11. Skalární součin a ortogonalita
11. Skalární součin a ortogonalita ­ p. 1/17
Skalární součin a ortogonalita
1. Definice skalárního součinu
2. Norma vektoru
3. Norma indukovaná skalárním součinem
4. Ortogonální množiny vektorů
5. Schmidtův ortogonalizační proces
6. Ortogonální matice
11. Skalární součin a ortogonalita ­ p. 2/17
11.1 Definice skalárního součinu
0
v2
v1
v
x2
u2
u1 x1
u
1
2

Pro kosinus úhlu  vektorů u a v platí
cos  = cos(2 - 1) =
= cos 1 cos 2 + sin 1 sin 2 =
= u1
u2
1+u2
2
 v1
v2
1+v2
2
+ u2
u2
1+u2
2
 v2
v2
1+v2
2
Označíme-li
u = u2
1 + u2
2, v = v2
1 + v2
2
(u, v) = u1v1 + u2v2
dostaneme
cos  =
(u, v)
u v
11. Skalární součin a ortogonalita ­ p. 3/17
11.1 Definice skalárního součinu
DEFINICE 1
Skalární součin na reálném vektorovém prostoru V je symetrická
bilineární forma na V jejíž odpovídající kvadratická forma je pozitivně
definitní.
Označíme-li si (u, v) skalární součin vektorů u, v, platí tedy pro
jakékoliv vektory u, v, w a   R:
S1 (u + v, w) = (u, w) + (v, w)
S2 (u, v) = (u, v)
S3 (u, v) = (v, u)
S4 (u, u) > 0 pro u = o
Například (u, v) = u
Av, kde A je pozitivně definitní.
11. Skalární součin a ortogonalita ­ p. 4/17
11.2 Norma vektoru
DEFINICE 2
Nechť V je vektorový prostor. Zobrazení, které každému vektoru
v  V přiřazuje nezáporné reálné číslo v , se nazývá norma,
jestliže pro každé u, v  V a libovolný skalár  platí:
N1 u + v  u + v
N2 u = || u
N3 u = 0, právě když u = o
P ŘÍKLAD 1 1. Předpis u  = max{|u1|, |u2|} definuje normu
na R2
.
2. Předpis u 1 = |u1| + |u2| definuje normu na R2
.
11. Skalární součin a ortogonalita ­ p. 5/17
11.3 Norma indukovaná skalárním součinem
V ĚTA 1 (SCHWARZOVA NEROVNOST)
Nechť V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Pak
pro každé dva vektory u, v  V platí
(u, v)2
 (u, u)(v, v).
Rovnost nastane, právě když jsou u, v závislé.
D ŮKAZ: Tvrzení je zřejmé, je-li některý z vektorů nulový. Předpokládejme proto,
že v = o, a všimněme si, že pro každé dva vektory u, v platí
0  (u + v, u + v) = (u, u) + 2(u, v) + 2
(v, v).
Zvolíme-li si
 = (u,
v)
(v, v)
,
dostaneme po úpravě
0  (u, u) (u,
v)
2
(v, v)
,
odkud po vynásobení obou stran nerovnosti (v, v) a jednoduché úpravě dostaneme
nerovnost. Rovnost nastane, jen když (u + v, u + v) = 0, t.j. 1  u + v = o.
11. Skalární součin a ortogonalita ­ p. 6/17
11.3 Norma indukovaná skalárním součinem
D ŮSLEDEK: Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem a
nechť je pro každý vektor v  V definováno v = (v, v). Pak
pro každé dva vektory u, v  V platí
u + v  u + v
a zobrazení v  v je norma na V.
D ŮKAZ: Z axiomů skalárního součinu a Schwarzovy nerovnosti plyne
u + v
2
= (u + v, u + v) = (u, u) + 2(u, v) + (v, v) 
 u
2
+ 2 u v + v
2
= ( u + v )
2
.
Platnost zbývajících dvou axiomů normy je bezprostředním důsledkem axiomů
skalárního součinu.
Norma definovaná předpisem v = (v, v) se nazývá
eukleidovská norma.
11. Skalární součin a ortogonalita ­ p. 7/17
11.4 Ortogonální množiny vektorů
Definice ortogonality vektorů je motivována známou skutečností, že dva polohové
vektory v rovině či prostoru jsou ortogonální, právě když je kosinus jejich úhlu
roven nule.
DEFINICE 3
Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem. Množina vektorů
