13. Úvod do spektrální teorie
13. Úvod do spektrální teorie ­ p. 1/16
Úvod do spektrální teorie
1. Vlastní čísla a vektory
2. Charakteristický mnohočlen a spektrum
3. Invariantnost vzhledem k podobnosti
4. Součet a součin vlastních čísel
5. Lokalizace vlastních čísel
6. Spektrum reálné symetrické matice
7. Spektrální rozklad reálné symetrické matice
13. Úvod do spektrální teorie ­ p. 2/16
13.1 Vlastní čísla a vektory
DEFINICE 1
Nechť A  L(V) je lineární transformace definovaná na
vektorovém prostoru V. Jestliže existuje nenulový vektor
e  V a skalár  tak, že
Ae = e, ()
pak se  nazývá vlastní číslo transformace A, e se
nazývá vlastní vektor příslušný k  a (, e) se nazývá
vlastní dvojice transformace A.
V případě konečněrozměrných vektorových prostorů ztotožňujeme
lineární transformaci s její maticí vzhledem k nějaké bázi. Pak
mluvíme o vlastních číslech a vektorech čtvercové matice pro něž
platí analogický vztah ke vztahu ().
13. Úvod do spektrální teorie ­ p. 3/16
13.1 Vlastní čísla a vektory
Rovnost () si můžeme zapsat pomocí identity ve tvaru
(A - I)e = o,
takže  je vlastním číslem A, právě když A - I není
prosté zobrazení, a vlastní vektory A příslušné k  jsou
prvky jádra A - I.
Množina všech vlastních čísel A  L(V) je
podmnožinou množiny (A) všech skalárů , pro které
neexistuje (A - I)-1
. Množina (A) se nazývá
spektrum transformace A a pro transformace prostorů
konečné dimenze je totožná s množinou všech vlastních
čísel A.
V případě konečněrozměrných vektorových prostorů ztotožňujeme
13. Úvod do spektrální teorie ­ p. 4/16
13.1 Vlastní čísla a vektory
P ŘÍKLAD 1 Nechť
A =
1 0
0 2
.
Pak vektory standardní báze s1, s2 jsou vlastní vektory matice A
odpovídající po řadě vlastním číslům 1 a 2, neboť
1 0
0 2
1
0
= 1
1
0
a
1 0
0 2
0
1
= 2
0
1
.
P ŘÍKLAD 2 Nechť V je libovolný vektorový prostor a I je
identické zobrazení definované na V. Pak pro každý vektor v  V
platí
Iv = 1  v,
takže každý nenulový vektor je vlastním vektorem identity
odpovídající vlastnímu číslu 1 a (I) = {1}. 13. Úvod do spektrální teorie ­ p. 5/16
13.2 Charakteristický mnohočlen a spek-
trum
Je-li A čtvercová matice, tak násobení maticí A - I není prosté
zobrazení, právě když A - I je singulární. Pak skalár   (A),
právě když det(A - I) = 0.
Výraz det(A - I) se nazývá charakteristický mnohočlen matice A
a každé vlastní číslo   (A) je kořenem charakteristické rovnice
|A - I| = 0.
Podle takzvané základní věty algebry má každá algebraická rovnice
s komplexními koeficienty alespoň jeden komplexní kořen. Odtud
vyplývá, že každá čtvercová matice považovaná za transformaci
konečněrozměrného komplexního prostoru má neprázdné spektrum.
