9. Bilineární formy 9. Bilineární formy ­ p. 1/14 Bilineární formy 1. Definice a příklady 2. Klasifikace bilineárních forem 3. Matice bilineární formy 4. Změna báze 5. Kongruentní matice 9. Bilineární formy ­ p. 2/14 9.1 Definice a příklady DEFINICE 1 Nechť V je reálný vektorový prostor. Zobrazení B : V × V R se nazývá bilineární forma, jestliže pro libovolné u, v, w V a R platí: 1. B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w) 2. B(u, v) = B(u, v) 3. B(u, v + w) = B(u, v) + B(u, w) 4. B(u, v) = B(u, v) Bilineární funkce je tedy při zvolené hodnotě jedné proměnné lineární funkcí druhé proměnné. Můžeme ji považovat za zobecnění funkce z = axy dvou proměnných x a y na vektorové prostory. 9. Bilineární formy ­ p. 3/14 8.1 Definice a příklady P ŘÍKLAD 1 Na prostoru V = R3 sloupcových vektorů dimenze 3 si definujeme formu B předpisem, který každé dvojici vektorů x = [xi] a y = [yi] přiřazuje B(x, y) = x y = x1y1 + x2y2 + x3y3. Interpretujeme-li x jako sílu a y jako dráhu, pak B(x, y) je práce konaná silou x po dráze y. Snadno se ověří, že B je bilineární forma. P ŘÍKLAD 2 Nechť A = [aij] je daná reálná čtvercová matice řádu 2. Pak zobrazení, které každé dvojici sloupcových vektorů druhého řádu x = [xi] a y = [yi] přiřazuje B(x, y) = x Ay = a11x1y1 + a12x1y2 + a21x2y1 + a22x2y2, je bilineární forma. P ŘÍKLAD 3 Nechť F je vektorový prostor všech reálných funkcí. Pak předpis, který každé dvojici funkcí f F a g F přiřazuje B(f, g) = f(1)g(1) + f(2)g(2), definuje bilineární formu. 9. Bilineární formy ­ p. 4/14 9.2 Klasifikace bilineárních forem DEFINICE 2 Nechť V je libovolný vektorový prostor. Bilineární forma B se nazývá symetrická, jestliže pro libovolné vektory u, v V platí B(u, v) = B(v, u) a antisymetrická, jestliže B(u, v) = -B(v, u). Antisymetrické formy lze ekvivalentně charakterizovat též rovností B(u, u) = 0 pro libovolné u V. Skutečně, platí-li B(u, u) = 0, pak B(u + v, u + v) = B(u, v) + B(v, u) = 0, odkud dostaneme B(u, v) = -B(v, u). Obráceně z B(u, v) = -B(v, u) plyne B(u, u) = -B(u, u), tedy platí B(u, u) = 0. 9. Bilineární formy ­ p. 5/14 9.2 Klasifikace bilineárních forem P ŘÍKLAD 4 Bilineární formy z příkladu 1 a 3 jsou zřejmě symetrické, zatímco forma z příkladu 2 je symetrická, právě když A = A . Bilineární forma z příkladu 2 bude antisymetrická, právě když A = -A Vskutku B(x, y) = y Ax = y Ax = (Ax) y = x A y. Jelikož B(y, x) = x Ay pak B(x, y) = B(y, x) A = A . Obdobně B(x, y) = -B(y, x) A = -A . Například pro matici 0 1 -1 0 . Bilineární forma je antisymetrická, neboť splňuje B(x, y) = x1y2 - x2y1 = -(y1x2 - y2x1) = -B(y, x). 9. Bilineární formy ­ p. 6/14 9.2 Klasifikace bilineárních forem V ĚTA 1 Každou bilineární formu B můžeme vyjádřit ve tvaru součtu symetrické a antisymetrické formy B(u, v) = BS (u, v) + BA (u, v), kde BS (u, v) = 1 2 B(u, v) + B(v, u) BA (u, v) = 1 2 B(u, v) - B(v, u) přičemž BS (u, v) = BS (v, u) a BA (u, v) = -BA (v, u). Formy BS a BA se nazývají po řadě symetrická část a antisymetrická část bilineární formy B. D ŮKAZ: B(u, v) = 1 2 B(u, v) + B(v, u) + 1 2 B(u, v) - B(v, u) 9. Bilineární formy ­ p. 7/14 9.3 Matice bilineární formy Nechť V je vektorový prostor s bází E = (e1, . . . , en) a nechť B je bilineární forma na V. Nechť x, y V jsou dva vektory, které lze zapsat pomocí souřadnic ve tvaru x = x1e1 + + xnen, y = y1e1 + + ynen. Pak B(x, y) = B(x1e1 + + xnen, y) = x1B(e1, y) + + xnB(en, y) = = [ x1, . . . , xn ] B(e1, y) ... B(en, y) = [ x1, . . . , xn ] B(e1, y1e1 + + ynen) ... B(en, y1e1 + + ynen) = = [ x1, . . . , xn ] B(e1, e1)y1 + + B(e1, en)yn ... B(en, e1)y1 + + B(en, en)yn = = [ x1, . . . , xn ] B(e1, e1) . . . B(e1, en) ... B(en, e1) . . . B(en, en) y1 ... yn 9. Bilineární formy ­ p. 8/14 9.3 Matice bilineární formy DEFINICE 3 Nechť V je libovolný vektorový prostor a E = (e1, . . . , en) je jeho báze. Maticí bilineární formy B v bázi E rozumíme matici [B]E = [B(ei, ej)] V ĚTA 2 Nechť [B]E je matice bilineární formy B v bázi E vektorového prostoru V. Pro libovolné vektory x, y V B(x, y) = [x] E [B]E [y]E . 9. Bilineární formy ­ p. 9/14 9.3 Matice bilineární formy P ŘÍKLAD 5 Najděte matici bilineární formy z příkladu 3 definované na prostoru P3 všech mnohočlenů nejvýše druhého stupně v bázi E = (e1, e2, e3), kde e1(x) = 1, e2(x) = x, e3(x) = x2 . Výsledek využijte k vyčíslení B(p, q) pro p(x) = 1 - x a q(x) = x2 - x. ŘEŠENÍ: Postupně vypočteme: B(e1, e1) = e1(1)e1(1) + e1(2)e1(2) = 1 1 + 1 1 = 2 B(e1, e2) = e1(1)e2(1) + e1(2)e2(2) = 1 1 + 1 2 = 3 B(e1, e3) = e1(1)e3(1) + e1(2)e3(2) = 1 1 + 1 4 = 5 B(e2, e2) = e2(1)e2(1) + e2(2)e2(2) = 1 1 + 2 2 = 5 B(e2, e3) = e2(1)e3(1) + e2(2)e3(2) = 1 1 + 2 4 = 9 B(e3, e3) = e3(1)e3(1) + e3(2)e3(2) = 1 1 + 4 4 = 17 Ostatní prvky matice formy dopočteme ze symetrie B(ei, ej) = ei(1)ej(1) + ei(2)ej(2) = ej(1)ei(1) + ej(2)ei(2) = B(ej, ei). 9. Bilineární formy ­ p. 10/14 9.3 Matice bilineární formy P ŘÍKLAD 5 (Pokračování) Matice má tedy tvar: [B]E = 2 3 5 3 5 9 5 9 17 . Jelikož [p]E = 1 -1 0 a [q]E = 0 -1 1 , platí B(p, q) = 1 -1 0 2 3 5 3 5 9 5 9 17 0 -1 1 = 1 -1 0 2 4 8 = -2. 9. Bilineární formy ­ p. 11/14 9.3 Matice bilineární formy V ĚTA 3 Nechť B je bilineární forma na vektorovém prostoru V konečné dimenze. Pak B je symetrická, právě když matice B v libovolné bázi E prostoru V splňuje [B]E = [B] E (S) D ŮKAZ:Je-li B symetrická bilineární forma, pak B(ei, ej) = B(ej, ei) a vztah (S) platí. Obráceně, nechť platí (S). Pak podle věty 2 pro libovolné vektory x, y V platí B(x, y) = [x] E [B]E [y]E = [x] E [B]E [y]E = [y] E [B] E [x]E = [y] E [B]E [x]E = = B(y, x), takže forma B je symetrická. Matice A, která splňuje A = A , se nazývá symetrická matice. 9. Bilineární formy ­ p. 12/14 9.4 Změna báze Nechť E = (e1, ..., en) a F = (f1, ..., fn) jsou dvě báze U. Nechť S je matice přechodu od báze E k nové bázi F, takže pro libovolný vektor x U platí [x]E = S [x]F . S použitím věty 2 dostaneme pro libovolné dva vektory x, y U a bilineární formu B na U [x] F [B]F [y]F = B(x, y) = [x] E [B]E [y]E = [x] F S [B]E S [y]F . Zvolíme-li x = fi a y = fj dostaneme [B]F = S [B]E S. Odtud dostaneme s použitím matice zpětného přechodu T = S-1 od báze F k bázi E [B]E = T [B]F T. 9. Bilineární formy ­ p. 13/14 9.5 Kongruentní matice DEFINICE 4 Čtvercová matice A je kongruentní s maticí B, jestliže existuje regulární matice T tak, že A = T BT. V ĚTA 4 Matice dané bilineární formy v různých bázích jsou kongruentní. Je možno dokázat i tvrzení, že jsou-li matice kongruentní, pak jsou maticemi nějaké bilineární formy v různých bázích. Jelikož podstatné vlastnosti bilineárních forem (například symetrie) nezávisí na bázi prostoru, dá se očekávat, že kongruentní matice budou mít podstatné charakteristiky shodné. 9. Bilineární formy ­ p. 14/14