Cvičení z lineární algebry 6 Vít Vondrák Cvičení 2. pojem matice, operace s maticemi, algebra matic. Matice Definice: Matice je soubor m n× reálných resp. komplexních čísel sestavených do m řádků a n sloupců. Matici zapisujeme následujícím způsobem == = =× mnmm n n nj miijnm aaa aaa aaa aA 21 22221 11211 ,...,1 ,...,1)( Poznámka: O matici A říkáme, že má rozměr nm× , a prvky njmiaij ,...,1,,...,1, == . V případě, že nm = , pak matici nazýváme čtvercovou řádu n. Příklad: - = )4lg(0 33.21 15 7 A je matice 32× , s prvky )4lg(,0,,3,3.2,1 333215 7 31131211 ====-== aaaaaa - = 2 0 )3sin(36.1 3 2 1 2 B maticí není !!!! Příklad: == = nn njiij d d d dD 00 00 00 )( 22 11 ,...,1, , tj. jidij pro0,= Tuto matici nazýváme diagonální matice. Matice == = 100 010 001 )( ,...,1, njiijeI , tj. = = ji ji eij pro0, pro,1 je speciální případ diagonální a nazýváme ji jednotková. Matici == = = 000 000 000 )( ,...,1 ,...,1 nj miijoO , tj. jioij ,,0 = nazýváme nulovou maticí. Cvičení z lineární algebry 7 Vít Vondrák Definice: Říkáme, že dvě matice jsou si rovny jestliže mají stejný počet řádků a sloupců a prvky na odpovídajících pozicích jsou si rovny. Operace s maticemi Definice: Nechť je dána matice nj miijaA ,...,1 ,...,1)( = == . Pak matici mj niijbB ,...,1 ,...,1)( = == pro jejíž prvky platí, že mjniab jiij ,...,1,,...,1, === nazýváme maticí transponovanou k matici A a značíme ji AT . Příklad: ( ) - = -= - = )4lg(0 33.21 , )4lg(3 03.2 1 , )4lg(0 33.21 15 7 15 7 15 7 TTT AAA Věta: Pro libovolnou matici platí, že ( )TT AA = Dk: triviální Příklad: - - = - - = 012 132 221 , 012 132 221 T BB Poznámka: Matici, pro kterou platí, že A AT = nazýváme maticí symetrickou. Příklad: -- - = -- - = 013 101 310 , 013 101 310 T CC Poznámka: Matici pro kterou platí, že T AA -= nazýváme matici antisymetrickou. Definice: Nechť je dána matice nj miijaA ,...,1 ,...,1)( = == a číslo k reálné rep. komplexní. Pak matici nj miijbB ,...,1 ,...,1)( = == pro jejíž prvky platí, že njmikab ijij ,...,1,,...,1, === nazýváme součin čísla k a matice A a značíme ji kA. Příklad: -- -- =- - = )64lg(0 339.63 3, )4lg(0 33.21 5 7 15 7 AA Poznámka: AA )1(-=- Cvičení z lineární algebry 8 Vít Vondrák Definice: Nechť jsou dány matice nj miijaA ,...,1 ,...,1)( = == a nj miijbB ,...,1 ,...,1)( = == . Pak matici nj miijcC ,...,1 ,...,1)( = == pro jejíž prvky platí, že njmibac ijijij ,...,1,,...,1, ==+= nazýváme součet matice A a matice B a značíme ji BA + . Příklad: - - =+ -- = - = 546 514 , 218 513 , 732 021 BABA Definice: Nechť jsou dány matice nj miijaA ,...,1 ,...,1)( = == , qj piijbB ,...,1 ,...,1)( = == a nechť n p= . Pak matici qj miijcC ,...,1 ,...,1)( = == pro jejíž prvky platí, že njmibabababac n k kjiknjinjijiij ,...,1,,...,1,... 1 2211 ===+++= = nazýváme součin matice A a matice B a značíme ji AB . Příklad: ++ ++ ++ = = = 2232123121321131 2222122121221121 2212121121121111 2221 1211 3231 2221 1211 ,, babababa babababa babababa AB bb bb B aa aa aa A Pozor!!! BA nelze násobit - - -- = = +-+-+ +-+-+ -+--+--+ = - - = - = 101712 696 453 2502)3(5)1(22512 2300)3(3)1(02310 2)2(01)3()2()1(12)2(11 , 232 011 , 52 30 21 ABBA - - = +-+-+-+ +-+-+-+ = 36 51 523)3()2(2220)3(12 503)1()2(1200)1(11 BA -- = -- = - = - = 43 62 , 26 34 , 13 12 , 20 21 DCCDDC Poznámka: Z předchozího příkladu je vidět, že obecně neplatí vztah AB=BA. Matice, pro které toto platí nazýváme záměnné. Vlastnosti maticových operací Věta: Nechť jsou dány libovolné matice A, B, C a libovolná reálná resp. komplexní čísla k, h. Pokud níže uvedené maticové operace mají smysl pak platí 1. OA =0 2. AA =1 3. hAkAAhk +=+ )( Cvičení z lineární algebry 9 Vít Vondrák 4. kBkABAk +=+ )( 5. )()( hAkAkh = 6. TT kAkA =)( 7. ABBA +=+ 8. CBACBA ++=++ )()( 9. AAOOA =+=+ 10. OAAAA =+-=-+ )()( 11. TTT BABA +=+ )( 12. BIBAAI == , 13. OOBOAO == , 14. CABBCA )()( = 15. ACABCBA +=+ )( 16. BCACCBA +=+ )( 17. TTT ABAB =)( Dk: 14. )(),(),( ijijij cCbBaA === ====== l ljilijij k kjikijij bahhABHcbggBCG ),(,),( ====== l k kjlkil k kjlk l il l ljilijij cbacbagappBCAAGP ),()( = ===== k l kjlkilkj k l lkil k kjikijij cbacbachqqCABHCQ ),()( tedy QP = . 17. jiij T jiij T ijij bdBDacACbBaA ====== ,,,),(),( ======== k kijkjiijij TT k kjikijij baghhABGHbaggABG ),()(,),( ===== k jkki k kjikijij TT abcdppABDCP ),( tedy PH = .