13. Úvod do spektrální teorie ­ p. 6/16
13.2 Charakteristický mnohočlen a spek-
trum
P ŘÍKLAD 3 Vypočtěte vlastní čísla a vektory matice
A =
2 1
1 2
det(A - I) =
2 -  1
1 2 - 
= 2
- 4 + 3 = 0,
odkud 1 = 3, 2 = 1.
Vlastní vektory matice A vypočteme postupně řešením soustav (A - iI)e = o
1 : -x1 +x2 = 0 2 : x1 + x2 = 0
x1 -x2 = 0 x1 + x2 = 0,
odkud
e1 =
1
1
, a e2 =
1
-1
.
Snadno si ověříme, že
2 1
1 2
1
1
= 3
1
1
,
2 1
1 2
1
-1
= 1
1
-1
.
13. Úvod do spektrální teorie ­ p. 7/16
13.3 Invariantnost vzhledem k podobnosti
Nechť A je libovolná čtvercová matice a nechť
Ae = e.
Po přenásobení této rovnice libovolnou regulární maticí T
dostaneme
TAe = Te,
odtud
TAT-1
(Te) = (Te).
Odtud plyne, že podobné matice mají stejná vlastní čísla.
Použitím věty o součinu determinantů dostaneme
det(TAT-1
- I) = |TAT-1
- TIT-1
| = |T(A - I)T-1
| =
= |T||A - I||T-1
| = det(A - I),
takže podobné matice mají stejný charakteristický mnohočlen.
13. Úvod do spektrální teorie ­ p. 8/16
13.4 Součet a součin vlastních čísel
LEMMA 1 Nechť A = [aij] je čtvercová matice n-tého řádu. Pak
1. 1  . . .  n = det A
2. 1 +    + n = a11 +    + ann (tzv. stopa matice)
D ŮKAZ: Nechť det(A - I) = (a11 - )    (ann - ) + pn-2(), kde pn-2 je
mnohočlen řádu nejvýše n - 2.
Tento charakteristický mnohočlen můžeme dále upravit na tvar
det(A - I) = (-)n
+ (a11 +    + ann)(-)n-1
+ qn-2(),
s mnohočlenem qn-2 stupně nejvýše n - 2.
Charakteristický mnohočlen lze také rozložit na součin kořenových činitelů
det(A - I) = (1 - )    (n - ) =
= (-)n
+ (1 +    + n)(-)n-1
+    + 1    n.
Po dosazení  = 0 do posledního výrazu dostaneme
det A = 1    n
a porovnáním koeficientů u (-)n-1
a11 +    + ann = 1 +    + n. 13. Úvod do spektrální teorie ­ p. 9/16
13.5 Lokalizace vlastních čísel
V ĚTA 1 (GERŠGORIN)
Nechť A = [aij] je čtvercová komplexní matice řádu n a nechť
ri = |ai1| +    + |aii| +    + |ain| a Si = {x  C : |x - aii|  ri},
kde stříška nad symbolem značí jeho vynechání. Pak
(A)  S1      Sn.
D ŮKAZ: Nechť Ax = x, x = [xi] a x = o. Pak ai1x1 +    + ainxn = xi,
odkud převedením členu aiixi na pravou stranu dostaneme
ai1x1 +    + aiixi +    + ainxn = ( - aii)xi.
Pomocí vlastností absolutní hodnoty tak snadno ověříme, že platí
|ai1||x1| +    + |aii||xi| +    + |ain||xn|  | - aii||xi|. ()
Nechť i je takové, že |xi| = max
j
|xj|. Jelikož |xi| > 0, platí |xj|/|xi|  1.
Vydělíme-li rovnost () |xi|, dostaneme
|ai1| +    + |aii| +    + |ain|  | - aii|,
tedy   Si. 13. Úvod do spektrální teorie ­ p. 10/16
13.5 Lokalizace vlastních čísel
P ŘÍKLAD 4 Pomocí Geršgorinovy věty najděte co nejmenší část komplexní
roviny, která obsahuje spektrum matice
A =


