1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace ­ p. 1/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný vektor 4. Matice 5. Násobení matice skalárem a sčítání matic 6. Nulová matice a odečítání matic 7. Transponované matice 8. Násobení matice a vektoru 9. Násobení matic 10. Blokové matice 1. Matice a maticové operace ­ p. 2/35 1.1 Aritmetické vektory DEFINICE 1 n-rozměrný aritmetický vektor je uspořádaná n-tice čísel, jejíž prvky se nazývají složky. Tyto uspořádané ntice budeme zapisovat do hranatých závorek do řádků nebo sloupců. P ŘÍKLAD 1 Vektor průhybů lana z úvodního příkladu II můžeme definovat předpisem u = [u0, u1, u2, u3, u4, u5, u6]. Řešením úlohy je pak vektor u = [0, 0.6708, 1.0732, 1.2074, 1.0732, 0.6708, 0] 1. Matice a maticové operace ­ p. 3/35 1.1 Aritmetické vektory Jestliže v je aritmetický vektor, pak i-tou složku vektoru v budeme značit [v]i. Např. [u]1 = u0 = 0. Počet složek aritmetického vektoru nazýváme jeho rozměrem nebo též dimenzí. Například vektor x = [1, 2] je dvourozměrný, vektor u je sedmirozměrný. DEFINICE 2 Dva aritmetické vektory u a v považujeme za stejné (píšeme u = v), jestliže mají stejnou dimenzi n a stejné odpovídající složky, tj. [u]1 = [v]1, ..., [u]n = [v]n. Vektory u a v, které nejsou stejné, jsou různé (píšeme u = v). Jestliže u = [1, 2] a v = [2, 1], pak [u]1 = 1, [v]1 = 2, takže u = v. 1. Matice a maticové operace ­ p. 4/35 1.1 Aritmetické vektory Dvou a třírozměrné vektory - polohové vektory Volné a vázané vektory Vícerozměrné vektory: Znázornění vektoru [1, 2, 1, 2] 1. Matice a maticové operace ­ p. 5/35 1.2 Operace s aritmetickými vektory DEFINICE 3 Součin skaláru (čísla) a aritmetického vektoru u = [u1, ..., un] je vektor u definovaný předpisem u = [u1, ..., un]. Pro složky u tedy platí [u]i = [u]i, i = 1, ..., n, například 3[1, 2] = [3 1, 3 2] = [3, 6], 3[1, 2] 1 = 3 1 = 3, 3[1, 2] 2 = 3 2 = 6. 1. Matice a maticové operace ­ p. 6/35 1.2 Operace s aritmetickými vektory DEFINICE 4 Součet aritmetických vektorů u = [u1, ..., un] a v = [v1, ..., vn] stejné dimenze je vektor u + v definovaný předpisem u + v = [u1 + v1, ..., un + vn]. Pro složky u + v tedy platí [u + v]i = [u]i + [v]i, i = 1, ..., n. Například [1, 2] + [2, 3] = [1 + 2, 2 + 3] = [3, 5], [1, 2] + [2, 3] 1 = 1 + 2 = 3, [1, 2] + [2, 3] 2 = 2 + 3 = 5. 1. Matice a maticové operace ­ p. 7/35 1.2 Operace s aritmetickými vektory V ĚTA 1 Pro libovolná čísla , a vektory u,v,w stejné dimenze platí: u + (v + w) = (u + v) + w (1) u + v = v + u (2) (u + v) = u + v (3) ( + )u = u + u (4) (u) = ()u (5) 1u = u (6) D ŮKAZ: (6) [1u]i = 1[u]i = [u]i 1. Matice a maticové operace ­ p. 8/35 1.3 Nulový a opačný vektor DEFINICE 5 Vektor o = [0, . . . , 0] se nazývá nulový vektor. Nulový vektor dimenze n budeme značit on. Je-li vektor u = [u1, ..., un] libovolný aritmetický vektor, pak se vektor -u = [-u1, ..., -un] = (-1)u nazývá opačný vektor k vektoru u. Je-li u libovolný n-rozměrný vektor, pak u + on = u. Opačný vektor splňuje u + (-u) = o. Jestliže u a v jsou libovolné aritmetické vektory stejné dimenze, pak jediný vektor x, který splňuje u + x = v lze zapsat ve tvaru x = v + (-u) = (-u) + v. Rozdíl aritmetických vektorů: v - u = v + (-u) 1. Matice a maticové operace ­ p. 9/35 1.4 Matice DEFINICE 6 Nechť jsou dány prvky a11, a12, . . . , amn z dané množiny F. Matice typu (m, n) (stručně m × n matice) je obdélníková tabulka A = a11 . . . a1n ... ... ... am1 . . . amn která má mn prvků aij uspořádaných do m řádků rA i a n sloupců sA j , takže A = rA 1 ... rA m = sA 1 , . . . , sA n , rA i = ai1, . . . , ain , sA j = a1j ... amj . Stručně píšeme též A = [aij]. 