6. Lineární nezávislost a báze
6. Lineární nezávislost a báze ­ p. 1/18
Lineární nezávislost a báze
1. Závislé a nezávislé vektory
2. Lineární kombinace a závislost
3. Postačující podmínky pro nezávislost funkcí
4. Báze vektorového prostoru
5. Souřadnice vektoru
6. Použití souřadnic
6. Lineární nezávislost a báze ­ p. 2/18
6.1 Závislé a nezávislé vektory
DEFINICE 1
Neprázdná konečná množina vektorů S = {v1, . . . , vk}
vektorového prostoru V je lineárně nezávislá, jestliže
rovnice
1v1 +    + kvk = o ()
má jediné řešení
1 =    = k = 0.
Jestliže S = {v1, . . . , vk} je nezávislá, říkáme také, že
vektory v1, . . . , vk jsou nezávislé. Má-li rovnice () i
jiné řešení, pak říkáme, že S je lineárně závislá a vektory
v1, . . . , vk jsou závislé.
6. Lineární nezávislost a báze ­ p. 3/18
6.1 Závislé a nezávislé vektory
Geometrický význam lineární závislosti pro
dvourozměrné vázané vektory
o u
v
w
3 w = -w
1u
2v
o
1u = u
2v = -u
v
1u + 2v + 3 w = o 1u + 2v = o
6. Lineární nezávislost a báze ­ p. 4/18
6.1 Závislé a nezávislé vektory
P ŘÍKLAD 1 Jestliže v1 = [2, -1, 0], v2 = [1, 2, 5] a v3 = [7, -1, 5],
pak množina vektorů S = {v1, v2, v3} je lineárně závislá, neboť
3v1 + v2 - v3 = o.
P ŘÍKLAD 2 Mnohočleny p1(x) = 1 - x, p2(x) = 5 + 3x - 2x2
a
p3(x) = 1 + 3x - x2
tvoří lineárně závislou množinu v P3, neboť
pro každé x  R platí 3p1(x) - p2(x) + 2p3(x) = 0, tj.
3p1 - p2 + 2p3 = o.
P ŘÍKLAD 3 Vektory e1 = [1, 0, 0], e2 = [0, 1, 0] a e3 = [0, 0, 1]
tvoří lineárně nezávislou množinu reálných třírozměrných
aritmetických vektorů, neboť 1e1 + 2e2 + 3e3 = o pouze
pro 1 = 0, 2 = 0, 3 = 0.
6. Lineární nezávislost a báze ­ p. 5/18
6.2 Lineární kombinace a závislost
DEFINICE 2
Vektor v z vektorového prostoru V budeme nazývat
lineární kombinací vektorů v1, . . . , vk  V, jestliže existují
skaláry 1, . . . , k tak, že
v = 1v1 +    + kvk.
P ŘÍKLAD 4 Mnohočlen p1(x) = x z vektorového prostoru P1
všech lineárních reálných mnohočlenů je lineární kombinací
mnohočlenů p2(x) = x + 1 a p3(x) = x + 2, neboť pro libovolné
reálné x platí
p1(x) = x = 2(x + 1) - (x + 2) = 2p2(x) - p3(x),
takže p1 = 2p2 - p3.
6. Lineární nezávislost a báze ­ p. 6/18
6.2 Lineární kombinace a závislost
V ĚTA 1
Konečná množina nenulových vektorů S = {v1, . . . vm}
je lineárně závislá, právě když existuje k  2 tak, že
vektor vk je lineární kombinací vektorů v1, . . . , vk-1.
D ŮKAZ: Nechť S je množina nenulových lineárně závislých
vektorů. Uvažujme množiny
S1 = {v1}, S2 = {v1, v2}, . . . , Sm = {v1, . . . , vm} a nechť Sk je
nejmenší množina vektorů, které jsou lineárně závislé, takže platí
1v1 +    + kvk = o ()
a některý z koeficientů 1, . . . , k je nenulový. Pak k  2, neboť S1
je zřejmě nezávislá množina vektorů, a k = 0, neboť jinak by Sk-1
byla lineárně závislá.
6. Lineární nezávislost a báze ­ p. 7/18
6.2 Lineární kombinace a závislost
D ŮKAZ: Pokračování
Rovnici () můžeme tedy upravit pomocí axiomů vektorového
prostoru na tvar
vk =
-1
k
v1 +    +
-k-1
k
vk-1.
Obráceně, jestliže pro 2  k  m platí
vk = 1v1 +    + k-1vk-1,
pak
-(1v1) -    - (k-1vk-1) + 1vk + 0vk+1 +    + 0vm = o,
takže Sm je lineárně závislá, neboť koeficient 1 u vk je nenulový.
6. Lineární nezávislost a báze ­ p. 8/18
6.3 Postačující podmínky pro nezávislost
funkcí
Nechť S = {f1, . . . , fk} je konečná množina reálných funkcí
vektorového prostoru F. S je nezávislá právě tehdy, když z
1f1(x) +    + kfk(x) = 0
pro všechna x  R plyne, že 1 =    = k = 0.
Dosadíme-li za x postupně různá čísla x1, . . . , xk, dostaneme
soustavu k lineárních rovnic o k neznámých 1, . . . , k ve tvaru:
1f1(x1) + . . . + kfk(x1) = 0
... . . .
...
...
1f1(xk) + . . . + kfk(xk) = 0
Pokud má tato soustava regulární matici, plyne odsud, že
1 =    = k = 0 a S je nezávislá množina.
6. Lineární nezávislost a báze ­ p. 9/18
6.3 Postačující podmínky pro nezávislost
funkcí
P ŘÍKLAD 5 Rozhodněte, zda jsou mocniny x, x2
a x3
lineárně
nezávislé.
ŘEŠENÍ:Zvolíme si body x1 = 1, x2 = 2 a x3 = 3, které postupně
dosadíme do funkcí f1(x) = x, f2(x) = x2
, f3(x) = x3
, a vytvoříme
soustavu: 1 + 2 + 3 = 0
21 + 42 + 83 = 0
31 + 92 + 273 = 0
Matici této soustavy převedeme na schodový tvar. Dostaneme


