Lineární závislost, lineární kombinace, báze
1. Uvažujme vektorový prostor R4. Zjistěte výpočtem, zda jsou následující vektory
lineárně závislé nebo nezávislé:
(a) u = (2, -1, 0, 3), v = (1, 2, 5, -4), w = (7, -1, 5, 8),
(b) u = (1, 2, -2, 0), v = (3, 4, -1, 1), w = (1, 5, 7, 0), x = (-2, 3, 3, -2)
2. Uvažujme vektorový prostor P2 = {p(x) = a2x2 + a1x + a0 : a2, a1, a0  R}. Zjistěte
výpočtem, zda jsou následující polynomy lineárně závislé nebo nezávislé:
(a) p(x) = 3x + 2, q(x) = x2 - 3x - 1, r(x) = -x2 + 3x + 3,
(b) p(x) = 2x2 - 2x + 2, q(x) = -x2 - 2x + 1, r(x) = -6x + 4,
(c) p(x) = x2 + x + 1, q(x) = 2x2 - x - 1, r(x) = -6x - 10.
3. Uvažujme vektorový prostor C3. Zjistěte výpočtem, zda jsou následující vektory
lineárně závislé nebo nezávislé:
u = (2, 2 + 2i, 2i), v = (1 - i, 1 + 3i, -1 + i), w = (1 + i, 1 - i, 1 + i).
4. Uvažujme vektorový prostor R4. V závislosti na parametrech a, b, rozhodněte o
lineární závislosti či nezávislosti zadaných vektorů:
u1 = (1, 2 + a, 4, 6), u2 = (1, 2, 3 - b, 3), u3 = (2, 4, b - 6, 7), u4 = (1, 2 - a, 2 - b, 1).
5. Uvažujme vektorový prostor P2 = {p(x) = a2x2 + a1x + a0 : a2, a1, a0  R}. Rozhodněte,
zda je polynom p(x) = x2 + 2 lineární kombinací polynomů q(x) = x2 - x,
r(x) = x + 1.
6. Uvažujme vektorový prostor P3 polynomů stupně maximálně 3. Polynom p(x) =
= 7x3 - 7x2 + 4x - 1 vyjádřete jako lineární kombinaci polynomů q(x) = x3 + 3x2 -
x + 2, r(x) = 2x2 - x + 3, s(x) = 2x3 - 2x2 + x + 1.
7. Ve vektorovém prostoru R6 jsou dány podprostory W1 = u1, u2, u3 a W2 =
= v1, v2, v3 . Určete bázi a dimenzi podprostorů W1, W2. Přitom
u1 = (0, 1, 0, 1, 0, -1), u2 = (-2, -1, -1, 0, 0, -1), u3 = (1, 1, 0, 2, 1, 0),
v1 = (2, 1, 1, 0, 0, 1), v2 = (2, 2, 1, 1, 0, 0), v3 = (2, -1, 1, -2, 0, 3).
8. Nechť e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1), x = (1, 1, 1), y = (0, 1, 1),
z = (1, -1, 0), u = (1, 1, 0) jsou vektory z R3.
a) Který z vektorů e1, e2, e3 lze nahradit vektorem x abychom dostali bázi R3?
b) Který z vektorů e1, e2, e3 lze nahradit vektorem y abychom dostali bázi R3?
c) Který z vektorů e1, e2, e3 lze nahradit vektorem z abychom dostali bázi R3?
d) Který z vektorů e1, z, u lze nahradit vektorem e2 abychom dostali bázi R3?
9. Jakým podmínkám musí vyhovovat číslo a, aby následující vektory tvořily bázi
prostoru R3:
(a) (1, 1, 1), (1, a, a2),
(b) (0, a, a), (a, a, 1), (0, 1, a).
10. Množina všech matic typu (2,2) je vektorový prostor nad R (vzhledem k operacím
sčítání matic a součinu čísla s maticí).
(a) Určete libovolnou bázi tohoto vektorového prostoru.
(b) Určete dimenzi tohoto vektorového prostoru.
(c) Vyjádřete matici D jako lineární kombinaci matic A, B, C, je-li
A =
2 -1
0 4
, B =
1 -2
3 -1
, C =
0 4
4 2
, D =
9 -16
11 1
11. Udejte příklad vektorů u, v, w  R2, které jsou lineárně závislé a přitom vektor u
nelze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů v, w.
12. Nalezněte v R3 tři báze, které mají společný vektor (1, 1, 1), ale už žádný jiný.
Výsledky
1. (a) lineárně nezávislé,
(b) lineárně závislé,
2. (a) lineárně nezávislé,
(b) lineárně závislé,
(c) lineárně nezávislé,
3. lineárně závislé,
4. pro a = 0 a b = 6 jsou vektory lineárně nezávislé, jinak jsou lineárně závislé,
5. není,
6. p(x) = q(x) - 2r(x) + 3s(x),
7. dim(W1) = 3, bázi tvoří vektory u1, u2, u3,
dim(W2) = 2, bázi tvoří vektory v1, v2,
8. (a) libovolný,
(b) e2 nebo e3,
(c) e1 nebo e2.
(d) Vektory e1, z, u netvoří bázi R3. Pokud libovolný z těchto vektorů nahradíme
vektorem e2 také nedostaneme bázi R3.
9. (a) Vektory nemohou nikdy tvořit bázi R3.
(b) Vektory tvoří bázi pro každé a  R {0, 1}.
10. (a) Například E1 =
1 0
0 0
, E2 =
0 1
0 0
, E3 =
0 0
1 0
, E4 =
0 0
0 1
.
(b) dimenze je 4
(c) D = 2A + 5B - C