Lineární algebra pro IT MgrVftVondrák, Ph.D. Katedra aplikované matematiky, FEI vit.vondrak@vsb.cz, místnost k213 http://katis.cs.vsb.cz/ostatni/pre-b.php?predmet=457-525 http://vondrak.am.vsb.cz/la-it Obsah předmětu • Operace s vektory a maticemi - vlastnosti těchto operací • Řešení soustav lineárních rovnic • Teorie vektorových prostorů - řešitelnost soustav lineárních rovnic • Lineární zobrazení a transformace - zobecnění soustav lineárních rovnic • M u Iti I i neárn í zobrazení, determinanty • Úvod do spektrální analýzy • Úvod do analytické geometrie 27. září 2004 Úvodní přednáška LA-IT Aplikace I: dopravní problém S-,=100 O-,=100 Oo=170 S2=300 27. září 2004 S3=50 Úvodní přednáška LA-IT Aplikace I: dopravní problém Soustava lineárních rovnic: •*1,1 + xl2 + xl3 — 100 •^2,2 + :Sí:2,3 + x24 •*3,1 + x34 — 300 50 •*1,1 *1,2 X\,3 + :,í:2,2 ~^X2,3 X2a + x3l + ^3 4 — 100 170 100 80 xYl=50 + q,xl2 = -50 +p-q,xl3 =100-p ^ =100 X = 0x =0 x2 2 = 220 -p + q, x23 = p, x2 4 = 80 - q ___n I___w x77 = 170, x7 o = 100, x7 4 = 30 pro lib. p, 0 x3,i = °> x3,4 = 50 27. září 2004 Úvodní přednáška LA-IT Aplikace I: dopravní problém Aplikace I: dopravní problém Maticový zápis soustavy: Ax = b 1110 0 0 0 0 0 0 0 1110 0 0 0 0 0 0 0 1 1 10 0 0 0 0 10 0 10 10 0 0 0 0 0 10 10 0 0 0 0 0 0 0 10 1 xu 100 xl2 300 ■*1,3 50 , x = •^2,2 , b = 100 ■*2,3 170 X2A 100 ■*3,1 80 ■*3,4 Řešitelnost soustavy - soustava nemá řešení (zboží nelze rozvést) - soustava má jediné řešení (zboží lze rozvést jediným způsobem) - soustava má nekonečně mnoho řešení (zboží lze rozvést různým způsobem - možno dále specifikovat jakým) 27. září 2004 Úvodní přednáška LA-IT Aplikace I: dopravní problém Aplikace I: dopravní problém Optimalizační úloha: 1N dlCAjL .Al 1 •> JÍa J •> JÍa O •> Jí J J •> Jí J O •, Jí J A j JÍ-> 1 •, JÍ-> A _ \J LCiJV^ CtUV \-JÍa i ""r~ H".Ai rj ~\ £JÍ^ o ""r~ 1 • +jJÍj j ~T~ Á*. +jJÍj -> ~T~ \J• +jJÍj * ~T~ ^JÍ-> i ""r~ \J• ^jJÍ-> * bylo co nejmenší, a zároveň X\,\ "*" X\,2 "*" X\,3 = 100 •^2,2 + X2}3 + ^2,4 = 300 X3,\ "*" X3,4 = 50 X\,\ + x3l = 100 Xl2 + ^2,2 = 170 *1,3 + :,í:2,3 = 100 X24 + ^34 = 80 Maticový zápis: mine x,kdeAx = bax>o c = cu CV2 C\3 C2,2 C23 C2,4 C3\ C3,4 27. září 2004 Úvodní přednáška LA-IT Aplikace II: délka 27. září 2004 Úvodní přednáška LA-IT Aplikace II: délka lana G 44444444444444 * Malé deformace: tg(tf) ~ sin(tf) 27. září 2004 Úvodní přednáška LA-IT Aplikace II: délka lana ol P0=Psin(a0)~P U] Ur\ Px = P smio^) ^ P Uj U] P0+(-Pl) = hG pU\~U0 p U2 ~ U\ _ UQ h lÁr\\ZÁi,A Ury --- h h2G P .a, 27. září 2004 Úvodní přednáška LA-IT Aplikace II: délka lana Soustava lineárních rovnic: —u, + 2uY —w. — Ur. + 2Ur —u, — u- ■\-2Ur, — U, -uA + 2u, -u — u< + 2u( -U£ = a h2F h2F h2F h2F h2F F = G = mlg P mvg m ¥ F = lkg-9.81ms 2ux — u2 ■zzzz 0.2683 —ux +2u2 -U3 — 0.2683 -u2 + 2u3 -u4 — 0.2683 -u3 + 2u4 -u5 — 0.2683 -u4 + 2u5 — 0.2683 27. září 2004 Úvodní přednáška LA-IT 9Qkg\.625ms L = \2m => h = — = 2m 6 u0 = u6 = 0 ux = 0.6708 k i/, =1.0732 = 0.0671 i/, =1.2074 M4 =1.0732 u5 = 0.6708 Aplikace II: délka lana Výpočet délky: [0,«