3. Inverzní matice
3. Inverzní matice ­ p. 1/18
Inverzní matice
1. Maticový zápis elementárních úprav
2. Inverzní matice
3. Elementární úpravy a regularita
4. Výpočet inverzní matice
5. Inverzní matice a řešení soustav
6. Vyčíslení výrazů s inverzní maticí
7. Použití inverzní matice
3. Inverzní matice ­ p. 2/18
3.1 Maticový zápis elementárních úprav
Násobení maticí zleva lze popsat jako manipulaci s řádky násobené
matice.
Pro T = [tij] a A = [aij] řádu dvě platí
TA =
t11 t12
t21 t22
rA
1
rA
2
=
t11rA
1 + t12rA
2
t21rA
1 + t22rA
2
Například matice T provede výměnu 1. a 2. řádku násobením
A
= TA.
T =
0 1
1 0
Jestliže A
= TA vznikne z A nějakou pevně zvolenou elementární
transformací, pak také I
= TI = T vznikne z jednotkové matice I
toutéž transformací.
3. Inverzní matice ­ p. 3/18
3.1 Maticový zápis elementárních úprav
Výměna i-tého a j-tého řádku (elementární permutační matice).
I =
i
j
i j











1 . . . 0 . . . 0 . . . 0
...
...
...
...
...
0 . . . 1 . . . 0 . . . 0
...
...
...
...
...
0 . . . 0 . . . 1 . . . 0
...
...
...
...
...
0 . . . 0 . . . 0 . . . 1











rj
ri


i
j











1 . . . 0 . . . 0 . . . 0
...
...
...
...
...
0 . . . 0 . . . 1 . . . 0
...
...
...
...
...
0 . . . 1 . . . 0 . . . 0
...
...
...
...
...
0 . . . 0 . . . 0 . . . 1











= Pij
3. Inverzní matice ­ p. 4/18
3.1 Maticový zápis elementárních úprav
Násobení i-tého řádku nenulovým číslem .
I = i
i






1 . . . 0 . . . 0
...
...
...
...
0 . . . 1 . . . 0
...
...
...
...
0 . . . 0 . . . 1







 
 i







1 . . . 0 . . . 0
...
...
...
...
0 . . .  . . . 0
...
...
...
...
0 . . . 0 . . . 1







= Mi()
3. Inverzní matice ­ p. 5/18
3.1 Maticový zápis elementárních úprav
Přičtení násobku i-tého řádku k j-tému řádku.
I =
i
j
i j











1 . . . 0 . . . 0 . . . 0
...
...
...
...
...
0 . . . 1 . . . 0 . . . 0
...
...
...
...
...
0 . . . 0 . . . 1 . . . 0
...
...
...
...
...
0 . . . 0 . . . 0 . . . 1











+ri


i
j











1 . . . 0 . . . 0 . . . 0
...
...
...
...
...
0 . . . 1 . . . 0 . . . 0
...
...
...
...
...
0 . . .  . . . 1 . . . 0
...
...
...
...
...
0 . . . 0 . . . 0 . . . 1











= Gij()
3. Inverzní matice ­ p. 6/18
3.1 Maticový zápis elementárních úprav
P ŘÍKLAD 1
2 -1
-1 2
r2
r1
 -1 2
2 -1 , P12 = 0 1
1 0
2 -1
-1 2 1
2

2 -1
-1
2 1 , M2
1
2
=
1 0
0 1
2
2 -1
-1 2 +1
2r1

2 -1
0 3
2
, G12
1
2
=
1 0
1
2 1
3. Inverzní matice ­ p. 7/18
3.2 Inverzní matice
DEFINICE 1
Nechť A je čtvercová matice. Jestliže existuje matice B
tak, že
AB = BA = I,
pak se matice B nazývá inverzní maticí k matici A a
značí se A-1
. Čtvercová matice, ke které existuje inverzní
matice, se nazývá regulární. V opačném případě
takovou matici nazýváme singulární.
V ĚTA 1
Ke každé regulární matici A existuje právě jedna inverzní
matice.
3. Inverzní matice ­ p. 8/18
3.2 Inverzní matice
D ŮKAZ: Nechť B1, B2 jsou inverzní matice k matici A, takže platí
AB1 = I a B2A = I.
Vynásobíme-li první rovnost zleva maticí B2 a druhou rovnici
zprava B1, dostaneme
B2 = B2AB1 = B1.
LEMMA 1 Má-li matice A nulový řádek pak je singulární.
D ŮKAZ:Je-li B libovolná matice, pak platí
AB =


. . . . .
0 . . . 0
. . . . .

