Cvičení z lineární algebry
29
Vít Vondrák
Cvičení č. 7
Lineární závislost a nezávislost. Lineární kombinace. Báze.
Lineární závislost a nezávislost
Definice:
Konečná množina vektorů S = {Vj,..., vk } z vektorového prostoru V se nazývá lineárně
nezávislá jestliže rovnice
alvl+... + akvk =0
má jediné řešení ax = ... = ak = 0 . V opačném případě se nazývá lineárně závislá.
Příklad:
Rozhodněte o lineární závislosti či nezávislosti vektorů v1=[l,2,0],v2=[-l-2,l],v3=[l,l,l]
öTjVj + a2v2 + a3v3
0
ax [1,2,0] + a2 [-1,-2,1] + a3 [1,1,1] = [0,0,0]
[ax ,2a1,0] + [-a2,-2a2 ,a2] + [a3,a3,a3] = [0,0,0]
[ax -a2+a3,2a1 -2a2 +a3,a2+a3] = [0,0,0]
Z poslední rovnice dostáváme soustavu 3 rovnic o 3 neznámých:
a,
a,
2al    - 2a2 a.
+ a3 + a.
+ «.
= 0 = 0 =   0
Řešíme Gaussovou eliminační metodou
f\    -1
2    -2
A
-2r,
0
-1     1
0      -1
1        1
A
rn <-> n
íl	-1	1	0^	al =0
0	1	1	0	a2=0
[o	0	-1	0;	«3=0
Žádné jiné řešení soustava nemá tudíž vektory Vj, v.
2,v3 jsou lineárně nezávislé.
Příklad:
Rozhodněte o lineární závislosti či nezávislosti vektorů v, = [1,2,0], v2 =[-l-2,l],v3 = [1,1,1], v4 =[1,2,2]
«jVj + «2v2 + «3V3 + «4v4 = 0
a, [1,2,0] + «2 [-1,-2,1] + «3 [1,1,1] + «4 [1,2,2] = [0,0,0]
[«! ,2«j ,0] + [-«2 ,-2«2, «2 ] + [«3, «3, «3 ] + [«4,2«4,2«4 ] = [0,0,0]
[«j - «2 + «3 + «4,2«j - 2«2 + «3 + 2«4, «2 + «3 + 2«4 ] = [0,0,0]
Z poslední rovnice dostáváme soustavu 3 rovnic o 4 neznámých:
«
■an
+«.    +a.
2«j    -2«2    +«3    +2«4
=    0 =    0
an
+ «3    +2«4    =    0
Řešíme Gaussovou eliminační metodou
Cvičení z lineární algebry
30
Vít Vondrák
íl	-1   1   1	0^	
2	-2   1    2	0	-2r,
v0	1     1    2	°J	
ri	-1	1    1	0^		íl	-1	1
0	0	-1    0	0	r2^r3~	0	1	1
0	1	1     2	0		0	0	—
1
2 ■1    0
0^
o
Rovnice má nekonečně mnoho řešení a tudíž i nenulové. Např. zvolíme-li v řešení a4 =t,a3 = 0, a2 = -2t, ax = -3t , t=\ dostáváme řešení
a,
•J. %-Ä/ o                -"i i^Áľ}
0,aA =1.
Vektory vl3v.
j, y 2, v3, v4 j sou tedy lineárně závislé.
Příklad:
Rozhodněte o lineární závislosti či nezávislosti vektoru
aW
■ x, />2 (x) = x +1, />3 (x) = x2 + 2
«]/>! +oc2p2 +a3p
v3^3
O
«j (x2 - x) + ctr2 (x +1) + ctr3 (x2 + 2) = 0,         Vx e R,
axx2 - axx + a2x + a2 + a3x2 + 2a3 = 0,       Vx e R,
(ax + a3 )x2 + (-ax + a2 )x + (+a2 + 2a3) = 0,           Vx e i?.
