LU rozklad, řešení soustav rovnic LU rozkladem
1. Je dána matice
A =


-1 1 1
3 1 2
1 0 1


Rozložte tuto matici na součin dolní a horní trojúhelníkové matice (LU rozklad).
2. Je dána matice
A =


-1 2 0
2 -3 2
0 2 5


a) rozložte tuto matici na součin dolní a horní trojúhelníkové matice (LU rozklad)
b) využijte LU rozkladu k řešení soustavy:
-x1 + 2x2 =5
2x1 - 3x2 + 2x3 =0
2x2 + 5x3 =0
3. Je dána matice
A =


1 -1 -2
2 1 1
-1 0 2


a) rozložte tuto matici na součin dolní a horní trojúhelníkové matice (LU rozklad)
b) využijte LU rozkladu k řešení soustavy:
x1 - x2 - 2x3 =1
2x1 + x2 + x3 =1
-x1 + 2x3 = - 1
4. Je dána matice
A =


-1 3 0
3 -8 3
0 3 1


a) rozložte tuto matici na součin dolní a horní trojúhelníkové matice (LU rozklad)
b) využijte LU rozkladu k řešení soustavy:
-x1 + 3x2 =2
3x1 - 8x2 + 3x3 =4
3x2 + x3 =14
c) využijte LU rozkladu k řešení soustavy:
-x1 + 3x2 =1
3x1 - 8x2 + 3x3 =2
3x2 + x3 = - 1
5. Pomocí LU rozkladu vyřešte soustavu rovnic
x1 + 2x2 + 2x3 =9
2x1 + x2 - 2x3 =0
2x1 - 2x2 + x3 =0
6. Pomocí LU rozkladu nalezněte inverzní matici k matici A
A =


2 1 1
1 1 -1
6 4 1

 .
Výsledky
1. LU =


1 0 0
-3 1 0
-1 1
4 -1
4




-1 1 1
0 4 5
0 0 -3


2. a) LU =


1 0 0
-2 1 0
0 2 1




-1 2 0
0 1 2
0 0 1

,
b) [x1, x2, x3] = [95, 50, -20]
3. a) LU =


1 0 0
2 1 0
-1 -1
3
1
3




1 -1 -2
0 3 5
0 0 5

,
b) [x1, x2, x3] = [3
5 , 0, -1
5 ]
4. a) LU =


1 0 0
-3 1 0
0 3 1




-1 3 0
0 1 3
0 0 -8

,
b) [x1, x2, x3] = [10, 4, 2],
c) [x1, x2, x3] = [-4, -1, 2]
5. LU =


1 0 0
2 1 0
2 2 1




1 2 2
0 -3 -6
0 0 9

, [x1, x2, x3] = [1, 2, 2],
6. A-1 =


5 3 -2
-7 -4 3
-2 -2 1

 .