1. Matice a maticové operace ­ p. 10/35 1.4 Matice Prvky množiny F nazýváme také skaláry (lze je sčítat a násobit obdobně jako čísla). Množinu všech matic typu (m, n) s prvky z množiny F budeme značit Fm,n . (Matice reálné, komplexní, polynomiální). Jestliže m = n, pak se A nazývá čtvercová matice řádu n. Matici typu (1, n) nazýváme řádkovým vektorem řádu n. Matici typu (m, 1) nazýváme sloupcovým vektorem řádu m. Prvky a11, . . . , ass, s = min{m, n} tvoří diagonálu matice A. Prvek v i-tém řádku a j-tém sloupci matice A značíme [A]ij. 1. Matice a maticové operace ­ p. 11/35 1.4 Matice Matice z úvodního příkladu I: A = 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 Reálná matice typu (7,8), tj. A R7,8 . Diagonála: 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0. [A]63 = 1. Matice z úvodního příkladu II: A = 2 -1 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 -1 2 Reálná čtvercová matice řádu 5, tj. A R5,5 . Diagonála: 2, 2, 2, 2, 2. [A]43 = -1. 1. Matice a maticové operace ­ p. 12/35 1.4 Matice DEFINICE 7 Matice A a B považujeme za stejné (píšeme A = B), jestliže jsou stejného typu a mají stejné odpovídající prvky, tj. [A]ij = [B]ij. Matice A a B, které nejsou stejné, jsou různé (píšeme A = B). P ŘÍKLAD 2 1 2 = [1, 2], 1 2 3 4 = 2 1 3 4 . 1. Matice a maticové operace ­ p. 13/35 1.5 Násobení matice skalárem a sčítání matic DEFINICE 8 Součin skaláru a matice A je matice A stejného typu jako A definovaná předpisem [A]ij = [A]ij. P ŘÍKLAD 3 2 1 2 2 1 = 2 4 4 2 . 1. Matice a maticové operace ­ p. 14/35 1.5 Násobení matice skalárem a sčítání matic DEFINICE 9 Součet matic A a B stejného typu je matice A + B stejného typu jako A a B definovaná předpisem [A + B]ij = [A]ij + [B]ij. P ŘÍKLAD 4 1 2 2 1 + 0 3 2 4 = 1 5 4 5 . 1. Matice a maticové operace ­ p. 15/35 1.5 Násobení matice skalárem a sčítání matic V ĚTA 2 Pro libovolné číselné matice A, B, C stejného typu a pro libovolné skaláry , platí vztahy: A + (B + C) = (A + B) + C (1) A + B = B + A (2) (A + B) = A + B (3) ( + )A = A + A (4) (A) = ()A (5) 1A = A (6) D ŮKAZ: (6) [1A]ij = 1[A]ij = [A]ij 1. Matice a maticové operace ­ p. 16/35 1.6 Nulová matice a odečítání matic DEFINICE 10 Matice O = 0 . . . 0 ... ... ... 0 . . . 0 se nazývá nulová matice. Nulová matice typu (m, n) se značí Omn. Je-li A libovolná matice pak matice ­ A se nazývá opačná matice k matici A a platí [-A]ij = -[A]ij 1. Matice a maticové operace ­ p. 17/35 1.6 Nulová matice a odečítání matic V ĚTA 3 Pro libovolnou matici A a nulovou matici stejného typu platí A + O = A (1) A + (-A) = O (2) -A = (-1)A (3) D ŮKAZ: (1): [A + O]ij = [A]ij + [O]ij = [A]ij + 0 = [A]ij, (2): [A + (-A]ij = [A]ij + [-A]ij = [A]ij + (-[A]ij) = 0 = [O]ij, (3): [-A]ij = -[A]ij = (-1)[A]ij = [(-1)A]ij. 1. Matice a maticové operace ­ p. 18/35 1.6 Nulová matice a odečítání matic Jestliže matice A a B jsou libovolné matice stejného typu, pak jedinou matici X, která splňuje A + X = B, lze zapsat ve tvaru X = B + (-A) = (-A) + B. Definujeme odečítání matic nebo též rozdíl matic předpisem A - B = A + (-B). P ŘÍKLAD 5 A = 1 -2 3 0 , B = 2 1 1 -2 , A - B = A + (-B) = 1 -2 3 0 + -2 -1 -1 2 = -1 -3 2 2 . 