Cvičení z lineární algebry 19 Vít Vondrák
Cvičení č. 5
LU rozklad, řešení soustav lineárních rovnic LU rozkladem, výpočet inverzní matice LU
rozkladem.
LU rozklad.
Definice: Permutační maticí nazýváme takovou matici, která vznikla z jednotkové matice
postupnou vzájemnou záměnou sloupců.
Příklad:










=
001
100
010
P ,
































=
001
100
010
~
100
001
010
~
100
010
001
3121 ssssI
Platí: T
PP =-1
Definice: Čtvercová matice )( ijlL = se nazývá dolní trojúhelníková jestliže 0=ijl pro
ji < . Matice )( ijuU = se nazývá horní trojúhelníková jestliže 0=iju pro ji > .
Příklad:










-
-=
131
021
001
L ,










=
200
110
012
U
Věta:
Nechť je dána čtvercová matice A řádu n. Pak existuje permutační matice P řádu n, dolní
trojúhelníková matice L řádu n a horní trojúhelníková matice U řádu n tak, že LUAP = .
Postup nalezení LU rozkladu:
1. ]
~
[][ El.op.
LUIA   . L
~
je dolní trojúhelníková a platí UAL =
~
2. 1~=
LL a tedy LUA =
V kroku 1 i 2 nesmíme zaměňovat řádky ani přičítat násobek řádku k řádku s nižším indexem.
Pokud bychom toto pravidlo porušili pak by matice L
~
ani matice L nebyly dolní
trojúhelníkové.
Příklad: Nalezněte LU rozklad matice










-
=
232
114
102
A
Cvičení z lineární algebry 20 Vít Vondrák
1. Nalezení matice U










-
--
-+









--
+
-+










- 137
012
001
600
110
102
~
)3(101
012
001
330
110
102
~)2(
100
010
001
232
114
102
21
1
rr
r










-=
600
110
102
U ,










-
-=
137
012
001
~
L
2. Výpočet 1~-
L










-
-
+









---+
+










-
-
131
012
001
100
010
001
~
3107
012
001
130
010
001
~
)7(
2
100
010
001
137
012
001
21
1
rr
r










-==
-
131
012
001
~ 1
LL










-=










-
-===
600
110
102
,
131
012
001
,, ULIPLUAP
Poznámka:
V kroku 1 může nastat situace, kdy některý prvek na diagonále je nulový a vzhledem k
tomu, že nesmíme zaměňovat řádky ani přičítat násobky řádků pod tímto prvkem, tak
není možné dale pokračovat v úpravě na horní trojúhelníkovou matici. V tomto
případě však upravíme matici A tak, že zaměníme dva sloupce tak, aby na místě
diagonálního nulového prvku byl prvek nenulový. Tímto získáváme taktéž permutační
matici P tak, že stejnou operaci provedeme na jednotkové matici.
Řešení soustav lineárních rovnic pomocí LU rozkladu
.akde
)()()()(
ařáduregulárníje,
1
PyxzUy
bLzbUyLbyLUbyAPbxPPAbAIxbAx
LUAPnAbAx
==
=======
==
-





=
=
=
=
Pyx
zUy
Lz
bAx
.3
.2
b.1
Příklad: LU rozkladem řešte soustavu
Cvičení z lineární algebry 21 Vít Vondrák
043
0
12
321
321
32
=+-
=+-
=-
xxx
xxx
xx
1. Nalezení matice U
~
)5(104
011
001
150
110
021
~
4100
010
001
134
111
021
~
100
010
001
431
111
120
21
131
rr
rss
-+








-
+
+










-
-
-











-
-
-










--
=










-
-
=










---
-
151
011
001
~
,
400
110
021
,
151
011
001
400
110
021
~ LU
Pss =





















001
010
100
~
100
010
001
31
2. Výpočet 1~-
L










-
-
+









-
-+
-










-- 154
011
001
100
010
001
~
5101
011
001
150
010
001
~
100
010
001
151
011
001
21
1
rr
r










-
-=
154
011
001
L
3. Řešení soustavy
bLz = :










-
=
-=
=

=++-
=+-

=++-
=+-
=
1
1
1
1
1
054
01
054
0
1
3
2
32
2
321
21
1
z
z
z
zz
z
zzz
zz
z
zUy = :










=
=
=

=
=+
=+-

-=-
=+
=+-
4
1
4
3
2
1
4
3
2
2
1
1
4
1
3
32
21
3
32
21
1
12
14
1
12
y
y
y
y
yy
yy
y
yy
yy
Pyx = :










=




















=
2
1
4
3
4
1
4
1
4
3
2
1
001
010
100
x
Řešením je
2
1,
4
3,
4
1
321 === xxx
Cvičení z lineární algebry 22 Vít Vondrák
Zk:










=




















-
-
-
=
0
0
1
431
111
120
2
1
4
3
4
1
Ax
Výpočet inverzní matice pomocí LU rozkladu
LPULPULUPLUPA
LUPALUAP
~
)()( 1111111111
1
----------
-
====
==
Příklad: Pomocí LU rozkladu nalezněte inverzní matici k matici










-
-=
121
011
322
A
Řešení:
LPUA
~11 --
=
1. Nalezení matic LU
~
,










-
-=










--=










-
---
+









---










---
+
-










-
-












-
-
461
021
001
~
,
100
340
322
461
021
001
100
340
322
3402
021
001
10120
340
322
~
~
2201
021
001
560
340
322
~
200
020
001
242
022
322
~
2
2
100
010
001
121
011
322
2
1
1
LU
r
r
r
2. Výpočet 1-
U










--
-
=










--
-
-










 -
-
+









 -
-










 -
-+
-










--
-
100
0
100
0
100
010
001
~)(
100
310
312
100
040
004
~
~
100
310
602
100
040
044
~
2
100
310
301
100
040
022
~3
3
100
010
001
100
340
322
4
3
4
1
4
3
4
1
2
1
1
4
3
4
1
4
3
4
1
2
1
4
1
4
1
2
3
3
U
r
r
r
3.










-
--
--
=










-
-










--
==
--
461
351
341
461
021
001
100
0
~
4
3
4
1
4
3
4
1
2
1
11
LUA