E = {e1, . . . ek} je ortogonální, právě když (ei, ej) = 0 pro
i = j.
Jestliže navíc (ei, ei) = 1 pro všechna i = 1, . . . , k, pak je E
ortonormální.
Množina všech vektorů x  V, které jsou ortogonální k dané
množině vektorů U, se nazývá ortogonální doplněk U (vzhledem
k množině V) a značí se U
.
11. Skalární součin a ortogonalita ­ p. 8/17
11.4 Ortogonální množiny vektorů
LEMMA 1 Je-li E = {e1, . . . , ek} ortogonální množina nenulových
vektorů, pak je E nezávislá.
D ŮKAZ: Po skalárním vynásobení rovnosti x1e1 +    + xkek = o vektorem
ei  E dostaneme
(ei, x1e1 +    + xkek) = (ei, o),
odkud pomocí axiomů skalárního součinu získáme xi(ei, ei) = 0, tedy xi = 0
P ŘÍKLAD 2 Vypočtěte souřadnice vektoru x vektorového prostoru
V v ortogonální bázi E = (e1, . . . , ek).
ŘEŠENÍ: Z rovnosti
x = x1e1 +    + xkek
dostaneme po skalárním vynásobení obou stran vektorem ei  E a úpravě, že
xi =
(ei, x)
(ei, ei)
.
Nemusíme tedy řešit žádnou soustavu rovnic.
11. Skalární součin a ortogonalita ­ p. 9/17
11.4 Ortogonální množiny vektorů
V ĚTA 2
Nechť A je libovolná matice. Pak N(A
) je ortogonální doplněk
H(A).
D ŮKAZ: Nechť x  H(A) a y  N(A
). Pak A
y = o a x lze vyjádřit ve
tvaru x = Az.
Platí tedy
x
y = (Az)
y = z
A
y = 0,
takže množiny N(A
) a H(A) jsou ortogonální. Pro matici A typu (m, n) platí,
že h(A) = h(A
) neboť sloupcová hodnost je rovna hodnosti řádkové. Pro
každou matici A
je h(A
) + d(A
) = m a tudíž h(A) + d(A
) = m. Odtud
N(A
) je ortogonální doplněk H(A).
11. Skalární součin a ortogonalita ­ p. 10/17
11.4 Ortogonální množiny vektorů
P ŘÍKLAD 3 Nechť e1(x) = x a e2(x) = 1 - x jsou dvě lineární funkce
vektorového prostoru P2 všech lineárních funkcí se skalárním součinem
definovaným rovností
(p, q) = p(0)q(0) + p(1)q(1).
Snadno se ověří, že předpis skutečně definuje skalární součin na P2 a že
E = (e1, e2) tvoří ortonormální bázi P2, neboť
(e1, e2) = 0(1 - 0) + 1(1 - 1) = 0, (e1, e1) = 1, (e2, e2) = 1.
Pak libovolnou lineární funkci e(x) = a + bx můžeme vyjádřit ve tvaru
e = 1e1 + 2e2,
kde
1 = (e, e1) = e(0)  e1(0) + e(1)  e1(1) = e(1) = a + b
2 = (e, e2) = e(0)  e2(0) + e(1)  e2(1) = e(0) = a.
Snadno si ověříme, že skutečně platí a + bx = (a + b)x + a(1 - x).
11. Skalární součin a ortogonalita ­ p. 11/17
11.5 Schmidtův ortogonalizační proces
Kde vzít ortogonální bázi? Z každé báze F = (f1, . . . , fk) prostoru V
lze sestavit ortogonální bázi E = (e1, . . . , en).
Na začátku si všimneme, že f1 = o, a položíme
e1 = f1.
Předpokládejme, že máme ortogonální vektory e1, . . . , ek takové, že
pro každé i  {1, . . . , k} je vektor ei lineární kombinací vektorů
f1, . . . , fi. Najdeme koeficienty 1, . . . , k tak, aby
ek+1 = fk+1 - 1e1 -    - kek
byl ortogonální k e1, . . . , ek.
Jelikož pro i  {1, . . . , k} by mělo platit
0 = (ek+1, ei) = (fk+1-1e1-  -kek, ei) = (fk+1, ei)-i ei
2
,
stačí položit i = (fk+1, ei)/ ei
2
.
11. Skalární součin a ortogonalita ­ p. 12/17
11.5 Schmidtův ortogonalizační proces
Právě popsaný algoritmus se nazývá Schmidtův ortogonalizační
proces.
Normalizací vektorů báze E = (e1, . . . , en) dostaneme ortonormální
bázi G = (g1, . . . , gn) s vektory
g1 =
e1
e1
, . . . , gn =
en
en
.
P ŘÍKLAD 4 Nechť
A =