1. Matice a maticové operace ­ p. 19/35 1.7 Transponované matice DEFINICE 11 K dané matici A typu (m, n) definujeme matici transponovanou A typu (n, m) předpisem A ij = A ji . P ŘÍKLAD 6 1 2 3 4 5 6 = 1 4 2 5 3 6 V ĚTA 4 Pro matice stejného typu a libovolný skalár platí: (A + B) = A + B (4) (A) = A (5) 1. Matice a maticové operace ­ p. 20/35 1.8 Násobení matice a vektoru Soustava z úvodního příkladu II: 2u1 -u2 = 0.2683 -u1 +2u2 -u3 = 0.2683 -u2 +2u3 -u4 = 0.2683 -u3 +2u4 -u5 = 0.2683 -u4 +2u5 = 0.2683 S využitím definice násobení vektoru skalárem a součtu vektorů: u1 2 -1 0 0 0 +u2 -1 2 -1 0 0 +u3 0 -1 2 -1 0 +u4 0 0 -1 2 -1 +u5 0 0 0 -1 2 = 0.2683 0.2683 0.2683 0.2683 0.2683 1. Matice a maticové operace ­ p. 21/35 1.8 Násobení matice a vektoru Předchozí rovnici lze přepsat: u1sA 1 + u2sA 2 + u3sA 3 + u4sA 4 + u5sA 5 = b () Ze sloupcových vektorů sA 1 , . . . , sA 5 sestavíme matici A = sA 1 , sA 2 , sA 3 , sA 4 , sA 5 = 2 -1 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 -1 2 Levá strana rovnice () definuje součin matice A a vektoru u, takže Au = b, kde u = u1 u2 u3 u4 u5 , b = 0.2683 0.2683 0.2683 0.2683 0.2683 1. Matice a maticové operace ­ p. 22/35 1.8 Násobení matice a vektoru DEFINICE 12 Součinem matice A = [aij] typu (m, n) a sloupcového vektoru x = [xi] dimenze n nazýváme vektor dimenze m definovaný předpisem y = Ax = x1sA 1 + + xnsA n . Rozepsáním definice po složkách dostaneme [y]i = [Ax]i = ai1x1 + + ainxn = rA i x. Toto pravidlo si můžeme znázornit pomocí: y A x yi = ai1 . . . ain - x1 ... xn 1. Matice a maticové operace ­ p. 23/35 1.8 Násobení matice a vektoru Jako příklady násobení matice a vektoru si uveďme a11 a12 a21 a22 x1 x2 = a11x1 + a12x2 a21x1 + a22x2 , 2 1 0 -1 3 1 1 2 3 = 2 1 + 1 2 + 0 3 -1 1 + 3 2 + 1 3 = 4 8 . V ĚTA 5 Pro libovolné matice A, B typu (m, n), n-rozměrné vektory u, v a skalár platí: A(u) = (Au) = (A)u (1) A(u + v) = Au + Av (2) (A + B)u = Au + Bu (3) D ŮKAZ: (2) A(u + v) i = rA i (u + v) = ai1(u1 + v1) + + ain(un + vn) = = (ai1u1 + + ainun) + (ai1v1 + + ainvn) = = rA i u + rA i v = [Au]i + [Av]i, 1. Matice a maticové operace ­ p. 24/35 1.9 Násobení matic A, B libovolné čtvercové matice řádu 3, x vektor dimenze 3. A(Bx) = A x1sB 1 + x2sB 2 + x3sB 3 = x1AsB 1 + x2AsB 2 + x3AsB 3 Odtud můžeme definovat matici AB = AsB 1 , AsB 2 , AsB 3 . DEFINICE 13 Jestliže A je matice typu (m, p) a B je matice typu (p, n), pak součin matic A a B je matice AB typu (m, n) definovaná předpisem AB = AsB 1 , . . . , AsB n . 1. Matice a maticové operace ­ p. 25/35 1.9 Násobení matic Rozepíšeme-li si definici násobení matic po složkách, dostaneme [AB]ij = ai1b1j + + aipbpj = rA i sB j a AB = rA 1 sB 1 . . . rA 1 sB n ... ... ... rA msB 1 . . . rA msB n = rA 1 B ... rA mB . Toto pravidlo si můžeme znázornit pomocí: AB A B [AB]ij = ai1 . . . aip - b1j ... bpj 1. Matice a maticové operace ­ p. 26/35 1.9 Násobení matic P ŘÍKLAD 7 Příklady násobení matic: a11 a12 a21 a22 b11 b12 b21 b22 = a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 , 2 1 0 -1 -2 3 1 2 0 1 = 2 1 + 1 0 2 2 + 1 1 0 1 - 1 0 0 2 - 1 1 -2 1 + 3 0 -2 2 + 3 1 = 2 5 0 -1 -2 -1 , 1 2 0 1 2 1 0 -1 -2 3 nelze násobit!!! 