8. Lineární zobrazení
8. Lineární zobrazení ­ p. 1/39
Lineární zobrazení
1. Definice a příklady
2. Elementární vlastnosti lineárního zobrazení
3. Derivace a integrál po částech lineárních funkcí
4. Nulový prostor a obor hodnot
5. Princip superpozice a inverze lineárních zobrazení
6. Matice lineárního zobrazení
7. Změna báze
8. Podobnost matic
8. Lineární zobrazení ­ p. 2/39
8.1 Definice a příklady
y=f(x)
u v u+v u x
f(u)
f(v)
f(u)+ f(v)
f(u)
y
8. Lineární zobrazení ­ p. 3/39
8.1 Definice a příklady
DEFINICE 1
Nechť U, V jsou vektorové prostory. Zobrazení A : U  V se
nazývá lineární zobrazení (operátor), jestliže pro každé dva vektory
u, v  U a skalár  platí:
1. A(u + v) = A(u) + A(v)
2. A(u) = A(u)
Lineární zobrazení U  U se často nazývá lineární transformace.
Množinu všech lineárních zobrazení vektorového prostoru U do
vektorového prostoru V budeme značit L(U, V). Místo L(U, U)
budeme psát stručně L(U). Lineární zobrazení vektorového prostoru
U do R se nazývají lineární formy nebo lineární funkcionály.
8. Lineární zobrazení ­ p. 4/39
8.1 Definice a příklady
P ŘÍKLAD 1 Funkce y = ax je lineární transformace R pro
libovolné pevně zvolené a  R, neboť
a(u + v) = au + av a a(u) = au
pro libovolná čísla u, v a .
P ŘÍKLAD 2 Funkce f : y = 2x + 1 není lineární transformace R,
neboť f(2 + 2) = f(4) = 9 = 10 = f(2) + f(2).
P ŘÍKLAD 3 Je-li A libovolná reálná m × n matice, Rn,1
(Rm,1
)
prostor všech sloupcových aritmetických vektorů dimenze n(m),
pak je
A : Rn,1
 x  Ax  Rm,1
lineární zobrazení, neboť pro libovolné vektory x a y platí
A(x + y) = Ax + Ay a A(x) = Ax. 8. Lineární zobrazení ­ p. 5/39
8.2 Elementární vlastnosti lineárního zo-
brazení
V ĚTA 1
Nechť U, V jsou vektorové prostory. Pro libovolné
lineární zobrazení A  L(U, V) a v  U platí
1. A(o) = o
2. A(-v) = -A(v)
D ŮKAZ:
1. A(o) = A(0  o) = 0  A(o) = o
2. A(-v) = A (-1)  v = (-1)  A(v) = -A(v)
8. Lineární zobrazení ­ p. 6/39
8.2 Elementární vlastnosti lineárního zo-
brazení
V ĚTA 2
Jestliže A  L(U, V), pak pro libovolné skaláry
1, . . . , n a vektory v1, . . . , vn prostoru U platí
A(1v1 +    + nvn) = 1A(v1) +    + nA(vn).
D ŮKAZ:
A(1v1 +    + nvn) = A 1v1 + (2v2 +    + nvn) =
= A(1v1) + A(2v2 +    + nvn) =
= 1A(v1) + A(2v2 +    + nvn) =    =
= 1A(v1) +    + nA(vn).
Všechna lineárních zobrazení definovaná na prostorech konečné
dimenze jsou úplně určeny obrazy vektorů libovolné báze, tedy
obrazy konečného počtu vektorů. 8. Lineární zobrazení ­ p. 7/39
8.3 Derivace a integrál po částech lineárních
funkcí
P ŘÍKLAD 4 Zobrazení D : Pn+1  Pn definované předpisem
D : p(x) = anxn
+  +a1x+a0  p
(x) = nanxn-1
+  +a2x+a1
je lineární.
Opravdu pro p(x) = anxn
+    + a0 a q(x) = bnxn
+    + b0 je
(p + q)(x) = (an + bn)xn
+    + (a0 + b0),
(p)(x) = (an)xn
+    + (a0) a
1. D(p + q) = n(an + bn)xn-1
+    + (a1 + b1) =
= nanxn-1
+    + a1 + nbnxn-1
+    + b1 =
= p
(x) + q
(x) = D(p) + D(q)
2. D(p) = n(an)xn-1
+    + (a1) = (nanxn-1
+    + a1) =
= p
(x) = D(p). 8. Lineární zobrazení ­ p. 8/39
8.3 Derivace a integrál po částech lineárních
funkcí
DEFINICE 2
Nechť je dáno dělení intervalu a, b , t.j. množina S = {x0, . . . , xn}
taková, že a = x0 < x1 <    < xn-1 < xn = b. Množinu F0,S
všech reálných funkcí definovaných na intervalu a, b předpisem
c(x) =



