Skalární součin, ortogonalizace
1. Je dán vektorový prostor R2. Rozhodněte, zda následující předpisy určují skalární
součin (u, v), přičemž u = (u1, u2), v = (v1, v2):
(a) (u, v) = 4u1v1 + 2u1v2 + 2u2v1 + 3u2v2,
(b) (u, v) = 2u2
1 + 4u2
2 + 6u2
3 - u1v2 - 2u2v3.
2. V R3 je zadán skalární součin (x, y) = 3x1y1 + 4x2y2 + x3y3. Ortogonalizujte bázi
F = {f1, f2, f3}, kde f1 = (0, 0, 1), f2 = (0, 1, 1), f3 = (1, 2, 1) vzhledem k zadanému
skalárnímu součinu.
3. Gram-Smidtovým procesem nalezněte ortonormální bázi lineárního obalu vektorů
u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (0, 1, -1, 0), u3 = (1, 3, -1, 3) vzhledem ke skalárnímu součinu
(u, v) = u1v1 + u2v2 + u3v3 + u4v4.
4. Je dán vektorový prostor R3 se skalárním součinem (u, v) = u1v1 + u2v2 + u3v3.
Vypočtěte souřadnice vektoru x = (3, 4, 5) vzhledem k ortogonální bázi
E = (1, -1, 1), (1, 1, 0), (-
1
2
,
1
2
, 1) .
K výpočtu využijte ortogonality báze.
Výsledky
1. a) ano, b) ne,
2. E = ((0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)),
3. E = (1
2 , 1
2 , 1
2 , 1
2 ), (0, 1
2
, - 1
2
, 0), (- 1
2

3
, - 1
2

3
, - 1
2

3
, - 3
2

3
) ,
4. x = [4
3, 7
2, 11
3 ].