1. Matice a maticové operace ­ p. 27/35 1.9 Násobení matic Z definice lze ihned vidět, že pro libovolné matice A, B a vektor x je A(Bx) = (AB)x pokud jsou tyto výrazy definovány. Obecněji platí následující vztahy. V ĚTA 6 Pro libovolný skalár a matice A, B, C platí: A(B) = (AB) = (A)B (1) A(B + C) = AB + AC (2) (A + B)C = AC + BC (3) kdykoliv jsou uvedené výrazy definovány. D ŮKAZ (2): A(B + C) ij = rA i sB+C j = rA i (sB j + sC j ) = = rA i sB j + rA i sC j = [AB]ij + [AC]ij 1. Matice a maticové operace ­ p. 28/35 1.9 Násobení matic V ĚTA 7 Pro násobení matice A typu (m, p), matice B typu (p, q) a matice C typu (q, n) platí také tzv. asociativní zákon, tj. A(BC) = (AB)C D ŮKAZ: A(BC) = A BsC 1 , . . . , BsC n = A(BsC 1 ), . . . , A(BsC n ) = = (AB)sC 1 , . . . , (AB)sC n = (AB)C. Indukcí lze dokázat obdobné tvrzení i pro součin více než tří matic. Odtud speciálně vyplývá, že mocnina čtvercové matice Ak = AA A k je definována jednoznačně neboť nezáleží na uzávorkování. 1. Matice a maticové operace ­ p. 29/35 1.9 Násobení matic DEFINICE 14 Čtvercová matice I = 1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 . . . 1 se nazývá jednotková matice. Jednotková matice řádu n se značí In. V ĚTA 8 Jestliže A je libovolná matice, pak pro jednotkové matice příslušné dimenze platí AI = A, IA = A. D ŮKAZ: Např. [AI]ij = ai1 0 + + aij 1 + + ain 0 = aij = [A]ij 1. Matice a maticové operace ­ p. 30/35 1.9 Násobení matic Pro matice A = 1 2 3 4 , B = 0 1 0 0 platí AB = 1 2 3 4 0 1 0 0 = 0 1 0 3 , BA = 0 1 0 0 1 2 3 4 = 3 4 0 0 takže AB = BA. Navíc platí B2 = 0 1 0 0 0 1 0 0 = O. Pro násobení matic tedy neplatí komutativní zákon a mocnina nenulové matice může být nulová matice! 1. Matice a maticové operace ­ p. 31/35 1.9 Násobení matic V ĚTA 9 Jestliže je A matice typu (m, p) a B je matice typu (p, n), pak platí: (AB) = B A D ŮKAZ: (AB) ij =[AB]ji = rA j sB i = =aj1b1i + + ajpbpi = =b1iaj1 + + bpiajp = = sB i rA j = B A ij . 1. Matice a maticové operace ­ p. 32/35 1.10 Blokové matice Pomocí vhodně zvolených horizontálních či vertikálních čar můžeme rozdělit matice na submatice nebo bloky. Například následující matici typu (3, 4) můžeme rozdělit na čtyři bloky A = 1 0 1 2 2 1 3 1 5 4 0 1 = C D E F . Matice, jejichž prvky jsou uspořádány do bloků, nazýváme blokové matice. Pro blokové matice používáme obdobnou terminologii jako pro běžné matice, takže mluvíme o blokové diagonále nebo o blokových řádcích. 1. Matice a maticové operace ­ p. 33/35 1.10 Blokové matice Operace s blokovými maticemi lze provádět po blocích jak popisuje následující věta. Tohoto lze využít při paralelních výpočtech. V ĚTA 10 Jestliže jsou blokové matice A a B rozděleny stejným způsobem na bloky, pak platí: A = C D E F , A + B = C D E F + P Q R S = C + P D + Q E + R F + S . A = C D E F = C E D F 1. Matice a maticové operace ­ p. 34/35 1.10 Blokové matice V ĚTA 11 Jestliže A = A11 . . . A1p ... ... ... Am1 . . . Anp , B = B11 . . . B1n ... ... ... Bp1 . . . Bpn jsou dvě blokové matice rozdělené na bloky tak, že počet sloupců bloků Aik je stejný jako počet řádků bloků Bkj, pak se libovolný blok Cij součinu AB vyčíslí podle pravidla Cij = Ai1B1j + + AipBpj. Speciálně pro násobení blokové matice a blokového vektoru platí: B C D E y z = By + Cz Dy + Ez . 1. Matice a maticové operace ­ p. 35/35