2 i 0
1 3 1
1 i 4


ŘEŠENÍ:r1 = |i| + |0| = 1, r2 = 1 + 1 = 2, r3 = 1 + |i| = 2. Odtud S1 = {x 
C : |x - 2|  1}, S2 = {x  C : |x - 3|  2}, S3 = {x  C : |x - 4|  2}, takže
(A)  S1  S2  S3. Část komplexní roviny obsahující (A) je na obrázku, kde
je vyšrafována oblast obsahující (A). Z obrázku plyne, že 0  (A), takže
matice A je regulární. Im
Re5 61 2 3 4
i
2i
0
13. Úvod do spektrální teorie ­ p. 11/16
13.6 Spektrum reálné symetrické matice
V ĚTA 2
Nechť A je reálná symetrická matice. Pak (A)  R.
D ŮKAZ: Nechť  je komplexní vlastní číslo reálné symetrické matice A = [aij]
řádu n, jemuž přísluší vlastní vektor e = [ei], takže
Ae = e. ()
Pak pro  komplexně sdružené s  a vektor e = [ej] se složkami ej komplexně
sdruženými s ej platí
[Ae]i = ai1e1 +    + ainen = ai1e1 +    + ainen = ei = ei = e i
pro každý index i, takže
Ae = e. ()
Přenásobíme-li nyní rovnici () zleva e
a rovnici () zleva e
, dostaneme
e
Ae = e
e =  |e1|2
+    + |en|2
,
e
Ae = e
e =  |e1|2
+    + |en|2
,
odkud s pomocí
e
Ae = e
Ae 
= e
Ae
snadno odvodíme  = .
13. Úvod do spektrální teorie ­ p. 12/16
13.6 Spektrum reálné symetrické matice
V ĚTA 3
Vlastní vektory reálné symetrické matice A odpovídající různým
vlastním číslům jsou ortogonální.
D ŮKAZ: Předpokládejme, že  =  jsou vlastní čísla matice A, kterým odpovídají
vlastní vektory e a f, takže
Ae = e a Af = f. ()
Přenásobíme-li rovnice () postupně zleva f
a e
, dostaneme
f
Ae = f
e a e
Af = e
f,
odkud s pomocí
f
Ae = f
Ae 
e
Af a f
e = f
e 
= e
f
plyne
f
e = f
e.
Pro  =  tedy musí platit f
e = 0.
13. Úvod do spektrální teorie ­ p. 13/16
13.7 Spektrální rozklad
V ĚTA 4
Nechť A je reálná symetrická matice. Pak existuje ortogonální matice
U a diagonální matice D tak, že
A = U
DU.
Řádky rU
i matice U jsou transponované ortonormální vlastní vektory
matice A příslušné vlastním číslům i = [D]ii.
P ŘÍKLAD 5 Nechť
A =
5 4
4 5
.
Pak A má vlastní čísla 1 = 9, 2 = 1, kterým odpovídají vlastní
vektory
e1 =
1
1
a e2 =
1
-1
.
13. Úvod do spektrální teorie ­ p. 14/16
13.7 Spektrální rozklad
P ŘÍKLAD 5 (Pokračování) Jelikož
e1 = e
1 e1 =

2, e2 = e
2 e2 =

2,
můžeme sestavit z normalizovaných vlastních vektorů matici
U =
e
1 / e1
e
2 / e2
=
1
2
1
2
1
2
- 1
2
=
1

2
1 1
1 -1
.
Snadno si ověříme, že
A =
1

2
1 1
1 -1
9 0
0 1
1

2
1 1
1 -1
.
Pomocí spektrálního rozkladu můžeme definovat skalární funkci
reálné symetrické matice, která je definována na (A) předpisem
f(A) = U
f(D)U, kde f(D) = diag (f(1), . . . , f(n)).
13. Úvod do spektrální teorie ­ p. 15/16
13.7 Spektrální rozklad
P ŘÍKLAD 6 Vypočtěte

A
A =
5 4
4 5
.
ŘEŠENÍ: Podle příkladu 4 platí A = U
DU, kde
D =
9 0
0 1
a U =
1

2
1 1
1 -1
.
Odtud

A = U

DU =
1
2
1 1
1 -1
3 0
0 1
1 1
1 -1
=
=
1
2
1 1
1 -1
3 3
1 -1
=
2 1
1 2
.
Přímým výpočtem si můžeme ověřit, že

A

A =
2 1
1 2
2 1
1 2
=
5 4
4 5
= A.
13. Úvod do spektrální teorie ­ p. 16/16