c0, pro x  x0, x1)
ci, pro x  xi, xi+1), i = 1, . . . , n - 2
cn-1, pro x  xn-1, xn
kde c0, . . . , cn  R, nazýváme množinou po částech konstatních
funkcí na dělení S.
8. Lineární zobrazení ­ p. 9/39
8.3 Derivace a integrál po částech lineárních
funkcí
x
0
f0
x
1
f
1
x
2
f2
x
3
f3
x
4
f4
x
y
8. Lineární zobrazení ­ p. 10/39
8.3 Derivace a integrál po částech lineárních
funkcí
DEFINICE 3
Nechť je dáno dělení S = {x0, . . . , xn} intervalu a, b . Množinu
F1,S všech reálných funkcí definovaných na intervalu a, b
předpisem
l(x) =



l0 + l1-l0
x1-x0
x, pro x  x0, x1)
li + li+1-li
xi+1-xi
x, pro x  xi, xi+1), i = 1, . . . , n - 2
ln-1 + ln-ln-1
xn-xn-1
x, pro x  xn-1, xn
kde l0, . . . , ln  R, nazýváme množinou spojitých po částech
lineárních funkcí na dělení S.
V ĚTA 3
Množiny F0,S a F1,S tvoří podprostory vektorového prostoru F
všech reálných funkcí definovaných na a, b . 8. Lineární zobrazení ­ p. 11/39
8.3 Derivace a integrál po částech lineárních
funkcí
x
0
f0
x
1
f1
x
2
f
2
x
3
f3
x
4
f4
x
y
8. Lineární zobrazení ­ p. 12/39
8.3 Derivace a integrál po částech lineárních
funkcí
DEFINICE 4
Nechť je dáno dělení S = {x0, . . . , xn} intervalu a, b . Zobrazení
D : F1,S  F0,S definované předpisem D(l) = l
, l  F1,S
l
(x) =