Porovnáním koeficientu u odpovídajících mocnin x dostáváme z poslední rovnice soustavu 3 rovnic o 3 neznámých: ax
-ax   +a2 a2 Řešíme Gaussovou eliminační metodou
+ a3	=   0
	=   0
+ 2a3	=   0
íl	0    1	0^		'l    0    1	0^		'l    0   1	°1
-1	1    0	0	+ rx~	0    1    1	0	~	0    1    1	0
v0	1    2	°J		v0    1    2	°J	-r2	vo   0   1	°,
ax	= 0
a2	= 0
a3	= 0
Rovnice má tedy právě j edno nulové řešení a tudíž vektory p1,p2,p3 j sou lineárně nezávislé. ♦
Lineární kombinace
Definice:
Vektor v vektorového prostoru V je lineární kombinací vektorů v1,...,vke F jestliže existují
skaláry a1,...,ak tak, že v = alvl + ... + akvk.
Příklad:
Rozhodněte, zda-li vektor v = [2,1,-3]e R3 je lineární kombinací vektorů v, = [1,1,0], v2 = [0,1,1], v3 =[1,0,1].
Cvičení z lineární algebry
31
Vít Vondrák
v = öTjVj + a2v2 + a3v3
[2,1-3] = a, [1,1,0] + a2 [0,1,1] + a3 [1,0,1] [2,1,-3] = [«!,«! ,0] + [0, or2, or2 ] + [or3,0, a3 ] [2,1,-3] = [«j + a3, ^ + a2, or2 + or3 ]
Z poslední rovnice dostáváme soustavu 3 rovnic o 3 neznámých:
or,
ax    +a2
or.
-for,    =     2
+ a3    =
r\    0    1	2^	
1    1    0	1	~ri
v°    !    !	-h	
(\    0	1	2^	
0    1	-1	-1	
v°    !	1	-h	~r2
(\    0	1	21
0    1	-1	-1
0   0	2	-2,
«j =3
or,
-2
a3 =-1
v = 3Vj - 2v2 - v3 a v j e tedy lineární kombinací vektorů vi,v2, v
Příklad:
Rozhodněte zda-li mnohočlen p(x) = x2 + 2 je lineární kombinací mnohočlenů px (x) = x2 - x,p2(x) = x +1 /? = or^ + a2p
2/^2
x2 + 2 = ax (x2 - x) + a2 (x +1),
Vxei?,
Vxei?,
Vxei?.
Porovnáním koeficientů u odpovídajících mocnin x dostáváme z poslední rovnice soustavu 3 rovnic o 2 neznámých:
x2 +2 = axx2 -axx + a2x + a2, x2 +2 = axx2 +{-ocl +a2)x + a.
2'
or,
■or,    + or,
or.
=   1 =   0
=   2
Řešíme Gaussovou eliminační metodou
íl	0	1>		(\    0	1>		(\    0	rt
-1	1	0	+ rx~	0    1	1	~	0    1	1
v°	1	2J		v°    !	2J	~r2	0   0	l
Rovnice nemá řešení a tudíž vektor/? není lineární kombinací vektorů px, /?
nťi
Báze
Definice:
Množina vektorů S = {v1,...,vk}z vektorového prostoru V se nazývá bází vektorového
prostoru V, jestliže
1.   S je lineárně nezávislá
Cvičení z lineární algebry
32
Vít Vondrák
2.   Libovolný vektor prostom V se dá vyj ádřit j ako lineární kombinace vektoru množiny S.
Příklad:
Rozhodněte, zda-li vektory E = {el,e2,e3],el = [1,0,0],e2 = [0,1,0],e3 =[0,0,1] tvoří bázi R3.
