl stř. hodnot 0
Rozdíl 5
t Stat 1,051757905
P(T<=t) (1) 0,17053101
t krit (1) 2,015048372
P(T<=t) (2) 0,34106202
t krit (2) 2,570581835
STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
Dvouvýběrový t - test
- dva nezávislé soubory
- test rovnosti středních hodnot
PŘÍKLAD – U studentů rozdělených do dvou skupin byl zaznamenán
počet leh-sedů za 1 minutu. Jsou obě skupiny stejně výkonné?
H0 : μ1 = μ2
HA : μ1 ≠ μ2
   
 







2
1;2
22
2
11

mn
YX
tT
mn
mnnm
smsn
YX
T
hypotézu nelze
zamítnou
1. skupina 62 54 55 60 53 58
2. skupina 52 56 49 50 51
STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
Dvouvýběrový t - test
1. skupina 62 54 55 60 53 58
2. skupina 52 56 49 50 51
n1=6 n2=5 APX=57 APY=51,6 sX
2 =12,8 sY
2 =7,3
   
 
   
 
79,255,24
2,295,62
4,5
56
256.5.6
3,7158,1216
6,5157
2
11 22















mn
mnnm
smsn
YX
T
YX
262,279,2
262,2975,0;9
2
05,0
1;256
2
1;2



T
ttt
mm

STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
Dvouvýběrový t -test
Protože 2,79 ≥ 2,262 zamítáme hypotézu, že se obě skupiny studentů
jsou stejně výkonné.
= > z tabulek
STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
Dvouvýběrový t - test
Pomocí Excelu – Analýza dat – Dvouvýběrový t-test s
rovností rozptylů
Dvouvýběrový t-test s rovností rozptylů
1. skupina 2. skupina
Stř. hodnota 57 51,6
Rozptyl 12,8 7,3
Pozorování 6 5
Společný rozptyl 10,35555556
Hyp. rozdíl stř. hodnot 0
Rozdíl 9
t Stat 2,77122216
P(T<=t) (1) 0,010855041
t krit (1) 1,833112923
P(T<=t) (2) 0,021710083
t krit (2) 2,262157158
STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
F - test
- dva nezávislé soubory
- zkouška rovnosti rozptylů
PŘÍKLAD – Na základě dat uvedených v předchozím příkladě
rozhodněte, zda oba základní soubory mají stejné rozptyly.
H0 : σX
2 = σY
2
HA : σX
2 ≠ σY
2



2
1;1,1
2
2
1,

mn
Y
X
FZ
Zabytakvolím
s
s
Z
hypotézu nelze
zamítnou
1. skupina 62 54 55 60 53 58
2. skupina 52 56 49 50 51
STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
F - test
1. skupina 62 54 55 60 53 58
2. skupina 52 56 49 50 51
n=6 m=5 sX
2 =12,8 sY
2 =7,3
753,1
3,7
8,12
2
2

Y
X
s
s
Z
36,9753,1
36,9975,0;4,5
2
05,0
1;15,16
2
1;1,1



Z
FFF
mn

Protože 1,753 < 9,36 nelze zamítnout hypotézu o shodnosti rozptylů.
= > z tabulek
STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
F - test
Pomocí Excelu – Analýza dat – Dvouvýběrový F-test pro rozptyl
Dvouvýběrový F-test pro rozptyl
1. skupina 2. skupina
Stř. hodnota 57 51.6
Rozptyl 12.8 7.3
Pozorování 6 5
Rozdíl 5 4
F 1.753424658
P(F<=f) (1) 0.303172533
F krit (1) 6.256056502
Děkuji
za pozornost