l1-l0
x1-x0
, pro x  x0, x1)
li+1-li
xi+1-xi
, pro x  xi, xi+1), i = 1, . . . , n - 2
ln-ln-1
xn-xn-1
, pro x  xn-1, xn
nazýváme derivací spojitých po částech lineárních funkcí na dělení
S.
V ĚTA 4
Derivace spojitých po částech lineárních funkcí na dělení S je
lineární zobrazení.
8. Lineární zobrazení ­ p. 13/39
8.3 Derivace a integrál po částech lineárních
funkcí
DEFINICE 5
Nechť je dáno dělení S = {x0, . . . , xn} intervalu a, b . Zobrazení
I : F1,S  R definované l  F1,S předpisem
I(l) =
1
2
(x1-x0) l(x0)+l(x1) +  +
1
2
(xn-xn-1) l(xn)+l(xn-1)
nazýváme určitým integrálem spojitých po částech lineárních funkcí
na dělení S a značíme jej
b
a
l(x)dx.
V ĚTA 5
Určitý integrál spojitých po částech lineárních funkcí na dělení S je
lineární forma na F1,S.
Je-li l  F1,S, l(x)  0 nebo l(x)  0, x  a, b , pak
b
a
l(x)dx
reprezentuje obsah plochy vymezené osou x a grafem funkce l.
8. Lineární zobrazení ­ p. 14/39
8.4 Nulový prostor a obor hodnot
DEFINICE 6
Nechť U, V jsou vektorové prostory a nechť A  L(U, V). Pak
nulový prostor (jádro) N(A) zobrazení A je množina vzorů o, t.j.
N(A) = {u  U : A(u) = o}.
V ĚTA 6
Nechť A  L(U, V). Pak N(A) je podprostorem U.
D ŮKAZ: Jestliže u, v  N(A), t.j. A(u) = o, A(v) = o, a je-li 
libovolný skalár, pak platí
A(u + v) = A(u) + A(v) = o a A(u) = A(u) = o.
8. Lineární zobrazení ­ p. 15/39
8.4 Nulový prostor a obor hodnot
DEFINICE 7
Nechť U, V jsou vektorové prostory a nechť A  L(U, V). Pak
oborem hodnot H(A) zobrazení A je množina všech obrazů, t.j.
H(A) = {v  V : u  U, A(u) = v}.
V ĚTA 7
Nechť A  L(U, V). Pak H(A) je podprostorem V.
D ŮKAZ: Jestliže u = A(x), v = A(y) a  je skalár, pak
u + v = A(x) + A(y) = A(x + y) a u = A(x) = A(x).
8. Lineární zobrazení ­ p. 16/39
8.4 Nulový prostor a obor hodnot
V ĚTA 8
Nechť U, V jsou vektorové prostory, nechť A  L(U, V) a nechť
A(x0) = b. Potom libovolné řešení x rovnice
A(x) = b
lze zapsat ve tvaru x = x0 + n, kde n  N(A).
D ŮKAZ: Nechť A(x) = b. Potom platí
A(x - x0) = A(x) - A(x0) = b - b = o,
takže vektor n = x - x0 patří do jádra N(A) a x = x0 + n.
D ŮSLEDEK: Lineární zobrazení A je prosté, právě když
N(A) = {o}. 8. Lineární zobrazení ­ p. 17/39
8.4 Nulový prostor a obor hodnot
DEFINICE 8
Nechť U, V jsou vektorové prostory konečné dimenze a nechť A 
L(U, V). Pak hodnost h(A) zobrazení A definujeme jako dimenzi
H(A) a defekt d(A) zobrazení A definujeme jako dimenzi N(A).
V ĚTA 9
Nechť U, V jsou vektorové prostory konečné dimenze a nechť A 
L(U, V). Potom
h(A) + d(A) = dim(U).
D ŮKAZ: V důkazu se musíme především vypořádat se skutečností,
že N(A) a H(A) mohou být podprostory různých prostorů.
Nechť (h1, . . . , hm) je báze H(A) a nechť (n1, . . . , nk) je báze
N(A). 8. Lineární zobrazení ­ p. 18/39
8.4 Nulový prostor a obor hodnot
D ŮKAZ (Pokračování):
Označme si v1, . . . , vm libovolné vzory h1, . . . , hm, takže platí
A(v1) = h1, . . . , A(vm) = hm. Ukážeme, že vektory
(v1, . . . , vm, n1, . . . , nk) tvoří bázi U.
Nechť platí
1v1 +    + mvm + 1n1 +    + knk = o (1)
Pak také
A(1v1 +    + mvm + 1n1 +    + knk) = o,
takže s využitím linearity A a definice vektorů vi a ni dostaneme
1h1 +    + mhm = o.
Jelikož vektory (h1, . . . , hm) tvoří podle předpokladu bázi H(A),
jsou nezávislé, takže 1 = 2 =    = m = 0. Po dosazení do 1 tedy
platí
1n1 +    + knk = o. 8. Lineární zobrazení ­ p. 19/39
8.4 Nulový prostor a obor hodnot
D ŮKAZ (Pokračování):
Poněvadž jsou vektory n1, . . . , nk také nezávislé, plyne odtud
1 =    = k = 0. Vektory v1, . . . , vm, n1, . . . , nk jsou tedy
nezávislé.
Nechť nyní x  U je libovolný vektor. Pak A(x)  H(A) a existuje
1, . . . , m tak, že platí
A(x) = 1h1 +    + mhm.
Označme si y = 1v1 +    + mvm, takže A(y) = A(x), a zapišme
si x ve tvaru
x = y + (x - y).
Jelikož A(x - y) = A(x) - A(y) = o, platí x - y  N(A) a tedy
x - y = 1n1 +    + knk.
8. Lineární zobrazení ­ p. 20/39
8.4 Nulový prostor a obor hodnot
D ŮKAZ (Pokračování):
Vektor x lze potom vyjádřit ve tvaru
x = 1v1 +    + mvm + 1n1 +    + knk.
Vektory (v1, . . . , vm, n1, . . . , nk) tedy tvoří bázi U, takže platí
m + k = dim(U), t.j. h(A) + d(A) = dim(U).
D ŮSLEDEK: Lineární transformace A : V  V definovaná na
vektorovém prostoru konečné dimenze V je zobrazení na V, právě
když A je prosté zobrazení.
8. Lineární zobrazení ­ p. 21/39
8.5 Princip superpozice a inverze lineárních
zobrazení
Mnoho technických problémů lze zformulovat jako úlohu najít pro
dané lineární zobrazení A : U  V a pro b  V vektor x  U tak,
aby platilo
A(x) = b. (R)
Například úlohu najít neznámé průhyby lana v úvodní přednášce
můžeme zapsat ve tvaru
A(u) = b
u =