1 1 1
2 4 8
3 9 27

 -2r1
-3r1



1 1 1
0 2 6
0 6 24


-3r2



1 1 1
0 2 6
0 0 6

 .
Matice soustavy je regulární, takže soustava má jen nulové řešení
1 = 2 = 3 = 0. Funkce x, x2
a x3
jsou tedy lineárně nezávislé.
6. Lineární nezávislost a báze ­ p. 10/18
6.4 Báze vektorového prostoru
DEFINICE 3
Konečná množina E vektorů vektorového prostoru V je
báze vektorového prostoru V, jestliže
E je nezávislá.
Každý vektor v  V lze vyjádřit jako lineární kombinaci
vektorů E.
Ne každý vektorový prostor má bázi ve smyslu naší
definice. Například neexistuje žádná konečná množina
reálných funkcí, jejichž lineární kombinací by bylo
možno vyjádřit libovolnou reálnou funkci.
6. Lineární nezávislost a báze ­ p. 11/18
6.4 Báze vektorového prostoru
P ŘÍKLAD 6 Vektory e1 = [1, 0, 0], e2 = [0, 1, 0], e3 = [0, 0, 1] tvoří
bázi V = R3
. Jakýkoli vektor v = [v1, v2, v3] tohoto prostoru lze
vyjádřit ve tvaru v = v1e1 + v2e2 + v3e3. Báze E = (e1, e2, e3) je
zvláštním případem standardní báze Rn
, která je tvořena řádky či
sloupci jednotkové matice In.
P ŘÍKLAD 7 Mnohočleny p1(x) = 1 a p2(x) = x tvoří bázi
vektorového prostoru P2. Každý mnohočlen p(x) = a0 + a1x lze
zapsat ve tvaru p = a0p1 + a1p2. Mnohočleny zde považujeme za
reálné funkce definované na celé reálné ose. Nechť a0p1 + a1p2 = o,
tj. a0 + a1x = 0 pro všechna x. Pro x = 0 dostáváme
a0 + a1  0 = 0, odkud a0 = 0, a pro x = 1 pak z a1  1 = 0
dostaneme a1 = 0, takže p1 a p2 jsou nezávislé.
6. Lineární nezávislost a báze ­ p. 12/18
6.5 Souřadnice vektoru
DEFINICE 4
Nechť E = (e1, . . . , en) je uspořádaná báze vektorů vektorového
prostoru V. Nechť v  V. Potom čísla v1, . . . , vn, pro která platí
v = v1e1 +    + vnen,
nazýváme souřadnice vektoru v v bázi E.
V ĚTA 2
Nechť E = (e1, . . . , en) je uspořádaná báze vektorového prostoru
V a nechť x1, . . . , xn a y1, . . . , yn jsou souřadnice vektoru v  V
v bázi E. Pak x1 = y1, . . . , xn = yn.
D ŮKAZ: Nechť E = (e1, . . . , en) je báze a v = x1e1 +    + xnen =
= y1e1 +    + ynen. Pak o = v + (-1)v = x1e1 +    + xnen+
+(-1)(y1e1 +    + ynen) = (x1 - y1)e1 +    + (xn - yn)en.
Jelikož vektory báze jsou nezávislé, plyne odtud x1 = y1, . . . , xn = yn.
6. Lineární nezávislost a báze ­ p. 13/18
6.5 Souřadnice vektoru
Souřadnice každého vektoru v  V jsou v dané bázi E určeny
jednoznačně. Budeme je zapisovat také do aritmetického vektoru,
který se nazývá souřadnicový vektor a značí se [v]E.
P ŘÍKLAD 8 Libovolný aritmetický vektor v = [v1, v2, v3] má ve
standardní bázi E = (e1, e2, e3) z příkladu 6 souřadnice v1, v2, v3,
neboť
[v1, v2, v3] = v1[1, 0, 0] + v2[0, 1, 0] + v3[0, 0, 1].
Jeho souřadnicový vektor je [v]E = [v1, v2, v3].
P ŘÍKLAD 9 Mnohočlen p(x) = x + 2 má v bázi P = (p1, p2)
z příkladu 7, kde p1(x) = 1 a p2(x) = x, souřadnice 2, 1, neboť
p(x) = x + 2 = 2p1(x) + 1p2(x).
Jeho souřadnicový vektor je [p]P = [2, 1].
