Cvičení z lineární algebry 60 Vít Vondrák
Cvičení č. 12
Skalární součin. Norma vektoru. Ortogonalita. Gramm-Schmidtův ortonormalizační proces.
Skalární součin
Definice:
Skalárním součinem na vektorovém prostoru V rozumíme každou symetrickou bilineární
formu jejíž příslušná kvadratická forma je pozitivně definitní.
Příklad:
Rozhodněte, zda-li zobrazení definované předpisem
332211 242],[ vuvuvuvu ++=
tvoří skalární součin na 3
R .
Řešení:
].,[],[242242
)(2)(4)(2],[:,,.1
332211332211
333222111
3
wvwuwvwvwvwuwuwu
wvuwvuwvuwvuRwvu
+=+++++=
=+++++=+
].,[)242(
)(2)(4)(2],[:,.2
332211
332211
3
vuvuvuvu
vuvuvuvuRRvu


=++=
=++=
].,[242242],[:,.3 332211332211
3
vuvuvuvuuvuvuvuvRvu =++=++=
Body 1., 2., 3. jsme dokázali, že zadané zobrazení je symetrická bilineární forma. Nyní zbývá
dokázat, že její příslušná kvadratická forma je pozitivně definitní.
.,,0242],[ 32
3
2
2
2
1 ouRuuuuuu >++=
Z posledního vyplývá, že ],[ uu je pozitivně definitní a tedy předpis ],[ vu je skalárním
součinem na 3
R . 
Norma vektoru.
Norma vektoru představuje zobecnění pojmu velikosti vektoru známého z 2
R či 3
R na
obecný vektorový prostor V.
Definice:
Zobrazení, které každému vektoru v z vektorového prostoru V přiřadí kladné reálné číslo v
se nazývá norma vektoru v jestliže Vvu  , a libovolný skalár  platí:
1. vuvu ++
2. uu  =
3. ouu == 0
Příklad:
Rozhodněte, zda-li zobrazení 3211
3
vvvvvR ++= je normou na 3
R . Pokud ano,
vypočtěte 1
x , kde ]2,3,1[ -=x .
Cvičení z lineární algebry 61 Vít Vondrák
Řešení:
Musíme ověřit všechny 3 vlastnosti normy.
.
:,.1
11321321
3322113322111
vuvvvuuu
vuvuvuvuvuvuvuVvu
+=+++++=
=++++++++++=+
( ) .
:.2
1321
3213211
uuuu
uuuuuuuRVu


=++=
=++=++=
.0000000.3 3213213211
ouuuuuuuuuuu ========++=
1
v tedy tvoří normu na 3
R .
Pro ]2,3,1[ -=x je .62311
=-++=x 
Věta:
Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem ( )vu, . Pak ( ) Vuuuu = ,, je norma
na V. Tuto normu nazýváme Eukleidovskou normou.
Příklad:
Je dán skalární součin 332211 242],[ vuvuvuvu ++= na vektorovém prostoru 3
R . Určete
Eukleidovskou normu vektoru ]2,3,1[ -=x vzhledem k tomuto skalárnímu součinu.
Řešení:
468362)2(23412242],[ 2222
3
2
2
2
1 =++=-++=++== xxxxxx . 
Orogonalita
Definice:
Je dán vektorový prostor V se skalárním součinem ),( vu . Množina vektorů { }nee ,...,1 se
nazývá ortogonální jestliže ( ) .,,...,1,,0, jinjiee ji == Je-li navíc ( ) ,,...,1,1, niee ii ==
pak se tato množina nazývá ortonormální.
Příklad:
Rozhodněte zda-li jsou vektory ]1,0,1[],1,1,0[],0,1,1[ 321 === fff ortogonální vzhledem ke
skalárnímu součinu 332211 242],[ vuvuvuvu ++= .
Řešení:






=++=
=++=
=++=
2112014102],[
2102014112],[
4102114012],[
32
31
21
ff
ff
ff
vektory nejsou ortogonální. 
Gramm-Schmidtův ortonormalizační proces
Gramm-Schmidtův ortonormalizační proces vytvoří z množiny lineárně nezávislých vektorů
systém ortonormální. Celý proces si ozřejmíme na příkladě.
Cvičení z lineární algebry 62 Vít Vondrák
Příklad:
Pomocí Gramm-Schmidtova ortonormalizačního procesu vytvořte z vektorů
]1,0,1[],1,1,0[],0,1,1[ 321 === fff ortonormální množinu vzhledem ke skalárnímu součinu
332211 242],[ vuvuvuvu ++= .
Řešení:
1. Určení prvního vektoru 1e je snadné neboť se přímo určí z vektoru ]0,1,1[1 =f :
[ ]
].0,1,1[
6
1
6
]0,1,1[
021412
]0,1,1[
, 222
11
1
1
1
1 ==
++
===
ff
f
f
f
e
Lze snadno ověřit, že pro vektor 1e platí [ ] 1, 11 =ee .
2. Druhý vektor 2e určíme z vektoru ]1,1,0[2 =f tak aby byl ortogonální na vektor 1e .
Nejdříve tedy nalezneme vektor 112 efg -= tak aby bylo splněno 0],[ 1 =eg . Dostáváme
tedy rovnici
[ ] [ ] [ ] [ ] 1121111211121 ,,,,],[0  -=-=-== efeeefeefeg .
Odtud dostáváme, že
[ ]
6
4
012
6
1
14
6
1
02, 121 =++== ef .
Nový ortogonální vektor k vektoru 1e tedy dostáváme ze vztahu
[ ] ]3,1,2[
3
1
1,
3
1,
3
2]0,1,1[
3
2
]1,1,0[]0,1,1[
6
4
6
4
]1,1,0[112 -=-=-=-=-= efg  .
Nyní zbývá vytvořit z vektoru g vektor 2e tak aby [ ] 1, 22 =ee . To lze provést stejným
způsobem jako v kroku 1. Tzn.
[ ] ( ) ( )
]3,1,2[
30
1
]3,1,2[
30
3
3
1]3,1,2[
3
1
1242
]3,1,2[
, 9
3022
3
12
3
2
3
1
2 -=-=
-
=
++-
-
===
gg
g
g
g
e .
Vektor 2e tedy splňuje podmínku 0],[ 21 =ee i podmínku [ ] 1, 22 =ee .
3. Třetí vektor 3e musí splňovat podmínku ortogonality vzhledem k oběma předchozím
vektorům ., 21 ee Vytvoříme jej tedy z vektoru ]1,0,1[3 =f následujícím způsobem
22113 eefg  --= .
Přitom musí být splněny podmínky ortogonality 0],[ 1 =eg a 0],[ 2 =eg . Dosazením
dostáváme rovnice
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] .,,,,,],[0
,,,,,,],[0
223222211232221132
113122111131221131


-=--=--==
-=--=--==
efeeeeefeeefeg
efeeeeefeeefeg
Jejich řešením je
[ ]
[ ] .
30
2
30
3
12
30
1
04
30
2
12,
,
6
2
012
6
1
04
6
1
12,
232
131
=++
-
==
=++==
ef
ef


Nyní můžeme sestavit vektor g, který je ortogonální k ., 21 ee
]4,2,4[
5
1
]3,1,2[
15
1
]0,1,1[
3
1
]1,0,1[]3,1,2[
30
1
30
2
]0,1,1[
6
1
6
2
]1,0,1[ -=---=---=g .
Zbývá tedy určit 3e tak, aby [ ] 1, 33 =ee .
Cvičení z lineární algebry 63 Vít Vondrák
[ ] ( ) ( ) ( )
].2,1,2[
20
1
]4,2,4[
202
5
5
1]4,2,4[
5
1
242
]4,2,4[
, 25
802
5
42
5
22
5
4
5
1
3
-=
=-=
-
=
+-+
-
===
gg
g
g
g
e
Zkouška:
0
600
1248
20
2
30
3
2
20
1
30
1
4
20
2
30
2
2],[
0
120
4
120
4
20
2
02
20
1
6
1
4
20
2
6
1
2],[
0
180
4
180
4
30
3
02
30
1
6
1
4
30
2
6
1
2],[
32
31
21
=
+--
=+
-
+
-
=
=-=+
-
+=
=+-=++
-
=
ee
ee
ee
1
20
848
20
2
20
2
2
20
1
20
1
4
20
2
20
2
2],[
1
30
1848
30
3
30
3
2
30
1
30
1
4
30
2
30
2
2],[
1
6
42
002
6
1
6
1
4
6
1
6
1
2],[
33
22
11
=
++
=+
-

-
+=
=
++
=++
-

-
=
=
+
=++=
ee
ee
ee
Vektory ],0,1,1[
6
1
1 =e ],3,1,2[
30
1
2 -=e ]2,1,2[
20
1
3 -=e jsou hledané ortonormální
vektory.