u1
u2
u3
u4
u5





, b =





0.2683
0.2683
0.2683
0.2683
0.2683





a A(u) =





2 -1 0 0 0
-1 2 -1 0 0
0 -1 2 -1 0
0 0 -1 2 -1
0 0 0 -1 2










u1
u2
u3
u4
u5





8. Lineární zobrazení ­ p. 22/39
8.5 Princip superpozice a inverze lineárních
zobrazení
Předpokládejme nyní, že známe například řešení x1 a x2 rovnice (R)
pro dvě pravé strany b1 a b2, tedy že platí
A(x1) = b1 a A(x2) = b2,
a že navíc platí b = b1 + b2.
Pak můžeme určit řešení x rovnice (R) pouhým sečtením x1 a x2,
neboť pro x = x1 + x2 platí
A(x) = A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2) = b1 + b2 = b.
Tomuto jednoduchému důsledku vlastností lineárních zobrazení se
říká princip superpozice.
8. Lineární zobrazení ­ p. 23/39
8.5 Princip superpozice a inverze lineárních
zobrazení
V ĚTA 10
Nechť A : U  V je vzájemně jednoznačné lineární zobrazení
vektorového prostoru U na vektorový prostor V. Pak existuje A-1
,
které je rovněž lineární zobrazení.
D ŮKAZ: Inverzní zobrazení A-1
existuje pro každé vzájemně
jednoznačné zobrazení. Nechť u = A(x), v = A(y), tedy
x = A-1
(u) a y = A-1
(v), a nechť  je libovolný skalár. Potom
A-1
(u + v) = A-1
A(x) + A(y) = A-1
A(x + y) = x + y =
= A-1
(u) + A-1
(v),
A-1
(u) = A-1
A(x) = A-1
A(x) = x = A-1
(u).
8. Lineární zobrazení ­ p. 24/39
8.6 Matice lineárního zobrazení
V ĚTA 11
Nechť A : Rm,1
 Rn,1
je libovolné lineární zobrazení. Pak existuje
matice A typu (n, m) tak, že pro libovolné x  Rm,1
platí
A(x) = Ax.
D ŮKAZ: Jelikož libovolný vektor x  Rm,1
lze zapsat ve tvaru
x = x1sI
1 +    + xmsI
m
lze A(x) zapsat pomocí
A(x) = A(x1sI
1 +    + xmsI
m) = x1A(sI
1) +    + xmA(sI
m) = Ax,
kde
A = A(sI
1), . . . , A(sI
m) = [aij] .
8. Lineární zobrazení ­ p. 25/39
8.6 Matice lineárního zobrazení
Lineární zobrazení
A : Rm,1
 x  Ax  Rn,1
se často ztotožňuje s maticí A a o matici A se mluví jako o lineárním
zobrazení.
V tomto smyslu budeme i my používat pojmy obor hodnot matice
A, nulový prostor matice A, nebo defekt matice A.
Pojmy, které jsme si doposud zavedli jsou v souladu s touto
konvencí. Například obor hodnot H(A) každé matice A je totožný
s jejím sloupcovým prostorem S(A), takže pro hodnosti matice a
zobrazení platí
h(A) = h(A).
8. Lineární zobrazení ­ p. 26/39
8.6 Matice lineárního zobrazení
P ŘÍKLAD 5 Určete bázi nulového prostoru matice
A =
1 1 2 3
1 1 1 3
2 2 2 6
.
ŘEŠENÍ: Budeme řešit soustavu Ax = o. Nejprve upravíme matici A pomocí
řádkových úprav na schodový tvar
A =
1 1 2 3
1 1 1 3
2 2 2 6
-r1
-2r1

