Bilineární formy
1. Rozhodněte, zda je zobrazení B : P2 × P2  R definované pro každé p, q  P2
předpisem
(a) B(p, q) = 4p(0)q(1) + p(2)q(3)
(b) B(p, q) = p(1)q(-1) + p(0)q2(1)
bilineární forma.
2. Je dána bilineární forma B : P2 × P2  R definovaná předpisem
B(p(x), q(x)) = p(0)q(0) + p(1)q(1), kde p(x), q(x)  P2.
Sestavte matici této bilineární formy vzhledem ke standardní bázi prostoru P2.
3. Je dána bilineární forma B : P2 × P2  R definovaná vztahem
B(p, q) = p(2)q(3).
Sestavte matici bilineární formy B vzhledem k bázi E = (p1, p2, p3), kde p1(x) = 1,
p2(x) = 1 - x, p3(x) = (1 - x)2.
4. Je dána bilineární forma B : P2 × P2  R definovaná předpisem
B(p, q) = p(0)q(3),
kde p, q  P2.
(a) Sestavte matici bilineární formy B vzhledem k bázi F = (p1, p2, p3), kde p1 =
= 1, p2 = x - 1, p3 = (x - 1)2.
(b) Určete souřadnice polynomů p(x) = x+1 a q(x) = x2+1 v bázi F = (p1, p2, p3).
(c) Pomocí matice bilineární formy vyčíslete B(p, q) pro polynomy p(x), q(x).
5. Je dána bilineární forma B : R3 × R3  R definovaná vztahem
B(x, y) = x1y1 - 2x1y2 + 3x1y3 - x2y3.
(a) Určete její symetrickou a antisymetrickou část.
(b) Určete matici bilineární formy B vzhledem ke standardní bázi, matici symetrické
části B a matici antisymetrické části B.
6. Rozložte matici bilineární formy
A =


3 6 2
-2 0 3
4 1 5


na součet symetrické a antisymetrické části.
Výsledky
1. (a) ano, (b) ne,
2. [B] =


2 1 1
1 1 1
1 1 1


3. [B] =


1 -2 4
-1 2 -4
1 -2 4


4. (a) [B] =


1 2 4
-1 -2 -4
1 2 4


(b) p = (2, 1, 0), q = (2, 2, 1),
(c) B(p, q) = 10,
5. (a) BS(x, y) = x1y1 - x1y2 + 3
2 x1y3 - x2y1 - 1
2x2y3 + 3
2 x3y1 - 1
2 x3y2,
BA(x, y) = -x1y2 + 3
2 x1y3 + x2y1 - 1
2 x2y3 - 3
2 x3y1 + 1
2 x3y2,
(b) [B] =


1 -2 3
0 0 -1
0 0 0

 , [BS] =


1 -1 3
2
-1 0 -1
2
3
2 -1
2 0

 , [BA] =


0 -1 3
2
1 0 -1
2
-3
2
1
2 0


6. [B] =


3 2 3
2 0 2
3 2 5

 +


0 4 -1
-4 0 1
1 -1 0

 .