1.   Množina E musí být lineárně nezávislá alel +oc2e2 + a3e3 = 0
a, [1,0,0] + a2 [0,1,0] + a3 [0,0,1] = [0,0,0]
[or, ,0,0] + [0, a2,0] + [0,0, a3 ] = [0,0,0]
[aua2,a3] = [0,0,0]
Odtud je zřejmé, že rovnice má pouze jedno řešení a to ax = a2 = a3 = 0 a množina Ej e tedy lineárně nezávislá.
2.   Libovolný vektor v = [vl,v2,v3]e R3 musí být možné vyj ádřit j ako lineární kombinaci
vektoru z E.
alel +oc2e2 +a3e3 = v
a, [1,0,0] + a2 [0,1,0] + a3 [0,0,1] = [v, ,v2,v3] [a, ,0,0] + [0, a2,0] + [0,0, a3 ] = [vl,v2,v3] [a1,a2,a3] = [v1,v2,v3]
Poslední rovnice má právě jedeno řešení ax =vx,a2 =v2,a3 = v3 a tedy vektor v je lineární kombinací vektoru E.
Jelikož j sou splněny obě podmínky 1. a 2. množina E tvoří bázi R3.     ♦
Příklad:
Rozhodněte, zda-li vektory B = {vl,v2,v3),vl = [1,1,0],v2 = [0,1,1],v3 =[1,0,1] tvoří bázi R3.
1.   Lineární nezávislosti?. alvl + a2v2 + a3v3 = o
a, [1,1,0] + a2 [0,1,1] + a3 [1,0,1] = [0,0,0] [a,, a, ,0] + [0, a2, a2 ] + [a3,0, a3 ] = [0,0,0] [ax + a3,ax + a2,a2 + a3] = [0,0,0] Z poslední rovnice dostáváme soustavu: «!              +a3=0
ax    +a2              =0
a2     +a3=0
Cvičení z lineární algebry
33
Vít Vondrák
r\    0    1	0^	
1    1    0	0	-r,
v°    !    !	°J	
íl    0	1	0^	
0    1	-1	0	
v°    !	1	°J	-r2
íl    0	1	°1
0    1	-1	0
v°     °	2	°,
«j =0 a2 =0
«3=0
2.   Lib. vektor v = [vl,v2,v3]e. i?3 je lineární kombinací vektoru z 5.
cüjVj + a2v2 + a3v3 = v
a, [1,1,0] + a2 [0,1,1] + a3 [1,0,1] = [v,, v2, v3 ]
[a1,a1,0] + [0,a2,a2] + [a3,0,a3] = [v1,v2,v3]
[«j + a3, ax + a2, a2 + a3 ] = [v:, v2, v3 ]
Z poslední rovnice dostáváme soustavu:
ax
an
+ a3   =
+ a3   =
1    0    1	V	f
1    1    0	V2	-r, ~
0    1    1 v	V3J	v
1 o 0 1 0    1
r3       J
o  o
0	1	V:          >	ai   =K-V3+V2+Vl)
1	-1	V2~V1	«2   =t(V3+V2-V!)
0	2	v3-v2+VlJ	«3   =KV3-V2+Vl)
Soustava má tedy řešení a tudíž libovolný vektor v se dá vyjádřit jako kombinace vektorů z množiny B.
Z bodů 1. a 2. tedy vyplývá, že množina B je báze R3.   ♦
Příklad:
Rozhodněte, zda-li vektory E = {p1,p2,p3},p1 (x) = 1,p2(x) = x,/>3(x) = x2 tvoří bázi P3.
1.   Množina E musí být lineárně nezávislá alpl+a2p2+a3p3 =o
«1A O) + «2^2 (*) + «3^3 O) = °(xl
ax • 1 + a2 ■ x + a3 ■ x2 = 0,      Vx e R
Vxei?
Dva mnohočleny se sobě rovnají jestliže mají stejné koeficienty u stejných mocnin x. Odtud je zřejmé, že rovnice má pouze jedno řešení a to ax = a2 = a3 = 0 a množina Ej e tedy lineárně nezávislá.