1 1 2 3
0 0 -1 0
0 0 -2 0 -2r2

1 1 2 3
0 0 -1 0
0 0 0 0
.
Odtud h(A) = 2 (počet nenulových řádků) a d(A) = 4 - 2 = 2.
Bázi N(A) tedy tvoří jakékoliv dva nezávislé vektory, jejichž složky řeší soustavu
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0
- x3 = 0
Vypočteme je tak, že za x2 a x4 dosadíme postupně například složky
e1 = [1, 0], e2 = [0, 1] a vypočteme x1 = -1, x3 = 0 a x1 = -3, x3 = 0.
Bázi nulového prostoru tedy tvoří vektory
n1 = [-1, 1, 0, 0], n2 = [-3, 0, 0, 1]. 8. Lineární zobrazení ­ p. 27/39
8.6 Matice lineárního zobrazení
Jestliže lze matici A typu (m, n), m < n rozdělit na bloky tak, že
A = [ B C ]
a B je regulární, lze najít vzorec pro matici N typu (n, n - m), jejíž
sloupce tvoří bázi N(A). Budeme hledat N ve tvaru:
N =
X
I
Po rozepsání levé strany rovnice AN = O s využitím blokové
struktury a po vynásobení zleva maticí B-1
dostaneme
B-1
[ B C ]
X
I = O,
odkud X + B-1
C = O.
Odtud X = -B-1
C a
N =
-B-1
C
I
.
8. Lineární zobrazení ­ p. 28/39
8.6 Matice lineárního zobrazení
Díváme-li se na matici A jako na lineární zobrazení A : x  Ax,
můžeme využít dosavadních výsledků o lineárních zobrazeních
k alternativnímu výkladu teorie řešitelnosti lineárních soustav:
Soustava lineárních rovnic má řešení, pravě když pravá strana
patří do oboru hodnot matice soustavy
Řešení je jediné, jestliže N(A) = {o}, tedy defekt d(A) = 0,
což je ekvivalentní s h(A) = n, kde n je počet neznámých.
V ĚTA 12
Nechť A je matice typu (m, n) pro kterou platí d(A) > 0, nechť
b je m-rozměrný sloupcový vektor, nechť Ax0 = b a nechť
(n1, . . . , nd) je báze N(A). Potom libovolné řešení soustavy Ax =
b může být zapsáno ve tvaru x = x0 + 1n1 +    + dnd.
8. Lineární zobrazení ­ p. 29/39
8.6 Matice lineárního zobrazení
P ŘÍKLAD 6 Najděte všechna řešení soustavy
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0
x1 + x2 + x3 + 3x4 = 1
2x1 + 2x2 + 2x3 + 6x4 = 2
ŘEŠENÍ: Rozšířenou matici soustavy nejprve upravíme na schodový tvar
A =
1 1 2 3 0
1 1 1 3 1
2 2 2 6 2
-r1
-2r1