6. Lineární nezávislost a báze ­ p. 14/18
6.6 Použití souřadnic
Pomocí souřadnic můžeme převést úlohy s vektory, které lze popsat
pomocí lineárních kombinací bázových vektorů daného vektorového
prostoru, na úlohy s aritmetickými vektory. K tomu použijeme
zobrazení
V  v  [v]E  Rn
LEMMA 1 Pro libovolné vektory u, v  V a skalár  platí
1. [u + v]E = [u]E + [v]E
2. [u]E = [u]E
D ŮKAZ: Jsou-li u1, . . . , un souřadnice vektoru u a v1, . . . , vn souřadnice vektoru
v v bázi E = (e1, . . . , en), tzn. u = u1e1 +    + unen a v = v1e1 +    + vnen,
pak u + v = u1e1 +    + unen + v1e1 +    + vnen =
= (u1 + v1)e1 +    + (un + vn)en a u = u1e1 +    + unen, odkud
[u + v]E = [u]E + [v]E a [u]E =  [u]E .
6. Lineární nezávislost a báze ­ p. 15/18
6.6 Použití souřadnic
Při řešení úloh s lineárními kombinacemi vektorů, například
máme-li vyjádřit nějaký vektor jako lineární kombinaci jiných
vektorů nebo máme-li rozhodnout, zda je nějaká množina vektorů
nezávislá, postupujeme následovně:
Zvolíme si takovou bázi E daného vektorového prostoru, ve
které lze všechny vektory snadno vyjádřit.
Najdeme souřadnicové vektory všech vektorů, které se
vyskytují v popisu problému.
Řešíme úlohu, kterou dostaneme z původní úlohy záměnou
všech vektorů za souřadnicové vektory.
Postup ovšem předpokládá, že máme k dispozici vhodnou bázi, což
nemusí být vždycky splněno. 6. Lineární nezávislost a báze ­ p. 16/18
6.6 Použití souřadnic
P ŘÍKLAD 10 Najděte souřadnice mnohočlenu p(x) = x2
- 1 v bázi
P = (p1, p2, p3), kde p1(x) = 1, p2(x) = x + 1, p3(x) = x2
+ x + 1.
ŘEŠENÍ:
Zvolíme si bázi E = (e1, e2, e3), kde e1(x) = 1, e2(x) = x, e3(x) = x2
.
Najdeme souřadnice vektorů p, p1, p2, p3 v bázi E. Dostaneme
[p]E = [-1, 0, 1], [p1]E = [1, 0, 0], [p2]E = [1, 1, 0], [p3]E = [1, 1, 1].
Řešíme soustavu [p]E = x1 [p1]E + x2 [p2]E + x3 [p3]E .
Rozepsáním této rovnice po složkách dostaneme soustavu
-1 = x1 + x2 + x3
0 = x2 + x3
1 = x3
která má řešení x1 = -1, x2 = -1, x3 = 1.
Snadno ověříme, že opravdu platí p = -p1 - p2 + p3.
6. Lineární nezávislost a báze ­ p. 17/18
6.6 Použití souřadnic
P ŘÍKLAD 11 Rozhodněte, zda jsou mnohočleny p1(x) = x2
+ x + 1,
p2(x) = x2
+ 2x + 1, p3(x) = x2
+ x + 2 závislé nebo nezávislé.
ŘEŠENÍ:
Zvolíme si bázi E = (e1, e2, e3), kde e1(x) = 1, e2(x) = x, e3(x) = x2
.
Najdeme souřadnice vektorů p, p1, p2, p3 v bázi E. Dostaneme
[p1]E = [1, 1, 1], [p2]E = [1, 2, 1], [p3]E = [2, 1, 1].
Řešíme soustavu x1 [p1]E + x2 [p2]E + x3 [p3]E = o.
Rozepsáním po složkách dostaneme soustavu:
x1 + x2 + 2x3 = 0
x1 + 2x2 + x3 = 0
x1 + x2 + x3 = 0
Řešíme:
1 1 2 0
1 2 1 0
1 1 1 0
-r1
-r1

1 1 1 0
0 1 -1 0
0 0 -1 0
.
Odtud vidíme, že soustava má jediné řešení x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0.
Mnohočleny p1, p2, p3 jsou tedy lineárně nezávislé. 6. Lineární nezávislost a báze ­ p. 18/18