2 -1 0
-1 2 -1
0 -1 2

 .
Najděte ortogonální bázi R3
vzhledem ke skalárnímu součinu
(x, y)A = x
Ay.
11. Skalární součin a ortogonalita ­ p. 13/17
11.5 Schmidtův ortogonalizační proces
ŘEŠENÍ: Bázi sestavíme Schmidtovým ortonormalizačním
procesem ze standardní báze S = (sI
1, sI
2, sI
3).
e1 = sI
1 =


1
0
0

 .
Položíme e2 = sI
2 - e1 a určíme  aby platilo
0 = (e1, e2)A = e
1 AsI
2 - e
1 Ae1 = -1 - 2,
odkud  = -1
2
a
e2 =


0
1
0

 - -
1
2


1
0
0

 =


1
2
1
0

 .
11. Skalární součin a ortogonalita ­ p. 14/17
11.5 Schmidtův ortogonalizační proces
ŘEŠENÍ (Pokračování):
Položíme e3 = sI
3 - 1e1 - 2e2 a určíme 1, 2 aby platilo
0 = (e1, e3)A = e
1 AsI
3 - 1e
1 Ae1 = -21,
0 = (e2, e3)A = e
2 AsI
3 - 2e
2 Ae2 = -1 - 3
2
2.
Řešením této soustavy dostaneme 1 = 0, 2 = -2
3
a
e3 =



0
0
1


 - 0



1
0
0


 - -
2
3



1
2
1
0


 =



1
3
2
3
1


 .
11. Skalární součin a ortogonalita ­ p. 15/17
11.6 Ortogonální matice
Čtvercová matice U, která splňuje U
U = I, se nazývá ortogonální
matice. Ortogonální matice má tedy ortonormální sloupce a splňuje
U-1
= U
.
V ĚTA 3
Nechť U je čtvercová matice řádu n. Pak jsou následující tvrzení
ekvivalentní:
1. U
U = I.
2. Pro všechny sloupcové vektory x řádu n platí (Ux)
(Ux) =
x
x.
3. Pro všechmy sloupcové vektory x, y řádu n platí
(Ux)
(Uy) = x
y.
11. Skalární součin a ortogonalita ­ p. 16/17
11.6 Ortogonální matice
D ŮKAZ:
Z 1. plyne 2. Z U
U = I plyne
(Ux)
(Ux) = x
U
Ux = x
x.
Z 2. plyne 3. Ověří se použitím vztahu
BS
(x, y) =
1
2
QB(x + y) - QB(x) - QB(y) .
Z 3. plyne 1. Z předpokladu dostaneme pro sloupce si, sj
jednotkové matice
U
U ij
= s
i U
Usj = (Usi)
Usj = s
i sj = s
i Isj = [I]ij .
Ortogonální matice se uplatní v numerických metodách, neboť
jejich inverzní matice lze získat transponováním a jejich násobením
se nezesilují zaokrouhlovací chyby. 11. Skalární součin a ortogonalita ­ p. 17/17