1 1 2 3 0
0 0 -1 0 1
0 0 -2 0 2 -2r2

1 1 2 3 0
0 0 -1 0 1
0 0 0 0 0
Z něho dostaneme částečné řešení x0 řešením soustavy
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0
- x3 = 1
tak, že položíme například x2 = 0 a x4 = 0. Dostaneme x1 = 2, x3 = -1.
Jelikož matice soustavy je stejná jako matice A v příkladu 5, můžeme napsat
libovolné řešení soustavy pomocí parametrů 1, 2:
x =



2
0
-1
0


 + 1



-1
1
0
0


 + 2



-3
0
0
1


 .
8. Lineární zobrazení ­ p. 30/39
8.6 Matice lineárního zobrazení
Budeme předpokládat, že U a V jsou dva vektorové prostory
konečné dimenze s bázemi E = (e1, . . . , em) a F = (f1, . . . , fn).
DEFINICE 9
Nechť A : U  V je lineární zobrazení. Pak můžeme vektory
A(e1), ..., A(em) vyjádřit jako lineární kombinace vektorů
f1, . . . , fm ve tvaru:
A(e1) = a11f1 +    + an1fn
...
... . . .
...
A(em) = a1mf1 +    + anmfn
Matici [A]E,F = [aij] = [A(e1)]F , . . . , [A(em)]F nazýváme
maticí lineárního zobrazení A vzhledem k bázím (E, F). Jestliže
U = V a E = F, pak budeme mluvit o matici lineární transformace
vzhledem k bázi E a místo [A]E,E budeme psát stručně [A]E.
8. Lineární zobrazení ­ p. 31/39
8.6 Matice lineárního zobrazení
P ŘÍKLAD 7 Nechť P3, P2 mají báze E = (e1, e2, e3), kde
e1(x) = 1, e2(x) = x, e3(x) = x2
a F = (f1, f2), kde f1(x) = 1, f2(x) = x.
Najděte matici derivace
D : P3  p  p
 P2.
ŘEŠENÍ: Nejdříve najdeme souřadnice D(e1), D(e2) a D(e3) v bázi F. Jelikož
D(e1)(x) = 0, D(e2)(x) = 1 a D(e3)(x) = 2x, můžeme napsat přímo:
0 = 0  1 + 0  x
1 = 1  1 + 0  x
2x = 0  1 + 2  x
Souřadnice D(e1), D(e2) a D(e3) vzhledem k Ftvoří zřejmě koeficienty na
řádcích, které zapíšeme do sloupců a dostaneme
[D]E,F =
0 1 0
0 0 2 .
8. Lineární zobrazení ­ p. 32/39
8.6 Matice lineárního zobrazení
V ĚTA 13
Nechť A : U  V je lineární zobrazení, E je báze U a F je báze V.
Pak pro libovolné x  U platí
[A(x)]F = [A]E,F [x]E .
D ŮKAZ:
[A(x)]F = [A(x1e1 +    + xmem)]F =
= [x1A(e1) +    + xmA(em)]F =
= x1 [A(e1)]F +    + xm [A(em)]F =
= [A(e1)]F , . . . , [A(em)]F [x]E =
= [A]E,F [x]E
8. Lineární zobrazení ­ p. 33/39
8.6 Matice lineárního zobrazení
P ŘÍKLAD 8 S využitím řešení příkladu 7 vypočtěte derivaci libovolného
mnohočlenu p nejvýše druhého stupně.
ŘEŠENÍ: Mnohočlen p(x) = ax2
+ bx + c  P3 má v bázi E souřadnice
[p]E =
c
b
a
.
Jelikož jsme si v příkladu 6 ukázali, že derivace D : P3  P2 má v bázích E, F
matici
[D]E,F =
0 1 0
0 0 2 .
platí
[p
]F = [Dp]F = [D]E,F [p]E =
0 1 0
0 0 2
c
b
a
=
b
2a .
Odtud
p
(x) = b  f1(x) + 2a  f2(x) = b + 2ax.
8. Lineární zobrazení ­ p. 34/39
8.6 Matice lineárního zobrazení
V ĚTA 14
Nechť A : U  U a B : U  U jsou lineární transformace. Pak