2.   Libovolný mnohočlen p e P3, p(x) = ax2 +bx + c, musí být možné vyj ádřit j ako
lineární kombinaci mnohočlenů z E. alpl+a2p2+a3p3 =p
axpx (x) + a2p2 (x) + a3p3 (x) = p(x),            Vx e R
all + a2x + a3x2 = ax2 +bx + c, Vx e R
Poslední rovnice má právě jedno řešení ax =c,a2 =b,a3 = a a tedy mnohočlen/? je lineární kombinací vektorů E.
Cvičení z lineární algebry
34
Vít Vondrák
Jelikož j sou splněny obě podmínky 1. a 2. množina E tvoří bázi P3.      ♦
Příklad:
Rozhodněte, zda-li vektory F = {pi,p2},P\(x) = x2 +1,p2(x) = x2 + x tvoří bázi P3.
1.   Množina F musí být lineárně nezávislá. a1p1+a2p2 =o
axpx (x) + a2p2 (x) = o(x),       Vx e R
ax ■ (x2 +ľ) + a2- (x2 + x) = 0, Vx e R (^ + a2)x2 + a2x + ^ = 0,      Vxe R
Dva mnohočleny se sobě rovnají jestliže mají stejné koeficienty u stejných mocnin x. Odtud soustavu 3 rovnic o 2 neznámých: ax    +a2    =   0
a2     =   0
ax              =   0
Na první pohled je zřejmé, že tato soustava má pouze jedno řešení a to ax = a2 = 0 a množina i7 je tedy lineárně nezávislá.
2.   Libovolný mnohočlen p e P3, p(x) = ax 2 + bx + c , musí být možné vyjádřit
jako lineární kombinaci mnohočlenů z F. alpl+a2p2 =p
ax px(x) + a2 p2 (x) = p(x),     Vx e R
ax ■ (x2 +ľ) + a2- (x2 + x) = ax2 +bx + c,      Vx e i? (oTj + or2 )x2 + or2x + ax = ax2 + bx + c,          Vx e i?
Porovnáním koeficientu mnohočlenů v poslední rovnici dostáváme soustavu 3 rovnic o 2
neznámých:
ax    +a2    =   a
an     =   b
ccx                 =   c
íl	1	a^		íl	1	a  >		íl    1
0	1	b	~	0	1	b	~	0    1
v1	0	CJ	-r,	v0	-1	c-aj	+ r2	vo   0
Poslední rovnice má tvar 0 = -a + b + ca odtud dostáváme, že sosutava má řešení ax =a-b,a2 =b pouze za předpokladu, že -a + b + c = 0 .Z tohoto vyplývá, že ty mnohočleny, pro něž je -a + b + c ^0 nelze vyj ádřit j ako lineární kombinace mnohočlenů px (x) = x2 +1, p2 (x) = x2 + x a tudíž množina F není bází P3.  ♦
Cvičení z lineární algebry
35
Vít Vondrák
Příklad:
Určete bázi podprostoru U = \p e P3, p(x) = a2x2 +alx + a0 :a0-a2 = OJ vektorového prostoru P3.
Koeficienty mnohočlenů patřících do množiny U musí splňovat podmínku a0 -a2 = 0 což představuje rovnici o třech neznámých a0,al,a2 jejíž řešením je a0 =t,al = s,a2 =t pro libovolné parametry t,se R. Pak pro Vper/ existují t,se R takové, že p(x) = tx2 + sx + t = tx2 +t + sx = t(x2 +1) + sx,Vxe R a odtud U = {t(x2 +1) + sx,Vt,se r}= (x2 + l,x).
Je zřejmé, že mnohočleny x2 +1 a x jsou lineárně nezávislé a libovolný mnohočlen z U, lze vyjádřit jako kombinaci těchto mnohočlenů. Proto mnohočleny x2 +1 a x tvoří bázi podprostoru U.      ♦