 = I.
3. Inverzní matice ­ p. 9/18
3.3 Elementární úpravy a regularita
V ĚTA 2
Jsou-li matice A, B regulární, potom je také matice AB
regulární a platí
(AB)-1
= B-1
A-1
D ŮKAZ: (AB)(B-1
A-1
) = A(BB-1
)A-1
= (B-1
A-1
)(AB) =
= B-1
(A-1
A)B = I.
Uvedený vztah lze pomocí matematické indukce
zobecnit na
(A1    Ak)-1
= A-1
k    A-1
1 .
3. Inverzní matice ­ p. 10/18
3.3 Elementární úpravy a regularita
LEMMA 2 Matice elementárních úprav jsou regulární a platí:
1. P-1
ij = Pij,
2. M-1
i () = Mi(-1
) pro  = 0
3. G-1
ij () = Gij(-)
V ĚTA 3
Elementární řádkové úpravy zachovávají regularitu upravované
matice.
D ŮKAZ: Jestliže matice A
vznikne z regulární matice A elementárními
řádkovými úpravami, pak
A
= Tk    T1A,
a A -1
= A-1
T-1
1    T-1
k ,
tedy A
je regulární.
3. Inverzní matice ­ p. 11/18
3.4 Výpočet inverzní matice
V ĚTA 4
Nechť A je čtvercová matice řádu n. Pak rovnice
AX = I (*)
má jediné řešení X právě tehdy, když A je regulární.
V tom případě platí X = A-1
.
D ŮKAZ: Jestliže A je regulární, pak přenásobením obou stran (*)
zleva maticí A-1
dostaneme X = A-1
.
Obráceně, jestliže rovnice AX = I má jediné řešení, pak rozšířenou
matici A|I je možno pomocí ekvivalentních řádkových úprav
převést na tvar I|B .
3. Inverzní matice ­ p. 12/18
3.4 Výpočet inverzní matice
Potom existují elementární matice transformací T1, . . . , Tk tak, že
pro matici T = Tk    T1 platí
T A|I = I|B .
Roznásobíme-li matice vlevo podle pravidla o násobení blokových
matic, dostaneme porovnáním obou částí rozšířené matice
TA = I, T = B,
BA = I.
Jelikož matice I|B vznikla z A|I ekvivalentními řádkovými
úpravami, má (*) jediné řešení X, které je řešením soustavy
IX = B,
tedy X = B a AB = I. 3. Inverzní matice ­ p. 13/18
3.4 Výpočet inverzní matice
P ŘÍKLAD 2 Vypočtěte A-1
pokud existuje.
A =
2 -1
-1 2
ŘEŠENÍ: Postupnou úpravou rozšířené matice pro soustavu AX = I
dostaneme
A|I =
2 -1 1 0
-1 2 0 1 +1
2
r1

2 -1 1 0
0 3
2
1
2
1
+2
3
r2


2 0 4
3
2
3
0 3
2
1
2
1
1
2
2
3

1 0 2
3
1
3
0 1 1
3
2
3
= I|A-1
.
Matice A je tedy regulární a platí
A-1
=
1
3
2 1
1 2
.
3. Inverzní matice ­ p. 14/18
3.5 Řešení soustav a inverzní matice
V ĚTA 5
Nechť A je regulární matice a nechť b je sloupcový vektor
stejného řádu. Pak má soustava Ax = b jediné řešení
x = A-1
b.
D ŮKAZ: Nechť A je daná regulární matice.
Vynásobíme-li soustavu
Ax = b
maticí A-1
zleva, dostaneme
x = A-1
(Ax) = A-1
b.
3. Inverzní matice ­ p. 15/18
3.5 Řešení soustav a inverzní matice
P ŘÍKLAD 3 Pomocí inverzní matice najděte řešení soustavy
2x1 - x2 = 1
-x1 + 2x2 = 2
ŘEŠENÍ: Soustavu lze zapsat maticově ve tvaru
2 -1
-1 2
x1
x2
=
1
2 .
S využitím výsledku předchozího příkladu dostaneme
x1
x2
=
1
3
2 1
1 2
1
2 =
1
3
4
5 .
3. Inverzní matice ­ p. 16/18
3.6 Vyčíslení výrazů s inverzní maticí
P ŘÍKLAD 4 Nechť
A =
2 -1
-2 2 , B =
1 2
3 4 , b =
1
1 .
Vyčíslete A-1
Bb
ŘEŠENÍ: Nejprve vypočteme vektor
c = Bb =
3
7 .
Vektor x = A-1
c je jediným řešením rovnice Ax = c, kterou vyřešíme
Gaussovou eliminací
2 -1 3
-2 2 7 +r1

2 -1 3
0 1 10 ,
odkud x1 = 13
2 , x2 = 10. Tedy
A-1
Bb =
13
2
10
.
3. Inverzní matice ­ p. 17/18
3.7 Použití inverzní matice
K nalezení inverzní matice je zapotřebí asi n3
operací násobení.
Nevyplatí se řešit jednu soustavu pomocí
inverzní matice.
Může být výhodné řešit soustavy s více pravými
stranami pomocí inverzní matice (řešení pro
každou pravou stranou pak vyžaduje asi n2
násobení.
Inverzní matice je spíše teoretický prostředek.
3. Inverzní matice ­ p. 18/18