složené zobrazení AB : U  U definované předpisem AB (x) =
A B(x) , x  U je lineární transformace na U a
[AB]E = [A]E [B]E .
D ŮKAZ:
(BA)(u) = B A(u) = B  A(u) =  B A(u) =  (BA)(u)
(BA)(u + v) = B A(u + v) = B A(u) + A(v) = B A(u) + B A(v) =
= (BA)(u) + (BA)(v)
[AB]E = [(AB)(e1)]E , . . . , [(AB)(en)]E = A B(e1) E
, . . . , A B(en) E
=
= [A]E [B(e1)]E , . . . , [A]E [B(en)]E = [A]E [B(e1)]E , . . . , [B(en)]E =
= [A]E [B]E [e1]E , . . . , [B]E [en]E = [A]E [B]E sI
1, . . . , sI
n =
= [A]E [B]E I = [A]E [B]E . 8. Lineární zobrazení ­ p. 35/39
8.7 Změna báze
Nechť E = (e1, ..., en) a F = (f1, ..., fn) jsou dvě báze U. Nechť
C : U  U je lineární zobrazení takové, že C(ei) = fi. Zobrazení C
tedy zobrazuje bázi E na bázi F, takže podle důsledků vět 8 a 9 je
vzájemně jednoznačné a existuje C-1
.
Nechť x  U je libovolný vektor a [x]E = [x1, . . . , xn]. Pak z
x = x1e1 +    + xnen
plyne
C(x) = x1f1 +    + xnfn,
takže
[C(x)]F = [x]E .
Odtud dostaneme
[C]F [x]F = [x]E .
Označíme-li T = [C]-1
F = [C-1
]F = [[e1]F , . . . , [en]F ] dostaneme
[x]F = T [x]E .
8. Lineární zobrazení ­ p. 36/39
8.7 Změna báze
DEFINICE 10
Nechť E = (e1, ..., en) a F = (f1, ..., fn) jsou dvě báze vektorového
prostoru U. Matice
T = [[e1]F , . . . , [en]F ]
se nazývá matice zpětného přechodu od nové báze F k bázi E.
Uvažujme matici přechodu S = [C]E od původní báze E k bázi F.
Mezi maticí zpětného přechodu T a maticí přechodu S platí vztah
TS =T [C(e1)]E , . . . , [C(en)]E = T [f1]E , . . . , T [fn]E =
= [f1]F , . . . , [fn]F = I,
takže T = S-1
.
Pro tuto matici platí vztah [x]E = S [x]F . 8. Lineární zobrazení ­ p. 37/39
8.7 Změna báze
V ĚTA 14
Nechť A je lineární transformace U, E a F jsou báze U a nechť T je
matice zpětného přechodu od nové báze F k bázi E. Pak platí
[A]F = T [A]ET-1
.
D ŮKAZ:
[A]F = [A(f1)]F , . . . , [A(fn)]F = T [A(f1)]E , . . . , T [A(fn)]E =
= T [A(f1)]E , . . . , [A(fn)]E = T [A]E [f1]E , . . . , [A]E [fn]E =
= T [A]E T-1
[f1]F , . . . , T-1
[fn]F = T [A]ET-1
sI
1, . . . , sI
n =
= T [A]ET-1
.
8. Lineární zobrazení ­ p. 38/39
8.8 Podobnost matic
DEFINICE 11
Čtvercové matice A a B stejného řádu jsou podobné, jestliže existuje
regulární matice T tak, že
A = TBT-1
.
V ĚTA 15
Matice dané lineární transformace v různých bázích jsou podobné.
Dá se dokázat i tvrzení, že jsou-li matice podobné, pak jsou
maticemi nějaké lineární transformace v různých bázích. Jelikož
podstatné charakteristiky lineárních transformací (například hodnost
nebo defekt) nezávisí na bázi prostoru, dá se očekávat, že podobné
matice budou mít podstatné charakteristiky shodné. 8. Lineární zobrazení ­ p. 39/39